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यूक्लिड

2023-12-10T06:14:42Z

Jaya agarwal: /* यूक्लिड के अभिधारणाएँ */

[[Category:द्विघात समीकरण]]
[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
यूक्लिड को इतिहास में महान गणितज्ञों में से एक माना जाता है । उन्हें हम ज्यामिति के पिता के रूप में भी जानते हैं । उनके द्वारा प्रतिपादित ज्यामिति को हम यूक्लिडियन ज्यामिति कहते हैं । उन्हें मुख्य रूप से एलिमेंट्स ग्रंथ के लिए जाना जाता है, जिसने ज्यामिति की नींव स्थापित की , यूक्लिड के जीवन के बारे में बहुत कम जानकारी है, और अधिकांश जानकारी कई सदियों बाद अलेक्जेंड्रिया के दार्शनिक प्रोक्लस से मिलती है। आम तौर पर यह माना जाता है कि उन्होंने अपना करियर टॉलेमी प्रथम के अधीन अलेक्जेंड्रिया में बिताया और लगभग 300 ईसा पूर्व, प्लेटो के बाद और आर्किमिडीज़ से पहले जीवित रहे ।

== यूक्लिड के अभिगृहीत और अभिधारणाएँ ==
लगभग 300 बी में यूक्लिड ने उसे समय तक ज्ञात गणित को क्षेत्र के संपूर्ण ज्ञान को एकत्रित किया तथा उसे एलिमेंट्स नामक अपनी प्रसिद्ध कृति के रूप में व्यवस्थित किया यूक्लिड ने कुछ गुणो को बिना सिद्ध किए सत्य मान लिया वह सत्य मान ली गई कल्पनाएँ वास्तव में सर्वव्यापी सत्य हैं , उन्हें दो वर्गों में बांटा गया है - अभिगृहीत और अभिधारणाएँ

आइए , हम अभिगृहीत और अभिधारणाओं के बारे में विस्तार पूर्वक जानते है ।

=== यूक्लिड के अभिगृहीत ===

# वे वस्तुएं जो एक ही वस्तु के बराबर हो परस्पर बराबर होती है ।
# यदि समान वस्तु को समान वस्तु में जोड़ा जाए तो पूर्ण भी बराबर होते हैं ।
# यदि समान वस्तु को समान से ही घटाया जाए तो शेषफल भी समान होते हैं।
# वह वस्तुएं जो परस्पर संपाती हो परस्पर बराबर भी होती हैं ।
# पूर्ण अपने भाग से बड़ा होता है।
# वह वस्तु जो एक ही वस्तु की दोगुनी हो परस्पर बराबर होती हैं ।
# वह वस्तुएं जो एक ही वस्तु की आधी हो परस्पर बराबर होती है।

=== यूक्लिड के अभिधारणाएँ ===
1) एक बिंदु से एक अन्य बिंदु तक एक सरल रेखा खींची जा सकती है । यह अभिधारणा हमें बताती है कि कम से कम एक सीधी रेखा दो अलग-अलग बिंदु से होकर गुजरती है लेकिन यह नहीं कहता कि ऐसी एक से अधिक रेखाएँ नहीं हो सकतीं । तथापि, यूक्लिड ने, बिना उल्लेख किए यह मान लिया है कि एक अद्वितीय रेखा दो अलग-अलग बिंदुओं को जोड़ने

2) एक रेखाखंड को अनिश्चित रूप से विस्तृत किया जा सकता है । आजकल के शब्दों के अनुसार, दूसरा अभिधारणा कहता है कि एक पंक्ति एक रेखा बनाने के लिए खंड को दोनों ओर बढ़ाया जा सकता है

3) किसी केंद्र और किसी त्रिज्या को लेकर एक वृत्त खींचा जा सकता है ।

4) सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं ।

5) यदि एक सीधी रेखा को दो सीधी रेखाओं पर गिराकर आपने एक ही ओर दो अंतःकोण इस प्रकार बनाए कि उन दोनों कोणो का योग मिलकर दो समकोण से कम हो तो वह दोनों सीधी रेखा अनिश्चित रूप से बढ़ाने पर उसी ओर मिलती है जिस ओर यह योग दो समकोण से कम होता है ।

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

2023-12-10T05:54:09Z

Jaya agarwal: /* सामान्य रूप */

[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है , पूर्ण वर्ग बनाकर हल करने की विधि । इस इकाई में हम पूर्ण वर्ग बनाकर द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे । इस विधि में हम द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2 + bx + c = 0</math> को पूर्ण वर्ग रूप में परिवर्तित करते हैं , जिससे हम उसको मूलो को सरलता से ज्ञात कर सके ।

== पूर्ण वर्ग बनाने की विधि ==
मान लीजिए <math>ax^2 + bx + c = 0</math> , <math>a\neq 0</math> दिया गया द्विघात समीकरण है । पूर्ण वर्ग बनाने के लिए हम निम्नलिखित चरणों का पालन करेंगे :

# यदि दिए गए द्विघात समीकरण में <math>a</math> का मान <math>1</math> के बराबर नहीं है , तो संपूर्ण समीकरण को <math>a</math> से इस प्रकार विभाजित करें कि <math>x^2</math> का गुणांक <math>1</math> हो ।
# अब दोनों तरफ पद <math>x</math> के गुणांक के आधे का वर्ग जोड़ें ।
# समीकरण के बाईं ओर को द्विपद पद के वर्ग के रूप में गुणनखंडित करें ।
# दोनों तरफ वर्गमूल लें ।
# चर <math>x</math> को हल करें और मूल खोजें ।

=== सामान्य रूप ===
उपर्युक्त चरणों का सामान्य रूप निम्नवत् है :

मान लीजिए <math>ax^2 + bx + c = 0</math> , <math>a\neq 0</math> दिया गया द्विघात समीकरण है ।

दोनों तरफ <math>a</math> से भाग देने पर हमें प्राप्त होता है ,

<math>x^2+ \left ( \frac{b}{a} \right ) x + \left ( \frac{c}{a} \right )=0</math>

पद <math>x</math> के गुणांक के आधे का वर्ग <math>\left ( \frac{b}{2a} \right )^2</math>जोड़ने एवं घटाने पर उपर्युक्त समीकरण लिखा जा सकता है ,

<math> \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 - \left ( \frac{b}{2a} \right )^2 + \left ( \frac{c}{a} \right ) = 0</math>

<math> \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 - \left [ \frac{(b^2-4ac)}{4a^2} \right ] =0</math>

<math> \left [ x+ \frac{b}{2a} \right ]^2 = \left [ \frac{(b^2-4ac)}{4a^2} \right ] </math>

यदि <math> b^2 - 4ac\geq 0</math>, तो वर्गमूल निकालने पर हमें प्राप्त होता है ,

<math> x + \frac{b}{2a} = \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{2a}}</math>

== उदाहरण 1 ==
वर्ग पूर्ण करने की विधि से द्विघात समीकरण <math>x^2 + x - 6 = 0</math> के मूल ज्ञात कीजिए

हल

दिया गया द्विघात समीकरण है , <math>x^2 + x - 6 = 0</math>

द्विघात समीकरण का पूर्ण वर्ग बनाकर हल

2023-12-05T06:10:13Z

Jaya agarwal:

बहुभुज

2023-10-21T03:58:04Z

Jaya agarwal: /* अनियमित बहुभुज */

[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
बहुभुज दो शब्दों से मिलकर बना है, अर्थात पॉली (जिसका अर्थ है अनेक) और गॉन (जिसका अर्थ है भुजाएँ)। बहुभुज द्वि-आयामी तल में रेखाखंडों (वक्र नहीं) से बनी एक बंद आकृति है । बहुभुज एक आकृति है जिसकी भुजाओं की संख्या सीमित होती है '''।''' बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं । इस प्रकार , बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ कहा जाता है। वह बिंदु जहां दो रेखाखंड मिलते हैं , शीर्ष कहलाता है । वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है , क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें कोई भुजा या कोण नहीं है । इसलिए , हम कह सकते हैं , सभी बहुभुज द्वि-आयामी होते हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं । एक बंद आकृति बनाने के लिए , सिरे से सिरे तक जुड़ने के लिए कम से कम तीन रेखा खंडों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार न्यूनतम तीन भुजाओं वाला बहुभुज त्रिभुज कहलाता है ।

उदाहरण : त्रिभुज , आयत , पतंग , वर्ग आदि ।

== बहुभुज का वर्गीकरण ==
भुजाओं और कोणों के आधार पर , बहुभुजों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है :

# नियमित बहुभुज
# अनियमित बहुभुज
# उत्तल बहुभुज
# अवतल बहुभुज

=== नियमित बहुभुज ===
यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण बराबर हों , तो इसे नियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

उदाहरण : वर्ग, समबाहु त्रिभुज आदि ।

=== अनियमित बहुभुज ===
यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण अलग-अलग माप के हों , तो इसे अनियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

उदाहरण :विषमबाहु त्रिभुज , आयत , पतंग , आदि ।

=== उत्तल बहुभुज ===
यदि किसी बहुभुज के सभी आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से बिल्कुल कम हैं , तो इसे उत्तल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

=== अवतल बहुभुज ===
यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

== बहुभुज के गुण ==
बहुभुज के गुण निम्नलिखित है :

बहुभुज

2023-10-21T03:01:42Z

Jaya agarwal: /* बहुभुज का वर्गीकरण */

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */