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कक्षा 12 - गणित

2024-12-19T03:25:34Z

Mani: page updated

यहाँ कक्षा 12 वी से संबंधित गणित लेख हैं
{| class="wikitable"
|'''S.No.'''
|'''Topic'''
|'''विषय'''
|-
|1
|[[Binary Operations]]
|[[द्वि-आधारी संक्रियाएँ]]
|-
|2
|[[Types of Functions]]
|[[फलनों के प्रकार]]
|-
|3
|[[Types of Relations]]
|[[संबंधों के प्रकार]]
|-
|4
|Types of Matrices
|[[आव्यूहों के प्रकार]]
|-
|5
|Matrix
|[[आव्यूह]]
|-
|6
|Operations on Matrices
|[[आव्यूहों पर संक्रियाएँ]]
|-
|7
|[[Composition of Functions and Invertible Function]]
|[[फलनों का संयोजन तथा व्युत्क्रमणीय फलन]]
|-
|8
|Transpose of a Matrix
|[[आव्यूह का परिवर्त]]
|-
|9
|Invertible Matrices
|[[व्युत्क्रमणीय आव्यूह]]
|-
|10
|Determinant
|[[सारणिक]]
|-
|11
|Minors and Cofactors
|[[उपसारणिक और सहखंड]]
|-
|12
|Properties of Determinants
|[[सारणिकों के गुणधर्म]]
|-
|13
|Area of a Triangle - Determinants
|[[त्रिभुज का क्षेत्रफल - सारणिक]]
|-
|14
|Adjoint and Inverse of a Matrix
|[[आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम]]
|-
|15
|Relations
|[[संबंध]]
|-
|16
|
|[[आधारभूत संकल्पनाएँ]]
|-
|17
|
|[[प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म]]
|-
|18
|
|[[फलन का प्रतिलोम|फलन का प्रतिलो]]म
|-
|19
|
|[[सममित तथा विषम सममित आव्यूह]]
|-
|20
|
|[[आव्यूह पर प्रारंभिक संक्रिया(आव्यूह रूपांतरण)]]
|-
|21
|
|[[आव्यूह की कोटि|आव्यूह की कोट]]ि
|-
|22
|
|[[आव्यूह का ऋण आव्यूह]]
|-
|23
|
|[[आव्यूहों का अंतर|आव्यूहों का अंत]]र
|-
|24
|
|[[सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग|सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयो]]ग
|-
|25
|
|[[सांतत्य]]
|-
|26
|
|[[अवकलनीयता]]
|-
|27
|
|[[चरघातांकी तथा लघूगणकीय फलन]]
|-
|28
|
|[[लघूगणकीय अवकलन]]
|-
|29
|
|[[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज]]
|-
|30
|
|[[द्वितीय कोटि का अवकलज]]
|-
|31
|
|[[माध्यमान प्रमेय]]
|-
|32
|
|[[रोले का प्रमेय]]
|-
|33
|
|[[राशियों के परिवर्तन की दर]]
|-
|34
|
|[[वर्धमान और ह्रासमान फलन]]
|-
|35
|
|[[स्पर्श रेखाएँ और अभिलंब]]
|-
|36
|
|[[सन्निकटन]]
|-
|37
|
|[[उच्चतम और निम्नतम]]
|-
|38
|
|[[समाकलन को अवकलन के व्युत्क्रम प्रक्रम के रूप में]]
|-
|39
|
|[[समाकलन की विधियाँ]]
|-
|40
|
|[[कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]
|-
|41
|
|[[आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]
|-
|42
|
|[[खंडशः समाकलन]]
|-
|43
|
|[[निश्चित समाकलन]]
|-
|44
|
|[[कलन की आधारभूत प्रमेय]]
|-
|45
|
|[[निश्चित समकलनों के कुछ गुणधर्म]]
|-
|46
|
|[[अनिश्चित समाकलन]]
|-
|47
|
|[[साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल]]
|-
|48
|
|[[दो वक्रों के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल]]
|-
|49
|
|[[अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल]]
|-
|50
|
|[[दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण]]
|-
|51
|
|[[प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ]]
|-
|52
|
|[[अवकल समीकरण]]
|-
|53
|
|[[सदिशों के प्रकार]]
|-
|54
|
|[[सदिशों का योगफल]]
|-
|55
|
|[[एक अदिश से सदिश का गुणन]]
|-
|56
|
|[[दो सदिशों का गुणनफल]]
|-
|57
|
|[[अदिश]]
|-
|58
|
|[[सदिश]]
|-
|59
|
|[[स्थिति सदिश]]
|-
|60
|
|[[दिक्-कोसाइन]]
|-
|61
|
|[[सदिश योग का त्रिभुज नियम]]
|-
|62
|
|[[सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम]]
|-
|63
|
|[[रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात]]
|-
|64
|
|[[अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण]]
|-
|65
|
|[[दो रेखाओं के मध्य का कोण]]
|-
|66
|
|[[दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी]]
|-
|67
|
|[[दो रेखाओं का सह-तलीय होना]]
|-
|68
|
|[[दो समतलो के बीच का कोण]]
|-
|69
|
|[[समतल से दीए गए बिन्दु की दूरी]]
|-
|70
|
|[[एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण]]
|-
|71
|
|[[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण]]
|-
|72
|
|[[रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न प्रकार]]
|-
|73
|
|[[उद्देशीय फलन]]
|-
|74
|
|[[सप्रतिबंध प्रायिकता]]
|-
|75
|
|[[प्रायिकता का गुणन नियम]]
|-
|76
|
|[[स्वतंत्र घटनाएँ]]
|-
|77
|
|[[बेज-प्रमेय]]
|-
|78
|
|[[यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन]]
|-
|79
|
|[[बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन]]
|}

Taxonomy for Mathematics Articles-12th Class

2024-12-19T03:17:03Z

Mani: page updated

{| class="wikitable"
!S.No
!Chapters
!Topics
!'''Article Creator Name'''
!'''अध्याय'''
!विषय
|-
|'''''PART-I'''''
|
|
|
|
|
|-
|1
|Relations and Functions
|[[Types of Relations]]
|English:Dr Vinamra &
Ramamurthy

Hindi:
Mani
|संबंध और फलन
|[[संबंधों के प्रकार]]
|-
|
|
|[[Types of Functions]]
|English:Dr Vinamra &
Ramamurthy

Hindi:
Mani
|
|[[फलनों के प्रकार]]
|-
|
|
|[[Composition of Functions and Invertible Function]]
|English:Dr Vinamra &
Ramamurthy

Hindi: Mani
|
|[[फलनों का संयोजन तथा व्युत्क्रमणीय फलन]]
|-
|
|
|[[Binary Operations]]
|English:Dr Vinamra &
Ramamurthy

Hindi:
Mani
|
|[[द्वि-आधारी संक्रियाएँ]]
|-
|
|
|Relations
|Ramamurthy
Mani
|
|[[संबंध]]
|-
|
|
|Functions
|Ramamurthy
Mani
|
|[[फलन]]
|-
|2
|Inverse Trignometric Functions
|Basic Concepts
|Mani
|प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
|[[आधारभूत संकल्पनाएँ]]
|-
|
|
|Properties of Inverse Trigonometric Functions
|Mani
|
|[[प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म]]
|-
|
|
|Inverse of a function
|Mani
|
|[[फलन का प्रतिलोम]]
|-
|3
|Matrices
|Matrix
|Ramamurthy
Mani
|आव्यूह
|[[आव्यूह]]
|-
|
|
|Types of Matrices
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आव्यूहों के प्रकार]]
|-
|
|
|Operations on Matrices
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आव्यूहों पर संक्रियाएँ]]
|-
|
|
|Transpose of a Matrix
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आव्यूह का परिवर्त]]
|-
|
|
|Symmetric and Skew Symmetric Matrices
|Mani
|
|[[सममित तथा विषम सममित आव्यूह]]
|-
|
|
|Elementary Operation(Transformation) of a Matrix
|Mani
|
|[[आव्यूह पर प्रारंभिक संक्रिया(आव्यूह रूपांतरण)]]
|-
|
|
|Invertible Matrices
|Ramamurthy
Mani
|
|[[व्युत्क्रमणीय आव्यूह]]
|-
|
|
|Order of a matrix
|Mani
|
|[[आव्यूह की कोटि]]
|-
|
|
|Negative of a matrix
|Mani
|
|[[आव्यूह का ऋण आव्यूह]]
|-
|
|
|Difference of matrices
|Mani
|
|[[आव्यूहों का अंतर]]
|-
|4
|Determinants
|Determinant
|Ramamurthy
Mani
|सारणिक
|[[सारणिक]]
|-
|
|
|Properties of Determinants
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सारणिकों के गुणधर्म]]
|-
|
|
|Area of a Triangle - Determinants
|Ramamurthy
Mani
|
|[[त्रिभुज का क्षेत्रफल - सारणिक]]
|-
|
|
|Minors and Cofactors
|Ramamurthy
Mani
|
|[[उपसारणिक और सहखंड]]
|-
|
|
|Adjoint and Inverse of a Matrix
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम]]
|-
|
|
|Application of Determinants and Matrices
|Mani
|
|[[सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग]]
|-
|5
|Continuity and Differentiablity
|Continuity
|Mani
|सांतत्य तथा अवकलनीयता
|[[सांतत्य]]
|-
|
|
|Differentiability
|Mani
|
|[[अवकलनीयता]]
|-
|
|
|Exponential and Logarithmic Functions
|Mani
|
|[[चरघातांकी तथा लघूगणकीय फलन]]
|-
|
|
|Logarithmic Differentiation
|Mani
|
|[[लघूगणकीय अवकलन]]
|-
|
|
|Derivatives of Functions in Parametric Forms
|Mani
|
|[[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज]]
|-
|
|
|Second Order Derivative
|Mani
|
|[[द्वितीय कोटि का अवकलज]]
|-
|
|
|Mean Value Theorem
|Mani
|
|[[माध्यमान प्रमेय]]
|-
|
|
|Rolle's theorem
|Mani
|
|[[रोले का प्रमेय]]
|-
|6
|Application of Derivatives
|Rate of Change of Quantities
|Mani
|अवकलज के अनुप्रयोग
|[[राशियों के परिवर्तन की दर]]
|-
|
|
|Increasing and Decreasing Functions
|Mani
|
|[[वर्धमान और ह्रासमान फलन]]
|-
|
|
|Tangents and Normals
|Mani
|
|[[स्पर्श रेखाएँ और अभिलंब]]
|-
|
|
|Approximations
|Mani
|
|[[सन्निकटन]]
|-
|
|
|Maxima and Minima
|Mani
|
|[[उच्चतम और निम्नतम]]
|-
|'''''PART-II'''''
|
|
|
|
|
|-
|8
|Integrals
|Integration as an Inverse Process of Differentiation
|Mani
|समाकलन
|[[समाकलन को अवकलन के व्युत्क्रम प्रक्रम के रूप में]]
|-
|
|
|Methods of Integration
|Mani
|
|[[समाकलन की विधियाँ]]
|-
|
|
|Integrals of Some Particular Functions
|Mani
|
|[[कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]
|-
|
|
|Integration by Partial Fractions
|Mani
|
|[[आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]
|-
|
|
|Integration by Parts
|Mani
|
|[[खंडशः समाकलन]]
|-
|
|
|Definite Integral
|Mani
|
|[[निश्चित समाकलन]]
|-
|
|
|Fundamental Theorem of Calculus
|Mani
|
|[[कलन की आधारभूत प्रमेय]]
|-
|
|
|Some Properties Definite Integrals
|Mani
|
|[[निश्चित समकलनों के कुछ गुणधर्म]]
|-
|
|
|Indefinite Integral
|Mani
|
|[[अनिश्चित समाकलन]]
|-
|9
|Application of Integrals
|Area under Simple Curves
|Mani
|समकलनों के अनुप्रयोग
|[[साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल]]
|-
|
|
|Area between Two Curves
|Mani
|
|[[दो वक्रों के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल]]
|-
|10
|Differential Equations
|Basic Concepts
|Mani
|अवकल समीकरण
|[[आधारभूत संकल्पनाएँ]]
|-
|
|
|General and Particular Solution of a Differential Equations
|Mani
|
|[[अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल]]
|-
|
|
|Formation of a Differential Equation whose General Equation is given
|Mani
|
|[[दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण]]
|-
|
|
|Methods of Solving First Order, First Degree Differential Equations
|Mani
|
|[[प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ]]
|-
|
|
|Differential Equation
|Mani
|
|[[अवकल समीकरण]]
|-
|11
|Vector Algebra
|
|
|सदिश बीजगणित
|
|-
|
|
|Types of Vectors
|Mani
|
|[[सदिशों के प्रकार]]
|-
|
|
|Addition of Vectors
|Mani
|
|[[सदिशों का योगफल]]
|-
|
|
|Multiplication of Vector by a Scalar
|Mani
|
|[[एक अदिश से सदिश का गुणन]]
|-
|
|
|Product of Two Vectors
|Mani
|
|[[दो सदिशों का गुणनफल]]
|-
|
|
|Scalars
|Mani
|
|[[अदिश]]
|-
|
|
|Vectors
|Mani
|
|[[सदिश]]
|-
|
|
|Position vector
|Mani
|
|[[स्थिति सदिश]]
|-
|
|
|Direction cosines
|Mani
|
|[[दिक्-कोसाइन]]
|-
|
|
|Triangle law of vector addition
|Mani
|
|[[सदिश योग का त्रिभुज नियम]]
|-
|
|
|Parallelogram law of vector addition
|Mani
|
|[[सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम]]
|-
|12
|Three Dimensional Geometry
|Direction Cosines and Direction Ratios of a Line
|Mani
|त्रि-विमीय ज्यामिति
|[[रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात]]
|-
|
|
|Equation of a Line in Space
|Mani
|
|[[अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण]]
|-
|
|
|Angle between Two Lines
|Mani
|
|[[दो रेखाओं के मध्य का कोण]]
|-
|
|
|Shortest Distance between Two Lines
|Mani
|
|[[दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी]]
|-
|
|
|Coplanarity of Two Lines
|Mani
|
|[[दो रेखाओं का सह-तलीय होना]]
|-
|
|
|Angle between Two Planes
|Mani
|
|[[दो समतलो के बीच का कोण]]
|-
|
|
|Distance of a Point from a Plane
|Mani
|
|[[समतल से दीए गए बिन्दु की दूरी]]
|-
|
|
|Angle between a Line and a Plane
|Mani
|
|[[एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण]]
|-
|13
|Linear Programming
|Linear Programming problems and its Mathematical Formulation
|Mani
|रैखिक प्रोग्रामन
|[[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण]]
|-
|
|
|Different Types of Linear Programming Problems
|Mani
|
|[[रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न प्रकार]]
|-
|
|
|Objective function
|Mani
|
|[[उद्देशीय फलन]]
|-
|14
|Probability
|Conditional Probability
|Mani
|प्रायिकता
|[[सप्रतिबंध प्रायिकता]]
|-
|
|
|Multiplication Theorem on Probability
|Mani
|
|[[प्रायिकता का गुणन नियम]]
|-
|
|
|Independent Events
|Mani
|
|[[स्वतंत्र घटनाएँ]]
|-
|
|
|Bayes' Theorem
|Mani
|
|[[बेज-प्रमेय]]
|-
|
|
|Random Variables and its Probability Distribution
|Mani
|
|[[यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन]]
|-
|
|
|Bernoulli Trials and Binomial Distribution
|Mani
|
|[[बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन]]
|}
[[Category:Information]]

सदिश

2024-12-19T03:14:01Z

Mani: image added

सदिश, ज्यामितीय इकाइयाँ हैं जिनमें परिमाण और दिशा होती है। सदिश को एक [[रेखा]] द्वारा दर्शाया जा सकता है जिसमें एक बाण चिन्ह उसकी दिशा की ओर संकेत करता है और इसकी लंबाई सदिश के परिमाण को दर्शाती है। इसलिए, सदिश को बाण चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है, उनके पास प्रारंभिक बिंदु और अन्त्य बिंदु होते हैं। सदिश की अवधारणा 200 वर्षों की अवधि में विकसित हुई थी। सदिश का उपयोग विस्थापन, वेग, त्वरण आदि जैसी भौतिक राशियों को दर्शाने के लिए किया जाता है।

इसके अतिरिक्त, सदिश का उपयोग 19वीं शताब्दी के अंत में विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के क्षेत्र के आगमन के साथ प्रारंभ हुआ। यहाँ, हम सदिश की परिभाषा के साथ-साथ सदिश के गुणों, सदिश के सूत्रों, सदिश के संचालन के साथ-साथ बेहतर समझने का प्रयास करेंगे।

सदिश एक लैटिन शब्द है जिसका अर्थ है वाहक। सदिश एक बिंदु <math>A</math> को बिंदु <math>B</math> तक ले जाते हैं। दो बिंदुओं <math>A</math> और <math>B</math> के बीच की रेखा की लंबाई को सदिश का परिमाण कहा जाता है और बिंदु <math>A</math> से बिंदु <math>B</math> तक विस्थापन की दिशा को सदिश <math>AB</math> की दिशा कहा जाता है। सदिश को यूक्लिडियन सदिश या स्थानिक सदिश भी कहा जाता है। सदिश के गणित, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कई अन्य क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग हैं।

== यूक्लिडियन ज्यामिति में सदिश- परिभाषा ==
गणित में सदिश एक ज्यामितीय इकाई है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। सदिशों में उस बिंदु पर एक प्रारंभिक बिंदु होता है जहाँ से वे प्रारंभ होते हैं और एक अन्त्य बिंदु होता है जो बिंदु की अंतिम स्थिति बताता है। सदिशों पर विभिन्न संक्रियाएँ लागू की जा सकती हैं जैसे जोड़, घटाव और गुणा। हम इस लेख में सदिशों पर संक्रियाओं का विस्तार से अध्ययन करेंगे।

सदिश - उदाहरण

भौतिकी में सदिश एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, वेग, विस्थापन, त्वरण, बल सभी सदिश राशियाँ हैं जिनमें परिमाण के साथ-साथ दिशा भी होती है।
[[File:सदिश.jpg|thumb|सदिश]]

== सदिशों का निरूपण ==
सदिशों को साधारणतः बोल्ड लोअरकेस में दर्शाया जाता है जैसे कि <math>a </math> या अक्षर के ऊपर बाण चिन्ह का उपयोग करके <math>\overrightarrow{a }</math>. सदिशों को उनके आरंभिक और अंतिम बिंदुओं द्वारा उनके ऊपर बाण चिन्ह से भी दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सदिश <math>AB</math> को <math>{\overrightarrow{AB}}</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है. सदिश के निरूपण का मानक रूप <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c\overset{\frown}{k}</math>है. यहाँ, <math>a,b,c</math> [[वास्तविक संख्याएँ]] हैं और <math>\overset{\frown}{i},\overset{\frown}{j},\overset{\frown}{k}</math> क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ इकाई सदिश हैं.

सदिश के आरंभिक बिंदु को पूंछ भी कहा जाता है जबकि अंतिम बिंदु को सिर कहा जाता है। सदिश किसी वस्तु की एक स्थान से दूसरे स्थान पर गति का वर्णन करते हैं। [[कार्टेशियन पद्धति|कार्टेशियन]] निर्देशांक प्रणाली में, सदिश को क्रमित युग्मों द्वारा दर्शाया जा सकता है। इसी तरह, '<math>n </math>' आयामों में सदिश को '<math>n </math>' टपल द्वारा दर्शाया जा सकता है। सदिश को घटकों के टपल से भी पहचाना जाता है जो आधार सदिश के एक समुच्चय के लिए [[अदिश]] गुणांक होते हैं। आधार सदिश को इस प्रकार दर्शाया जाता है: <math>e_1 = (1,0,0), e_2 = (0,1,0), e_3 = (0,0,1)</math>

== सदिश का सूत्र ==
किसी सदिश के परिमाण की गणना उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल लेकर की जा सकती है। यदि <math>(x,y,z)</math>सदिश <math>A</math> के घटक हैं, तो <math>A</math> का परिमाण सूत्र इस प्रकार दिया जाता है,

<math>|A| = \sqrt{ (x^2+y^2+z^2)}</math>

किसी भी प्रकार का अभिलेख का क्रम एक आदिश मन होता है।
* <math>(a_1\overset{\frown}{i} + b_1\overset{\frown}{j} + c_1 \overset{\frown}{k}) + (a_2 \overset{\frown}{i} + b_2\overset{\frown}{j} + c_2 \overset{\frown}{k}) = (a_1 + a_2)\overset{\frown}{i} + (b_1 + b_2)\overset{\frown}{j} + (c_1 + c_2) \overset{\frown}{k}</math>
* <math>(a_1\overset{\frown}{i} + b_1\overset{\frown}{j} + c_1 \overset{\frown}{k}) - (a_2 \overset{\frown}{i} + b_2\overset{\frown}{j} + c_2 \overset{\frown}{k}) = (a_1 - a_2)\overset{\frown}{i} + (b_1 - b_2)\overset{\frown}{j} + (c_1 - c_2) \overset{\frown}{k}</math>
* <math>(a_1\overset{\frown}{i} + b_1\overset{\frown}{j} + c_1 \overset{\frown}{k}) \cdot (a_2 \overset{\frown}{i} + b_2\overset{\frown}{j} + c_2 \overset{\frown}{k}) = (a_1 \cdot a_2) + (b_1 \cdot b_2) + (c_1 \cdot c_2)</math>
* <math>\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B} = \overset{\frown}{i} (a_2b_3 - a_3b_2) - \overset{\frown}{j} (a_1b_3 - a_3b_1) + \overset{\frown}{k}(a_1b_2 - a_2b_1)</math>
* <math>\theta = cos^{-1}(a\cdot b/|a||b|)</math>

== सदिशों के गुणधर्म ==
सदिशों के निम्नलिखित गुण सदिशों को बेहतर ढंग से समझने में मदद करते हैं और सदिशों से संबंधित कई अंकगणितीय संक्रियाएँ करने में उपयोगी होते हैं।

* सदिशों का योग क्रमविनिमेय और साहचर्य होता है।
* <math>\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}=\overrightarrow{B}\cdot \overrightarrow{A}</math>
* <math>\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B}\neq \overrightarrow{B}\times \overrightarrow{A}</math>
* <math>\overset{\frown}{i}\cdot \overset{\frown}{i} = \overset{\frown}{j}\cdot \overset{\frown}{j} = \overset{\frown}{k}\cdot \overset{\frown}{k}= 1</math>
* <math>\overset{\frown}{i}\cdot \overset{\frown}{j} = \overset{\frown}{j}\cdot \overset{\frown}{k} = \overset{\frown}{k}\cdot \overset{\frown}{i}= 0</math>
* <math>\overset{\frown}{i}\times \overset{\frown}{i} = \overset{\frown}{j}\times \overset{\frown}{j} = \overset{\frown}{k}\times \overset{\frown}{k}= 0</math>
* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k};\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}</math>
* <math>\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{-k};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{-i};\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{-j}</math>
* दो सदिशों का डॉट गुणनफल एक अदिश राशि है और दो सदिशों के तल में स्थित होता है।
* दो सदिशों का वज्र गुणनफल एक सदिश है, जो इन दो सदिशों वाले तल के लंबवत होता है।

== सदिशों के अनुप्रयोग ==
भौतिकी और गणित के क्षेत्र में सदिश बहुत उपयोगी होते हैं। इनका उपयोग वस्तुओं और भौतिक राशियों की स्थिति, विस्थापन, वेग और त्वरण को दर्शाने के लिए किया जाता है। सदिशों के कुछ अनुप्रयोग हैं,

* आंशिक अंतर समीकरणों और अंतर ज्यामिति के अध्ययन में सदिश बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।
* भौतिकी और इंजीनियरिंग में सदिशों का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और द्रव प्रवाह के उपयोग सहित क्षेत्रों में।

== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
सदिशों की अवधारणाओं को बेहतर ढंग से समझने के लिए निम्नलिखित महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ सहायक हैं।

* ऑर्थोगोनल सदिशों का डॉट गुणनफल सदैव शून्य होता है।
* समानांतर सदिशों का वज्र गुणनफल सदैव शून्य होता है।
* दो या अधिक सदिश संरेखीय होते हैं यदि उनका वज्र गुणनफल शून्य हो।

[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
[[Category:सदिश बीजगणित]]

File:सदिश.jpg

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स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषा सशर्त संभाव्यता से जुड़ी हुई है। आइए स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं की परिभाषाओं को उनके सूत्रों के साथ देखें।

दो घटनाओं को स्वतंत्र घटनाएँ कहा जाता है यदि एक घटना का परिणाम दूसरे के परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। या, हम कह सकते हैं कि यदि एक घटना किसी अन्य घटना की संभावना को प्रभावित नहीं करती है, तो उसे एक स्वतंत्र घटना कहा जाता है। संभाव्यता में स्वतंत्र घटनाएँ वास्तविक जीवन की घटनाओं को दर्शाती हैं। इसे समझने के लिए, हम कुछ उदाहरण ले सकते हैं जैसे कि परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त करने से पड़ोसियों की गतिविधियों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। इसी तरह, बाजार जाने के लिए टैक्सी लेना Youtube पर आपकी पसंदीदा फिल्म खोजने पर कोई प्रभाव नहीं डालता है। इसे दूसरे तरीके से कहें तो एक स्वतंत्र घटना किसी अन्य घटना के पहले होने पर निर्भर नहीं करती है।

स्वतंत्र घटनाओं के प्रकार क्या हैं? संभाव्यता में दो प्रकार की घटनाएँ होती हैं जिन्हें अक्सर आश्रित घटनाओं या स्वतंत्र घटनाओं के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। आइए उनके अंतर का अध्ययन करें।

स्वतंत्र घटनाएँ

जैसा कि नाम से पता चलता है, स्वतंत्र घटनाएँ ऐसी दो घटनाएँ हैं जिनमें एक घटना का होना दूसरी घटना के होने पर निर्भर नहीं करता है। यानी, अगर A और B स्वतंत्र हैं तो P(A | B) = P(A) और P(B | A) = P(B)। इस प्रकार, स्वतंत्र घटनाओं का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हमें बस उपरोक्त (आश्रित घटनाओं) सूत्रों में से किसी एक में P(A | B) को P(A) (या P(B | A) को P(B)) से बदलना होगा। इसलिए, दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि

P(A ∩ B) = P(A) · P(B)

इसे प्रायिकता का गुणन नियम भी कहा जाता है।

स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का पता लगाना

स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का पता लगाने के लिए हमें सशर्त संभावना के सूत्र का उपयोग करना चाहिए जो नीचे दिया गया है: यदि घटना A और B की संभावना क्रमशः P(A) और P(B) है, तो घटना B की सशर्त संभावना, जैसे कि घटना A पहले ही घटित हो चुकी है, P(A/B) है। सशर्त संभावना सूत्र नीचे प्रस्तुत किया गया है।

P(AB)=P(A∩B)P(B)orP(B∩A)P(B)

दिया गया है, P(A) 0 से अधिक होना चाहिए। P(A) 0 से कम होने का अर्थ है कि A एक असंभव घटना है। P(A∩B) में, प्रतिच्छेदन किसी घटना की मिश्रित संभावना को दर्शाता है।

आइए एक उदाहरण के माध्यम से स्वतंत्र घटनाओं की संभावना का विस्तार से पता लगाएं। मान लीजिए, हमारे पास एक बॉक्स है जिसमें 10 खिलौने हैं जिनमें से 7 खिलौने बहुरंगी हैं और 3 नीले हैं। इसके आधार पर हम जानते हैं कि एक बहुरंगी खिलौना निकालने की संभावना 7 बटा 10, या 0.7 है, और एक नीला खिलौना निकालने की संभावना 3 बटा 10, या 0.3 है।

== स्वतंत्र घटनाओं की पहचान करने की विधि ==
संभावना सूत्र लागू करने से पहले, किसी को एक स्वतंत्र घटना की पहचान करने की आवश्यकता होती है। यह जाँचने के लिए कुछ चरण कि क्या संभावना आश्रित या स्वतंत्र घटनाओं से संबंधित है:

चरण 1: जाँच करें कि क्या घटनाओं का किसी भी क्रम में घटित होना संभव है? यदि हाँ, तो चरण 2 पर जाएँ, या फिर चरण 3 पर जाएँ

चरण 2: जाँच करें कि क्या एक घटना दूसरी घटना के परिणाम को प्रभावित करती है? यदि हाँ, तो चरण 4 पर जाएँ, या फिर चरण 3 पर जाएँ

चरण 3: घटना स्वतंत्र है। स्वतंत्र घटनाओं के सूत्र का उपयोग करें और उत्तर पाएँ।

चरण 4: घटना आश्रित है। आश्रित घटना के सूत्र का उपयोग करें और उत्तर पाएँ।

== उदाहरण ==
उदाहरण 1: जोसेफ और डेविड ताश के पत्तों से खेल रहे हैं और एक पैक में 52 पत्ते हैं। जोसेफ ने एक कार्ड यादृच्छिक रूप से निकाला और उसके बदले में एक पत्ता निकाला। फिर उसने डेविड से पूछा कि रानी के बाद राजा निकलने की संभावना क्या है?

समाधान:

जैसा कि हम समझते हैं कि इस संभावना में एक स्वतंत्र घटना की स्थिति है:

P (पहली स्थिति में रानी निकालना) = 4/52

P (प्रतिस्थापन के साथ रानी के बाद दूसरी स्थिति में राजा निकालना) = 4/52

P (रानी के बाद राजा निकालना) = 4/52 × 4/52 = 16/2704 = 1/169

उत्तर: P (रानी के बाद राजा निकालना) = 1/169
[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

सप्रतिबंध प्रायिकता

2024-12-18T07:57:40Z

Mani:

सप्रतिबंध प्रायिकता , जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की प्रायिकता <math>95% (0.95)</math> है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की प्रायिकता कम है जो कि <math>10% (0.1)</math> है। तो पहला मामला सामान्य प्रायिकता है जबकि दूसरा मामला सप्रतिबंध प्रायिकता है। इस उदाहरण में, हम दो प्रायिकता ओं को <math>P</math>(टेनिस खेलें) <math>= 0.95</math> और <math>P</math>(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) <math>= 0.1</math> के रूप में दर्शाते हैं।

आइए सप्रतिबंध प्रायिकता के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।

सप्रतिबंध प्रायिकता, [[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण|प्रायिकता]] और [[सांख्यिकी]] में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "<math>B</math> दिए जाने पर <math>A</math> की प्रायिकता " (या) "स्थिति <math>B</math> के संबंध में <math>A</math> की प्रायिकता " को सप्रतिबंध प्रायिकता <math>P(A | B)</math> (या) <math>P (A / B)</math> (या) <math>P_B (A)</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, <math>P(A | B)</math>, <math>A</math> की प्रायिकता को दर्शाता है जो घटना <math>B</math> के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की प्रायिकता बदल सकती है।

== परिभाषा ==
[[File:सप्रतिबंध प्रायिकता.jpg|thumb|सप्रतिबंध प्रायिकता]]
यदि <math>A</math> और <math>B</math> एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सप्रतिबंध प्रायिकता यह देखते हुए कि <math>B</math> घटित हुई है, <math>P(A/B) = P(A \cap B)/ P (B)</math> द्वारा दी जाती है, बशर्ते <math>P(B) \neq 0</math> हो।

आइए एक उदाहरण के साथ सप्रतिबंध प्रायिकता को समझें। आइए कम से कम दो पट प्राप्त करने की सप्रतिबंध प्रायिकता का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली सिक्का उछालना पर चित आता है। नमूना स्थान, <math>S</math> (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:

आइए हम दो [[स्वतंत्र घटनाएँ|घटनाओं]] <math>A</math> और <math>B</math> को इस प्रकार मानें:

<math>A =</math> कम से कम दो पट आने की घटना

<math>B = </math> पहले सिक्का उछालने पर चित आने की घटना

फिर<math>, A = {HTT, THT, TTH, TTT}</math> और <math>B = {HHH, HHT, HTH, HTT}</math>

फिर <math>P(A) = 4/8 = 1/2</math> और<math>P(B) = 4/8 = 1/2</math>

हमें कम से कम दो पट आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहला सिक्का उछालना पर चित आए. इसका मतलब है कि <math>B</math> के सभी तत्वों में से हमें केवल दो पट वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि <math>B</math> के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो पट हैं. इस प्रकार, अपेक्षित प्रायिकता <math>P(A | B) = 1/4</math> (<math>B</math> के 4 परिणामों में से <math>B</math> का केवल 1 परिणाम <math>A</math> के अनुकूल है) है.
[[File:सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र.jpg|thumb|सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र]]

== सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र ==
उपर्युक्त उदाहरण में, हमें <math>P(A | B) = 1/4</math> मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो " <math>A</math> और <math>B</math>" दोनों में मौजूद है और <math>4, B</math> में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सप्रतिबंध संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।

<math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(B) \neq 0</math> है)

इसी तरह, हम <math>P(B | A)</math> को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

<math>P(B | A) = P(A \cap B) / P(A)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(A) \neq 0</math> है)

इन सूत्रों को सप्रतिबंध संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।

यहाँ:
* <math>P(A | B) = A</math> की प्रायिकता <math>B</math> दिए जाने पर (या) <math>A</math> की प्रायिकता जो <math>B</math> के बाद होती है
* <math>P(B | A) = B</math> की प्रायिकता <math>A</math> दिए जाने पर (या) <math>B</math> की प्रायिकता जो <math>A</math> के बाद होती है
* <math>P(A \cap B) = A</math> और <math>B</math> दोनों के होने की प्रायिकता
* <math>P(A) = A</math> की प्रायिकता
* <math>P(B) = B</math> की प्रायिकता

== सप्रतिबंध प्रायिकता की व्युत्पत्ति ==
ध्यान दें कि <math>B</math> के वे तत्व जो घटना <math>A</math> के पक्ष में हैं, <math>A</math> और <math>B</math> के सामान्य तत्व हैं। यानी <math>A \cap B</math> के नमूना बिंदु।

इस प्रकार <math>P(A/B) = A \cap B</math> के अनुकूल घटनाओं की संख्या <math>\div B</math> के अनुकूल घटनाओं की संख्या।

<math>P(A/B) = \frac{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}{\frac{n(B)}{n(S)}}</math>

इस प्रकार <math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math>

== सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म ==
यहाँ सप्रतिबंध प्रायिकता के कुछ गुणधर्म और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुणधर्म सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।

=== गुणधर्म 1 ===
मान लीजिए कि <math>S</math> किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> कोई भी घटना है। फिर

<math>P(S | A) = P(A | A) = 1</math>

प्रमाण:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

<math>P(S | A) = P(S \cap A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1</math>

<math>P(A | A) = P(A \cap A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1</math>

अतः गुणधर्म 1 सिद्ध है।

=== गुणधर्म 2 ===
मान लीजिए कि <math>S</math> किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे <math>P(E) \neq 0</math> है। तब <math>P((A \cup B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A \cap B) | E)</math>

प्रमाण:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

<math>P((A \cup B) | E) = [P((A \cup B) \cap E)] / P(E)</math>

<math>= [ P(A \cap E) \bigcup P(B \cap E) ] / P(E)</math> (समुच्चय की एक गुणधर्म का उपयोग करना)

<math>= [P(A \cap E) + P(B \cap E) - P(A \cap B \cap E)] / P(E)</math> (प्रायिकता के योग सिद्धांत का उपयोग करना)

<math>= P(A \cap E) / P(E) + P(B \cap E) / P(E) - P(A \cap B \cap E) / P(E)</math>

<math>= P(A | E) + P(B | E) - P((A \cap B) | E)</math> (सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र द्वारा)

अतः गुणधर्म 2 सिद्ध है।

=== गुणधर्म 3 ===
<math>P(A' | B) = 1 - P(A | B),</math> जहाँ <math>A'</math> समुच्चय <math>A</math> का पूरक है।

प्रमाण''':'''

गुणधर्म 1 से, हमारे पास है <math>P(S | B) = 1</math>

हम जानते हैं कि <math>S = A \cup A'</math> इस प्रकार उपरोक्त गुणधर्म से,

<math>P( A \cup A' | B) = 1</math>

चूँकि <math>A</math> और <math>A'</math> असंयुक्त घटनाएँ हैं,

<math>P(A | B) + P(A' | B) = 1</math>

<math>P(A' | B) = 1 - P(A | B)</math>

अतः गुणधर्म 3 सिद्ध है।

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

सप्रतिबंध प्रायिकता

2024-12-18T07:56:58Z

Mani: added internal links

सप्रतिबंध प्रायिकता

2024-12-18T07:27:33Z

Mani:

सप्रतिबंध प्रायिकता , जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की प्रायिकता <math>95% (0.95)</math> है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की प्रायिकता कम है जो कि <math>10% (0.1)</math> है। तो पहला मामला सामान्य प्रायिकता है जबकि दूसरा मामला सप्रतिबंध प्रायिकता है। इस उदाहरण में, हम दो प्रायिकता ओं को <math>P</math>(टेनिस खेलें) <math>= 0.95</math> और <math>P</math>(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) <math>= 0.1</math> के रूप में दर्शाते हैं।

आइए सप्रतिबंध प्रायिकता के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।

सप्रतिबंध प्रायिकता प्रायिकता और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "<math>B</math> दिए जाने पर <math>A</math> की प्रायिकता " (या) "स्थिति <math>B</math> के संबंध में <math>A</math> की प्रायिकता " को सप्रतिबंध प्रायिकता <math>P(A | B)</math> (या) <math>P (A / B)</math> (या) <math>P_B (A)</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, <math>P(A | B)</math>, <math>A</math> की प्रायिकता को दर्शाता है जो घटना <math>B</math> के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की प्रायिकता बदल सकती है।

== परिभाषा ==
[[File:सप्रतिबंध प्रायिकता.jpg|thumb|सप्रतिबंध प्रायिकता]]
यदि <math>A</math> और <math>B</math> एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सप्रतिबंध प्रायिकता यह देखते हुए कि <math>B</math> घटित हुई है, <math>P(A/B) = P(A \cap B)/ P (B)</math> द्वारा दी जाती है, बशर्ते <math>P(B) \neq 0</math> हो।

आइए एक उदाहरण के साथ सप्रतिबंध प्रायिकता को समझें। आइए कम से कम दो पट प्राप्त करने की सप्रतिबंध प्रायिकता का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली सिक्का उछालना पर चित आता है। नमूना स्थान, <math>S</math> (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:

आइए हम दो घटनाओं <math>A</math> और <math>B</math> को इस प्रकार मानें:

<math>A =</math> कम से कम दो पट आने की घटना

<math>B = </math> पहले सिक्का उछालने पर चित आने की घटना

फिर<math>, A = {HTT, THT, TTH, TTT}</math> और <math>B = {HHH, HHT, HTH, HTT}</math>

फिर <math>P(A) = 4/8 = 1/2</math> और<math>P(B) = 4/8 = 1/2</math>

हमें कम से कम दो पट आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहला सिक्का उछालना पर चित आए. इसका मतलब है कि <math>B</math> के सभी तत्वों में से हमें केवल दो पट वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि <math>B</math> के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो पट हैं. इस प्रकार, अपेक्षित प्रायिकता <math>P(A | B) = 1/4</math> (<math>B</math> के 4 परिणामों में से <math>B</math> का केवल 1 परिणाम <math>A</math> के अनुकूल है) है.
[[File:सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र.jpg|thumb|सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र]]

== सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र ==
उपर्युक्त उदाहरण में, हमें <math>P(A | B) = 1/4</math> मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो " <math>A</math> और <math>B</math>" दोनों में मौजूद है और <math>4, B</math> में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सप्रतिबंध संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।

<math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(B) \neq 0</math> है)

इसी तरह, हम <math>P(B | A)</math> को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

<math>P(B | A) = P(A \cap B) / P(A)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(A) \neq 0</math> है)

इन सूत्रों को सप्रतिबंध संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।

यहाँ:
* <math>P(A | B) = A</math> की प्रायिकता <math>B</math> दिए जाने पर (या) <math>A</math> की प्रायिकता जो <math>B</math> के बाद होती है
* <math>P(B | A) = B</math> की प्रायिकता <math>A</math> दिए जाने पर (या) <math>B</math> की प्रायिकता जो <math>A</math> के बाद होती है
* <math>P(A \cap B) = A</math> और <math>B</math> दोनों के होने की प्रायिकता
* <math>P(A) = A</math> की प्रायिकता
* <math>P(B) = B</math> की प्रायिकता

== सप्रतिबंध प्रायिकता की व्युत्पत्ति ==
ध्यान दें कि <math>B</math> के वे तत्व जो घटना <math>A</math> के पक्ष में हैं, <math>A</math> और <math>B</math> के सामान्य तत्व हैं। यानी <math>A \cap B</math> के नमूना बिंदु।

इस प्रकार <math>P(A/B) = A \cap B</math> के अनुकूल घटनाओं की संख्या <math>\div B</math> के अनुकूल घटनाओं की संख्या।

<math>P(A/B) = \frac{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}{\frac{n(B)}{n(S)}}</math>

इस प्रकार <math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math>

== सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म ==
यहाँ सप्रतिबंध प्रायिकता के कुछ गुणधर्म और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुणधर्म सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।

=== गुणधर्म 1 ===
मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> कोई भी घटना है। फिर

<math>P(S | A) = P(A | A) = 1</math>

प्रमाण:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

<math>P(S | A) = P(S \cap A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1</math>

<math>P(A | A) = P(A \cap A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1</math>

अतः गुणधर्म 1 सिद्ध है।

=== गुणधर्म 2 ===
मान लीजिए कि <math>S</math> किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे <math>P(E) \neq 0</math> है। तब <math>P((A \cup B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A \cap B) | E)</math>

प्रमाण:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

<math>P((A \cup B) | E) = [P((A \cup B) \cap E)] / P(E)</math>

<math>= [ P(A \cap E) \bigcup P(B \cap E) ] / P(E)</math> (समुच्चय की एक गुणधर्म का उपयोग करना)

<math>= [P(A \cap E) + P(B \cap E) - P(A \cap B \cap E)] / P(E)</math> (प्रायिकता के योग सिद्धांत का उपयोग करना)

<math>= P(A \cap E) / P(E) + P(B \cap E) / P(E) - P(A \cap B \cap E) / P(E)</math>

<math>= P(A | E) + P(B | E) - P((A \cap B) | E)</math> (सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र द्वारा)

अतः गुणधर्म 2 सिद्ध है।

=== गुणधर्म 3 ===
<math>P(A' | B) = 1 - P(A | B),</math> जहाँ <math>A'</math> समुच्चय <math>A</math> का पूरक है।

प्रमाण''':'''

By Property 1, we have P(S | B) = 1.

We know that S = A ⋃ A'. Thus by the above property,

P( A ⋃ A' | B) = 1

Since <math>A</math> and A' are disjoint events,

P(A | B) + P(A' | B) = 1

P(A' | B) = 1 - P(A | B)

अतः गुणधर्म 3 सिद्ध है।

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

सप्रतिबंध प्रायिकता

2024-12-18T07:12:48Z

Mani: formulas

सप्रतिबंध प्रायिकता , जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की प्रायिकता <math>95% (0.95)</math> है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की प्रायिकता कम है जो कि <math>10% (0.1)</math> है। तो पहला मामला सामान्य प्रायिकता है जबकि दूसरा मामला सप्रतिबंध प्रायिकता है। इस उदाहरण में, हम दो प्रायिकता ओं को <math>P</math>(टेनिस खेलें) <math>= 0.95</math> और <math>P</math>(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) <math>= 0.1</math> के रूप में दर्शाते हैं।

आइए सप्रतिबंध प्रायिकता के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।

सप्रतिबंध प्रायिकता प्रायिकता और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "<math>B</math> दिए जाने पर <math>A</math> की प्रायिकता " (या) "स्थिति <math>B</math> के संबंध में <math>A</math> की प्रायिकता " को सप्रतिबंध प्रायिकता <math>P(A | B)</math> (या) <math>P (A / B)</math> (या) <math>P_B (A)</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, <math>P(A | B)</math>, <math>A</math> की प्रायिकता को दर्शाता है जो घटना <math>B</math> के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की प्रायिकता बदल सकती है।

== परिभाषा ==
[[File:सप्रतिबंध प्रायिकता.jpg|thumb|सप्रतिबंध प्रायिकता]]
यदि <math>A</math> और <math>B</math> एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सप्रतिबंध प्रायिकता यह देखते हुए कि <math>B</math> घटित हुई है, <math>P(A/B) = P(A \cap B)/ P (B)</math> द्वारा दी जाती है, बशर्ते <math>P(B) \neq 0</math> हो।

आइए एक उदाहरण के साथ सप्रतिबंध प्रायिकता को समझें। आइए कम से कम दो पट प्राप्त करने की सप्रतिबंध प्रायिकता का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली सिक्का उछालना पर चित आता है। नमूना स्थान, <math>S</math> (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:

आइए हम दो घटनाओं <math>A</math> और <math>B</math> को इस प्रकार मानें:

<math>A =</math> कम से कम दो पट आने की घटना

<math>B = </math> पहले सिक्का उछालने पर चित आने की घटना

फिर<math>, A = {HTT, THT, TTH, TTT}</math> और <math>B = {HHH, HHT, HTH, HTT}</math>

फिर <math>P(A) = 4/8 = 1/2</math> और<math>P(B) = 4/8 = 1/2</math>

हमें कम से कम दो पट आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहला सिक्का उछालना पर चित आए. इसका मतलब है कि <math>B</math> के सभी तत्वों में से हमें केवल दो पट वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि <math>B</math> के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो पट हैं. इस प्रकार, अपेक्षित प्रायिकता <math>P(A | B) = 1/4</math> (<math>B</math> के 4 परिणामों में से <math>B</math> का केवल 1 परिणाम <math>A</math> के अनुकूल है) है.
[[File:सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र.jpg|thumb|सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र]]

== सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र ==
उपर्युक्त उदाहरण में, हमें <math>P(A | B) = 1/4</math> मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो " <math>A</math> और <math>B</math>" दोनों में मौजूद है और <math>4, B</math> में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सप्रतिबंध संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।

<math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(B) \neq 0</math> है)

इसी तरह, हम <math>P(B | A)</math> को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

<math>P(B | A) = P(A \cap B) / P(A)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(A) \neq 0</math> है)

इन सूत्रों को सप्रतिबंध संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।

यहाँ:
* <math>P(A | B) = A</math> की प्रायिकता <math>B</math> दिए जाने पर (या) <math>A</math> की प्रायिकता जो <math>B</math> के बाद होती है
* <math>P(B | A) = B</math> की प्रायिकता <math>A</math> दिए जाने पर (या) <math>B</math> की प्रायिकता जो <math>A</math> के बाद होती है
* <math>P(A \cap B) = A</math> और <math>B</math> दोनों के होने की प्रायिकता
* <math>P(A) = A</math> की प्रायिकता
* <math>P(B) = B</math> की प्रायिकता

== सप्रतिबंध प्रायिकता की व्युत्पत्ति ==
ध्यान दें कि <math>B</math> के वे तत्व जो घटना <math>A</math> के पक्ष में हैं, <math>A</math> और <math>B</math> के सामान्य तत्व हैं। यानी <math>A \cap B</math> के नमूना बिंदु।

इस प्रकार <math>P(A/B) = A \cap B</math> के अनुकूल घटनाओं की संख्या <math>\div B</math> के अनुकूल घटनाओं की संख्या।

<math>P(A/B) = \frac{\frac{n(A\cap B)}{n(S)}}{\frac{n(B)}{n(S)}}</math>

इस प्रकार <math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math>

== सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म ==
यहाँ सप्रतिबंध प्रायिकता के कुछ गुणधर्म और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुणधर्म सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।

=== गुणधर्म 1 ===
मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> कोई भी घटना है। फिर

<math>P(S | A) = P(A | A) = 1</math>

प्रमाण:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

<math>P(S | A) = P(S \cap A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1</math>

<math>P(A | A) = P(A \cap A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1</math>

अतः गुणधर्म 1 सिद्ध है।

=== गुणधर्म 2 ===
मान लीजिए कि <math>S</math> किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे <math>P(E) \neq 0</math> है। तब <math>P((A \cup B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A \cap B) | E)</math>

प्रमाण:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

P((A ⋃ B) | E) = [P((A ⋃ B) ∩ E)] / P(E)

= [ P(A ∩ E) ⋃ P(B ∩ E) ] / P(E) (using a property of sets)

= [P(A ∩ E) + P(B ∩ E) - P(A ∩ B ∩ E)] / P(E) (using addition theorem of probability)

= P(A ∩ E) / P(E) + P(B ∩ E) / P(E) - P(A ∩ B ∩ E) / P(E)

= P(A | E) + P(B | E) - P((A ∩ B) | E) (By conditional probability formula)

Hence property 2 is proved.

=== गुणधर्म 3 ===
P(A' | B) = 1 - P(A | B), where A' is the complement of the set <math>A</math>.

'''Proof:'''

By Property 1, we have P(S | B) = 1.

We know that S = A ⋃ A'. Thus by the above property,

P( A ⋃ A' | B) = 1

Since <math>A</math> and A' are disjoint events,

P(A | B) + P(A' | B) = 1

P(A' | B) = 1 - P(A | B)

Hence property 3 is proved.

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

File:सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र.jpg

2024-12-18T07:00:01Z

Mani:

सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र

File:सप्रतिबंध प्रायिकता.jpg

2024-12-18T06:59:28Z

Mani:

सप्रतिबंध प्रायिकता

2024-12-18T06:34:59Z

Mani: formulas

सप्रतिबंध प्रायिकता , जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की प्रायिकता <math>95% (0.95)</math> है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की प्रायिकता कम है जो कि <math>10% (0.1)</math> है। तो पहला मामला सामान्य प्रायिकता है जबकि दूसरा मामला सप्रतिबंध प्रायिकता है। इस उदाहरण में, हम दो प्रायिकता ओं को <math>P</math>(टेनिस खेलें) <math>= 0.95</math> और <math>P</math>(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) <math>= 0.1</math> के रूप में दर्शाते हैं।

आइए सप्रतिबंध प्रायिकता के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।

सप्रतिबंध प्रायिकता प्रायिकता और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "<math>B</math> दिए जाने पर <math>A</math> की प्रायिकता " (या) "स्थिति <math>B</math> के संबंध में <math>A</math> की प्रायिकता " को सप्रतिबंध प्रायिकता <math>P(A | B)</math> (या) <math>P (A / B)</math> (या) <math>P_B (A)</math> द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, <math>P(A | B)</math>, <math>A</math> की प्रायिकता को दर्शाता है जो घटना <math>B</math> के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की प्रायिकता बदल सकती है।

== परिभाषा ==
यदि <math>A</math> और <math>B</math> एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सप्रतिबंध प्रायिकता यह देखते हुए कि <math>B</math> घटित हुई है, <math>P(A/B) = P(A \cap B)/ P (B)</math> द्वारा दी जाती है, बशर्ते <math>P(B) \neq 0</math> हो।

आइए एक उदाहरण के साथ सप्रतिबंध प्रायिकता को समझें। आइए कम से कम दो पूंछ प्राप्त करने की सप्रतिबंध प्रायिकता का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली टॉस पर सिर आता है। नमूना स्थान, <math>S</math> (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:

आइए हम दो घटनाओं <math>A</math> और <math>B</math> को इस प्रकार मानें:

<math>A =</math> कम से कम दो टेल आने की घटना

<math>B = </math> पहली टॉस पर चित आने की घटना

फिर<math>, A = {HTT, THT, TTH, TTT}</math> और <math>B = {HHH, HHT, HTH, HTT}</math>

फिर <math>P(A) = 4/8 = 1/2</math> और<math>P(B) = 4/8 = 1/2</math>

हमें कम से कम दो टेल आने की प्रायिकता ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहली टॉस पर चित आए. इसका मतलब है कि <math>B</math> के सभी तत्वों में से हमें केवल दो टेल वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि <math>B</math> के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो टेल हैं. इस प्रकार, अपेक्षित प्रायिकता <math>P(A | B) = 1/4</math> (<math>B</math> के 4 परिणामों में से <math>B</math> का केवल 1 परिणाम <math>A</math> के अनुकूल है) है.

== सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र ==
उपर्युक्त उदाहरण में, हमें <math>P(A | B) = 1/4</math> मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो " <math>A</math> और <math>B</math>" दोनों में मौजूद है और <math>4, B</math> में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सप्रतिबंध संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।

<math>P(A | B) = P(A \cap B) / P(B)</math>(ध्यान दें कि यहाँ <math>P(B) \neq 0</math> है)

इसी तरह, हम <math>P(B | A)</math> को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

<math>P(B | A) = P(A \cap B) / P(A)</math> (ध्यान दें कि यहाँ <math>P(A) \neq 0</math> है)

इन सूत्रों को सप्रतिबंध संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।

यहाँ:

* P(A | B) = A की प्रायिकता <math>B</math> दिए जाने पर (या) <math>A</math> की प्रायिकता जो <math>B</math> के बाद होती है
* P(B | A) = B की प्रायिकता <math>A</math> दिए जाने पर (या) <math>B</math> की प्रायिकता जो <math>A</math> के बाद होती है
* P(A ∩ B) = A और <math>B</math> दोनों के होने की प्रायिकता
* P(A) = A की प्रायिकता
* P(B) = B की प्रायिकता

== सप्रतिबंध प्रायिकता की व्युत्पत्ति ==
ध्यान दें कि <math>B</math> के वे तत्व जो घटना <math>A</math> के पक्ष में हैं, <math>A</math> और <math>B</math> के सामान्य तत्व हैं। यानी <math>A \cap B</math> के नमूना बिंदु।

इस प्रकार P(A/B) = A ∩ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या ÷ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या।

P(A/B) = n(A∩B)n(S)n(B)n(S)

Thus P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

== सप्रतिबंध प्रायिकता के गुणधर्म ==
यहाँ सप्रतिबंध प्रायिकता के कुछ गुणधर्म और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुणधर्म सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।

=== गुणधर्म 1 ===
मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> कोई भी घटना है। फिर

P(S | A) = P(A | A) = 1.

'''Proof:'''

By the formula of conditional probability,

P(S | A) = P(S ∩ A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1

P(A | A) = P(A ∩ A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1

Hence property 1 is proved.

=== गुणधर्म 2 ===
मान लीजिए कि <math>S</math> किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और <math>A</math> और <math>B</math> कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे <math>P(E) \neq 0</math> है। तब <math>P((A \cup B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A \cap B) | E)</math>

प्रमाण:

सप्रतिबंध प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

P((A ⋃ B) | E) = [P((A ⋃ B) ∩ E)] / P(E)

= [ P(A ∩ E) ⋃ P(B ∩ E) ] / P(E) (using a property of sets)

= [P(A ∩ E) + P(B ∩ E) - P(A ∩ B ∩ E)] / P(E) (using addition theorem of probability)

= P(A ∩ E) / P(E) + P(B ∩ E) / P(E) - P(A ∩ B ∩ E) / P(E)

= P(A | E) + P(B | E) - P((A ∩ B) | E) (By conditional probability formula)

Hence property 2 is proved.

=== गुणधर्म 3 ===
P(A' | B) = 1 - P(A | B), where A' is the complement of the set <math>A</math>.

'''Proof:'''

By Property 1, we have P(S | B) = 1.

We know that S = A ⋃ A'. Thus by the above property,

P( A ⋃ A' | B) = 1

Since <math>A</math> and A' are disjoint events,

P(A | B) + P(A' | B) = 1

P(A' | B) = 1 - P(A | B)

Hence property 3 is proved.

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

सप्रतिबंध प्रायिकता

2024-12-18T06:12:55Z

Mani: added content

Conditional Probabilityसशर्त संभावना, जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, किसी घटना के घटित होने की संभावना है जो किसी शर्त पर आधारित होती है। उदाहरण के लिए, मान लें कि शाम को टेनिस खेलने वाले लड़के की संभावना 95% (0.95) है जबकि बारिश के दिन होने पर उसके खेलने की संभावना कम है जो कि 10% (0.1) है। तो पहला मामला सामान्य संभावना है जबकि दूसरा मामला सशर्त संभावना है। इस उदाहरण में, हम दो संभावनाओं को P(टेनिस खेलें) = 0.95 और P(टेनिस खेलें | बरसात का दिन) = 0.1 के रूप में दर्शाते हैं।

आइए सशर्त संभावना के बारे में इसके सूत्र, उदाहरणों और अभ्यास प्रश्नों के साथ और अधिक जानें।

सशर्त संभावना क्या है? सशर्त संभावना संभावना और सांख्यिकी में महत्वपूर्ण अवधारणाओं में से एक है। "B दिए जाने पर A की संभावना" (या) "स्थिति B के संबंध में A की संभावना" को सशर्त संभावना P(A | B) (या) P (A / B) (या) PB

(A) द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, P(A | B) A की संभावना को दर्शाता है जो घटना B के पहले ही घटित हो जाने के बाद घटित होती है। यदि कोई शर्त दी गई हो तो किसी घटना की संभावना बदल सकती है।

सशर्त संभावना की परिभाषा

यदि A और B एक यादृच्छिक प्रयोग के एक ही नमूना स्थान से जुड़ी दो घटनाएँ हैं, तो घटना A की सशर्त संभावना यह देखते हुए कि B घटित हुई है, P(A/B) = P(A ∩ B)/ P (B) द्वारा दी जाती है, बशर्ते P(B) ≠ 0 हो।

आइए एक उदाहरण के साथ सशर्त संभावना को समझें। आइए कम से कम दो पूंछ प्राप्त करने की सशर्त संभावना का पता लगाएं, यह देखते हुए कि जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं तो पहली टॉस पर सिर आता है। नमूना स्थान, S (सभी परिणामों की सूची) जब 3 सिक्के उछाले जाते हैं, तो निम्नानुसार दिया गया है:

आइए हम दो घटनाओं A और B को इस प्रकार मानें:

A = कम से कम दो टेल आने की घटना

B = पहली टॉस पर चित आने की घटना

फिर, A = {HTT, THT, TTH, TTT} और B = {HHH, HHT, HTH, HTT}.

फिर P(A) = 4/8 = 1/2 और P(B) = 4/8 = 1/2.

हमें कम से कम दो टेल आने की संभावना ज्ञात करनी है, बशर्ते कि पहली टॉस पर चित आए. इसका मतलब है कि B के सभी तत्वों में से हमें केवल दो टेल वाले तत्वों को चुनना है. हम देख सकते हैं कि B के तत्वों में से केवल एक तत्व (जो HTT है) है, जिसमें दो टेल हैं. इस प्रकार, अपेक्षित संभावना P(A | B) = 1/4 (B के 4 परिणामों में से B का केवल 1 परिणाम A के अनुकूल है) है.

सशर्त संभाव्यता सूत्र

उपर्युक्त उदाहरण में, हमें P(A | B) = 1/4 मिला है, यहाँ 1 तत्व HTT को दर्शाता है जो "A और B" दोनों में मौजूद है और 4 B में तत्वों की कुल संख्या को दर्शाता है। इसका उपयोग करके, हम सशर्त संभाव्यता का सूत्र इस प्रकार प्राप्त कर सकते हैं।

P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B) (ध्यान दें कि यहाँ P(B) ≠ 0 है)

इसी तरह, हम P(B | A) को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:

P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A) (ध्यान दें कि यहाँ P(A) ≠ 0 है)

इन सूत्रों को सशर्त संभाव्यता की "कोल्मोगोरोव परिभाषा" के रूप में भी जाना जाता है।

यहाँ:

* P(A | B) = A की संभावना B दिए जाने पर (या) A की संभावना जो B के बाद होती है
* P(B | A) = B की संभावना A दिए जाने पर (या) B की संभावना जो A के बाद होती है
* P(A ∩ B) = A और B दोनों के होने की संभावना
* P(A) = A की संभावना
* P(B) = B की संभावना

सशर्त संभावना की व्युत्पत्ति

ध्यान दें कि B के वे तत्व जो घटना A के पक्ष में हैं, A और B के सामान्य तत्व हैं। यानी A ∩ B के नमूना बिंदु।

इस प्रकार P(A/B) = A ∩ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या ÷ B के अनुकूल घटनाओं की संख्या।

P(A/B) = n(A∩B)n(S)n(B)n(S)

Thus P(A | B) = P(A ∩ B) / P(B)

सशर्त प्रायिकता के गुण

यहाँ सशर्त प्रायिकता के कुछ गुण और उनके प्रमाण (व्युत्पन्न) दिए गए हैं, जिनका उपयोग हमें समस्याओं को हल करते समय करना पड़ सकता है। ये सभी गुण सशर्त प्रायिकता सूत्र (जिसका उल्लेख पिछले अनुभाग में किया गया है) पर निर्भर करते हैं।

गुण 1

मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और A कोई भी घटना है। फिर

P(S | A) = P(A | A) = 1.

'''Proof:'''

By the formula of conditional probability,

P(S | A) = P(S ∩ A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1

P(A | A) = P(A ∩ A) / P(A) = P(A) / P(A) = 1

Hence property 1 is proved.

गुण 2

मान लीजिए कि S किसी प्रयोग का नमूना स्थान है और A और B कोई दो घटनाएँ हैं। मान लीजिए कि E कोई अन्य घटना है जिससे P(E) ≠ 0 है। तब P((A ⋃ B) | E) = P(A | E) + P(B | E) - P((A ∩ B) | E).

प्रमाण:

सशर्त प्रायिकता के सूत्र द्वारा,

P((A ⋃ B) | E) = [P((A ⋃ B) ∩ E)] / P(E)

= [ P(A ∩ E) ⋃ P(B ∩ E) ] / P(E) (using a property of sets)

= [P(A ∩ E) + P(B ∩ E) - P(A ∩ B ∩ E)] / P(E) (using addition theorem of probability)

= P(A ∩ E) / P(E) + P(B ∩ E) / P(E) - P(A ∩ B ∩ E) / P(E)

= P(A | E) + P(B | E) - P((A ∩ B) | E) (By conditional probability formula)

Hence property 2 is proved.

=== Property 3 ===
P(A' | B) = 1 - P(A | B), where A' is the complement of the set A.

'''Proof:'''

By Property 1, we have P(S | B) = 1.

We know that S = A ⋃ A'. Thus by the above property,

P( A ⋃ A' | B) = 1

Since A and A' are disjoint events,

P(A | B) + P(A' | B) = 1

P(A' | B) = 1 - P(A | B)

Hence property 3 is proved.

[[Category:प्रायिकता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

उद्देशीय फलन

2024-12-18T06:02:53Z

Mani: added internal links

उद्देशीय फलन का उपयोग मुख्य रूप से रैखिक प्रोग्रामन की अनुकूलन समस्याओं को दर्शाने और हल करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> के रूप का होता है, जहाँ <math>x, y</math> निर्णय चर हैं। इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए फलन <math>Z = ax + by</math> को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना चाहिए। यहाँ उद्देशीय फलन बाधाओं <math>x > 0, y > 0</math> द्वारा नियंत्रित होता है। अनुकूलन समस्याएँ जिनमें लाभ को अधिकतम करने, लागत को न्यूनतम करने या संसाधनों के उपयोग को न्यूनतम करने की आवश्यकता होती है, उद्देशीय फलन का उपयोग करती हैं।

उद्देशीय फलन का उपयोग उद्योग, वाणिज्य, प्रबंधन, अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से उद्देशीय फलन को हल करने, इसके प्रमेयों, अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।

== परिभाषा ==
उद्देशीय फलन अनुकूलीकरण समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। <math>Z = ax + by</math> के रूप का एक रैखिक प्रतिनिधित्व, जहाँ <math>a, b</math> बाध्यताएं हैं, और <math>x, y</math> चर हैं, जिन्हें अधिकतम या न्यूनतम किया जाना है, उद्देशीय फलन कहलाता है। चर <math>x</math> और <math>y</math> को निर्णय चर कहा जाता है। एक उद्देशीय फलन कुछ बाधाओं द्वारा नियंत्रित होता है, जिनमें से कुछ <math>x > 0, y > 0</math> हैं।

'''उद्देशीय फलन''' : <math>Z = ax + by</math>

एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देशीय फलन इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए आवश्यक है: लाभ को अधिकतम करना, लागत को कम करना, या संसाधनों के उपयोग को कम करना, संसाधनों का सही उपयोग करना। [[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण|रैखिक प्रोग्रामन]] में उद्देशीय फलन का वाणिज्य, उद्योग और अनुप्रयुक्त विज्ञान की समस्याओं का प्रतिनिधित्व करने में व्यापक अनुप्रयोग है।

== उद्देशीय फलन के प्रमेय ==
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय फलन के दो महत्वपूर्ण प्रमेय इस प्रकार हैं।

'''प्रमेय 1''': मान लें कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए R व्यवहार्य क्षेत्र (उत्तल बहुभुज) है और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। जब Z का एक इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) होता है, जहाँ चर <math>x</math> और <math>y</math> [[रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न प्रकार|रैखिक]] असमानताओं द्वारा वर्णित बाधाओं के अधीन होते हैं, तो यह इष्टतम मान व्यवहार्य क्षेत्र के एक कोने बिंदु* (शीर्ष) पर होना चाहिए।

'''प्रमेय 2''': मान लें कि <math>R</math> रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए व्यवहार्य क्षेत्र है, और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। यदि <math>R</math> परिबद्ध है**, तो उद्देशीय फलन <math>Z</math> का <math>R</math> पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान होता है और इनमें से प्रत्येक के एक कोने बिंदु (शीर्ष) पर होता है।

== उद्देशीय फलन का हल ==
रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय फलन का व्यवहार्य क्षेत्र उद्देशीय फलन का ग्राफ़ बनाकर, कोने के बिंदुओं को ढूँढ़कर और फिर अधिकतम और न्यूनतम मान ढूँढ़कर प्राप्त किया जाता है। आइए इसे नीचे दिए गए चरणों में समझने का प्रयास करें।

* उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> को एक रेखा के रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जाता है, और प्रतिबंध <math>x < k,</math> और <math>y < m</math> को भी ग्राफ़ में रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।
* सरल निरीक्षण द्वारा और फलन <math>Z</math>, प्रतिबंध रेखाओं और अक्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ढूँढ़कर कोने के बिंदुओं की पहचान करें।
* इसके अलावा, प्रत्येक कोने के बिंदु के लिए उद्देशीय फलन <math>Z</math> का मूल्यांकन करें, और उद्देशीय फलन के लिए अधिकतम मान <math>M</math> और न्यूनतम मान <math>m</math> की पहचान करें।
* यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध है, तो <math>M, m</math> की पहचान करना आसान है, और यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध नहीं है, तो हम अधिकतम और न्यूनतम मान की पहचान करने के लिए नीचे दिए गए दो चरणों की जाँच कर सकते हैं।
* <math>M</math>, <math>Z</math> का अधिकतम मान है, यदि <math>ax + by > M</math> द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का व्यवहार्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है। अन्यथा, <math>Z</math> का कोई अधिकतम मान नहीं है।
* इसी प्रकार, यदि <math>ax + by < m</math> द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, तो <math>m</math>, <math>Z</math> का न्यूनतम मान है। अन्यथा, <math>Z</math> का कोई न्यूनतम मान नहीं है।

== उद्देशीय फलन का अनुप्रयोग ==
उद्देशीय फलन का उन फलन में बहुत उपयोग होता है जिनका उपयोग मुनाफ़े को अनुकूलित करने, लागत को कम करने और सीमित संसाधनों का इष्टतम उपयोग करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन के विभिन्न अनुप्रयोग इस प्रकार हैं।

* '''विनिर्माण समस्या''': एक विनिर्माण फर्म द्वारा उत्पादित किए जाने वाले विभिन्न उत्पादों की इकाइयों की संख्या मशीन के समय, मैन-घंटे की संख्या, प्रति इकाई आइटम गोदाम स्थान पर निर्भर करती है। जब हम लागत को कम करने और आवश्यक संसाधनों को आवंटित करने की समस्या को हल कर रहे हों, तो इन सभी पर विचार किया जाना चाहिए।
* '''आहार समस्याएँ''': आहार के विभिन्न घटकों को भोजन में किस अनुपात में उपस्थित किया जाना चाहिए ताकि प्राप्त पोषक तत्वों को अनुकूलित किया जा सके और आहार की लागत को भी कम किया जा सके, यह एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या है जिसे उद्देशीय फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
* '''परिवहन समस्या:''' दूरी को कम करने, ड्रॉपिंग पॉइंट की संख्या बढ़ाने, ईंधन की लागत को कम करने के लिए जिन विभिन्न मार्गों का अनुसरण करना पड़ता है, वह एक अनुकूलन समस्या है, जिसे उद्देशीय फलन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और सर्वोत्तम समाधान के लिए हल किया जा सकता है।

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[[Category:रैखिक प्रोग्रामन]]

उद्देशीय फलन

2024-12-18T05:44:23Z

Mani: added content

उद्देशीय फलन का उपयोग मुख्य रूप से रैखिक प्रोग्रामिंग की अनुकूलन समस्याओं को दर्शाने और हल करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> के रूप का होता है, जहाँ <math>x, y</math> निर्णय चर हैं। इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए फलन <math>Z = ax + by</math> को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना चाहिए। यहाँ उद्देशीय फलन बाधाओं <math>x > 0, y > 0</math> द्वारा नियंत्रित होता है। अनुकूलन समस्याएँ जिनमें लाभ को अधिकतम करने, लागत को न्यूनतम करने या संसाधनों के उपयोग को न्यूनतम करने की आवश्यकता होती है, उद्देशीय फलन का उपयोग करती हैं।

उद्देशीय फलन का उपयोग उद्योग, वाणिज्य, प्रबंधन, अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से उद्देशीय फलन को हल करने, इसके प्रमेयों, अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।

== परिभाषा ==
उद्देशीय फलन अनुकूलीकरण समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है। <math>Z = ax + by</math> के रूप का एक रैखिक प्रतिनिधित्व, जहाँ <math>a, b</math> बाध्यताएं हैं, और <math>x, y</math> चर हैं, जिन्हें अधिकतम या न्यूनतम किया जाना है, उद्देशीय फलन कहलाता है। चर <math>x</math> और <math>y</math> को निर्णय चर कहा जाता है। एक उद्देशीय फलन कुछ बाधाओं द्वारा नियंत्रित होता है, जिनमें से कुछ <math>x > 0, y > 0</math> हैं।

'''उद्देशीय फलन''' : <math>Z = ax + by</math>

एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या का उद्देशीय फलन इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए आवश्यक है: लाभ को अधिकतम करना, लागत को कम करना, या संसाधनों के उपयोग को कम करना, संसाधनों का सही उपयोग करना। [[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण|रैखिक प्रोग्रामन]] में उद्देशीय फलन का वाणिज्य, उद्योग और अनुप्रयुक्त विज्ञान की समस्याओं का प्रतिनिधित्व करने में व्यापक अनुप्रयोग है।

== उद्देशीय फलन के प्रमेय ==
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के उद्देशीय फलन के दो महत्वपूर्ण प्रमेय इस प्रकार हैं।

'''प्रमेय 1''': मान लें कि रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए R व्यवहार्य क्षेत्र (उत्तल बहुभुज) है और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। जब Z का एक इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) होता है, जहाँ चर <math>x</math> और <math>y</math> रैखिक असमानताओं द्वारा वर्णित बाधाओं के अधीन होते हैं, तो यह इष्टतम मान व्यवहार्य क्षेत्र के एक कोने बिंदु* (शीर्ष) पर होना चाहिए।

'''प्रमेय 2''': मान लें कि <math>R</math> रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के लिए व्यवहार्य क्षेत्र है, और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। यदि <math>R</math> परिबद्ध है**, तो उद्देशीय फलन <math>Z</math> का <math>R</math> पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान होता है और इनमें से प्रत्येक के एक कोने बिंदु (शीर्ष) पर होता है।

== उद्देशीय फलन का हल ==
रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या के उद्देशीय फलन का व्यवहार्य क्षेत्र उद्देशीय फलन का ग्राफ़ बनाकर, कोने के बिंदुओं को ढूँढ़कर और फिर अधिकतम और न्यूनतम मान ढूँढ़कर प्राप्त किया जाता है। आइए इसे नीचे दिए गए चरणों में समझने का प्रयास करें।

* उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> को एक रेखा के रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जाता है, और प्रतिबंध <math>x < k,</math> और <math>y < m</math> को भी ग्राफ़ में रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।
* सरल निरीक्षण द्वारा और फलन <math>Z</math>, प्रतिबंध रेखाओं और अक्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को ढूँढ़कर कोने के बिंदुओं की पहचान करें।
* इसके अलावा, प्रत्येक कोने के बिंदु के लिए उद्देशीय फलन <math>Z</math> का मूल्यांकन करें, और उद्देशीय फलन के लिए अधिकतम मान <math>M</math> और न्यूनतम मान <math>m</math> की पहचान करें।
* यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध है, तो <math>M, m</math> की पहचान करना आसान है, और यदि व्यवहार्य क्षेत्र परिबद्ध नहीं है, तो हम अधिकतम और न्यूनतम मान की पहचान करने के लिए नीचे दिए गए दो चरणों की जाँच कर सकते हैं।
* <math>M</math>, <math>Z</math> का अधिकतम मान है, यदि <math>ax + by > M</math> द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का व्यवहार्य क्षेत्र के साथ कोई सामान्य बिंदु नहीं है। अन्यथा, <math>Z</math> का कोई अधिकतम मान नहीं है।
* इसी प्रकार, यदि <math>ax + by < m</math> द्वारा निर्धारित खुले अर्ध-तल का सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है, तो <math>m</math>, <math>Z</math> का न्यूनतम मान है। अन्यथा, <math>Z</math> का कोई न्यूनतम मान नहीं है।

== उद्देशीय फलन का अनुप्रयोग ==
उद्देशीय फलन का उन फलन में बहुत उपयोग होता है जिनका उपयोग मुनाफ़े को अनुकूलित करने, लागत को कम करने और सीमित संसाधनों का इष्टतम उपयोग करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन के विभिन्न अनुप्रयोग इस प्रकार हैं।

* '''विनिर्माण समस्या''': एक विनिर्माण फर्म द्वारा उत्पादित किए जाने वाले विभिन्न उत्पादों की इकाइयों की संख्या मशीन के समय, मैन-घंटे की संख्या, प्रति इकाई आइटम गोदाम स्थान पर निर्भर करती है। जब हम लागत को कम करने और आवश्यक संसाधनों को आवंटित करने की समस्या को हल कर रहे हों, तो इन सभी पर विचार किया जाना चाहिए।
* '''आहार समस्याएँ''': आहार के विभिन्न घटकों को भोजन में किस अनुपात में उपस्थित किया जाना चाहिए ताकि प्राप्त पोषक तत्वों को अनुकूलित किया जा सके और आहार की लागत को भी कम किया जा सके, यह एक रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या है जिसे उद्देशीय फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
* '''परिवहन समस्या:''' दूरी को कम करने, ड्रॉपिंग पॉइंट की संख्या बढ़ाने, ईंधन की लागत को कम करने के लिए जिन विभिन्न मार्गों का अनुसरण करना पड़ता है, वह एक अनुकूलन समस्या है, जिसे उद्देशीय फलन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और सर्वोत्तम समाधान के लिए हल किया जा सकता है।

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Taxonomy for Mathematics Articles-12th Class

2024-12-18T05:15:18Z

Mani: page updated

{| class="wikitable"
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|1
|Relations and Functions
|[[Types of Relations]]
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Ramamurthy

Hindi:
Mani
|संबंध और फलन
|[[संबंधों के प्रकार]]
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Hindi: Mani
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|[[फलनों का संयोजन तथा व्युत्क्रमणीय फलन]]
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Hindi:
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|[[द्वि-आधारी संक्रियाएँ]]
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|Ramamurthy
Mani
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|Ramamurthy
Mani
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|Inverse Trignometric Functions
|Basic Concepts
|Mani
|प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन
|[[आधारभूत संकल्पनाएँ]]
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|Properties of Inverse Trigonometric Functions
|Mani
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|[[प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म]]
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|Matrix
|Ramamurthy
Mani
|आव्यूह
|[[आव्यूह]]
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|Ramamurthy
Mani
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|[[आव्यूहों के प्रकार]]
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|Ramamurthy
Mani
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|Ramamurthy
Mani
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|Mani
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|[[सममित तथा विषम सममित आव्यूह]]
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|Elementary Operation(Transformation) of a Matrix
|Mani
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|[[आव्यूह पर प्रारंभिक संक्रिया(आव्यूह रूपांतरण)]]
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|Invertible Matrices
|Ramamurthy
Mani
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|[[व्युत्क्रमणीय आव्यूह]]
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|Order of a matrix
|Mani
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|[[आव्यूह की कोटि]]
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|Mani
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|[[आव्यूह का ऋण आव्यूह]]
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|
|Difference of matrices
|Mani
|
|[[आव्यूहों का अंतर]]
|-
|4
|Determinants
|Determinant
|Ramamurthy
Mani
|सारणिक
|[[सारणिक]]
|-
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|Properties of Determinants
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सारणिकों के गुणधर्म]]
|-
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|
|Area of a Triangle - Determinants
|Ramamurthy
Mani
|
|[[त्रिभुज का क्षेत्रफल - सारणिक]]
|-
|
|
|Minors and Cofactors
|Ramamurthy
Mani
|
|[[उपसारणिक और सहखंड]]
|-
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|Adjoint and Inverse of a Matrix
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम]]
|-
|
|
|Application of Determinants and Matrices
|Mani
|
|[[सारणिकों और आव्यूहों के अनुप्रयोग]]
|-
|5
|Continuity and Differentiablity
|Continuity
|Mani
|सांतत्य तथा अवकलनीयता
|[[सांतत्य]]
|-
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|Differentiability
|Mani
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|[[अवकलनीयता]]
|-
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|Exponential and Logarithmic Functions
|Mani
|
|[[चरघातांकी तथा लघूगणकीय फलन]]
|-
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|Logarithmic Differentiation
|Mani
|
|[[लघूगणकीय अवकलन]]
|-
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|
|Derivatives of Functions in Parametric Forms
|Mani
|
|[[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज]]
|-
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|Second Order Derivative
|Mani
|
|[[द्वितीय कोटि का अवकलज]]
|-
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|Mean Value Theorem
|Mani
|
|[[माध्यमान प्रमेय]]
|-
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|Rolle's theorem
|Mani
|
|[[रोले का प्रमेय]]
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|Application of Derivatives
|Rate of Change of Quantities
|Mani
|अवकलज के अनुप्रयोग
|[[राशियों के परिवर्तन की दर]]
|-
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|Increasing and Decreasing Functions
|Mani
|
|[[वर्धमान और ह्रासमान फलन]]
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|Tangents and Normals
|Mani
|
|[[स्पर्श रेखाएँ और अभिलंब]]
|-
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|Approximations
|Mani
|
|[[सन्निकटन]]
|-
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|
|Maxima and Minima
|Mani
|
|[[उच्चतम और निम्नतम]]
|-
|'''''PART-II'''''
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|8
|Integrals
|Integration as an Inverse Process of Differentiation
|Mani
|समाकलन
|[[समाकलन को अवकलन के व्युत्क्रम प्रक्रम के रूप में]]
|-
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|
|Methods of Integration
|Mani
|
|[[समाकलन की विधियाँ]]
|-
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|
|Integrals of Some Particular Functions
|Mani
|
|[[कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]
|-
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|
|Integration by Partial Fractions
|Mani
|
|[[आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]
|-
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|Integration by Parts
|Mani
|
|[[खंडशः समाकलन]]
|-
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|Definite Integral
|Mani
|
|[[निश्चित समाकलन]]
|-
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|Fundamental Theorem of Calculus
|Mani
|
|[[कलन की आधारभूत प्रमेय]]
|-
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|
|Some Properties Definite Integrals
|Mani
|
|[[निश्चित समकलनों के कुछ गुणधर्म]]
|-
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|
|Indefinite Integral
|Mani
|
|[[अनिश्चित समाकलन]]
|-
|9
|Application of Integrals
|Area under Simple Curves
|Mani
|समकलनों के अनुप्रयोग
|[[साधारण वक्रों के अंतर्गत क्षेत्रफल]]
|-
|
|
|Area between Two Curves
|Mani
|
|[[दो वक्रों के मध्यवर्ती क्षेत्र का क्षेत्रफल]]
|-
|10
|Differential Equations
|Basic Concepts
|Mani
|अवकल समीकरण
|[[आधारभूत संकल्पनाएँ]]
|-
|
|
|General and Particular Solution of a Differential Equations
|Mani
|
|[[अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल]]
|-
|
|
|Formation of a Differential Equation whose General Equation is given
|Mani
|
|[[दिए हुए व्यापक हल वाले अवकल समीकरण का निर्माण]]
|-
|
|
|Methods of Solving First Order, First Degree Differential Equations
|Mani
|
|[[प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ]]
|-
|
|
|Differential Equation
|Mani
|
|[[अवकल समीकरण]]
|-
|11
|Vector Algebra
|
|
|सदिश बीजगणित
|
|-
|
|
|Types of Vectors
|Mani
|
|[[सदिशों के प्रकार]]
|-
|
|
|Addition of Vectors
|Mani
|
|[[सदिशों का योगफल]]
|-
|
|
|Multiplication of Vector by a Scalar
|Mani
|
|[[एक अदिश से सदिश का गुणन]]
|-
|
|
|Product of Two Vectors
|Mani
|
|[[दो सदिशों का गुणनफल]]
|-
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|Scalars
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|
|[[अदिश]]
|-
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|
|Vectors
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|[[सदिश]]
|-
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|
|Position vector
|Mani
|
|[[स्थिति सदिश]]
|-
|
|
|Direction cosines
|Mani
|
|[[दिक्-कोसाइन]]
|-
|
|
|Triangle law of vector addition
|Mani
|
|[[सदिश योग का त्रिभुज नियम]]
|-
|
|
|Parallelogram law of vector addition
|Mani
|
|[[सदिश योग का समांतर चतुर्भुज नियम]]
|-
|12
|Three Dimensional Geometry
|Direction Cosines and Direction Ratios of a Line
|Mani
|त्रि-विमीय ज्यामिति
|[[रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात]]
|-
|
|
|Equation of a Line in Space
|Mani
|
|[[अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण]]
|-
|
|
|Angle between Two Lines
|Mani
|
|[[दो रेखाओं के मध्य का कोण]]
|-
|
|
|Shortest Distance between Two Lines
|Mani
|
|[[दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी]]
|-
|
|
|Coplanarity of Two Lines
|Mani
|
|[[दो रेखाओं का सह-तलीय होना]]
|-
|
|
|Angle between Two Planes
|Mani
|
|[[दो समतलो के बीच का कोण]]
|-
|
|
|Distance of a Point from a Plane
|Mani
|
|[[समतल से दीए गए बिन्दु की दूरी]]
|-
|
|
|Angle between a Line and a Plane
|Mani
|
|[[एक रेखा और एक समतल के बीच का कोण]]
|-
|13
|Linear Programming
|Linear Programming problems and its Mathematical Formulation
|Mani
|रैखिक प्रोग्रामन
|[[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण]]
|-
|
|
|Different Types of Linear Programming Problems
|Mani
|
|[[रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न प्रकार]]
|-
|
|
|Objective function
|Mani
|
|[[उद्देशीय फलन]]
|-
|14
|Probability
|Conditional Probability
|Mani
|प्रायिकता
|[[सप्रतिबंध प्रायिकता]]
|-
|
|
|Multiplication Theorem on Probability
|Mani
|
|[[प्रायिकता का गुणन नियम]]
|-
|
|
|Independent Events
|Mani
|
|[[स्वतंत्र घटनाएँ]]
|-
|
|
|Bayes' Theorem
|Mani
|
|[[बेज-प्रमेय]]
|-
|
|
|Random Variables and its Probability Distribution
|Mani
|
|[[यादृच्छिक चर और इसके प्रायिकता बंटन]]
|-
|
|
|Bernoulli Trials and Binomial Distribution
|Mani
|
|[[बरनौली परीक्षण और द्विपद बंटन]]
|}
[[Category:Information]]

अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण

2024-12-18T04:53:38Z

Mani: added internal links

रेखा का समीकरण बिंदुओं के समूह को दर्शाने का एक बीजीय रूप है, जो एक साथ मिलकर एक निर्देशांक प्रणाली में एक रेखा बनाते हैं। निर्देशांक अक्ष में एक साथ मिलकर एक रेखा बनाने वाले असंख्य बिंदुओं को <math>(x, y)</math> के रूप में दर्शाया जाता है और <math>x</math> और <math>y</math> के बीच का संबंध एक बीजीय समीकरण बनाता है, जिसे रेखा का समीकरण कहा जाता है। किसी भी रेखा के समीकरण का उपयोग करके, हम यह पता लगा सकते हैं कि दिया गया बिंदु रेखा पर स्थित है या नहीं।

रेखा का समीकरण एक [[प्रथम कोटि एवं प्रथम घात के अवकल समीकरणों को हल करने की विधियाँ|घात]] वाला एक रैखिक समीकरण है। आइए रेखा के समीकरण के विभिन्न रूपों और रेखा के समीकरण को ज्ञात करने के तरीके के बारे में अधिक समझें।

== परिभाषा ==
रेखा का समीकरण <math>x</math> और <math>y</math> चरों में रैखिक होता है जो रेखा पर प्रत्येक बिंदु <math>(x, y)</math> के निर्देशांकों के बीच संबंध को दर्शाता है। यानी, रेखा का समीकरण उस पर स्थित सभी बिंदुओं से संतुष्ट होता है।

[[दो रेखाओं के मध्य न्यूनतम दूरी|रेखा का समीकरण]] रेखा के ढलान और रेखा पर एक बिंदु की सहायता से बनाया जा सकता है। आइए रेखा के ढलान और रेखा पर आवश्यक बिंदु के बारे में अधिक समझें, ताकि रेखा के समीकरण के निर्माण को बेहतर ढंग से समझा जा सके। [[रेखा की ढाल|रेखा का ढलान]] सकारात्मक <math>x</math>-अक्ष के साथ रेखा का झुकाव है और इसे संख्यात्मक पूर्णांक, अंश या सकारात्मक <math>x</math>-अक्ष के साथ कोण के स्पर्शरेखा के रूप में व्यक्त किया जाता है। बिंदु <math>x</math> निर्देशांक और <math>y</math> निर्देशांक के साथ रेखा पर एक बिंदु को संदर्भित करता है

ढलान <math>m</math> वाली और बिंदु <math>(x_1, y_1)</math> से गुजरने वाली रेखा के समीकरण का अभिलम्ब रूप इस प्रकार दिया गया है: <math>y - y_1 = m(x - x_1)</math><math>y - y_1 = m(x - x_1)</math>। इसके अतिरिक्त, इस समीकरण को हल किया जा सकता है और इसे रेखा के समीकरण के मानक रूप / ढलान-अवरोधन रूप / अवरोधन रूप में सरलीकृत किया जा सकता है।
[[File:अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण.jpg|thumb|अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण]]

== रेखा के समीकरण का मानक रूप ==
रेखा के समीकरण का मानक रूप <math>ax + by + c = 0</math> है। यहाँ <math>a, b</math> गुणांक हैं, <math>x</math>, <math>y</math> चर हैं, और <math>c </math> स्थिर पद है। यह एक घात एक समीकरण है, जिसमें चर <math>x</math> और <math>y</math> हैं। <math>x</math> और <math>y</math> के मान निर्देशांक तल में दर्शाई गई रेखा पर बिंदु के निर्देशांक दर्शाते हैं। रेखा के समीकरण के इस मानक रूप को लिखने की प्रक्रिया में निम्नलिखित त्वरित नियमों का पालन किया जाना चाहिए।

सबसे पहले <math>x</math> पद लिखा जाता है, उसके बाद <math>y</math>-पद और अंत में स्थिर पद लिखा जाता है।

गुणांक और स्थिर मानों को भिन्न या दशमलव के रूप में नहीं लिखा जाना चाहिए और उन्हें [[पूर्णांक]] के रूप में लिखा जाना चाहिए।

<math>x</math> के गुणांक '<math>a </math>' का मान सदैव एक धनात्मक पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है।

मानक रूप में रेखा का समीकरण: <math>ax + by + c = 0</math>

जहाँ,

<math>a, b</math> गुणांक हैं

<math>x</math>, y चर हैं

<math>c </math> स्थिर है

== रेखा का समीकरण सूत्र ==
रेखा के लिए ज्ञात मापदंडों के आधार पर रेखा के समीकरण को लिखने के लगभग पाँच मूल सूत्र हैं। रेखा के समीकरण को खोजने और दर्शाने के लिए उपयोग किए जाने वाले ये विभिन्न सूत्र नीचे दिए गए हैं,

* बिंदु ढलान रूप: <math>(y - y_1) = m(x - x_1)</math>
* दो बिन्दु रूप: <math>(y -y_1) =[(y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)] (x - x_1)</math>
* ढलान अवरोधन रूप: <math>y = mx + c</math>
* अवरोधन रूप: <math>x/a + y/b = 1</math>
* अभिलम्ब रूप: <math>x \ cos \theta + y\ sin \theta = p</math>

आइये हम रेखा के समीकरण के प्रत्येक रूप के बारे में अधिक जानने का प्रयास करें।

=== रेखा के समीकरण का बिंदु ढलान रूप ===
रेखा के समीकरण के बिंदु-ढलान रूप के लिए रेखा पर एक बिंदु और रेखा का ढलान आवश्यक है। यदि <math>(x_1, y_1)</math> रेखा पर एक बिंदु है और रेखा का ढलान <math>m</math> है, तो बिंदु-ढलान रूप में रेखा का समीकरण है:

<math>(y - y_1) = m(x - x_1)</math>

यहाँ <math>m =</math> रेखा का ढलान है और रेखा का ढलान धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य ढलान हो सकता है।

=== रेखा के समीकरण का दो बिंदु रूप ===
रेखा के समीकरण का दो बिंदु रूप रेखा के समीकरण के बिंदु-ढलान रूप का विस्तार है। रेखा के समीकरण के बिंदु-ढलान रूप में ढलान<math>m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)</math> को रेखा के समीकरण के दो बिंदु रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है। दो बिंदुओं <math>(x_1, y_1)</math> और <math>(x_2 , y_2 )</math> से रेखा समीकरण दो-बिंदु रूप द्वारा दिया गया है, जो इस प्रकार है।

<math>(y -y_1) =[(y_2 - y_1) / (x_2 - x_1)] (x - x_1)</math>

=== रेखा के समीकरण का ढलान अवरोधन रूप ===
रेखा का ढलान-अवरोधन रूप <math>y = mx + c</math> है। यहाँ <math>m</math> रेखा का ढलान है और '<math>c </math>' रेखा का <math>y</math>-अवरोधन है। यह रेखा <math>y</math>-अक्ष को बिंदु <math>(0, c)</math> पर प्रतिच्छेद करती है और <math>c </math> मूल बिंदु से <math>y</math>-अक्ष पर इस बिंदु की दूरी है। रेखा के समीकरण का ढलान-अवरोधन रूप महत्वपूर्ण है और गणित और इंजीनियरिंग के विभिन्न विषयों में इसके बहुत अच्छे अनुप्रयोग हैं।

<math>y = mx + c</math>

=== रेखा के समीकरण का अवरोधन रूप ===
अंतर्खंड रूप में रेखा का समीकरण <math>x</math>-अवरोधन '<math>a </math>' और <math>y</math>-अवरोधन '<math>b </math>' के साथ बनता है। रेखा <math>x</math>-अक्ष को बिंदु <math>(a, 0)</math> पर तथा <math>y</math>-अक्ष को बिंदु<math>(0, b)</math> पर प्रतिच्छेद करती है, तथा <math>a, b</math> मूल बिंदु से इन बिंदुओं की क्रमशः दूरियाँ हैं। इसके अलावा, इन दो बिंदुओं को रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप में प्रतिस्थापित किया जा सकता है तथा रेखा के समीकरण के इस अवरोधन रूप को प्राप्त करने के लिए सरलीकृत किया जा सकता है। अवरोधन रूप में रेखा का समीकरण है:

<math>x/a + y/b = 1</math>

=== अभिलम्ब रूप का उपयोग करके रेखा का समीकरण ===
रेखा के समीकरण का अभिलम्ब रूप मूल बिंदु से रेखा पर खींचे गए लंब पर आधारित होता है। दी गई रेखा के लंबवत और मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा को अभिलम्ब कहा जाता है। यहाँ अभिलम्ब '<math>p </math>' की लंबाई और अभिलम्ब 'θ' द्वारा धनात्मक <math>x</math>-अक्ष के साथ बनाया गया कोण रेखा के समीकरण को बनाने के लिए उपयोगी है। रेखा के समीकरण का अभिलम्ब रूप इस प्रकार है:

<math>x\ cos \theta + y \ sin \theta = p</math>

यह भी देखें: इसके अलावा, रेखा के समीकरण के ऊपर परिभाषित रूपों के अलावा, हम रेखा के समीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करके त्वरित और आसान चरणों में रेखा के समीकरण को आसानी से पा सकते हैं। साथ ही, रेखा के समीकरण कैलकुलेटर का उपयोग करने के लिए, हमें ढलान <math>m</math> और <math>y</math>-अवरोध <math>c </math> के मान प्रदान करने की आवश्यकता है, ताकि ढलान-अवरोधन रूप और मानक रूप में रेखा के समीकरण का उत्तर प्राप्त किया जा सके।

== रेखा का समीकरण ज्ञात करने की विधि ==
किसी रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, हम अपने ज्ञात आंकड़ों के आधार पर ऊपर बताए गए किसी भी रूप के लिए सूत्र लागू कर सकते हैं। ज्ञात मापदंडों और रूप के आधार पर विभिन्न मामलों के लिए अनुसरण किए जा सकने वाले चरण नीचे दिए गए हैं,

चरण 1: दिए गए आंकड़ों को नोट करें, रेखा का ढलान '<math>m </math>' के रूप में और दिए गए बिंदु(ओं) के निर्देशांक <math>(x_n, y_n)</math> के रूप में।

चरण 2: दिए गए मापदंडों के आधार पर आवश्यक सूत्र लागू करें,

(i) किसी रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, उसका ढलान या ढाल और <math>y</math>-अक्ष पर उसका अवरोधन दिया गया है, ढलान-अवरोधन रूप का उपयोग करें।

(ii) किसी रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, उसका ढलान और रेखा पर स्थित एक बिंदु के निर्देशांक दिए गए हैं, बिंदु-ढलान रूप का उपयोग करें।

(iii) किसी रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए, उस पर स्थित दो बिंदुओं के निर्देशांक दिए गए हैं, दो-बिंदु रूप का उपयोग करें।

(iv) समीकरण लिखने के लिए, <math>x</math>-अवरोधन और <math>y</math>-अवरोधन दिया गया है, अवरोधन रूप का उपयोग करें।

चरण 3: रेखा के समीकरण को मानक रूप में व्यक्त करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करें।

नोट: मामले (ii), (iii) और (iv) के लिए वैकल्पिक विधि पहले दिए गए आंकड़ों का उपयोग करके ढलान सूत्र को लागू करके ढलान की गणना करना और फिर अंत में ढलान-अवरोधन सूत्र को लागू करना हो सकता है।

== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==

* <math>x</math>-अक्ष का समीकरण <math>y = 0</math> है और <math>y</math>-अक्ष का समीकरण <math>x = 0</math> है।
* <math>x</math>-अक्ष के समांतर एक रेखा का समीकरण <math>y = b</math> है, जहाँ यह <math>y</math>-अक्ष को बिंदु <math>(0, b)</math> पर प्रतिच्छेद करती है।
* <math>y</math>-अक्ष के समांतर एक रेखा का समीकरण <math>x = a</math> है, जहाँ यह <math>x</math>-अक्ष को बिंदु <math>(a, 0)</math>पर प्रतिच्छेद करती है।
* <math>ax + by + c = 0</math> के समांतर एक रेखा का समीकरण <math>ax + by + k = 0</math> है।
* <math>ax + by + c = 0</math> के लंबवत एक रेखा का समीकरण <math>bx - ay + k = 0</math> है।

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File:अंतरिक्ष में रेखा का समीकरण.jpg

Mani:

दो समतलो के बीच का कोण