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यूक्लिड

2023-12-10T06:14:42Z

Jaya agarwal: /* यूक्लिड के अभिधारणाएँ */

[[Category:द्विघात समीकरण]]
[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
यूक्लिड को इतिहास में महान गणितज्ञों में से एक माना जाता है । उन्हें हम ज्यामिति के पिता के रूप में भी जानते हैं । उनके द्वारा प्रतिपादित ज्यामिति को हम यूक्लिडियन ज्यामिति कहते हैं । उन्हें मुख्य रूप से एलिमेंट्स ग्रंथ के लिए जाना जाता है, जिसने ज्यामिति की नींव स्थापित की , यूक्लिड के जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है, और अधिकांश जानकारी कई सदियों बाद अलेक्जेंड्रिया के दार्शनिक प्रोक्लस से मिलती है। आम तौर पर यह माना जाता है कि उन्होंने अपना करियर टॉलेमी प्रथम के अधीन अलेक्जेंड्रिया में बिताया और लगभग 300 ईसा पूर्व, प्लेटो के बाद और आर्किमिडीज़ से पहले जीवित रहे ।

== यूक्लिड के अभिगृहीत और अभिधारणाएँ ==
लगभग 300 बी में यूक्लिड ने उसे समय तक ज्ञात गणित को क्षेत्र के संपूर्ण ज्ञान को एकत्रित किया तथा उसे एलिमेंट्स नामक अपनी प्रसिद्ध कृति के रूप में व्यवस्थित किया यूक्लिड ने कुछ गुणो को बिना सिद्ध किए सत्य मान लिया वह सत्य मान ली गई कल्पनाएँ वास्तव में सर्वव्यापी सत्य हैं , उन्हें दो वर्गों में बांटा गया है - अभिगृहीत और अभिधारणाएँ

आइए , हम अभिगृहीत और अभिधारणाओं के बारे में विस्तार पूर्वक जानते है ।

=== यूक्लिड के अभिगृहीत ===

# वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हो परस्पर बराबर होती है ।
# यदि समान वस्तु को समान वस्तु में जोड़ा जाए तो पूर्ण भी बराबर होते हैं ।
# यदि समान वस्तु को समान से ही घटाया जाए तो शेषफल भी समान होते हैं।
# वह वस्तुएं जो परस्पर संपाती हो परस्पर बराबर भी होती हैं ।
# पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
# वह वस्तु जो एक ही वस्तु की दोगुनी हो परस्पर बराबर होती हैं ।
# वह वस्तुएं जो एक ही वस्तु की आधी हो परस्पर बराबर होती है।

=== यूक्लिड के अभिधारणाएँ ===
1) एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सरल रेखा खींची जा सकती है । यह अभिधारणा हमें बताती है कि कम से कम एक सीधी रेखा दो अलग-अलग बिंदु से होकर गुजरती है लेकिन यह नहीं कहता कि ऐसी एक से अधिक रेखाएँ नहीं हो सकतीं । तथापि, यूक्लिड ने, बिना उल्लेख किए यह मान लिया है कि एक अद्वितीय रेखा दो अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ने

2) एक रेखाखंड को अनिश्चित रूप से विस्तृत किया जा सकता है । आजकल के शब्दों के अनुसार, दूसरा अभिधारणा कहता है कि एक पंक्ति एक रेखा बनाने के लिए खंड को दोनों ओर बढ़ाया जा सकता है

3) किसी केंद्र और किसी त्रिज्या को लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता है ।

4) सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं ।

5) यदि एक सीधी रेखा को दो सीधी रेखाओं पर गिराकर आपने एक ही ओर दो अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि उन दोनों कोणो का योग मिलकर दो समकोण से कम हो तो वह दोनों सीधी रेखा अनिश्चित रूप से बढ़ाने पर उसी ओर मिलती है जिस ओर यह योग दो समकोण से कम होता है ।

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

2023-12-10T05:54:09Z

Jaya agarwal: /* सामान्य रूप */

[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है , पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि । इस इकाई में हम पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे । इस विधि में हम द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2 + bx + c = 0</math> को पूर्ण वर्ग रूप में परिवर्तित करते हैं , जिससे हम उसको मूलो को सरलता से ज्ञात कर सके ।

== पूर्ण वर्ग बनाने की विधि ==
मान लीजिए <math>ax^2 + bx + c = 0</math> , <math>a\neq 0</math> दिया गया द्विघात समीकरण है । पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे :

# यदि दिए गए द्विघात समीकरण में <math>a</math> का मान <math>1</math> के बराबर नहीं है , तो संपूर्ण समीकरण को <math>a</math> से इस प्रकार विभाजित करें कि <math>x^2</math> का गुणांक <math>1</math> हो ।
# अब दोनों तरफ पद <math>x</math> के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें ।
# समीकरण के बाईं ओर को द्विपद पद के वर्ग के रूप में गुणनखंडित करें ।
# दोनों तरफ वर्गमूल लें ।
# चर <math>x</math> को हल करें और मूल खोजें ।

=== सामान्य रूप ===
उपर्युक्त चरणों का सामान्य रूप निम्नवत् है :

मान लीजिए <math>ax^2 + bx + c = 0</math> , <math>a\neq 0</math> दिया गया द्विघात समीकरण है ।

दोनों तरफ <math>a</math> से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है ,

<math>x^2+ \left ( \frac{b}{a} \right ) x + \left ( \frac{c}{a} \right )=0</math>

पद <math>x</math> के गुणांक के आधे का वर्ग <math>\left ( \frac{b}{2a} \right )^2</math>जोड़ने एवं घटाने पर उपर्युक्त समीकरण लिखा जा सकता है ,

<math> \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 - \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \left ( \frac{c}{a} \right ) = 0</math>

<math> \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 - \left [ \frac{(b^2-4ac)}{4a^2} \right ] =0</math>

<math> \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 = \left [ \frac{(b^2-4ac)}{4a^2} \right ] </math>

यदि <math> b^2 - 4ac\geq 0</math>, तो वर्गमूल निकालने पर हमें प्राप्त होता है ,

<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}}</math>

== उदाहरण 1 ==
वर्ग पूर्ण करने की विधि से द्विघात समीकरण <math>x^2 + x - 6 = 0</math> के मूल ज्ञात कीजिए

हल

दिया गया द्विघात समीकरण है , <math>x^2 + x - 6 = 0</math>

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

2023-12-05T06:10:13Z

Jaya agarwal:

बहुभुज

2023-10-21T03:58:04Z

Jaya agarwal: /* अनियमित बहुभुज */

[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
बहुभुज दो शब्दों से मिलकर बना है, अर्थात पॉली (जिसका अर्थ है अनेक) और गॉन (जिसका अर्थ है भुजाएँ)। बहुभुज द्वि-आयामी तल में रेखाखंडों (वक्र नहीं) से बनी एक बंद आकृति है । बहुभुज एक आकृति है जिसकी भुजाओं की संख्या सीमित होती है '''।''' बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं । इस प्रकार , बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ कहा जाता है। वह बिंदु जहां दो रेखाखंड मिलते हैं , शीर्ष कहलाता है । वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है , क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें कोई भुजा या कोण नहीं है । इसलिए , हम कह सकते हैं , सभी बहुभुज द्वि-आयामी होते हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं । एक बंद आकृति बनाने के लिए , सिरे से सिरे तक जुड़ने के लिए कम से कम तीन रेखा खंडों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार न्यूनतम तीन भुजाओं वाला बहुभुज त्रिभुज कहलाता है ।

उदाहरण : त्रिभुज , आयत , पतंग , वर्ग आदि ।

== बहुभुज का वर्गीकरण ==
भुजाओं और कोणों के आधार पर , बहुभुजों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है :

# नियमित बहुभुज
# अनियमित बहुभुज
# उत्तल बहुभुज
# अवतल बहुभुज

=== नियमित बहुभुज ===
यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण बराबर हों , तो इसे नियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

उदाहरण : वर्ग, समबाहु त्रिभुज आदि ।

=== अनियमित बहुभुज ===
यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण अलग-अलग माप के हों , तो इसे अनियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

उदाहरण :विषमबाहु त्रिभुज , आयत , पतंग , आदि ।

=== उत्तल बहुभुज ===
यदि किसी बहुभुज के सभी आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से बिल्कुल कम हैं , तो इसे उत्तल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

=== अवतल बहुभुज ===
यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

== बहुभुज के गुण ==
बहुभुज के गुण निम्नलिखित है :

बहुभुज

2023-10-21T03:01:42Z

Jaya agarwal: /* बहुभुज का वर्गीकरण */

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

2023-10-18T05:49:20Z

Jaya agarwal:

प्रायोगिक प्रायिकता

2023-10-16T08:20:26Z

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता<ref>{{Cite web|url=https://www.cuemath.com/data/experimental-probability/|title=परिभाषा}}</ref> एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।

== विशेषताएं ==
प्रायोगिक प्रायिकता की विशेषताएं निम्नलिखित हैं :

# प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने के लिए प्रयोग करने की आवश्यकता होती है ।
# इस प्रायिकता को जानने के लिए हम किसी घटना के घटित होने की संख्या और परीक्षणों की कुल संख्या को विभाजित करते हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता केवल 'अनुमान' होती हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता को ऐसे प्रयोग की प्रत्येक घटना पर लागू किया जा सकता है , जिसे बड़ी संख्या में दोहराया जा सकता है ।
# सभी परिणामों की प्रायोगिक प्रायिकता का योग 1 होता है ।

== प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र ==
प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

जहां , <math>P(E)</math> प्रायोगिक प्रायिकता है ।
====उदाहरण====
1) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>

2) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>

3) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की प्रायोगिक प्रायिकता संख्या <math>0.5</math> अर्थात, <math>\frac{1}{2}</math> के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की [[सैद्धांतिक प्रायिकता]] कहते हैं ।
== उदाहरण 1 ==
इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार किए गए केक की संख्या <math>4, 7, 6, 9, 5, 9</math> और <math>5</math> के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित प्रायोगिक प्रायिकता क्या होगी कि जॉन अगले दिन <math>6</math> से कम केक बनाएगा ?<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 1}}</ref>

हल

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=7</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार <math>6</math> से कम केक तैयार करने की संख्या <math>4,5,5</math> है , अर्थात कुल संख्या <math>3</math> होगी )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{3}{7}</math>

<math>P(E)=0.428</math>

अतः , अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.428</math> होगी ।

== उदाहरण 2 ==
निम्नलिखित तालिका <math>6</math> तरफा पासे को <math>80</math> बार फेंकने के बाद किए गए अवलोकनों को दर्शाती है<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 2}}</ref>
{| class="wikitable"
|+
!परिणाम
!आवृत्ति
|-
|1
|13
|-
|2
|10
|-
|3
|15
|-
|4
|14
|-
|5
|12
|-
|6
|11
|}
<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

हल

दी गयी तालिका के अनुसार <math>4</math> से कम संख्या <math>(1,2,3)</math> आने की कुल संख्या <math>=13+10+15=38</math>

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=80</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{38}{80}</math>

<math>P(E)=0.475</math>

अतः , दी गयी तालिका के अनुसार , <math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.475</math> होगी ।

== संदर्भ ==

प्रायोगिक प्रायिकता

2023-10-16T08:17:39Z

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता<ref>{{Cite web|url=https://www.cuemath.com/data/experimental-probability/|title=परिभाषा}}</ref> एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।

== विशेषताएं ==
प्रायोगिक प्रायिकता की विशेषताएं निम्नलिखित हैं :

# प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने के लिए प्रयोग करने की आवश्यकता होती है ।
# इस प्रायिकता को जानने के लिए हम किसी घटना के घटित होने की संख्या और परीक्षणों की कुल संख्या को विभाजित करते हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता केवल 'अनुमान' होती हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता को ऐसे प्रयोग की प्रत्येक घटना पर लागू किया जा सकता है , जिसे बड़ी संख्या में दोहराया जा सकता है ।
# सभी परिणामों की प्रायोगिक प्रायिकता का योग 1 होता है ।

== प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र ==
प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

जहां , <math>P(E)</math> प्रायोगिक प्रायिकता है ।
====उदाहरण====
1) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>

2) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>

3) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की प्रायोगिक प्रायिकता संख्या <math>0.5</math> अर्थात, <math>\frac{1}{2}</math> के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की [[सैद्धांतिक प्रायिकता]] कहते हैं ।
== उदाहरण 1 ==
इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 2}}</ref> किए गए केक की संख्या <math>4, 7, 6, 9, 5, 9</math> और <math>5</math> के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित प्रायोगिक प्रायिकता क्या होगी कि जॉन अगले दिन <math>6</math> से कम केक बनाएगा ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=7</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार <math>6</math> से कम केक तैयार करने की संख्या <math>4,5,5</math> है , अर्थात कुल संख्या <math>3</math> होगी )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{3}{7}</math>

<math>P(E)=0.428</math>

अतः , अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.428</math> होगी ।

== उदाहरण 2 ==
निम्नलिखित तालिका <math>6</math> तरफा पासे को <math>80</math> बार फेंकने के बाद किए गए अवलोकनों को दर्शाती है
{| class="wikitable"
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!परिणाम
!आवृत्ति
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<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

हल

दी गयी तालिका के अनुसार <math>4</math> से कम संख्या <math>(1,2,3)</math> आने की कुल संख्या <math>=13+10+15=38</math>

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=80</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{38}{80}</math>

<math>P(E)=0.475</math>

अतः , दी गयी तालिका के अनुसार , <math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.475</math> होगी ।

== संदर्भ ==

प्रायोगिक प्रायिकता

2023-10-16T08:17:01Z

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता<ref>{{Cite web|url=https://www.cuemath.com/data/experimental-probability/|title=परिभाषा}}</ref> एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।

== विशेषताएं ==
प्रायोगिक प्रायिकता की विशेषताएं निम्नलिखित हैं :

# प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने के लिए प्रयोग करने की आवश्यकता होती है ।
# इस प्रायिकता को जानने के लिए हम किसी घटना के घटित होने की संख्या और परीक्षणों की कुल संख्या को विभाजित करते हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता केवल 'अनुमान' होती हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता को ऐसे प्रयोग की प्रत्येक घटना पर लागू किया जा सकता है , जिसे बड़ी संख्या में दोहराया जा सकता है ।
# सभी परिणामों की प्रायोगिक प्रायिकता का योग 1 होता है ।

== प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र ==
प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

जहां , <math>P(E)</math> प्रायोगिक प्रायिकता है ।
====उदाहरण====
1) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>

2) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>

3) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की प्रायोगिक प्रायिकता संख्या <math>0.5</math> अर्थात, <math>\frac{1}{2}</math> के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की [[सैद्धांतिक प्रायिकता]] कहते हैं ।
== उदाहरण 1 ==
इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 2}}</ref> किए गए केक की संख्या <math>4, 7, 6, 9, 5, 9</math> और <math>5</math> के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित प्रायोगिक प्रायिकता क्या होगी कि जॉन अगले दिन <math>6</math> से कम केक बनाएगा ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=7</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार <math>6</math> से कम केक तैयार करने की संख्या <math>4,5,5</math> है , अर्थात कुल संख्या <math>3</math> होगी )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{3}{7}</math>

<math>P(E)=0.428</math>

अतः , अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.428</math> होगी ।

== उदाहरण 2 ==
निम्नलिखित तालिका <math>6</math> तरफा पासे को <math>80</math> बार फेंकने के बाद किए गए अवलोकनों को दर्शाती है
{| class="wikitable"
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!परिणाम
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<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

हल

दी गयी तालिका के अनुसार <math>4</math> से कम संख्या <math>(1,2,3)</math> आने की की कुल संख्या <math>=13+10+15=38</math>

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=80</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{38}{80}</math>

<math>P(E)=0.475</math>

अतः , दी गयी तालिका के अनुसार , <math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.475</math> होगी ।

== संदर्भ ==

प्रायोगिक प्रायिकता

2023-10-16T08:13:36Z

Jaya agarwal: /* उदाहरण 3 */

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता<ref>{{Cite web|url=https://www.cuemath.com/data/experimental-probability/|title=परिभाषा}}</ref> एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।

== विशेषताएं ==
प्रायोगिक प्रायिकता की विशेषताएं निम्नलिखित हैं :

# प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने के लिए प्रयोग करने की आवश्यकता होती है ।
# इस प्रायिकता को जानने के लिए हम किसी घटना के घटित होने की संख्या और परीक्षणों की कुल संख्या को विभाजित करते हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता केवल 'अनुमान' होती हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता को ऐसे प्रयोग की प्रत्येक घटना पर लागू किया जा सकता है , जिसे बड़ी संख्या में दोहराया जा सकता है ।
# सभी परिणामों की प्रायोगिक प्रायिकता का योग 1 होता है ।

== प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र ==
प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

जहां , <math>P(E)</math> प्रायोगिक प्रायिकता है ।
====उदाहरण====
1) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>

2) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>

3) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की प्रायोगिक प्रायिकता संख्या <math>0.5</math> अर्थात, <math>\frac{1}{2}</math> के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की [[सैद्धांतिक प्रायिकता]] कहते हैं ।
== उदाहरण 1 ==
एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/empirical-probability/|title=उदाहरण 1}}</ref> और तीनों बार चित दिखाई देता है, सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=5</math> ( एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है )

चित आने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

सिक्का उछालने पर पट दिखने की संख्या <math>=0</math>

सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{0}{5}</math>

<math>P(E)=0</math>

अतः , सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0</math> होगी ।

== उदाहरण 2 ==
इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 2}}</ref> किए गए केक की संख्या <math>4, 7, 6, 9, 5, 9</math> और <math>5</math> के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित प्रायोगिक प्रायिकता क्या होगी कि जॉन अगले दिन <math>6</math> से कम केक बनाएगा ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=7</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार <math>6</math> से कम केक तैयार करने की संख्या <math>4,5,5</math> है , अर्थात कुल संख्या <math>3</math> होगी )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{3}{7}</math>

<math>P(E)=0.428</math>

अतः , अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.428</math> होगी ।

== उदाहरण 3 ==
निम्नलिखित तालिका <math>6</math> तरफा पासे को <math>80</math> बार फेंकने के बाद किए गए अवलोकनों को दर्शाती है
{| class="wikitable"
|+
!परिणाम
!आवृत्ति
|-
|1
|13
|-
|2
|10
|-
|3
|15
|-
|4
|14
|-
|5
|12
|-
|6
|11
|}
<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

हल

दी गयी तालिका के अनुसार <math>4</math> से कम संख्या <math>(1,2,3)</math> आने की की कुल संख्या <math>=13+10+15=38</math>

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=80</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

<math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{38}{80}</math>

<math>P(E)=0.475</math>

अतः , दी गयी तालिका के अनुसार , <math>4</math> से कम संख्या प्राप्त करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.475</math> होगी ।

== संदर्भ ==

प्रायोगिक प्रायिकता

2023-10-16T07:58:21Z

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
किसी प्रयोग के परिणामों के आधार पर जो प्रायिकता निर्धारित की जाती है , उसे प्रयोगात्मक प्रायिकता कहा जाता है। इसे आनुभविक संभाव्यता के रूप में भी जाना जाता है । प्रायोगिक प्रायिकता<ref>{{Cite web|url=https://www.cuemath.com/data/experimental-probability/|title=परिभाषा}}</ref> एक प्रायिकता है जो प्रयोगों की एक श्रृंखला के आधार पर निर्धारित की जाती है । उनकी संभावना निर्धारित करने के लिए एक यादृच्छिक प्रयोग किया जाता है और अनेक बार दोहराया जाता है , और प्रत्येक पुनरावृत्ति को हम परीक्षण के रूप में मानते है । किसी घटना के घटित होने या न घटित होने की संभावना का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है । यह सिक्का उछालना, पासा फेकना या स्पिनर घुमाना हो सकता है ।

== विशेषताएं ==
प्रायोगिक प्रायिकता की विशेषताएं निम्नलिखित हैं :

# प्रायोगिक प्रायिकता निर्धारित करने के लिए प्रयोग करने की आवश्यकता होती है ।
# इस प्रायिकता को जानने के लिए हम किसी घटना के घटित होने की संख्या और परीक्षणों की कुल संख्या को विभाजित करते हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता केवल 'अनुमान' होती हैं ।
# प्रायोगिक प्रायिकता को ऐसे प्रयोग की प्रत्येक घटना पर लागू किया जा सकता है , जिसे बड़ी संख्या में दोहराया जा सकता है ।
# सभी परिणामों की प्रायोगिक प्रायिकता का योग 1 होता है ।

== प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र ==
प्रायोगिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

जहां , <math>P(E)</math> प्रायोगिक प्रायिकता है ।
====उदाहरण====
1) फ्रांसीसी प्रकृतिवादी कॉम्टे डी बफ़न ने एक सिक्का <math>4040</math> बार उछाला और <math>2048</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{2048}{4040}</math> <math>=0.507</math>

2) ब्रिटेन के जे.ई. केरिच ने एक सिक्के को <math>10000</math> बार उछाला और <math>5067</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{5067}{10000}</math> <math>=0.5067</math>

3) सांख्यिकीविद् कार्ल पियर्सन ने एक सिक्के को <math>24000</math> बार उछाला और <math>12012</math> चित प्राप्त हुए । इस प्रयोग में चित पाने की प्रायिकता ,

प्रायोगिक प्रायिकता <math>=</math> किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या <math>=\frac{12012}{24000}</math> <math>=0.5005</math>

जैसे-जैसे टॉस की संख्या बढ़ती है , चित की प्रायोगिक प्रायिकता संख्या <math>0.5</math> अर्थात, <math>\frac{1}{2}</math> के आसपास स्थिर होती दिख रही है , जिसे हम चित प्राप्त करने की [[सैद्धांतिक प्रायिकता]] कहते हैं ।
== उदाहरण 1 ==
एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है<ref>{{Cite web|url=https://www.geeksforgeeks.org/empirical-probability/|title=उदाहरण 1}}</ref> और तीनों बार चित दिखाई देता है, सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता क्या है ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=5</math> ( एक सिक्के को 5 बार उछाला जाता है )

चित आने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

सिक्का उछालने पर पट दिखने की संख्या <math>=0</math>

सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{0}{5}</math>

<math>P(E)=0</math>

अतः , सिक्का उछालने पर पट दिखने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0</math> होगी ।

== उदाहरण 2 ==
इस सप्ताह जॉन द्वारा प्रति दिन तैयार<ref>{{Cite web|url=https://www.vedantu.com/maths/experimental-probability|title=उदाहरण 2}}</ref> किए गए केक की संख्या <math>4, 7, 6, 9, 5, 9</math> और <math>5</math> के क्रम में है । इन आंकड़ों पर आधारित प्रायोगिक प्रायिकता क्या होगी कि जॉन अगले दिन <math>6</math> से कम केक बनाएगा ?

हल

परीक्षणों की कुल संख्या <math>=7</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की कुल संख्या <math>=3</math> ( प्रश्न में दिए गए आंकड़ों के अनुसार <math>6</math> से कम केक तैयार करने की संख्या <math>4,5,5</math> है , अर्थात कुल संख्या <math>3</math> होगी )

अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता ,

<math>P(E)=</math>किसी घटना के घटित होने की संख्या / परीक्षणों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{3}{7}</math>

<math>P(E)=0.428</math>

अतः , अगले दिन <math>6</math> से कम केक तैयार करने की प्रायोगिक प्रायिकता <math>0.428</math> होगी ।

== उदाहरण 3 ==

== संदर्भ ==

वृद्धि मॉडल

2023-10-16T07:54:00Z

Jaya agarwal: /* संभार तंत्र वृद्धि: */

[[Category:जीव और समष्टियाँ]][[Category:जीव विज्ञान]][[Category:कक्षा-12]][[Category:वनस्पति विज्ञान]]
क्या समय के साथ जनसंख्या कोई वृद्धि दर्शाती है? प्रकृति में, हम शायद ही कभी किसी प्रजाति को अलग और एकल पाते हैं I सभी भौगोलिक क्षेत्र में समूहों में रहते हैं, समान संसाधनों के लिए या प्रतिस्पर्धा करते हैं या उन्हें साझा करते हैं I किसी भी प्रजाति के लिए जनसंख्या का आकार एक स्थिर कारक नहीं है। यह भोजन की उपलब्धता, शिकार का दबाव, प्रतिकूल मौसम और समय में परिवर्तन सहित विभिन्न कारकों के आधार पर बदलती रहती है।

एक जनसंख्या में कुछ ऐसे गुण होते हैं जो एक व्यक्तिगत जीव में नहीं होते हैं। उनमें से एक गुण है वृद्धि मॉडल जो सिर्फ जनसंख्या में पाया जाता हैI यह वृद्धि मॉडल जनसंख्या में बुनियादी विकास प्रवृत्ति का वर्णन करते हैं। आइए उन्हें समझें-

== परिभाषा ==
वृद्धि मॉडल समय के साथ जनसंख्या की वृद्धि के विशिष्ट और पूर्वानुमानित पैटर्न को दर्शाता है। जनसंख्या की वृद्धि, भोजन की उपलब्धता, प्राकृतिक वास की स्थिति तथा अन्य जैविक एवं अजैविक कारकों की उपस्थिति के अनुसार होती है।

== प्रकार ==
मॉडल दो मुख्य प्रकार के होते हैं:
[[File:चरघातांकी वृद्धि मॉडल.png|thumb|चरघातांकी वृद्धि मॉडल]]

=== चरघातांकी वृद्धि: ===
एक आदर्श स्थिति में जहां भोजन और संसाधनों की असीमित आपूर्ति होती है, जनसंख्या वृद्धि एक चरघातांकी वृद्धि क्रम करती है। आदर्श रूप से, जब प्रत्येक प्रजाति के आवास में संसाधन असीमित हों तो प्रजाति अपनी संख्या में वृद्धि करने की अपनी जन्मजात क्षमता को पूरी तरह से साकार करने की क्षमता रखती है।

<math>N</math> आकार की जनसंख्या में, अगर '''जन्म दर''' को <math>b</math> के रूप में दर्शाया जाए और '''मृत्यु दर''' को <math>d</math> के रूप में दर्शाया जाए, तब N के परिवर्तन की दर (वृद्धि होना या कम होना) '''इकाई समयावधि,'''<math>t (\frac{dN}{dt})</math> के दौरान कुछ इस प्रकार दी जा सकती है-

<math>\frac{dN}{dt} = (b-d) \times N</math>

आगर,<math>(b-d) = r</math>

तब, <math>\frac{dN}{dt} = rN</math>

इस समीकरण में <math>r</math> को ''''प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर'''<nowiki/>' कहा जाता है और जनसंख्या वृद्धि पर कोई जैविक या अजैविक कारक के प्रभावों का आकलन करने के लिए चुना गया है।

उपरोक्त समीकरण चरघातांकी या ज्यामितीय वृद्धि का वर्णन करता है I जब हम समय के संबंध में <math>N</math> आलेखित करते हैं तो परिणाम में जे-आकार का वक्र बनता है। यदि आप बेसिक कैलकुलस से परिचित हैं, आप चरघातांकी वृद्धि समीकरण का अभिन्न रूप (integral form) प्राप्त कर सकते हैं I आइये देखे कैसे-

<math>N_t = N_0 ert</math>

जहां, <math>N_t=</math> समय के बाद जनसंख्या घनत्व

<math>N_0 =</math>समय शून्य पर जनसंख्या घनत्व <math>(t=0)</math>

<math>r=</math> प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर

<math>e=</math> प्राकृतिक लघुगणक का आधार <math>(2.71828)</math>

==== उदाहरण: ====
चरघातांकी वृद्धि मॉडल के वास्तविक उदाहरणों में बैक्टीरिया की चरघातांकी वृद्धि और बारिश के मौसम में पतंगों की चरघातांकी वृद्धि प्रतिनिधित्व करती है I
[[File:संभार तंत्र वृद्धि मॉडल.png|thumb|संभार तंत्र वृद्धि मॉडल]]

=== संभार तंत्र वृद्धि: ===
संभार तंत्र वृद्धि मॉडल 'योग्यतम की उत्तरजीविता' की अवधारणा को परिभाषित करता है। इस प्रकार, यह इस तथ्य पर विचार करता है कि प्रकृति में संसाधन समाप्त हो सकते हैं। 'वहन क्षमता' शब्द संसाधनों की उस सीमा को परिभाषित करता है जिसके आगे वे किसी भी संख्या में जीवों का समर्थन नहीं कर सकते हैं। इस वहन क्षमता को K के रूप में दर्शाया गया है। इसे के बारे में और ज्ञानार्जन करते है-

सीमित संसाधनों के लिए व्यक्तियों/प्रजातियों के बीच प्रतिस्पर्धा होती है। अंततः, 'सबसे योग्य' ही जीवित रहता है और प्रजनन करता है। प्रकृति में, किसी दिए गए क्षेत्र के पास अधिकतम संभव संख्या के समर्थन के लिए पर्याप्त संसाधन होते हैं, जिसके आगे कोई वृद्धि संभव नहीं होती। हम इस सीमा को प्रकृति की वहन क्षमता (K) कहते हैं उस क्षेत्र में रह रही प्रजाति के लिए I

सीमित संसाधनों की उपलब्धता से तीव्र वृद्धि नहीं दिखाई जा सकती। परिणामस्वरूप, संभार तंत्र वृद्धि ग्राफ़ में एक अंतराल चरण होगा, उसके बाद एक घातीय चरण, फिर एक गिरावट चरण और अंततः एक अनंतस्पर्शी चरण होगा। इसे वर्हुल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक ग्रोथ के रूप में जाना जाता है और इसे समीकरण का उपयोग करके कुछ इस प्रकार दर्शाया जाता है:

<math>\frac{dN}{dt} = rN\frac{(K-N)} {K}</math>

जहां,<math>N = t</math> समय में जनसंख्या घनत्व

<math>r=</math> प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर

<math>K=</math> प्रकृति की वहन क्षमता

समय <math>t</math> के संबंध में <math>N</math> के प्लॉट के परिणामस्वरूप सिग्मॉइड वक्र बनता है।

अधिकांश प्रजातियों के लिए विकास के संसाधन सीमित हैं, इसके कारण संभार तंत्र वृद्धि मॉडल अधिक यथार्थवादी माना जाता है।

==== उदाहरण: ====
मानव जनसंख्या एक संभार तंत्र वृद्धि का प्रतिनिधित्व करती है।

वृद्धि मॉडल

2023-10-16T07:50:58Z

Jaya agarwal: /* चरघातांकी वृद्धि: */

[[Category:जीव और समष्टियाँ]][[Category:जीव विज्ञान]][[Category:कक्षा-12]][[Category:वनस्पति विज्ञान]]
क्या समय के साथ जनसंख्या कोई वृद्धि दर्शाती है? प्रकृति में, हम शायद ही कभी किसी प्रजाति को अलग और एकल पाते हैं I सभी भौगोलिक क्षेत्र में समूहों में रहते हैं, समान संसाधनों के लिए या प्रतिस्पर्धा करते हैं या उन्हें साझा करते हैं I किसी भी प्रजाति के लिए जनसंख्या का आकार एक स्थिर कारक नहीं है। यह भोजन की उपलब्धता, शिकार का दबाव, प्रतिकूल मौसम और समय में परिवर्तन सहित विभिन्न कारकों के आधार पर बदलती रहती है।

एक जनसंख्या में कुछ ऐसे गुण होते हैं जो एक व्यक्तिगत जीव में नहीं होते हैं। उनमें से एक गुण है वृद्धि मॉडल जो सिर्फ जनसंख्या में पाया जाता हैI यह वृद्धि मॉडल जनसंख्या में बुनियादी विकास प्रवृत्ति का वर्णन करते हैं। आइए उन्हें समझें-

== परिभाषा ==
वृद्धि मॉडल समय के साथ जनसंख्या की वृद्धि के विशिष्ट और पूर्वानुमानित पैटर्न को दर्शाता है। जनसंख्या की वृद्धि, भोजन की उपलब्धता, प्राकृतिक वास की स्थिति तथा अन्य जैविक एवं अजैविक कारकों की उपस्थिति के अनुसार होती है।

== प्रकार ==
मॉडल दो मुख्य प्रकार के होते हैं:
[[File:चरघातांकी वृद्धि मॉडल.png|thumb|चरघातांकी वृद्धि मॉडल]]

=== चरघातांकी वृद्धि: ===
एक आदर्श स्थिति में जहां भोजन और संसाधनों की असीमित आपूर्ति होती है, जनसंख्या वृद्धि एक चरघातांकी वृद्धि क्रम करती है। आदर्श रूप से, जब प्रत्येक प्रजाति के आवास में संसाधन असीमित हों तो प्रजाति अपनी संख्या में वृद्धि करने की अपनी जन्मजात क्षमता को पूरी तरह से साकार करने की क्षमता रखती है।

<math>N</math> आकार की जनसंख्या में, अगर '''जन्म दर''' को <math>b</math> के रूप में दर्शाया जाए और '''मृत्यु दर''' को <math>d</math> के रूप में दर्शाया जाए, तब N के परिवर्तन की दर (वृद्धि होना या कम होना) '''इकाई समयावधि,'''<math>t (\frac{dN}{dt})</math> के दौरान कुछ इस प्रकार दी जा सकती है-

<math>\frac{dN}{dt} = (b-d) \times N</math>

आगर,<math>(b-d) = r</math>

तब, <math>\frac{dN}{dt} = rN</math>

इस समीकरण में <math>r</math> को ''''प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर'''<nowiki/>' कहा जाता है और जनसंख्या वृद्धि पर कोई जैविक या अजैविक कारक के प्रभावों का आकलन करने के लिए चुना गया है।

उपरोक्त समीकरण चरघातांकी या ज्यामितीय वृद्धि का वर्णन करता है I जब हम समय के संबंध में <math>N</math> आलेखित करते हैं तो परिणाम में जे-आकार का वक्र बनता है। यदि आप बेसिक कैलकुलस से परिचित हैं, आप चरघातांकी वृद्धि समीकरण का अभिन्न रूप (integral form) प्राप्त कर सकते हैं I आइये देखे कैसे-

<math>N_t = N_0 ert</math>

जहां, <math>N_t=</math> समय के बाद जनसंख्या घनत्व

<math>N_0 =</math>समय शून्य पर जनसंख्या घनत्व <math>(t=0)</math>

<math>r=</math> प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर

<math>e=</math> प्राकृतिक लघुगणक का आधार <math>(2.71828)</math>

==== उदाहरण: ====
चरघातांकी वृद्धि मॉडल के वास्तविक उदाहरणों में बैक्टीरिया की चरघातांकी वृद्धि और बारिश के मौसम में पतंगों की चरघातांकी वृद्धि प्रतिनिधित्व करती है I
[[File:संभार तंत्र वृद्धि मॉडल.png|thumb|संभार तंत्र वृद्धि मॉडल]]

=== संभार तंत्र वृद्धि: ===
संभार तंत्र वृद्धि मॉडल 'योग्यतम की उत्तरजीविता' की अवधारणा को परिभाषित करता है। इस प्रकार, यह इस तथ्य पर विचार करता है कि प्रकृति में संसाधन समाप्त हो सकते हैं। 'वहन क्षमता' शब्द संसाधनों की उस सीमा को परिभाषित करता है जिसके आगे वे किसी भी संख्या में जीवों का समर्थन नहीं कर सकते हैं। इस वहन क्षमता को K के रूप में दर्शाया गया है। इसे के बारे में और ज्ञानार्जन करते है-

सीमित संसाधनों के लिए व्यक्तियों/प्रजातियों के बीच प्रतिस्पर्धा होती है। अंततः, 'सबसे योग्य' ही जीवित रहता है और प्रजनन करता है। प्रकृति में, किसी दिए गए क्षेत्र के पास अधिकतम संभव संख्या के समर्थन के लिए पर्याप्त संसाधन होते हैं, जिसके आगे कोई वृद्धि संभव नहीं होती। हम इस सीमा को प्रकृति की वहन क्षमता (K) कहते हैं उस क्षेत्र में रह रही प्रजाति के लिए I

सीमित संसाधनों की उपलब्धता से तीव्र वृद्धि नहीं दिखाई जा सकती। परिणामस्वरूप, संभार तंत्र वृद्धि ग्राफ़ में एक अंतराल चरण होगा, उसके बाद एक घातीय चरण, फिर एक गिरावट चरण और अंततः एक अनंतस्पर्शी चरण होगा। इसे वर्हुल्स्ट-पर्ल लॉजिस्टिक ग्रोथ के रूप में जाना जाता है और इसे समीकरण का उपयोग करके कुछ इस प्रकार दर्शाया जाता है:

'''dN/dt = rN((K-N) /K)'''

जहां, N = t समय में जनसंख्या घनत्व

r= प्राकृतिक वृद्धि की आंतरिक दर

K= प्रकृति की वहन क्षमता

समय t के संबंध में N के प्लॉट के परिणामस्वरूप सिग्मॉइड वक्र बनता है।

अधिकांश प्रजातियों के लिए विकास के संसाधन सीमित हैं, इसके कारण संभार तंत्र वृद्धि मॉडल अधिक यथार्थवादी माना जाता है।

==== उदाहरण: ====
मानव जनसंख्या एक संभार तंत्र वृद्धि का प्रतिनिधित्व करती है।

सैद्धांतिक प्रायिकता

2023-10-15T06:08:55Z

Jaya agarwal: /* पूरक घटनाएँ */

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

हम लोगो में से प्रत्येक ने जीवन में<ref>{{Cite web|url=https://byjus.com/maths/theoretical-probability/|title=परिभाषा}}</ref> कई परिस्थितियों का सामना किया होगा जहां हमें जोखिम लेना पड़ा होगा । स्थिति के आधार पर कुछ हद तक यह अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष घटना घटित होने वाली है या नहीं । किसी विशेष घटना के घटित होने की इस संभावना को हम प्रायिकता में अध्ययन करते हैं। सैद्धांतिक प्रायिकता सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो किसी यादृच्छिक घटना के घटित होने की संभावना का पता लगाने से संबंधित है । सैद्धांतिक प्रायिकता को शास्त्रीय प्रायिकता के रूप में भी जाना जाता है । किसी घटना के घटित होने की संभावना <math>0</math> और <math>1</math> के बीच होती है । यदि संभावना <math>0</math> के करीब है तो इसका मतलब है कि घटना घटित होने की संभावना कम है । इसी तरह , यदि संभावना <math>1</math> के करीब है तो यह दर्शाता है कि घटना के घटित होने की संभावना अधिक है ।

==विशेषताएं==
#सैद्धांतिक प्रायिकता को संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित अनुकूल परिणामों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है ।
#प्रायिकता निर्धारित करने के लिए कोई प्रयोग करने की आवश्यकता नहीं है<ref>{{Cite web|url=https://www.cuemath.com/data/theoretical-probability/|title=विशेषताएं}}</ref> । हालाँकि , उस घटना के घटित होने की संभावना ज्ञात करने के लिए स्थिति का ज्ञान आवश्यक है ।
#सैद्धांतिक प्रायिकता यह मानकर किसी घटना के घटित होने की संभावना की भविष्यवाणी करती है कि सभी घटनाओं के घटित होने की संभावना समान है ।
==सैद्धांतिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र==
सैद्धांतिक प्रायिकता ज्ञात करने का सूत्र निम्नलिखित हैं :

<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

जहां , <math>P(E)=</math> सैद्धांतिक प्रायिकता है ।

== विभिन्न घटनाएँ ==

=== प्रारम्भिक घटना <ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS( NCERT) |edition=REVISED |pages=299-302}}</ref> ===
ऐसी घटना जिसमें प्रयोग का केवल एक परिणाम होता है , उसे प्रारंभिक घटना कहा जाता है । सभी प्रारंभिक घटनाओं की प्रायिकता का योग <math>1</math> होता है । उदाहरण के लिए , जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>5</math> आने की प्रायिकता प्रारम्भिक घटना होगी ।

=== असंभव घटना ===
वह घटना है जिसके घटित होने की कोई संभावना नहीं होती उसे असंभव घटना कहा जाता है । अतः , एक असंभव घटना की प्रायिकता <math>0</math> होती है । उदाहरण के लिए, जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>9</math> आने की प्रायिकता असंभव घटना होगी ।

=== निश्चित घटना ===
वह घटना जो हमेशा घटित होती है उसे निश्चित घटना कहा जाता है । इसलिए किसी निश्चित घटना की प्रायिकता '''<math>1</math>''' होती है। उदाहरण के लिए, जब हम एक पासा फेंकते हैं , तो <math>7</math> से कम संख्या प्राप्त होना एक निश्चित घटना होगी ।

=== पूरक घटनाएँ ===
दो घटनाएँ जो इस प्रकार मौजूद हैं कि एक घटना तब घटित होगी तभी जब दूसरी घटना घटित नहीं होगी उसे पूरक घटनाएँ कहा जाता है । दो घटनाओं को पूरक घटनाओं के रूप में वर्गीकृत करने के लिए उन्हें परस्पर अनन्य होना चाहिए । पूरक घटनाएँ तभी घटित हो सकती हैं जब दो परिणाम होते हैं । मान लीजिए <math>E</math> एक घटना है, <math>E</math> के पूरक को <math>E'</math> या <math>E_c</math> के रूप में दर्शाया जाता है । पूरक घटनाओं की प्रायिकताओं का योग '''<math>1</math>''' के बराबर होना चाहिए अर्थात <math>P(E)+P(E')=1</math> या <math>P(E)+P(E_c)=1</math>

==उदाहरण 1==
जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>4</math> आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

हल

संभावित परिणामों की कुल संख्या = <math>6</math> ( पासे के <math>6</math> फलक होते हैं अतः , संभावित परिणामों की कुल संख्या <math>6</math> होगी । )

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , अनुकूल परिणामों की संख्या = <math>1</math> ( पासे को फेंकने पर <math>4</math> एक बार आता है )

सैद्धांतिक प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,

<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{1}{6}</math>

अतः , जब एक पासा फेंका जाता है तो <math>4</math> आने की प्रायिकता <math>\frac{1}{6}</math> होगी ।
==उदाहरण 2==
एक पासा यादृच्छिक रूप से फेंका जाता है , सम संख्या के आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए ।

हल

संभावित परिणामों की कुल संख्या <math>=</math> <math>6</math> ( पासे के <math>6</math> फलक होते हैं अतः , संभावित परिणामों की कुल संख्या <math>6</math> होगी । )

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , अनुकूल परिणामों की संख्या <math>=</math> <math>3</math> ( पासे को फेंकने पर <math>2,4,6</math> सम संख्या आ सकती हैं । )

सैद्धांतिक प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,

<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{3}{6}</math>

<math>P(E)=\frac{1}{2}</math>

अतः , जब एक पासा फेंका जाता है तो सम संख्या के आने की प्रायिकता <math>\frac{1}{2}</math> होगी ।

== उदाहरण 3 ==
<math>52</math> ताशों की अच्छी तरह से फेंटी गई गड्डी से एक पत्ता निकाला जाता है । प्रायिकता ज्ञात कीजिये कि पत्ता एक इक्का होगा ।

हल

संभावित परिणामों की कुल संख्या <math>=</math> <math>52</math> ( ताश की गड्डी में <math>52</math> पत्ते होते है )

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , अनुकूल परिणामों की संख्या <math>=</math> <math>4</math> ( एक ताश की गड्डी मे <math>4</math> इक्के होते है )

प्रायिकता के सूत्र के अनुसार ,

<math>P(E)=</math>अनुकूल परिणामों की संख्या / संभावित परिणामों की कुल संख्या

मान रखने पर ,

<math>P(E)=\frac{4}{52}</math>

<math>P(E)=\frac{1}{13}</math>

अतः , प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार प्रायिकता <math>\frac{1}{13}</math> होगी ।

== उदाहरण 4 ==
दो खिलाड़ी , श्याम और मोहन , एक टेनिस मैच खेलते हैं । श्याम के मैच जीतने की प्रायिकता <math>0.63</math> है । मोहन के मैच जीतने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये ।

हल

मान लीजिए कि श्याम के मैच जीतने की घटना <math>S</math> एवं मोहन के मैच जीतने की घटना <math>M</math> है ।

श्याम के मैच जीतने की प्रायिकता <math>=P(S)=0.63</math> ( प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार )

मोहन के मैच जीतने की प्रायिकता <math>=P(R)</math>

यह स्पष्ट है कि दोनों घटनाएँ पूरक घटनाएँ है , अर्थात , <math>P(R)+P(S)=1</math>

मान रखने पर ,

<math>P(R)+0.63=1</math>

<math>P(R)=1-0.63</math>

<math>P(R)=0.37</math>

अतः , प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार प्रायिकता <math>0.37</math> होगी ।

==अभ्यास प्रश्न==
एक बैग में एक लाल गेंद, एक नीली गेंद और एक पीली गेंद है, सभी गेंदें एक प्रकार की हैं , रिया बिना देखे बैग से एक गेंद निकालती है । निम्नलिखित के निकलने की प्रायिकता ज्ञात कीजिये :
#पीली गेंद
#लाल गेंद
#नीली गेंद
==संदर्भ==
<references />