Vidyalayawiki - User contributions [en]

समुच्चय

2024-11-05T16:11:36Z

Ramamurthy:

Sets

[[Category:समुच्चय]]
[[Category:गणित]]

Taxonomy for Mathematics Articles-11th Class

2024-11-02T17:25:46Z

Ramamurthy:

{| class="wikitable"
!S.No
!Chapters
!Topics
!'''Article Creator Name'''
!'''अध्याय'''
!विषय
|-
|1
|Sets
|1.Sets and their representations
|Ramamurthy
Mani
|समुच्चय
|[[समुच्चय और उनका निरूपण]]
|-
|
|
|2.The Empty Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रिक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|3.Finite and Infinite Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[परिमित और अपरिमित समुच्चय]]
|-
|
|
|4.Equal Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समान समुच्चय]]
|-
|
|
|5.Subsets
|
|
|[[उपसमुच्चय]]
|-
|
|
|5.1 Subsets of set of real numbers
|
|
|
|-
|
|
|5.2 Intervals as subsets of R
|
|
|
|-
|
|
|Power Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[घात समुच्चय]]
|-
|
|
|6.Universal Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सार्वत्रिक समुच्चय]]
|-
|
|
|7.Venn Diagrams
|Ramamurthy
Mani
|
|[[वेन आरेख]]
|-
|
|
|8.Operations on Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समुच्चयों पर संक्रियाएँ]]
|-
|
|
|9. Complement of a Set
|
|
|[[समुच्चय का पूरक]]
|-
|
|
|Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets
|
|
|[[दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न]]
|-
|
|
|Sets
|
|
|[[समुच्चय]]
|-
|
|
|Geometry
|
|
|[[ज्यामिति]]
|-
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|
|Sequences
|
|
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Probability
|
|
|[[प्रायिकता]]
|-
|
|
|Trigonometric series
|
|
|[[त्रिकोणमितीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Natural Numbers
|
|
|[[प्राकृत संख्याएँ]]
|-
|
|
|Prime Numbers
|
|
|[[अभाज्य संख्याएँ]]
|-
|
|
|Triangles
|
|
|[[त्रिभुज]]
|-
|
|
|Prime factors
|
|
|[[अभाज्य गुणनखंड]]
|-
|
|
|Equation
|
|
|[[समीकरण]]
|-
|
|
|Integers
|
|
|[[पूर्णांक]]
|-
|
|
|Rational Numbers
|
|
|[[परिमेय संख्याएँ]]
|-
|
|
|Real Numbers
|
|
|[[वास्तविक संख्याएँ]]
|-
|
|
|Roster or tabular form (Sets)
|
|
|[[रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (समुच्चय)]]
|-
|
|
|Set-builder form (Sets)
|
|
|[[समुच्चय-निर्माण रूप(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Null Set
|
|
|[[शून्य समुच्चय]]
|-
|
|
|Superset
|
|
|[[अधिसमुच्चय]]
|-
|
|
|Singleton set
|
|
|[[एकल समुच्चय]]
|-
|
|
|Closed Interval
|
|
|[[संवृत(बंद) अंतराल]]
|-
|
|
|Open Interval
|
|
|[[खुला अंतराल]]
|-
|
|
|8.1 Union of sets
|
|
|[[सम्मिलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.2 Intersection of sets
|
|
|[[सर्वनिष्ट(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.3 Difference of sets
|
|
|
|-
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|
|Disjoint Sets
|
|
|[[असंयुक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|2
|Relations and Functions
|1.Cartesian Product of Sets
|
|संबंध और फलन
|[[समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन]]
|-
|
|
|2.Relations
|
|
|[[संबंध]]
|-
|
|
|3.Functions
|
|
|[[फलन]]
|-
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|
|3.1. Some functions and their graphs
|
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|
|3.2 Algebra of real functions
|
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|-
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|
|Ordered triplet
|
|
|[[क्रमित त्रिक]]
|-
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|
|Domain (sets)
|
|
|[[प्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Range (Sets)
|
|
|[[परिसर(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Arrow diagram (Sets)
|
|
|[[दृष्टि चित्रण(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Codomain (Sets)
|
|
|[[सहप्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Real Function
|
|
|[[वास्तविक फलन]]
|-
|
|
|Identity function (sets)
|
|
|[[तत्समक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Constant function (sets)
|
|
|[[अचर फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Polynomial functions (sets)
|
|
|[[बहुपदीय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Rational functions (sets)
|
|
|[[परिमेय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Modulus function (sets)
|
|
|[[मापांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Signum function (sets)
|
|
|[[चिन्ह फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Greatest integer function (sets)
|
|
|[[महत्तम पूर्णांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|3
|Trignometric Functions
|1.Angles
|Ramamurthy
Mani
|त्रिकोणमितीय फलन
|[[कोण]]
|-
|
|
|1.1 Degree Measure
|
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|
|-
|
|
|1.2 Radian Measure
|
|
|
|-
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|
|1.3 Relation between radian and real numbers
|
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|
|-
|
|
|1.4 Relation between degree and radian
|
|
|
|-
|
|
|2.Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|2.1 Sign of trigonometric functions
|
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|
|-
|
|
|2.2 Domain and range of trigonometric functions
|
|
|
|-
|
|
|3.Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles
|
|
|[[दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|Trigonometric Equations
|
|
|[[त्रिकोणमितीय समीकरण]]
|-
|
|
|Trigonometry
|
|
|[[त्रिकोणमिति]]
|-
|
|
|Quadrantal angles
|
|
|[[चतुर्थाँशीय कोण]]
|-
|
|
|Trigonometric identities
|
|
|[[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]
|-
|
|
|Prinicipal solutions
|
|
|[[मुख्य हल]]
|-
|
|
|General solution
|
|
|[[व्यापक हल]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|4
|Principle of Mathematical Induction
|Motivation
|
|गणितीय आगमन का सिद्धांत
|[[प्रेरणा]]
|-
|
|
|The Principle of Mathematical Induction
|
|
|[[गणितीय आगमन का सिद्धांत]]
|-
|
|
|Conjecture
|
|
|[[अनुमान(कंजेक्चर)]]
|-
|
|
|Inductive hypothesis
|
|
|[[आगमन परिकल्पना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|5
|Complex Numbers and Quadratic Equations
|1.Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण
|[[सम्मिश्र संख्याएँ]]
|-
|
|
|2.Algebra of Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित]]
|-
|
|
|2.1 Addition of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.2 Difference of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.3 Multiplication of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.4 Division of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.5 Power of i
|
|
|
|-
|
|
|2.6 The square roots of a negative real number
|
|
|
|-
|
|
|2.7 Identities
|
|
|
|-
|
|
|3.The Modulus and the Conjugate of a Complex Number
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी]]
|-
|
|
|4.Argand Plane and Polar Representation
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण]]
|-
|
|
|Quadratic Equations
|Mani
|
|[[द्विघातीय समीकरण]]
|-
|
|
|Linear equations
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रैखिक समीकरण]]
|-
|
|
|Closure Law
|
|
|[[संवरक नियम]]
|-
|
|
|Commutative Law
|
|
|[[क्रम विनिमय नियम]]
|-
|
|
|Associative Law
|
|
|[[साहचर्य नियम]]
|-
|
|
|Additive Inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Additive Identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Complex plane
|Mani
|
|[[सम्मिश्र तल]]
|-
|
|
|Real axis
|
|
|[[वास्तविक अक्ष]]
|-
|
|
|Imaginary axis
|
|
|[[काल्पनिक अक्ष]]
|-
|
|
|Polar co-ordinates
|
|
|[[ध्रुवीय निर्देशांक]]
|-
|
|
|Principal argument
|
|
|[[मुख्य आयाम]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|6
|Linear Inequalities
|Inequalities
|
|रैखिक असमिकाएँ
|[[असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variable and
their Graphical Representation
|
|
|[[एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण]]
|-
|
|
|Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल]]
|-
|
|
|Solutions of System of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों की असमिका निकाय का हल]]
|-
|
|
|Numerical inequalities
|
|
|[[संख्यांक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Literal inequalities
|
|
|[[शाब्दिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Strict inequalities
|
|
|[[सुनिश्चित असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Linear inequalities
|
|
|[[रैखिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|7
|Permutations and Combinations
|Fundamental Principle of Counting
|
|क्रमचय और संचय
|[[गणना का आधारभूत सिद्धांत]]
|-
|
|
|Permutations
|
|
|[[क्रमचय]]
|-
|
|
|Combinations
|
|
|[[संचय]]
|-
|
|
|Multiplication principle
|
|
|[[गुणन सिद्धांत]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|8
|Binomial Theorem
|Binomial Theorem for Positive Integral Indices
|
|द्विपद प्रमेय
|[[धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|General and Middle Terms
|
|
|[[व्यापक एवं मध्य पद]]
|-
|
|
|Binomial theorem
|
|
|[[द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Pascal's triangle
|
|
|[[पास्कल त्रिभुज]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|9
|Sequences and Series
|Sequences
|Ramamurthy Mani
|अनुक्रम तथा श्रेणी
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Series
|Ramamurthy
Mani
|
|[[श्रेणी]]
|-
|
|
|Arithmetic Progression(A.P)
|
|
|[[समांतर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Geometric Progression(G.P)
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणोत्तर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Relationship between A.M and G.M
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के बीच संबंध]]
|-
|
|
|Sum to n terms of Special Series
|
|
|[[विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल]]
|-
|
|
|Progressions
|
|
|[[श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Terms
|
|
|[[पद]]
|-
|
|
|General term
|
|
|[[व्यापक पद]]
|-
|
|
|Finite Sequence
|
|
|[[परिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Infinite sequence
|
|
|[[अपरिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Fibonacci Sequence
|Ramamurthy Mani
|
|[[फिबोनाची अनुक्रम]]
|-
|
|
|Sigma Notation
|
|
|[[सिग्मा संकेत]]
|-
|
|
|Arithmetic Mean
|
|
|[[समांतर माध्य]]
|-
|
|
|Geometric Mean
|
|
|[[गुणोत्तर माध्य]]
|-
|
|
|Common ratio
|
|
|[[सार्व अनुपात]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|10
|Straight Lines
|Slope of a Line
|
|सरल रेखाएं
|[[रेखा की ढाल]]
|-
|
|
|Various Forms of the Equations of a Line
|
|
|[[रेखा के समीकरणों के विविध रूप]]
|-
|
|
|General Equations of a Line
|
|
|[[रेखा का व्यापक समीकरण]]
|-
|
|
|Distance of a Point from a Line
|
|
|[[एक बिंदु की रेखा से दूरी]]
|-
|
|
|Analytical Geometry
|
|
|[[वैश्लेषिक ज्यामिति]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|11
|Conic Sections
|Sections of a Cone
|
|शंकु परिच्छेद
|[[शंकु के परिच्छेद]]
|-
|
|
|Circle
|
|
|[[वृत्त]]
|-
|
|
|Parabola
|
|
|[[परवलय]]
|-
|
|
|Ellipse
|
|
|[[दीर्घवृत्त]]
|-
|
|
|Hyperbola
|
|
|[[अतिपरवलय]]
|-
|
|
|Conic Sections
|
|
|[[शंकु परिच्छेद]]
|-
|
|
|Latus rectum
|
|
|[[नाभिलंब जीवा]]
|-
|
|
|Eccentricity
|
|
|[[उत्केन्द्रता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|12
|Introduction to Three Dimensional Geometry
|Coordinate Axes and Coordinate Planes in Three Dimensional Space
|Mani
|त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
|[[त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक्ष और निर्देशांक-तल]]
|-
|
|
|Coordinates of a Point in Space
|Mani
|
|[[अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक]]
|-
|
|
|Distance between Two Points
|Mani
|
|[[दो बिंदुओं के बीच की दूरी]]
|-
|
|
|Section Formula
|Mani
|
|[[विभाजन सूत्र]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|13
|Limits and Derivatives
|Intuitive Idea of Derivatives
|
|सीमा और अवकलज
|[[अवकलाजों का सहजानुभूत बोध]]
|-
|
|
|Limits
|
|
|[[सीमाएं]]
|-
|
|
|Limits of Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएं]]
|-
|
|
|Derivatives
|
|
|[[अवकलज]]
|-
|
|
|Calculus
|
|
|[[कलन]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|14
|Mathematical Reasoning
|Statements
|
|गणितीय विवेचन
|[[कथन]]
|-
|
|
|New statements from Old
|
|
|[[पूर्व ज्ञात कथनों से नए कथन बनाना]]
|-
|
|
|Special Words/Phrases
|
|
|[[विशेष शब्द/वाक्यांश]]
|-
|
|
|Implications
|
|
|[[अंतर्भाव]]
|-
|
|
|Validating Statements
|
|
|[[कथनों की वैधता को प्रमाणित(सत्यापित) करना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|15
|Statistics
|Measures of Dispersion
|
|सांख्यिकी
|[[प्रकीर्णन की माप]]
|-
|
|
|Range
|
|
|[[परिसर]]
|-
|
|
|Mean Deviation
|
|
|[[माध्य विचलन]]
|-
|
|
|Variance and Standard Deviation
|
|
|[[प्रसरण और मानक विचलन]]
|-
|
|
|Analysis of Frequency Distributions
|
|
|[[बारंबारता बंटनों का विश्लेषण]]
|-
|
|
|Continuous frequency distribution
|
|
|[[सतत बारंबारता बंटन]]
|-
|
|
|Statistics
|
|
|[[सांख्यिकी]]
|-
|
|
|Measure of Central Tendency
|
|
|[[केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप]]
|-
|
|
|Mean
|
|
|[[माध्य]]
|-
|
|
|Mode
|
|
|[[बहुलक]]
|-
|
|
|Median
|
|
|[[माध्यिका]]
|-
|
|
|Quartile Deviation
|
|
|[[चतुर्थक विचलन]]
|-
|
|
|Coefficient of variation
|
|
|[[विचरण गुणांक]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|16
|Probability
|Random Experiments
|
|प्रायिकता
|[[यादृच्छिक परीक्षण]]
|-
|
|
|Event
|
|
|[[घटना(प्रायिकता)]]
|-
|
|
|Axiomatic Approach to Probability
|
|
|[[प्रायिकता की अभिगृहतीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Classical theory of probability
|
|
|[[प्रायिकता का पुरातन सिद्धांत]]
|-
|
|
|Statistical approach of probability
|
|
|[[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Outcome
|
|
|[[संभावित परिणाम]]
|-
|
|
|Sample space
|
|
|[[प्रतिदर्श समष्टि]]
|-
|
|
|Sample Points
|
|
|[[प्रतिदर्श बिंदुओं]]
|-
|
|
|Impossible Event
|
|
|[[असंभव घटना]]
|-
|
|
|Sure Event
|
|
|[[निश्चित घटना]]
|-
|
|
|Simple Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सरल घटना]]
|-
|
|
|Compound Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[मिश्र घटना]]
|-
|
|
|Complementary Event
|
|
|[[पूरक घटना]]
|-
|
|
|Mutually exclusive events
|
|
|[[परस्पर अपवर्जी घटनाएँ]]
|-
|
|
|Exhaustive events
|
|
|[[निःशेष घटनाएँ]]
|-
|
|
|Probability of an event
|
|
|[[घटना की प्रायिकता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|17
|Infinite Series
|
|
|अनंत श्रेणी
|
|-
|
|Appendix-1
|Binomial Theorem for any Index
|
|
|[[किसी घातांक के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Infinite Geometric Series
|
|
|[[अनंत गुणोत्तर श्रेणी]]
|-
|
|
|Exponential series
|
|
|[[चरघातांकी श्रेणी]]
|-
|
|
|Logarithmic series
|
|
|[[लघुगणकीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Series
|
|
|[[अनंत श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Sequence
|
|
|[[अनंत अनुक्रम]]
|-
|
|
|Binomial Series
|
|
|[[द्विपद श्रेणी]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|
|Appendix-2
|Preliminaries
|
|
|[[प्रारंभिक प्रबंध]]
|-
|
|
|What is Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन क्या है]]
|-
|
|
|Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन]]
|-
|
|
|Interpretation of the model
|
|
|[[निदर्श का अर्थ निर्वचन]]
|-
|
|
|Validation of the model
|
|
|[[निदर्श का मान्यकरण]]
|-
|
|
|Solution of the model
|
|
|[[निदर्श का हल]]
|}
[[Category:Information]]

Taxonomy for Mathematics Articles-11th Class

2024-11-02T17:08:26Z

Ramamurthy:

{| class="wikitable"
!S.No
!Chapters
!Topics
!'''Article Creator Name'''
!'''अध्याय'''
!विषय
|-
|1
|Sets
|1.Sets and their representations
|Ramamurthy
Mani
|समुच्चय
|[[समुच्चय और उनका निरूपण]]
|-
|
|
|2.The Empty Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रिक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|3.Finite and Infinite Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[परिमित और अपरिमित समुच्चय]]
|-
|
|
|4.Equal Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समान समुच्चय]]
|-
|
|
|5.Subsets
|
|
|[[उपसमुच्चय]]
|-
|
|
|5.1 Subsets of set of real numbers
|
|
|
|-
|
|
|5.2 Intervals as subsets of R
|
|
|
|-
|
|
|Power Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[घात समुच्चय]]
|-
|
|
|6.Universal Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सार्वत्रिक समुच्चय]]
|-
|
|
|7.Venn Diagrams
|Ramamurthy
Mani
|
|[[वेन आरेख]]
|-
|
|
|8.Operations on Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समुच्चयों पर संक्रियाएँ]]
|-
|
|
|9. Complement of a Set
|
|
|[[समुच्चय का पूरक]]
|-
|
|
|Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets
|
|
|[[दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न]]
|-
|
|
|Sets
|
|
|[[समुच्चय]]
|-
|
|
|Geometry
|
|
|[[ज्यामिति]]
|-
|
|
|Sequences
|
|
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Probability
|
|
|[[प्रायिकता]]
|-
|
|
|Trigonometric series
|
|
|[[त्रिकोणमितीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Natural Numbers
|
|
|[[प्राकृत संख्याएँ]]
|-
|
|
|Prime Numbers
|
|
|[[अभाज्य संख्याएँ]]
|-
|
|
|Triangles
|
|
|[[त्रिभुज]]
|-
|
|
|Prime factors
|
|
|[[अभाज्य गुणनखंड]]
|-
|
|
|Equation
|
|
|[[समीकरण]]
|-
|
|
|Integers
|
|
|[[पूर्णांक]]
|-
|
|
|Rational Numbers
|
|
|[[परिमेय संख्याएँ]]
|-
|
|
|Real Numbers
|
|
|[[वास्तविक संख्याएँ]]
|-
|
|
|Roster or tabular form (Sets)
|
|
|[[रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (समुच्चय)]]
|-
|
|
|Set-builder form (Sets)
|
|
|[[समुच्चय-निर्माण रूप(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Null Set
|
|
|[[शून्य समुच्चय]]
|-
|
|
|Superset
|
|
|[[अधिसमुच्चय]]
|-
|
|
|Singleton set
|
|
|[[एकल समुच्चय]]
|-
|
|
|Closed Interval
|
|
|[[संवृत(बंद) अंतराल]]
|-
|
|
|Open Interval
|
|
|[[खुला अंतराल]]
|-
|
|
|8.1 Union of sets
|
|
|[[सम्मिलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.2 Intersection of sets
|
|
|[[सर्वनिष्ट(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.3 Difference of sets
|
|
|
|-
|
|
|Disjoint Sets
|
|
|[[असंयुक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|2
|Relations and Functions
|Cartesian Product of Sets
|
|संबंध और फलन
|[[समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन]]
|-
|
|
|Relations
|
|
|[[संबंध]]
|-
|
|
|Functions
|
|
|[[फलन]]
|-
|
|
|Ordered triplet
|
|
|[[क्रमित त्रिक]]
|-
|
|
|Domain (sets)
|
|
|[[प्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Range (Sets)
|
|
|[[परिसर(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Arrow diagram (Sets)
|
|
|[[दृष्टि चित्रण(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Codomain (Sets)
|
|
|[[सहप्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Real Function
|
|
|[[वास्तविक फलन]]
|-
|
|
|Identity function (sets)
|
|
|[[तत्समक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Constant function (sets)
|
|
|[[अचर फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Polynomial functions (sets)
|
|
|[[बहुपदीय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Rational functions (sets)
|
|
|[[परिमेय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Modulus function (sets)
|
|
|[[मापांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Signum function (sets)
|
|
|[[चिन्ह फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Greatest integer function (sets)
|
|
|[[महत्तम पूर्णांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|3
|Trignometric Functions
|Angles
|Ramamurthy
Mani
|त्रिकोणमितीय फलन
|[[कोण]]
|-
|
|
|Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles
|
|
|[[दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|Trigonometric Equations
|
|
|[[त्रिकोणमितीय समीकरण]]
|-
|
|
|Trigonometry
|
|
|[[त्रिकोणमिति]]
|-
|
|
|Quadrantal angles
|
|
|[[चतुर्थाँशीय कोण]]
|-
|
|
|Trigonometric identities
|
|
|[[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]
|-
|
|
|Prinicipal solutions
|
|
|[[मुख्य हल]]
|-
|
|
|General solution
|
|
|[[व्यापक हल]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|4
|Principle of Mathematical Induction
|Motivation
|
|गणितीय आगमन का सिद्धांत
|[[प्रेरणा]]
|-
|
|
|The Principle of Mathematical Induction
|
|
|[[गणितीय आगमन का सिद्धांत]]
|-
|
|
|Conjecture
|
|
|[[अनुमान(कंजेक्चर)]]
|-
|
|
|Inductive hypothesis
|
|
|[[आगमन परिकल्पना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|5
|Complex Numbers and Quadratic Equations
|Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण
|[[सम्मिश्र संख्याएँ]]
|-
|
|
|Algebra of Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित]]
|-
|
|
|The Modulus and the Conjugate of a Complex Number
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी]]
|-
|
|
|Argand Plane and Polar Representation
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण]]
|-
|
|
|Quadratic Equations
|Mani
|
|[[द्विघातीय समीकरण]]
|-
|
|
|Linear equations
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रैखिक समीकरण]]
|-
|
|
|Closure Law
|
|
|[[संवरक नियम]]
|-
|
|
|Commutative Law
|
|
|[[क्रम विनिमय नियम]]
|-
|
|
|Associative Law
|
|
|[[साहचर्य नियम]]
|-
|
|
|Additive Inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Additive Identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Complex plane
|Mani
|
|[[सम्मिश्र तल]]
|-
|
|
|Real axis
|
|
|[[वास्तविक अक्ष]]
|-
|
|
|Imaginary axis
|
|
|[[काल्पनिक अक्ष]]
|-
|
|
|Polar co-ordinates
|
|
|[[ध्रुवीय निर्देशांक]]
|-
|
|
|Principal argument
|
|
|[[मुख्य आयाम]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|6
|Linear Inequalities
|Inequalities
|
|रैखिक असमिकाएँ
|[[असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variable and
their Graphical Representation
|
|
|[[एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण]]
|-
|
|
|Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल]]
|-
|
|
|Solutions of System of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों की असमिका निकाय का हल]]
|-
|
|
|Numerical inequalities
|
|
|[[संख्यांक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Literal inequalities
|
|
|[[शाब्दिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Strict inequalities
|
|
|[[सुनिश्चित असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Linear inequalities
|
|
|[[रैखिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|7
|Permutations and Combinations
|Fundamental Principle of Counting
|
|क्रमचय और संचय
|[[गणना का आधारभूत सिद्धांत]]
|-
|
|
|Permutations
|
|
|[[क्रमचय]]
|-
|
|
|Combinations
|
|
|[[संचय]]
|-
|
|
|Multiplication principle
|
|
|[[गुणन सिद्धांत]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|8
|Binomial Theorem
|Binomial Theorem for Positive Integral Indices
|
|द्विपद प्रमेय
|[[धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|General and Middle Terms
|
|
|[[व्यापक एवं मध्य पद]]
|-
|
|
|Binomial theorem
|
|
|[[द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Pascal's triangle
|
|
|[[पास्कल त्रिभुज]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|9
|Sequences and Series
|Sequences
|Ramamurthy Mani
|अनुक्रम तथा श्रेणी
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Series
|Ramamurthy
Mani
|
|[[श्रेणी]]
|-
|
|
|Arithmetic Progression(A.P)
|
|
|[[समांतर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Geometric Progression(G.P)
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणोत्तर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Relationship between A.M and G.M
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के बीच संबंध]]
|-
|
|
|Sum to n terms of Special Series
|
|
|[[विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल]]
|-
|
|
|Progressions
|
|
|[[श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Terms
|
|
|[[पद]]
|-
|
|
|General term
|
|
|[[व्यापक पद]]
|-
|
|
|Finite Sequence
|
|
|[[परिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Infinite sequence
|
|
|[[अपरिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Fibonacci Sequence
|Ramamurthy Mani
|
|[[फिबोनाची अनुक्रम]]
|-
|
|
|Sigma Notation
|
|
|[[सिग्मा संकेत]]
|-
|
|
|Arithmetic Mean
|
|
|[[समांतर माध्य]]
|-
|
|
|Geometric Mean
|
|
|[[गुणोत्तर माध्य]]
|-
|
|
|Common ratio
|
|
|[[सार्व अनुपात]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|10
|Straight Lines
|Slope of a Line
|
|सरल रेखाएं
|[[रेखा की ढाल]]
|-
|
|
|Various Forms of the Equations of a Line
|
|
|[[रेखा के समीकरणों के विविध रूप]]
|-
|
|
|General Equations of a Line
|
|
|[[रेखा का व्यापक समीकरण]]
|-
|
|
|Distance of a Point from a Line
|
|
|[[एक बिंदु की रेखा से दूरी]]
|-
|
|
|Analytical Geometry
|
|
|[[वैश्लेषिक ज्यामिति]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|11
|Conic Sections
|Sections of a Cone
|
|शंकु परिच्छेद
|[[शंकु के परिच्छेद]]
|-
|
|
|Circle
|
|
|[[वृत्त]]
|-
|
|
|Parabola
|
|
|[[परवलय]]
|-
|
|
|Ellipse
|
|
|[[दीर्घवृत्त]]
|-
|
|
|Hyperbola
|
|
|[[अतिपरवलय]]
|-
|
|
|Conic Sections
|
|
|[[शंकु परिच्छेद]]
|-
|
|
|Latus rectum
|
|
|[[नाभिलंब जीवा]]
|-
|
|
|Eccentricity
|
|
|[[उत्केन्द्रता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|12
|Introduction to Three Dimensional Geometry
|Coordinate Axes and Coordinate Planes in Three Dimensional Space
|Mani
|त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
|[[त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक्ष और निर्देशांक-तल]]
|-
|
|
|Coordinates of a Point in Space
|Mani
|
|[[अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक]]
|-
|
|
|Distance between Two Points
|Mani
|
|[[दो बिंदुओं के बीच की दूरी]]
|-
|
|
|Section Formula
|Mani
|
|[[विभाजन सूत्र]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|13
|Limits and Derivatives
|Intuitive Idea of Derivatives
|
|सीमा और अवकलज
|[[अवकलाजों का सहजानुभूत बोध]]
|-
|
|
|Limits
|
|
|[[सीमाएं]]
|-
|
|
|Limits of Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएं]]
|-
|
|
|Derivatives
|
|
|[[अवकलज]]
|-
|
|
|Calculus
|
|
|[[कलन]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|14
|Mathematical Reasoning
|Statements
|
|गणितीय विवेचन
|[[कथन]]
|-
|
|
|New statements from Old
|
|
|[[पूर्व ज्ञात कथनों से नए कथन बनाना]]
|-
|
|
|Special Words/Phrases
|
|
|[[विशेष शब्द/वाक्यांश]]
|-
|
|
|Implications
|
|
|[[अंतर्भाव]]
|-
|
|
|Validating Statements
|
|
|[[कथनों की वैधता को प्रमाणित(सत्यापित) करना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|15
|Statistics
|Measures of Dispersion
|
|सांख्यिकी
|[[प्रकीर्णन की माप]]
|-
|
|
|Range
|
|
|[[परिसर]]
|-
|
|
|Mean Deviation
|
|
|[[माध्य विचलन]]
|-
|
|
|Variance and Standard Deviation
|
|
|[[प्रसरण और मानक विचलन]]
|-
|
|
|Analysis of Frequency Distributions
|
|
|[[बारंबारता बंटनों का विश्लेषण]]
|-
|
|
|Continuous frequency distribution
|
|
|[[सतत बारंबारता बंटन]]
|-
|
|
|Statistics
|
|
|[[सांख्यिकी]]
|-
|
|
|Measure of Central Tendency
|
|
|[[केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप]]
|-
|
|
|Mean
|
|
|[[माध्य]]
|-
|
|
|Mode
|
|
|[[बहुलक]]
|-
|
|
|Median
|
|
|[[माध्यिका]]
|-
|
|
|Quartile Deviation
|
|
|[[चतुर्थक विचलन]]
|-
|
|
|Coefficient of variation
|
|
|[[विचरण गुणांक]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|16
|Probability
|Random Experiments
|
|प्रायिकता
|[[यादृच्छिक परीक्षण]]
|-
|
|
|Event
|
|
|[[घटना(प्रायिकता)]]
|-
|
|
|Axiomatic Approach to Probability
|
|
|[[प्रायिकता की अभिगृहतीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Classical theory of probability
|
|
|[[प्रायिकता का पुरातन सिद्धांत]]
|-
|
|
|Statistical approach of probability
|
|
|[[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Outcome
|
|
|[[संभावित परिणाम]]
|-
|
|
|Sample space
|
|
|[[प्रतिदर्श समष्टि]]
|-
|
|
|Sample Points
|
|
|[[प्रतिदर्श बिंदुओं]]
|-
|
|
|Impossible Event
|
|
|[[असंभव घटना]]
|-
|
|
|Sure Event
|
|
|[[निश्चित घटना]]
|-
|
|
|Simple Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सरल घटना]]
|-
|
|
|Compound Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[मिश्र घटना]]
|-
|
|
|Complementary Event
|
|
|[[पूरक घटना]]
|-
|
|
|Mutually exclusive events
|
|
|[[परस्पर अपवर्जी घटनाएँ]]
|-
|
|
|Exhaustive events
|
|
|[[निःशेष घटनाएँ]]
|-
|
|
|Probability of an event
|
|
|[[घटना की प्रायिकता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|17
|Infinite Series
|
|
|अनंत श्रेणी
|
|-
|
|Appendix-1
|Binomial Theorem for any Index
|
|
|[[किसी घातांक के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Infinite Geometric Series
|
|
|[[अनंत गुणोत्तर श्रेणी]]
|-
|
|
|Exponential series
|
|
|[[चरघातांकी श्रेणी]]
|-
|
|
|Logarithmic series
|
|
|[[लघुगणकीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Series
|
|
|[[अनंत श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Sequence
|
|
|[[अनंत अनुक्रम]]
|-
|
|
|Binomial Series
|
|
|[[द्विपद श्रेणी]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|
|Appendix-2
|Preliminaries
|
|
|[[प्रारंभिक प्रबंध]]
|-
|
|
|What is Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन क्या है]]
|-
|
|
|Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन]]
|-
|
|
|Interpretation of the model
|
|
|[[निदर्श का अर्थ निर्वचन]]
|-
|
|
|Validation of the model
|
|
|[[निदर्श का मान्यकरण]]
|-
|
|
|Solution of the model
|
|
|[[निदर्श का हल]]
|}
[[Category:Information]]

स्केल गुणक

2024-10-16T17:43:54Z

Ramamurthy:

[[Category:त्रिभुज]]
[[Category:गणित]]
स्केल गुणक का उपयोग विभिन्न आयामों में आकृतियों को स्केल करने के लिए किया जाता है । ज्यामिति में, हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के बारे में सीखते हैं जो दो-आयाम और तीन-आयाम दोनों में होती हैं। स्केल फ़ैक्टर समान आकृतियों के लिए एक माप है , जो समान दिखते हैं लेकिन उनके पैमाने या माप अलग-अलग होते हैं। मान लीजिए, दो वृत्त समान दिखते हैं लेकिन उनकी त्रिज्याएँ अलग-अलग हो सकती हैं।

== स्केल गुणक क्या है? ==
जिस आकार से आकृति को बड़ा या छोटा किया जाता है उसे उसका स्केल कारक कहा जाता है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब हमें <math>2D</math> आकृति , जैसे वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत, आदि का आकार बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

यदि <math>y = Kx</math> एक समीकरण है, तो <math>K</math>, <math>x</math> के लिए स्केल फ़ैक्टर है। हम इस अभिव्यक्ति को आनुपातिकता के संदर्भ में भी प्रस्तुत कर सकते हैं:

<math>y\infty x</math>

इसलिए, हम यहां <math>K</math> को आनुपातिकता के स्थिरांक के रूप में मान सकते हैं।

स्केल फ़ैक्टर को मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा भी बेहतर ढंग से समझा जा सकता है ।

== स्केल गुणक सूत्र ==
स्केल गुणक का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

मूल आकार का आयाम x स्केल फैक्टर = नए आकार का आयाम

स्केल फ़ैक्टर = नए आकार का आयाम/मूल आकार का आयाम

दो वर्गों का उदाहरण लें जिनकी लंबाई-भुजाओं की लंबाई क्रमशः <math>6</math> इकाई और <math>3</math> इकाई है। अब, स्केल फ़ैक्टर खोजने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

चरण 1: <math>3x</math> स्केल फ़ैक्टर = <math>6</math>

चरण 2: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{3}{6}</math> (प्रत्येक पक्ष को <math>6</math> से विभाजित करें)।

चरण 3: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{1}{2}= 1:2</math> (सरलीकृत)।

इसलिए, बड़े वर्ग से छोटे वर्ग तक का स्केल फैक्टर <math>1:2</math> है।

स्केल फ़ैक्टर का उपयोग विभिन्न आकृतियों के साथ भी किया जा सकता है।

== त्रिभुज का स्केल गुणक ==
जो त्रिभुज समरूप होते हैं उनका आकार समान होता है और तीनों कोणों का माप भी समान होता है। एकमात्र चीज जो भिन्न होती है वह है उनके पक्ष। हालाँकि, एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, जिसे यहाँ स्केल फ़ैक्टर कहा जाता है।

यदि हमें छोटे त्रिभुज के समान बड़ा त्रिभुज खोजना है, तो हमें छोटे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को स्केल फैक्टर से गुणा करना होगा।

== स्केल गुणक उदाहरण ==
उदाहरण के लिए, <math>6</math> सेमी और <math>3</math> सेमी माप वाला एक आयत है।

यदि हम मूल आयत के लिए स्केल फैक्टर को <math>2</math> से बढ़ा देते हैं तो आयत की दोनों भुजाएं दोगुनी हो जाएंगी। यानी स्केल फैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>2</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>2</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>12</math> सेमी और चौड़ाई <math>6</math> सेमी है।

यदि हम मूल आयत के स्केल फ़ैक्टर को <math>3</math> से बढ़ा देते हैं तो दोनों भुजाएँ तिगुनी हो जाएँगी। यानी स्केल फ़ैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फ़ैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>3</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>3</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>18</math> सेमी और चौड़ाई <math>9</math> सेमी है।

== स्केल फैक्टर के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग ==

# यदि आपके घर पर किसी पार्टी में अपेक्षा से अधिक लोगों का समूह है। आपको सभी को खिलाने के लिए खाद्य पदार्थों की सामग्री को प्रत्येक को समान संख्या से गुणा करके बढ़ाना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपकी अपेक्षा से <math>4</math> लोग अतिरिक्त हैं और एक व्यक्ति को <math>2</math> पिज़्ज़ा स्लाइस की आवश्यकता है, तो आपको उन सभी को खिलाने के लिए <math>8</math> और पिज़्ज़ा स्लाइस बनाने की आवश्यकता है।
# इसी प्रकार, स्केल फ़ैक्टर का उपयोग किसी विशेष प्रतिशत वृद्धि का पता लगाने या किसी राशि के प्रतिशत की गणना करने के लिए किया जाता है।
# यह हमें समय सारणी ज्ञान का उपयोग करके विभिन्न समूहों के अनुपात और अनुपात का पता लगाने की सुविधा भी देता है।
# आकार बदलने के लिए: इसमें कितना बड़ा करना है यह व्यक्त करने का अनुपात निकाला जा सकता है।
# स्केल ड्राइंग: यह दिए गए मूल आंकड़े की तुलना में ड्राइंग को मापने का अनुपात है।
# <math>2</math> समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करने के लिए: जब हम स्केल फैक्टर द्वारा दो समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करते हैं, तो यह संबंधित पक्षों की लंबाई का अनुपात देता है।
[[Category:कक्षा-10]]

स्केल गुणक

2024-10-16T17:36:53Z

Ramamurthy:

[[Category:त्रिभुज]]
[[Category:गणित]]
स्केल गुणक का उपयोग विभिन्न आयामों में आकृतियों को स्केल करने के लिए किया जाता है । ज्यामिति में, हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के बारे में सीखते हैं जो दो-आयाम और तीन-आयाम दोनों में होती हैं। स्केल फ़ैक्टर समान आकृतियों के लिए एक माप है , जो समान दिखते हैं लेकिन उनके पैमाने या माप अलग-अलग होते हैं। मान लीजिए, दो वृत्त समान दिखते हैं लेकिन उनकी त्रिज्याएँ अलग-अलग हो सकती हैं।

== स्केल गुणक क्या है? ==
जिस आकार से आकृति को बड़ा या छोटा किया जाता है उसे उसका स्केल कारक कहा जाता है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब हमें 2D आकृति , जैसे वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत, आदि का आकार बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

यदि <math>y = Kx</math> एक समीकरण है, तो <math>K</math>, <math>x</math> के लिए स्केल फ़ैक्टर है। हम इस अभिव्यक्ति को आनुपातिकता के संदर्भ में भी प्रस्तुत कर सकते हैं:

<math>y\infty x</math>

इसलिए, हम यहां K को आनुपातिकता के स्थिरांक के रूप में मान सकते हैं।

स्केल फ़ैक्टर को मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा भी बेहतर ढंग से समझा जा सकता है ।

== स्केल गुणक सूत्र ==
स्केल गुणक का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

मूल आकार का आयाम x स्केल फैक्टर = नए आकार का आयाम

स्केल फ़ैक्टर = नए आकार का आयाम/मूल आकार का आयाम

दो वर्गों का उदाहरण लें जिनकी लंबाई-भुजाओं की लंबाई क्रमशः 6 इकाई और 3 इकाई है। अब, स्केल फ़ैक्टर खोजने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

चरण 1: <math>3x</math> स्केल फ़ैक्टर = <math>6</math>

चरण 2: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{3}{6}</math> (प्रत्येक पक्ष को <math>6</math> से विभाजित करें)।

चरण 3: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{1}{2}= 1:2</math> (सरलीकृत)।

इसलिए, बड़े वर्ग से छोटे वर्ग तक का स्केल फैक्टर <math>1:2</math> है।

स्केल फ़ैक्टर का उपयोग विभिन्न आकृतियों के साथ भी किया जा सकता है।

== त्रिभुज का स्केल गुणक ==
जो त्रिभुज समरूप होते हैं उनका आकार समान होता है और तीनों कोणों का माप भी समान होता है। एकमात्र चीज जो भिन्न होती है वह है उनके पक्ष। हालाँकि, एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, जिसे यहाँ स्केल फ़ैक्टर कहा जाता है।

यदि हमें छोटे त्रिभुज के समान बड़ा त्रिभुज खोजना है, तो हमें छोटे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को स्केल फैक्टर से गुणा करना होगा।

== स्केल गुणक उदाहरण ==
उदाहरण के लिए, <math>6</math> सेमी और <math>3</math> सेमी माप वाला एक आयत है।

यदि हम मूल आयत के लिए स्केल फैक्टर को <math>2</math> से बढ़ा देते हैं तो आयत की दोनों भुजाएं दोगुनी हो जाएंगी। यानी स्केल फैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>2</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>2</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>12</math> सेमी और चौड़ाई <math>6</math> सेमी है।

यदि हम मूल आयत के स्केल फ़ैक्टर को <math>3</math> से बढ़ा देते हैं तो दोनों भुजाएँ तिगुनी हो जाएँगी। यानी स्केल फ़ैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फ़ैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>3</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>3</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>18</math> सेमी और चौड़ाई <math>9</math> सेमी है।

== स्केल फैक्टर के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग ==

# यदि आपके घर पर किसी पार्टी में अपेक्षा से अधिक लोगों का समूह है। आपको सभी को खिलाने के लिए खाद्य पदार्थों की सामग्री को प्रत्येक को समान संख्या से गुणा करके बढ़ाना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपकी अपेक्षा से 4 लोग अतिरिक्त हैं और एक व्यक्ति को 2 पिज़्ज़ा स्लाइस की आवश्यकता है, तो आपको उन सभी को खिलाने के लिए 8 और पिज़्ज़ा स्लाइस बनाने की आवश्यकता है।
# इसी प्रकार, स्केल फ़ैक्टर का उपयोग किसी विशेष प्रतिशत वृद्धि का पता लगाने या किसी राशि के प्रतिशत की गणना करने के लिए किया जाता है।
# यह हमें समय सारणी ज्ञान का उपयोग करके विभिन्न समूहों के अनुपात और अनुपात का पता लगाने की सुविधा भी देता है।
# आकार बदलने के लिए: इसमें कितना बड़ा करना है यह व्यक्त करने का अनुपात निकाला जा सकता है।
# स्केल ड्राइंग: यह दिए गए मूल आंकड़े की तुलना में ड्राइंग को मापने का अनुपात है।
# 2 समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करने के लिए: जब हम स्केल फैक्टर द्वारा दो समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करते हैं, तो यह संबंधित पक्षों की लंबाई का अनुपात देता है।

[[File:Scale factor.jpg|thumb]]
[[Category:कक्षा-10]]

रैखिक समीकरण

2024-10-12T08:35:00Z

Ramamurthy:

[[Category:रैखिक समीकरण]]
रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात हमेशा 1 होती है। इसे एक-घातीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।

एक चर में रैखिक समीकरण का मानक रूप <math>ax+b=0 </math> के रूप का होता है। यहाँ, <math>x </math> एक चर है, <math>a</math> एक गुणांक है, और <math>b</math> स्थिरांक है।

दो चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप इस प्रकार का होता है

<math>ax+by=c </math> यहां, <math>x </math> और <math>y</math> चर हैं, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, और <math>c</math> एक स्थिरांक है।

एक चर में रैखिक समीकरण का उदाहरण <math>5x+6=0 </math>

दो चर वाले रैखिक समीकरण का उदाहरण <math>5x+6y +7=0 </math>
[[File:Linear equation format - Hindi.jpg|alt=Fig.1|none|thumb|Fig.1]]

'''समस्या 1 :'''

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को ax + by + c = 0 के रूप में लिखें और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान इंगित करें:

<math>4=5x-3y </math>

'''हल:'''

<math>5x-3y-4 =0 </math> , यहाँ <math>a=5, b=-3 , c=-4 </math>

'''समस्या 2 :'''

निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखिए।

(i) <math>x=-5 </math> ----- <math>1.x+0.y+5=0 </math>

(i) <math>5y=2 </math> ----- <math>0.x+5.y-2=0 </math>

[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
[[Category:गणित]]

चक्रीय चतुर्भुज

2024-10-10T15:05:18Z

Ramamurthy:

[[File:Cyclic quadrilateral.jpg|alt=Fig. 1|thumb|चित्र -1]]
एक [[चतुर्भुज]] ABCD चक्रीय कहलाता है यदि इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों (चित्र-1 देखें)।

यहाँ हमें <math>\angle A+\angle C =180^\circ</math>and <math>\angle B+\angle D =180^\circ</math>प्राप्त होता है।

चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।

प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी भी युग्म का योग <math>180^\circ</math> होता है।

प्रमेय 2: यदि चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी युग्म का योग <math>180^\circ</math> है, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।

== उदाहरण ==
[[File:Cyclic quadrilateral - 2.jpg|alt=Fig. 2|thumb|चित्र -2]]
1: चित्र 2 में, <math>ABCD</math> एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें <math>AC</math> और <math>BD</math> इसके विकर्ण हैं।

यदि <math>\angle DBC =55^\circ</math>और <math>\angle BAC =45^\circ</math>हैं , <math>\angle BCD</math> ज्ञात कीजिए

हल:

<math>\angle CAD=\angle DBC =55^\circ</math>(एक ही खंड में कोण)

अत:, <math>\angle DAB=\angle CAD+\angle BAC</math>

<math>\angle DAB=55^\circ +45^\circ=100^\circ</math>

परंतु <math>\angle DAB+\angle BCD = 180^\circ</math>(चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण)

<math>\angle BCD = 180^\circ -\angle DAB</math>

<math>\angle BCD = 180^\circ -100^\circ =80^\circ</math>

[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

केंद्र से जीवा पर लंब

2024-09-26T16:36:56Z

Ramamurthy: /* प्रमेय : */

गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लंब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

== केंद्र से जीवा पर लंब– प्रमेय एवं प्रमाण ==

=== प्रमेय : ===
एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg|alt=Fig. 1|thumb|150x150px|चित्र-1]]
चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले <math>O</math> वाले एक वृत्त पर विचार करें

<math>AB</math> एक जीवा है जिससे रेखा <math>OX</math> जीवा <math>AB</math> पर लंबवत है। <math>OX\perp AB</math>

हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है:<math>AX=BX</math>

दो त्रिभुजों <math>OAX</math> और <math>OBX</math> पर विचार करें

<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)

<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)

RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज <math>OAX</math>, <math>OBX</math> के सर्वांगसम है।

अतः,

<math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>

अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>AX=BX</math> (CPCT द्वारा)

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है

'''प्रमाण:'''

चित्र-1 पर विचार करें

मान लीजिए <math>AB</math> केंद्र <math>O</math> वाले वृत्त की जीवा है।

केंद्र <math>O</math> को जीवा <math>AB</math> के मध्यबिंदु <math>X</math> से जोड़ा गया है।

अब, हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है <math>OX\perp AB</math>

<math>OA</math> और <math>OB</math> को मिलाने पर दो त्रिभुज <math>OAX</math> और <math>OBX</math> बनते हैं

यहाँ,

<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)

<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)

<math>AX=BX</math> (क्योंकि <math>X</math> , <math>AB</math> का मध्यबिंदु है)

अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.

इस प्रकार, RHS नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

इससे यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केंद्र से होकर जीवा को समद्विभाजित करने वाली रेखा जीवा पर लंबवत होती है। अत: इस प्रमेय का व्युत्क्रम सिद्ध होता है।

[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

2024-09-26T16:32:54Z

Ramamurthy: /* पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ */

[[Category:त्रिकोणमिति का परिचय]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-10]]
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, त्रिकोणमिति का एक मूलभूत पहलू है, जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन है। यह सर्वसमिकाएँ गणितीय समीकरण हैं जिनमें ज्या(साइन), कोटिज्या(कोसाइन) और स्पर्शरेखा जैसे त्रिकोणमितीय फलन उपस्थित होते हैं और उपस्थित चर के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, व्यंजक को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और विज्ञान और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोगी हैं। गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में छात्रों और पेशेवरों(प्रोफेशनल्स) के लिए इन सर्वसमिकाएँ के गुणों और अनुप्रयोगों को समझना आवश्यक है।

== पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ==
त्रिकोणमिति में पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से ली गई हैं। निम्नलिखित 3 पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं।

* <math> cos^2A + sin^2A=1 </math>
*<math> 1+tan^2A =sec^2A </math>
*<math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>
[[File:Trigonometric ratios -1 - Hindi.jpg|alt=चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ|thumb|350x350px|चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]
<math>\bigtriangleup ABC</math> में <math>B</math> पर समकोण है (चित्र-1 देखें) हमारे पास है

<math>AB^2+BC^2=AC^2 ....... (1)</math>

<math>(1)</math> के प्रत्येक पद को <math>AC^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{AC^2}+\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{AC} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{AC} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{AC} \right ]^2 </math>

<math> cos^2A + sin^2A=1 </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A \leq 90^\circ</math>

(1) के प्रत्येक पद को <math>AB^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{AB^2}+\frac{BC^2}{AB^2}=\frac{AC^2}{AB^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{AB} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{AB} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{AB} \right ]^2 </math>

<math> 1+tan^2A =sec^2A </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A < 90^\circ</math>

(1) के प्रत्येक पद को <math>BC^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{BC^2}{BC^2}=\frac{AC^2}{BC^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{BC} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{BC} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{BC} \right ]^2 </math>

<math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ <A \leq 90^\circ</math>

निर्देशांक तल

2024-09-26T15:45:51Z

Ramamurthy:

[[File:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|alt=Cartesian-coordinate|thumb|कार्टेशियन-निर्देशांक]]एक कार्तीय(कार्टेशियन) तल समतल स्थान को दो आयामों में विभाजित करता है और बिंदुओं का आसानी से पता लगाने के लिए उपयोगी होता है। इसे निर्देशांक तल भी कहा जाता है। निर्देशांक तल के दो अक्ष क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष हैं। ये समन्वय अक्ष समतल को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं, और इन अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल <math>(0,0)</math> है। निर्देशांक तल में किसी भी बिंदु को एक बिंदु x,y द्वारा संदर्भित किया जाता है, जहां <math>x</math> मान <math>x</math>-अक्ष के संदर्भ में बिंदु की स्थिति है, और <math>y</math> मान <math>y</math>-अक्ष के संबंध में बिंदु की स्थिति है।

निर्देशांक तल के चार चतुर्थांशों में दर्शाए गए बिंदु के गुण इस प्रकार हैं:

* मूल बिंदु <math>O</math>, <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु है और इसमें निर्देशांक <math>(0,0)</math> हैं।
* मूल बिंदु <math>O</math> के दाईं ओर <math>x</math>-अक्ष धनात्मक <math>x</math>-अक्ष है और मूल बिंदु <math>O</math> के बाईं ओर ऋणात्मक <math>x</math>-अक्ष है। साथ ही, मूल बिंदु <math>O</math> के ऊपर <math>x</math>-अक्ष धनात्मक <math>y</math>-अक्ष है, और मूल बिंदु <math>O</math> के नीचे ऋणात्मक <math>y</math>-अक्ष है।
* पहले चतुर्थांश <math>(x,y)</math> में दर्शाए गए बिंदु में दोनों धनात्मक मान हैं और इसे धनात्मक <math>x</math>-अक्ष और धनात्मक <math>y</math>-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।

[[File:Cartesian coordinate system (comma).svg|alt=5|thumb]]

*दूसरे चतुर्थांश में दर्शाया गया बिंदु <math>(-x,y)</math>ऋणात्मक x}-अक्ष और धनात्मक y}-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।
*तीसरे चतुर्थांश <math>(-x,-y)</math> में दर्शाया गया बिंदु ऋणात्मक x}-अक्ष और ऋणात्मक y}-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।
* चौथे चतुर्थांश <math>(x,-y)</math> में दर्शाया गया बिंदु धनात्मक <math>x</math>-अक्ष और ऋणात्मक <math>y</math>-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।

[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

त्रिघाती बहुपद

2024-09-26T15:22:24Z

Ramamurthy:

त्रिघाती बहुपद एक प्रकार का बहुपद है जिसमें चर या घात की उच्चतम घात <math>3</math> होती है। त्रिघाती बहुपद का उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र सहित गणित और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

== परिभाषा ==
त्रिघाती बहुपद, एक ऐसा बहुपद है जिसमें एक चर का उच्चतम घातांक होता है अर्थात चर का घात <math>3</math> होता है। एक त्रिघाती बहुपद का सामान्य रूप <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> है, जहां <math>a,b,c</math> गुणांक हैं और <math>d</math> वह स्थिरांक है जिसमें वे सभी वास्तविक संख्या हैं।

त्रिघाती बहुपद वाले समीकरण को त्रिघाती समीकरण कहा जाता है।

त्रिघाती बहुपद के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं

<math>4x^3</math> , <math>2x^3+1</math> , <math>5x^3+x^2</math> , <math>2x^3+4x^2+6x+7</math>

== उदाहरण ==
गुणनखंडन <math>x^3-23x^2+142x-120</math> करने पर

<math>x^3-23x^2+142x-120</math>

<math>x^3-x^2-22x^2+22x+120x-120</math>

<math>x^2(x-1)-22x(x-1)+120(x-1)</math>

<math>(x-1)(x^2-22x+120)</math> सर्वनिष्ठ गुणक <math>(x-1)</math> लेने पर

अब, गुणनखंडन <math>x^2-22x+120</math> करने पर

<math>x^2-22x+120</math>

<math>x^2-10x-12x+120</math>

<math>x(x-10)-12(x-10)</math>

<math>(x-10)(x-12)</math>

<math>x^3-23x^2+142x-120=(x-1)(x-10)(x-12)</math>
[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

द्विघाती बहुपद

2024-09-26T15:20:50Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

द्विघाती बहुपद वह होता है जिसमें बहुपद व्यंजक में एक चर पद की उच्चतम घात <math>2</math> के बराबर होता है।

=== परिभाषा ===
द्विघाती बहुपद एक द्वितीय-घात बहुपद है जहां उच्चतम घात पद का मान <math>2</math> के समान होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में दिया जाता है। यहां, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, <math>x</math> अज्ञात चर है और <math>c</math> है स्थिर पद. चूँकि इस समीकरण में एक द्विघाती बहुपद है, अतः इसे हल करने पर दो समाधान मिलेंगे। इसका तात्पर्य यह है कि <math>x</math> के दो मान हो सकते हैं।

=== उदाहरण ===
<math>x^2+4x+4=0</math>

इस समीकरण का हल खोजने के लिए हम इसका गुणनखंड इस प्रकार करते हैं

<math>x^2+4x+4=0</math>

<math>x^2+2x+2x+4</math>

<math>x(x+2)+2(x+2)</math>

<math>(x+2)(x+2)=0</math>

इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

बहुपद की घात

2024-09-26T15:19:50Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

बहुपदों की घात किसी फलन में समाधानों की अधिकतम संख्या निर्धारित करती है।

== परिभाषा ==
बहुपद की घात, एक बहुपद व्यंजक में चर की उच्चतम घात होती है। बहुपद को दो से अधिक बीजगणितीय पदों के व्यंजक के रूप में परिभाषित किया गया है, विशेष रूप से कई पदों का योग (या अंतर) जिसमें समान या अलग-अलग चर की विभिन्न घातें होती हैं। यह [[एकपद|एकपदी]] का एक रैखिक संयोजन है।

उदाहरण के लिए: <math>6x^4+4x^3+3x^2+2</math>

== उदाहरण ==
घात सहित बहुपद के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

* <math>6x^4+4x^3+3x^2+2</math> – बहुपद की घात <math>4</math> है
* <math>4x^3+3x^2+2</math> – बहुपद की घात <math>3</math> है
* <math>3x^2+2</math> – बहुपद की घात <math>2</math> है
* <math>2x</math> – बहुपद की घात <math>1</math> है
* <math>2</math> – बहुपद की घात <math>0</math> है
*<math>8xy^2+2x^2+3x+6</math> – बहुपद की घात <math>3</math> है , चूंकि इस <math>8xy^2</math> पद में <math>x</math> का घातांक <math>1</math> है और <math>y</math> का घातांक <math>2</math> है , बहुपद की घात <math>1+2=3</math> है

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

त्रिपद

2024-09-26T15:19:22Z

Ramamurthy: /* परिभाषा */

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक +, -, ×, और ÷ जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ एकपद, द्विपद और बहुपद को वर्गीकृत किया गया है।

== परिभाषा ==
त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन गैर-शून्य पद होते हैं और व्यंजक में एक से अधिक चर होते हैं। त्रिपद एक प्रकार का बहुपद है लेकिन इसमें तीन पद होते हैं। बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं और इसे मानक रूप में <math>a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_nx^0</math> के रूप में लिखा जाता है, जहां <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n</math>स्थिरांक हैं और <math>n</math> एक प्राकृतिक संख्या है।

अनेक चरों और तीन पदों वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+y^2+xy</math> , <math>xyz^3+x^2z^2+zy^3</math>हैं

एक चर वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+2x+3</math>, <math>5x^4-4x^2+1</math> हैं