Vidyalayawiki - User contributions [en]

समुच्चय

2024-11-05T16:11:36Z

Ramamurthy:

Sets

[[Category:समुच्चय]]
[[Category:गणित]]

Taxonomy for Mathematics Articles-11th Class

2024-11-02T17:25:46Z

Ramamurthy:

{| class="wikitable"
!S.No
!Chapters
!Topics
!'''Article Creator Name'''
!'''अध्याय'''
!विषय
|-
|1
|Sets
|1.Sets and their representations
|Ramamurthy
Mani
|समुच्चय
|[[समुच्चय और उनका निरूपण]]
|-
|
|
|2.The Empty Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रिक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|3.Finite and Infinite Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[परिमित और अपरिमित समुच्चय]]
|-
|
|
|4.Equal Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समान समुच्चय]]
|-
|
|
|5.Subsets
|
|
|[[उपसमुच्चय]]
|-
|
|
|5.1 Subsets of set of real numbers
|
|
|
|-
|
|
|5.2 Intervals as subsets of R
|
|
|
|-
|
|
|Power Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[घात समुच्चय]]
|-
|
|
|6.Universal Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सार्वत्रिक समुच्चय]]
|-
|
|
|7.Venn Diagrams
|Ramamurthy
Mani
|
|[[वेन आरेख]]
|-
|
|
|8.Operations on Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समुच्चयों पर संक्रियाएँ]]
|-
|
|
|9. Complement of a Set
|
|
|[[समुच्चय का पूरक]]
|-
|
|
|Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets
|
|
|[[दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न]]
|-
|
|
|Sets
|
|
|[[समुच्चय]]
|-
|
|
|Geometry
|
|
|[[ज्यामिति]]
|-
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|
|Sequences
|
|
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Probability
|
|
|[[प्रायिकता]]
|-
|
|
|Trigonometric series
|
|
|[[त्रिकोणमितीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Natural Numbers
|
|
|[[प्राकृत संख्याएँ]]
|-
|
|
|Prime Numbers
|
|
|[[अभाज्य संख्याएँ]]
|-
|
|
|Triangles
|
|
|[[त्रिभुज]]
|-
|
|
|Prime factors
|
|
|[[अभाज्य गुणनखंड]]
|-
|
|
|Equation
|
|
|[[समीकरण]]
|-
|
|
|Integers
|
|
|[[पूर्णांक]]
|-
|
|
|Rational Numbers
|
|
|[[परिमेय संख्याएँ]]
|-
|
|
|Real Numbers
|
|
|[[वास्तविक संख्याएँ]]
|-
|
|
|Roster or tabular form (Sets)
|
|
|[[रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (समुच्चय)]]
|-
|
|
|Set-builder form (Sets)
|
|
|[[समुच्चय-निर्माण रूप(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Null Set
|
|
|[[शून्य समुच्चय]]
|-
|
|
|Superset
|
|
|[[अधिसमुच्चय]]
|-
|
|
|Singleton set
|
|
|[[एकल समुच्चय]]
|-
|
|
|Closed Interval
|
|
|[[संवृत(बंद) अंतराल]]
|-
|
|
|Open Interval
|
|
|[[खुला अंतराल]]
|-
|
|
|8.1 Union of sets
|
|
|[[सम्मिलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.2 Intersection of sets
|
|
|[[सर्वनिष्ट(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.3 Difference of sets
|
|
|
|-
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|
|Disjoint Sets
|
|
|[[असंयुक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|2
|Relations and Functions
|1.Cartesian Product of Sets
|
|संबंध और फलन
|[[समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन]]
|-
|
|
|2.Relations
|
|
|[[संबंध]]
|-
|
|
|3.Functions
|
|
|[[फलन]]
|-
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|
|3.1. Some functions and their graphs
|
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|
|3.2 Algebra of real functions
|
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|-
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|
|Ordered triplet
|
|
|[[क्रमित त्रिक]]
|-
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|
|Domain (sets)
|
|
|[[प्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Range (Sets)
|
|
|[[परिसर(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Arrow diagram (Sets)
|
|
|[[दृष्टि चित्रण(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Codomain (Sets)
|
|
|[[सहप्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Real Function
|
|
|[[वास्तविक फलन]]
|-
|
|
|Identity function (sets)
|
|
|[[तत्समक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Constant function (sets)
|
|
|[[अचर फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Polynomial functions (sets)
|
|
|[[बहुपदीय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Rational functions (sets)
|
|
|[[परिमेय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Modulus function (sets)
|
|
|[[मापांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Signum function (sets)
|
|
|[[चिन्ह फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Greatest integer function (sets)
|
|
|[[महत्तम पूर्णांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|3
|Trignometric Functions
|1.Angles
|Ramamurthy
Mani
|त्रिकोणमितीय फलन
|[[कोण]]
|-
|
|
|1.1 Degree Measure
|
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|
|-
|
|
|1.2 Radian Measure
|
|
|
|-
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|
|1.3 Relation between radian and real numbers
|
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|
|-
|
|
|1.4 Relation between degree and radian
|
|
|
|-
|
|
|2.Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|2.1 Sign of trigonometric functions
|
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|
|-
|
|
|2.2 Domain and range of trigonometric functions
|
|
|
|-
|
|
|3.Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles
|
|
|[[दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|Trigonometric Equations
|
|
|[[त्रिकोणमितीय समीकरण]]
|-
|
|
|Trigonometry
|
|
|[[त्रिकोणमिति]]
|-
|
|
|Quadrantal angles
|
|
|[[चतुर्थाँशीय कोण]]
|-
|
|
|Trigonometric identities
|
|
|[[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]
|-
|
|
|Prinicipal solutions
|
|
|[[मुख्य हल]]
|-
|
|
|General solution
|
|
|[[व्यापक हल]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|4
|Principle of Mathematical Induction
|Motivation
|
|गणितीय आगमन का सिद्धांत
|[[प्रेरणा]]
|-
|
|
|The Principle of Mathematical Induction
|
|
|[[गणितीय आगमन का सिद्धांत]]
|-
|
|
|Conjecture
|
|
|[[अनुमान(कंजेक्चर)]]
|-
|
|
|Inductive hypothesis
|
|
|[[आगमन परिकल्पना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|5
|Complex Numbers and Quadratic Equations
|1.Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण
|[[सम्मिश्र संख्याएँ]]
|-
|
|
|2.Algebra of Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित]]
|-
|
|
|2.1 Addition of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.2 Difference of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.3 Multiplication of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.4 Division of two complex numbers
|
|
|
|-
|
|
|2.5 Power of i
|
|
|
|-
|
|
|2.6 The square roots of a negative real number
|
|
|
|-
|
|
|2.7 Identities
|
|
|
|-
|
|
|3.The Modulus and the Conjugate of a Complex Number
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी]]
|-
|
|
|4.Argand Plane and Polar Representation
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण]]
|-
|
|
|Quadratic Equations
|Mani
|
|[[द्विघातीय समीकरण]]
|-
|
|
|Linear equations
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रैखिक समीकरण]]
|-
|
|
|Closure Law
|
|
|[[संवरक नियम]]
|-
|
|
|Commutative Law
|
|
|[[क्रम विनिमय नियम]]
|-
|
|
|Associative Law
|
|
|[[साहचर्य नियम]]
|-
|
|
|Additive Inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Additive Identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Complex plane
|Mani
|
|[[सम्मिश्र तल]]
|-
|
|
|Real axis
|
|
|[[वास्तविक अक्ष]]
|-
|
|
|Imaginary axis
|
|
|[[काल्पनिक अक्ष]]
|-
|
|
|Polar co-ordinates
|
|
|[[ध्रुवीय निर्देशांक]]
|-
|
|
|Principal argument
|
|
|[[मुख्य आयाम]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|6
|Linear Inequalities
|Inequalities
|
|रैखिक असमिकाएँ
|[[असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variable and
their Graphical Representation
|
|
|[[एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण]]
|-
|
|
|Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल]]
|-
|
|
|Solutions of System of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों की असमिका निकाय का हल]]
|-
|
|
|Numerical inequalities
|
|
|[[संख्यांक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Literal inequalities
|
|
|[[शाब्दिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Strict inequalities
|
|
|[[सुनिश्चित असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Linear inequalities
|
|
|[[रैखिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|7
|Permutations and Combinations
|Fundamental Principle of Counting
|
|क्रमचय और संचय
|[[गणना का आधारभूत सिद्धांत]]
|-
|
|
|Permutations
|
|
|[[क्रमचय]]
|-
|
|
|Combinations
|
|
|[[संचय]]
|-
|
|
|Multiplication principle
|
|
|[[गुणन सिद्धांत]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|8
|Binomial Theorem
|Binomial Theorem for Positive Integral Indices
|
|द्विपद प्रमेय
|[[धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|General and Middle Terms
|
|
|[[व्यापक एवं मध्य पद]]
|-
|
|
|Binomial theorem
|
|
|[[द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Pascal's triangle
|
|
|[[पास्कल त्रिभुज]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|9
|Sequences and Series
|Sequences
|Ramamurthy Mani
|अनुक्रम तथा श्रेणी
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Series
|Ramamurthy
Mani
|
|[[श्रेणी]]
|-
|
|
|Arithmetic Progression(A.P)
|
|
|[[समांतर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Geometric Progression(G.P)
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणोत्तर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Relationship between A.M and G.M
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के बीच संबंध]]
|-
|
|
|Sum to n terms of Special Series
|
|
|[[विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल]]
|-
|
|
|Progressions
|
|
|[[श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Terms
|
|
|[[पद]]
|-
|
|
|General term
|
|
|[[व्यापक पद]]
|-
|
|
|Finite Sequence
|
|
|[[परिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Infinite sequence
|
|
|[[अपरिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Fibonacci Sequence
|Ramamurthy Mani
|
|[[फिबोनाची अनुक्रम]]
|-
|
|
|Sigma Notation
|
|
|[[सिग्मा संकेत]]
|-
|
|
|Arithmetic Mean
|
|
|[[समांतर माध्य]]
|-
|
|
|Geometric Mean
|
|
|[[गुणोत्तर माध्य]]
|-
|
|
|Common ratio
|
|
|[[सार्व अनुपात]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|10
|Straight Lines
|Slope of a Line
|
|सरल रेखाएं
|[[रेखा की ढाल]]
|-
|
|
|Various Forms of the Equations of a Line
|
|
|[[रेखा के समीकरणों के विविध रूप]]
|-
|
|
|General Equations of a Line
|
|
|[[रेखा का व्यापक समीकरण]]
|-
|
|
|Distance of a Point from a Line
|
|
|[[एक बिंदु की रेखा से दूरी]]
|-
|
|
|Analytical Geometry
|
|
|[[वैश्लेषिक ज्यामिति]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|11
|Conic Sections
|Sections of a Cone
|
|शंकु परिच्छेद
|[[शंकु के परिच्छेद]]
|-
|
|
|Circle
|
|
|[[वृत्त]]
|-
|
|
|Parabola
|
|
|[[परवलय]]
|-
|
|
|Ellipse
|
|
|[[दीर्घवृत्त]]
|-
|
|
|Hyperbola
|
|
|[[अतिपरवलय]]
|-
|
|
|Conic Sections
|
|
|[[शंकु परिच्छेद]]
|-
|
|
|Latus rectum
|
|
|[[नाभिलंब जीवा]]
|-
|
|
|Eccentricity
|
|
|[[उत्केन्द्रता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|12
|Introduction to Three Dimensional Geometry
|Coordinate Axes and Coordinate Planes in Three Dimensional Space
|Mani
|त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
|[[त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक्ष और निर्देशांक-तल]]
|-
|
|
|Coordinates of a Point in Space
|Mani
|
|[[अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक]]
|-
|
|
|Distance between Two Points
|Mani
|
|[[दो बिंदुओं के बीच की दूरी]]
|-
|
|
|Section Formula
|Mani
|
|[[विभाजन सूत्र]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|13
|Limits and Derivatives
|Intuitive Idea of Derivatives
|
|सीमा और अवकलज
|[[अवकलाजों का सहजानुभूत बोध]]
|-
|
|
|Limits
|
|
|[[सीमाएं]]
|-
|
|
|Limits of Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएं]]
|-
|
|
|Derivatives
|
|
|[[अवकलज]]
|-
|
|
|Calculus
|
|
|[[कलन]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|14
|Mathematical Reasoning
|Statements
|
|गणितीय विवेचन
|[[कथन]]
|-
|
|
|New statements from Old
|
|
|[[पूर्व ज्ञात कथनों से नए कथन बनाना]]
|-
|
|
|Special Words/Phrases
|
|
|[[विशेष शब्द/वाक्यांश]]
|-
|
|
|Implications
|
|
|[[अंतर्भाव]]
|-
|
|
|Validating Statements
|
|
|[[कथनों की वैधता को प्रमाणित(सत्यापित) करना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|15
|Statistics
|Measures of Dispersion
|
|सांख्यिकी
|[[प्रकीर्णन की माप]]
|-
|
|
|Range
|
|
|[[परिसर]]
|-
|
|
|Mean Deviation
|
|
|[[माध्य विचलन]]
|-
|
|
|Variance and Standard Deviation
|
|
|[[प्रसरण और मानक विचलन]]
|-
|
|
|Analysis of Frequency Distributions
|
|
|[[बारंबारता बंटनों का विश्लेषण]]
|-
|
|
|Continuous frequency distribution
|
|
|[[सतत बारंबारता बंटन]]
|-
|
|
|Statistics
|
|
|[[सांख्यिकी]]
|-
|
|
|Measure of Central Tendency
|
|
|[[केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप]]
|-
|
|
|Mean
|
|
|[[माध्य]]
|-
|
|
|Mode
|
|
|[[बहुलक]]
|-
|
|
|Median
|
|
|[[माध्यिका]]
|-
|
|
|Quartile Deviation
|
|
|[[चतुर्थक विचलन]]
|-
|
|
|Coefficient of variation
|
|
|[[विचरण गुणांक]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|16
|Probability
|Random Experiments
|
|प्रायिकता
|[[यादृच्छिक परीक्षण]]
|-
|
|
|Event
|
|
|[[घटना(प्रायिकता)]]
|-
|
|
|Axiomatic Approach to Probability
|
|
|[[प्रायिकता की अभिगृहतीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Classical theory of probability
|
|
|[[प्रायिकता का पुरातन सिद्धांत]]
|-
|
|
|Statistical approach of probability
|
|
|[[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Outcome
|
|
|[[संभावित परिणाम]]
|-
|
|
|Sample space
|
|
|[[प्रतिदर्श समष्टि]]
|-
|
|
|Sample Points
|
|
|[[प्रतिदर्श बिंदुओं]]
|-
|
|
|Impossible Event
|
|
|[[असंभव घटना]]
|-
|
|
|Sure Event
|
|
|[[निश्चित घटना]]
|-
|
|
|Simple Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सरल घटना]]
|-
|
|
|Compound Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[मिश्र घटना]]
|-
|
|
|Complementary Event
|
|
|[[पूरक घटना]]
|-
|
|
|Mutually exclusive events
|
|
|[[परस्पर अपवर्जी घटनाएँ]]
|-
|
|
|Exhaustive events
|
|
|[[निःशेष घटनाएँ]]
|-
|
|
|Probability of an event
|
|
|[[घटना की प्रायिकता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|17
|Infinite Series
|
|
|अनंत श्रेणी
|
|-
|
|Appendix-1
|Binomial Theorem for any Index
|
|
|[[किसी घातांक के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Infinite Geometric Series
|
|
|[[अनंत गुणोत्तर श्रेणी]]
|-
|
|
|Exponential series
|
|
|[[चरघातांकी श्रेणी]]
|-
|
|
|Logarithmic series
|
|
|[[लघुगणकीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Series
|
|
|[[अनंत श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Sequence
|
|
|[[अनंत अनुक्रम]]
|-
|
|
|Binomial Series
|
|
|[[द्विपद श्रेणी]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|
|Appendix-2
|Preliminaries
|
|
|[[प्रारंभिक प्रबंध]]
|-
|
|
|What is Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन क्या है]]
|-
|
|
|Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन]]
|-
|
|
|Interpretation of the model
|
|
|[[निदर्श का अर्थ निर्वचन]]
|-
|
|
|Validation of the model
|
|
|[[निदर्श का मान्यकरण]]
|-
|
|
|Solution of the model
|
|
|[[निदर्श का हल]]
|}
[[Category:Information]]

Taxonomy for Mathematics Articles-11th Class

2024-11-02T17:08:26Z

Ramamurthy:

{| class="wikitable"
!S.No
!Chapters
!Topics
!'''Article Creator Name'''
!'''अध्याय'''
!विषय
|-
|1
|Sets
|1.Sets and their representations
|Ramamurthy
Mani
|समुच्चय
|[[समुच्चय और उनका निरूपण]]
|-
|
|
|2.The Empty Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रिक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|3.Finite and Infinite Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[परिमित और अपरिमित समुच्चय]]
|-
|
|
|4.Equal Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समान समुच्चय]]
|-
|
|
|5.Subsets
|
|
|[[उपसमुच्चय]]
|-
|
|
|5.1 Subsets of set of real numbers
|
|
|
|-
|
|
|5.2 Intervals as subsets of R
|
|
|
|-
|
|
|Power Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[घात समुच्चय]]
|-
|
|
|6.Universal Set
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सार्वत्रिक समुच्चय]]
|-
|
|
|7.Venn Diagrams
|Ramamurthy
Mani
|
|[[वेन आरेख]]
|-
|
|
|8.Operations on Sets
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समुच्चयों पर संक्रियाएँ]]
|-
|
|
|9. Complement of a Set
|
|
|[[समुच्चय का पूरक]]
|-
|
|
|Practical Problems on Union and Intersection of Two Sets
|
|
|[[दो समुच्चयों के सम्मिलन और सर्वनिष्ठ पर आधारित व्यावहारिक प्रश्न]]
|-
|
|
|Sets
|
|
|[[समुच्चय]]
|-
|
|
|Geometry
|
|
|[[ज्यामिति]]
|-
|
|
|Sequences
|
|
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Probability
|
|
|[[प्रायिकता]]
|-
|
|
|Trigonometric series
|
|
|[[त्रिकोणमितीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Natural Numbers
|
|
|[[प्राकृत संख्याएँ]]
|-
|
|
|Prime Numbers
|
|
|[[अभाज्य संख्याएँ]]
|-
|
|
|Triangles
|
|
|[[त्रिभुज]]
|-
|
|
|Prime factors
|
|
|[[अभाज्य गुणनखंड]]
|-
|
|
|Equation
|
|
|[[समीकरण]]
|-
|
|
|Integers
|
|
|[[पूर्णांक]]
|-
|
|
|Rational Numbers
|
|
|[[परिमेय संख्याएँ]]
|-
|
|
|Real Numbers
|
|
|[[वास्तविक संख्याएँ]]
|-
|
|
|Roster or tabular form (Sets)
|
|
|[[रोस्टर या सारणीबद्ध रूप (समुच्चय)]]
|-
|
|
|Set-builder form (Sets)
|
|
|[[समुच्चय-निर्माण रूप(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Null Set
|
|
|[[शून्य समुच्चय]]
|-
|
|
|Superset
|
|
|[[अधिसमुच्चय]]
|-
|
|
|Singleton set
|
|
|[[एकल समुच्चय]]
|-
|
|
|Closed Interval
|
|
|[[संवृत(बंद) अंतराल]]
|-
|
|
|Open Interval
|
|
|[[खुला अंतराल]]
|-
|
|
|8.1 Union of sets
|
|
|[[सम्मिलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.2 Intersection of sets
|
|
|[[सर्वनिष्ट(समुच्चय)]]
|-
|
|
|8.3 Difference of sets
|
|
|
|-
|
|
|Disjoint Sets
|
|
|[[असंयुक्त समुच्चय]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|2
|Relations and Functions
|Cartesian Product of Sets
|
|संबंध और फलन
|[[समुच्चयों का कार्टेशियन गुणन]]
|-
|
|
|Relations
|
|
|[[संबंध]]
|-
|
|
|Functions
|
|
|[[फलन]]
|-
|
|
|Ordered triplet
|
|
|[[क्रमित त्रिक]]
|-
|
|
|Domain (sets)
|
|
|[[प्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Range (Sets)
|
|
|[[परिसर(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Arrow diagram (Sets)
|
|
|[[दृष्टि चित्रण(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Codomain (Sets)
|
|
|[[सहप्रांत(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Real Function
|
|
|[[वास्तविक फलन]]
|-
|
|
|Identity function (sets)
|
|
|[[तत्समक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Constant function (sets)
|
|
|[[अचर फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Polynomial functions (sets)
|
|
|[[बहुपदीय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Rational functions (sets)
|
|
|[[परिमेय फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Modulus function (sets)
|
|
|[[मापांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Signum function (sets)
|
|
|[[चिन्ह फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|Greatest integer function (sets)
|
|
|[[महत्तम पूर्णांक फलन(समुच्चय)]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|3
|Trignometric Functions
|Angles
|Ramamurthy
Mani
|त्रिकोणमितीय फलन
|[[कोण]]
|-
|
|
|Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|Trigonometric Functions of Sum and Difference of Two Angles
|
|
|[[दो कोणों के योग और अंतर का त्रिकोणमितीय फलन]]
|-
|
|
|Trigonometric Equations
|
|
|[[त्रिकोणमितीय समीकरण]]
|-
|
|
|Trigonometry
|
|
|[[त्रिकोणमिति]]
|-
|
|
|Quadrantal angles
|
|
|[[चतुर्थाँशीय कोण]]
|-
|
|
|Trigonometric identities
|
|
|[[त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]
|-
|
|
|Prinicipal solutions
|
|
|[[मुख्य हल]]
|-
|
|
|General solution
|
|
|[[व्यापक हल]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|4
|Principle of Mathematical Induction
|Motivation
|
|गणितीय आगमन का सिद्धांत
|[[प्रेरणा]]
|-
|
|
|The Principle of Mathematical Induction
|
|
|[[गणितीय आगमन का सिद्धांत]]
|-
|
|
|Conjecture
|
|
|[[अनुमान(कंजेक्चर)]]
|-
|
|
|Inductive hypothesis
|
|
|[[आगमन परिकल्पना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|5
|Complex Numbers and Quadratic Equations
|Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण
|[[सम्मिश्र संख्याएँ]]
|-
|
|
|Algebra of Complex Numbers
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्याओं का बीजगणित]]
|-
|
|
|The Modulus and the Conjugate of a Complex Number
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सम्मिश्र संख्या का मापांक और संयुग्मी]]
|-
|
|
|Argand Plane and Polar Representation
|Ramamurthy
Mani
|
|[[आर्गंड तल और ध्रुवीय निरूपण]]
|-
|
|
|Quadratic Equations
|Mani
|
|[[द्विघातीय समीकरण]]
|-
|
|
|Linear equations
|Ramamurthy
Mani
|
|[[रैखिक समीकरण]]
|-
|
|
|Closure Law
|
|
|[[संवरक नियम]]
|-
|
|
|Commutative Law
|
|
|[[क्रम विनिमय नियम]]
|-
|
|
|Associative Law
|
|
|[[साहचर्य नियम]]
|-
|
|
|Additive Inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Additive Identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[योगात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative identity
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक तत्समक]]
|-
|
|
|Multiplicative inverse
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणात्मक प्रतिलोम]]
|-
|
|
|Complex plane
|Mani
|
|[[सम्मिश्र तल]]
|-
|
|
|Real axis
|
|
|[[वास्तविक अक्ष]]
|-
|
|
|Imaginary axis
|
|
|[[काल्पनिक अक्ष]]
|-
|
|
|Polar co-ordinates
|
|
|[[ध्रुवीय निर्देशांक]]
|-
|
|
|Principal argument
|
|
|[[मुख्य आयाम]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|6
|Linear Inequalities
|Inequalities
|
|रैखिक असमिकाएँ
|[[असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Algebraic Solutions of Linear Inequalities in One Variable and
their Graphical Representation
|
|
|[[एक चर राशि के रैखिक असमिकाओं का बीजगणितीय हल और उनका आलेखीय निरूपण]]
|-
|
|
|Graphical Solution of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों के रैखिक असमिकाओं का आलेखीय हल]]
|-
|
|
|Solutions of System of Linear Inequalities in Two Variables
|
|
|[[दो चर राशियों की असमिका निकाय का हल]]
|-
|
|
|Numerical inequalities
|
|
|[[संख्यांक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Literal inequalities
|
|
|[[शाब्दिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Strict inequalities
|
|
|[[सुनिश्चित असमिकाएँ]]
|-
|
|
|Linear inequalities
|
|
|[[रैखिक असमिकाएँ]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|7
|Permutations and Combinations
|Fundamental Principle of Counting
|
|क्रमचय और संचय
|[[गणना का आधारभूत सिद्धांत]]
|-
|
|
|Permutations
|
|
|[[क्रमचय]]
|-
|
|
|Combinations
|
|
|[[संचय]]
|-
|
|
|Multiplication principle
|
|
|[[गुणन सिद्धांत]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|8
|Binomial Theorem
|Binomial Theorem for Positive Integral Indices
|
|द्विपद प्रमेय
|[[धन पूर्णांकों के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|General and Middle Terms
|
|
|[[व्यापक एवं मध्य पद]]
|-
|
|
|Binomial theorem
|
|
|[[द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Pascal's triangle
|
|
|[[पास्कल त्रिभुज]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|9
|Sequences and Series
|Sequences
|Ramamurthy Mani
|अनुक्रम तथा श्रेणी
|[[अनुक्रम]]
|-
|
|
|Series
|Ramamurthy
Mani
|
|[[श्रेणी]]
|-
|
|
|Arithmetic Progression(A.P)
|
|
|[[समांतर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Geometric Progression(G.P)
|Ramamurthy
Mani
|
|[[गुणोत्तर श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Relationship between A.M and G.M
|Ramamurthy
Mani
|
|[[समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के बीच संबंध]]
|-
|
|
|Sum to n terms of Special Series
|
|
|[[विशेष अनुक्रमों के n पदों का योगफल]]
|-
|
|
|Progressions
|
|
|[[श्रेढ़ी]]
|-
|
|
|Terms
|
|
|[[पद]]
|-
|
|
|General term
|
|
|[[व्यापक पद]]
|-
|
|
|Finite Sequence
|
|
|[[परिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Infinite sequence
|
|
|[[अपरिमित अनुक्रम]]
|-
|
|
|Fibonacci Sequence
|Ramamurthy Mani
|
|[[फिबोनाची अनुक्रम]]
|-
|
|
|Sigma Notation
|
|
|[[सिग्मा संकेत]]
|-
|
|
|Arithmetic Mean
|
|
|[[समांतर माध्य]]
|-
|
|
|Geometric Mean
|
|
|[[गुणोत्तर माध्य]]
|-
|
|
|Common ratio
|
|
|[[सार्व अनुपात]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|10
|Straight Lines
|Slope of a Line
|
|सरल रेखाएं
|[[रेखा की ढाल]]
|-
|
|
|Various Forms of the Equations of a Line
|
|
|[[रेखा के समीकरणों के विविध रूप]]
|-
|
|
|General Equations of a Line
|
|
|[[रेखा का व्यापक समीकरण]]
|-
|
|
|Distance of a Point from a Line
|
|
|[[एक बिंदु की रेखा से दूरी]]
|-
|
|
|Analytical Geometry
|
|
|[[वैश्लेषिक ज्यामिति]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|11
|Conic Sections
|Sections of a Cone
|
|शंकु परिच्छेद
|[[शंकु के परिच्छेद]]
|-
|
|
|Circle
|
|
|[[वृत्त]]
|-
|
|
|Parabola
|
|
|[[परवलय]]
|-
|
|
|Ellipse
|
|
|[[दीर्घवृत्त]]
|-
|
|
|Hyperbola
|
|
|[[अतिपरवलय]]
|-
|
|
|Conic Sections
|
|
|[[शंकु परिच्छेद]]
|-
|
|
|Latus rectum
|
|
|[[नाभिलंब जीवा]]
|-
|
|
|Eccentricity
|
|
|[[उत्केन्द्रता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|12
|Introduction to Three Dimensional Geometry
|Coordinate Axes and Coordinate Planes in Three Dimensional Space
|Mani
|त्रिविमीय ज्यामिति का परिचय
|[[त्रिविमीय अंतरिक्ष में निर्देशांक्ष और निर्देशांक-तल]]
|-
|
|
|Coordinates of a Point in Space
|Mani
|
|[[अंतरिक्ष में एक बिन्दु के निर्देशांक]]
|-
|
|
|Distance between Two Points
|Mani
|
|[[दो बिंदुओं के बीच की दूरी]]
|-
|
|
|Section Formula
|Mani
|
|[[विभाजन सूत्र]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|13
|Limits and Derivatives
|Intuitive Idea of Derivatives
|
|सीमा और अवकलज
|[[अवकलाजों का सहजानुभूत बोध]]
|-
|
|
|Limits
|
|
|[[सीमाएं]]
|-
|
|
|Limits of Trigonometric Functions
|
|
|[[त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएं]]
|-
|
|
|Derivatives
|
|
|[[अवकलज]]
|-
|
|
|Calculus
|
|
|[[कलन]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|14
|Mathematical Reasoning
|Statements
|
|गणितीय विवेचन
|[[कथन]]
|-
|
|
|New statements from Old
|
|
|[[पूर्व ज्ञात कथनों से नए कथन बनाना]]
|-
|
|
|Special Words/Phrases
|
|
|[[विशेष शब्द/वाक्यांश]]
|-
|
|
|Implications
|
|
|[[अंतर्भाव]]
|-
|
|
|Validating Statements
|
|
|[[कथनों की वैधता को प्रमाणित(सत्यापित) करना]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|15
|Statistics
|Measures of Dispersion
|
|सांख्यिकी
|[[प्रकीर्णन की माप]]
|-
|
|
|Range
|
|
|[[परिसर]]
|-
|
|
|Mean Deviation
|
|
|[[माध्य विचलन]]
|-
|
|
|Variance and Standard Deviation
|
|
|[[प्रसरण और मानक विचलन]]
|-
|
|
|Analysis of Frequency Distributions
|
|
|[[बारंबारता बंटनों का विश्लेषण]]
|-
|
|
|Continuous frequency distribution
|
|
|[[सतत बारंबारता बंटन]]
|-
|
|
|Statistics
|
|
|[[सांख्यिकी]]
|-
|
|
|Measure of Central Tendency
|
|
|[[केन्द्रीय प्रवृत्ति की माप]]
|-
|
|
|Mean
|
|
|[[माध्य]]
|-
|
|
|Mode
|
|
|[[बहुलक]]
|-
|
|
|Median
|
|
|[[माध्यिका]]
|-
|
|
|Quartile Deviation
|
|
|[[चतुर्थक विचलन]]
|-
|
|
|Coefficient of variation
|
|
|[[विचरण गुणांक]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|16
|Probability
|Random Experiments
|
|प्रायिकता
|[[यादृच्छिक परीक्षण]]
|-
|
|
|Event
|
|
|[[घटना(प्रायिकता)]]
|-
|
|
|Axiomatic Approach to Probability
|
|
|[[प्रायिकता की अभिगृहतीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Classical theory of probability
|
|
|[[प्रायिकता का पुरातन सिद्धांत]]
|-
|
|
|Statistical approach of probability
|
|
|[[प्रायिकता का सांख्यिकीय दृष्टिकोण]]
|-
|
|
|Outcome
|
|
|[[संभावित परिणाम]]
|-
|
|
|Sample space
|
|
|[[प्रतिदर्श समष्टि]]
|-
|
|
|Sample Points
|
|
|[[प्रतिदर्श बिंदुओं]]
|-
|
|
|Impossible Event
|
|
|[[असंभव घटना]]
|-
|
|
|Sure Event
|
|
|[[निश्चित घटना]]
|-
|
|
|Simple Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[सरल घटना]]
|-
|
|
|Compound Event
|Ramamurthy
Mani
|
|[[मिश्र घटना]]
|-
|
|
|Complementary Event
|
|
|[[पूरक घटना]]
|-
|
|
|Mutually exclusive events
|
|
|[[परस्पर अपवर्जी घटनाएँ]]
|-
|
|
|Exhaustive events
|
|
|[[निःशेष घटनाएँ]]
|-
|
|
|Probability of an event
|
|
|[[घटना की प्रायिकता]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|17
|Infinite Series
|
|
|अनंत श्रेणी
|
|-
|
|Appendix-1
|Binomial Theorem for any Index
|
|
|[[किसी घातांक के लिए द्विपद प्रमेय]]
|-
|
|
|Infinite Geometric Series
|
|
|[[अनंत गुणोत्तर श्रेणी]]
|-
|
|
|Exponential series
|
|
|[[चरघातांकी श्रेणी]]
|-
|
|
|Logarithmic series
|
|
|[[लघुगणकीय श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Series
|
|
|[[अनंत श्रेणी]]
|-
|
|
|Infinite Sequence
|
|
|[[अनंत अनुक्रम]]
|-
|
|
|Binomial Series
|
|
|[[द्विपद श्रेणी]]
|-
|
|
|
|
|
|
|-
|
|Appendix-2
|Preliminaries
|
|
|[[प्रारंभिक प्रबंध]]
|-
|
|
|What is Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन क्या है]]
|-
|
|
|Mathematical Modelling
|
|
|[[गणितीय निदर्शन]]
|-
|
|
|Interpretation of the model
|
|
|[[निदर्श का अर्थ निर्वचन]]
|-
|
|
|Validation of the model
|
|
|[[निदर्श का मान्यकरण]]
|-
|
|
|Solution of the model
|
|
|[[निदर्श का हल]]
|}
[[Category:Information]]

स्केल गुणक

2024-10-16T17:43:54Z

Ramamurthy:

[[Category:त्रिभुज]]
[[Category:गणित]]
स्केल गुणक का उपयोग विभिन्न आयामों में आकृतियों को स्केल करने के लिए किया जाता है । ज्यामिति में, हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के बारे में सीखते हैं जो दो-आयाम और तीन-आयाम दोनों में होती हैं। स्केल फ़ैक्टर समान आकृतियों के लिए एक माप है , जो समान दिखते हैं लेकिन उनके पैमाने या माप अलग-अलग होते हैं। मान लीजिए, दो वृत्त समान दिखते हैं लेकिन उनकी त्रिज्याएँ अलग-अलग हो सकती हैं।

== स्केल गुणक क्या है? ==
जिस आकार से आकृति को बड़ा या छोटा किया जाता है उसे उसका स्केल कारक कहा जाता है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब हमें <math>2D</math> आकृति , जैसे वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत, आदि का आकार बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

यदि <math>y = Kx</math> एक समीकरण है, तो <math>K</math>, <math>x</math> के लिए स्केल फ़ैक्टर है। हम इस अभिव्यक्ति को आनुपातिकता के संदर्भ में भी प्रस्तुत कर सकते हैं:

<math>y\infty x</math>

इसलिए, हम यहां <math>K</math> को आनुपातिकता के स्थिरांक के रूप में मान सकते हैं।

स्केल फ़ैक्टर को मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा भी बेहतर ढंग से समझा जा सकता है ।

== स्केल गुणक सूत्र ==
स्केल गुणक का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

मूल आकार का आयाम x स्केल फैक्टर = नए आकार का आयाम

स्केल फ़ैक्टर = नए आकार का आयाम/मूल आकार का आयाम

दो वर्गों का उदाहरण लें जिनकी लंबाई-भुजाओं की लंबाई क्रमशः <math>6</math> इकाई और <math>3</math> इकाई है। अब, स्केल फ़ैक्टर खोजने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

चरण 1: <math>3x</math> स्केल फ़ैक्टर = <math>6</math>

चरण 2: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{3}{6}</math> (प्रत्येक पक्ष को <math>6</math> से विभाजित करें)।

चरण 3: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{1}{2}= 1:2</math> (सरलीकृत)।

इसलिए, बड़े वर्ग से छोटे वर्ग तक का स्केल फैक्टर <math>1:2</math> है।

स्केल फ़ैक्टर का उपयोग विभिन्न आकृतियों के साथ भी किया जा सकता है।

== त्रिभुज का स्केल गुणक ==
जो त्रिभुज समरूप होते हैं उनका आकार समान होता है और तीनों कोणों का माप भी समान होता है। एकमात्र चीज जो भिन्न होती है वह है उनके पक्ष। हालाँकि, एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, जिसे यहाँ स्केल फ़ैक्टर कहा जाता है।

यदि हमें छोटे त्रिभुज के समान बड़ा त्रिभुज खोजना है, तो हमें छोटे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को स्केल फैक्टर से गुणा करना होगा।

== स्केल गुणक उदाहरण ==
उदाहरण के लिए, <math>6</math> सेमी और <math>3</math> सेमी माप वाला एक आयत है।

यदि हम मूल आयत के लिए स्केल फैक्टर को <math>2</math> से बढ़ा देते हैं तो आयत की दोनों भुजाएं दोगुनी हो जाएंगी। यानी स्केल फैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>2</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>2</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>12</math> सेमी और चौड़ाई <math>6</math> सेमी है।

यदि हम मूल आयत के स्केल फ़ैक्टर को <math>3</math> से बढ़ा देते हैं तो दोनों भुजाएँ तिगुनी हो जाएँगी। यानी स्केल फ़ैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फ़ैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>3</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>3</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>18</math> सेमी और चौड़ाई <math>9</math> सेमी है।

== स्केल फैक्टर के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग ==

# यदि आपके घर पर किसी पार्टी में अपेक्षा से अधिक लोगों का समूह है। आपको सभी को खिलाने के लिए खाद्य पदार्थों की सामग्री को प्रत्येक को समान संख्या से गुणा करके बढ़ाना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपकी अपेक्षा से <math>4</math> लोग अतिरिक्त हैं और एक व्यक्ति को <math>2</math> पिज़्ज़ा स्लाइस की आवश्यकता है, तो आपको उन सभी को खिलाने के लिए <math>8</math> और पिज़्ज़ा स्लाइस बनाने की आवश्यकता है।
# इसी प्रकार, स्केल फ़ैक्टर का उपयोग किसी विशेष प्रतिशत वृद्धि का पता लगाने या किसी राशि के प्रतिशत की गणना करने के लिए किया जाता है।
# यह हमें समय सारणी ज्ञान का उपयोग करके विभिन्न समूहों के अनुपात और अनुपात का पता लगाने की सुविधा भी देता है।
# आकार बदलने के लिए: इसमें कितना बड़ा करना है यह व्यक्त करने का अनुपात निकाला जा सकता है।
# स्केल ड्राइंग: यह दिए गए मूल आंकड़े की तुलना में ड्राइंग को मापने का अनुपात है।
# <math>2</math> समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करने के लिए: जब हम स्केल फैक्टर द्वारा दो समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करते हैं, तो यह संबंधित पक्षों की लंबाई का अनुपात देता है।
[[Category:कक्षा-10]]

स्केल गुणक

2024-10-16T17:36:53Z

Ramamurthy:

[[Category:त्रिभुज]]
[[Category:गणित]]
स्केल गुणक का उपयोग विभिन्न आयामों में आकृतियों को स्केल करने के लिए किया जाता है । ज्यामिति में, हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के बारे में सीखते हैं जो दो-आयाम और तीन-आयाम दोनों में होती हैं। स्केल फ़ैक्टर समान आकृतियों के लिए एक माप है , जो समान दिखते हैं लेकिन उनके पैमाने या माप अलग-अलग होते हैं। मान लीजिए, दो वृत्त समान दिखते हैं लेकिन उनकी त्रिज्याएँ अलग-अलग हो सकती हैं।

== स्केल गुणक क्या है? ==
जिस आकार से आकृति को बड़ा या छोटा किया जाता है उसे उसका स्केल कारक कहा जाता है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब हमें 2D आकृति , जैसे वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत, आदि का आकार बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

यदि <math>y = Kx</math> एक समीकरण है, तो <math>K</math>, <math>x</math> के लिए स्केल फ़ैक्टर है। हम इस अभिव्यक्ति को आनुपातिकता के संदर्भ में भी प्रस्तुत कर सकते हैं:

<math>y\infty x</math>

इसलिए, हम यहां K को आनुपातिकता के स्थिरांक के रूप में मान सकते हैं।

स्केल फ़ैक्टर को मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा भी बेहतर ढंग से समझा जा सकता है ।

== स्केल गुणक सूत्र ==
स्केल गुणक का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

मूल आकार का आयाम x स्केल फैक्टर = नए आकार का आयाम

स्केल फ़ैक्टर = नए आकार का आयाम/मूल आकार का आयाम

दो वर्गों का उदाहरण लें जिनकी लंबाई-भुजाओं की लंबाई क्रमशः 6 इकाई और 3 इकाई है। अब, स्केल फ़ैक्टर खोजने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

चरण 1: <math>3x</math> स्केल फ़ैक्टर = <math>6</math>

चरण 2: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{3}{6}</math> (प्रत्येक पक्ष को <math>6</math> से विभाजित करें)।

चरण 3: स्केल फ़ैक्टर <math>=\frac{1}{2}= 1:2</math> (सरलीकृत)।

इसलिए, बड़े वर्ग से छोटे वर्ग तक का स्केल फैक्टर <math>1:2</math> है।

स्केल फ़ैक्टर का उपयोग विभिन्न आकृतियों के साथ भी किया जा सकता है।

== त्रिभुज का स्केल गुणक ==
जो त्रिभुज समरूप होते हैं उनका आकार समान होता है और तीनों कोणों का माप भी समान होता है। एकमात्र चीज जो भिन्न होती है वह है उनके पक्ष। हालाँकि, एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, जिसे यहाँ स्केल फ़ैक्टर कहा जाता है।

यदि हमें छोटे त्रिभुज के समान बड़ा त्रिभुज खोजना है, तो हमें छोटे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को स्केल फैक्टर से गुणा करना होगा।

== स्केल गुणक उदाहरण ==
उदाहरण के लिए, <math>6</math> सेमी और <math>3</math> सेमी माप वाला एक आयत है।

यदि हम मूल आयत के लिए स्केल फैक्टर को <math>2</math> से बढ़ा देते हैं तो आयत की दोनों भुजाएं दोगुनी हो जाएंगी। यानी स्केल फैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>2</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>2</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>12</math> सेमी और चौड़ाई <math>6</math> सेमी है।

यदि हम मूल आयत के स्केल फ़ैक्टर को <math>3</math> से बढ़ा देते हैं तो दोनों भुजाएँ तिगुनी हो जाएँगी। यानी स्केल फ़ैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फ़ैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को <math>3</math> से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई <math>6</math> सेमी और चौड़ाई <math>3</math> सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को <math>3</math> बढ़ाने के बाद, लंबाई <math>18</math> सेमी और चौड़ाई <math>9</math> सेमी है।

== स्केल फैक्टर के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग ==

# यदि आपके घर पर किसी पार्टी में अपेक्षा से अधिक लोगों का समूह है। आपको सभी को खिलाने के लिए खाद्य पदार्थों की सामग्री को प्रत्येक को समान संख्या से गुणा करके बढ़ाना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपकी अपेक्षा से 4 लोग अतिरिक्त हैं और एक व्यक्ति को 2 पिज़्ज़ा स्लाइस की आवश्यकता है, तो आपको उन सभी को खिलाने के लिए 8 और पिज़्ज़ा स्लाइस बनाने की आवश्यकता है।
# इसी प्रकार, स्केल फ़ैक्टर का उपयोग किसी विशेष प्रतिशत वृद्धि का पता लगाने या किसी राशि के प्रतिशत की गणना करने के लिए किया जाता है।
# यह हमें समय सारणी ज्ञान का उपयोग करके विभिन्न समूहों के अनुपात और अनुपात का पता लगाने की सुविधा भी देता है।
# आकार बदलने के लिए: इसमें कितना बड़ा करना है यह व्यक्त करने का अनुपात निकाला जा सकता है।
# स्केल ड्राइंग: यह दिए गए मूल आंकड़े की तुलना में ड्राइंग को मापने का अनुपात है।
# 2 समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करने के लिए: जब हम स्केल फैक्टर द्वारा दो समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करते हैं, तो यह संबंधित पक्षों की लंबाई का अनुपात देता है।

[[File:Scale factor.jpg|thumb]]
[[Category:कक्षा-10]]

रैखिक समीकरण

2024-10-12T08:35:00Z

Ramamurthy:

[[Category:रैखिक समीकरण]]
रैखिक समीकरण, एक बीजीय समीकरण है जिसमें चर की उच्चतम घात हमेशा 1 होती है। इसे एक-घातीय समीकरण के रूप में भी जाना जाता है। जब इस समीकरण को रेखांकन किया जाता है, तो इसका परिणाम प्रायः एक सीधी रेखा में होता है। इसलिए इसे 'रैखिक' समीकरण का नाम दिया गया है।

एक चर में रैखिक समीकरण का मानक रूप <math>ax+b=0 </math> के रूप का होता है। यहाँ, <math>x </math> एक चर है, <math>a</math> एक गुणांक है, और <math>b</math> स्थिरांक है।

दो चर वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप इस प्रकार का होता है

<math>ax+by=c </math> यहां, <math>x </math> और <math>y</math> चर हैं, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, और <math>c</math> एक स्थिरांक है।

एक चर में रैखिक समीकरण का उदाहरण <math>5x+6=0 </math>

दो चर वाले रैखिक समीकरण का उदाहरण <math>5x+6y +7=0 </math>
[[File:Linear equation format - Hindi.jpg|alt=Fig.1|none|thumb|Fig.1]]

'''समस्या 1 :'''

निम्नलिखित समीकरणों में से प्रत्येक को ax + by + c = 0 के रूप में लिखें और प्रत्येक स्थिति में a, b और c के मान इंगित करें:

<math>4=5x-3y </math>

'''हल:'''

<math>5x-3y-4 =0 </math> , यहाँ <math>a=5, b=-3 , c=-4 </math>

'''समस्या 2 :'''

निम्नलिखित में से प्रत्येक को दो चरों वाले समीकरण के रूप में लिखिए।

(i) <math>x=-5 </math> ----- <math>1.x+0.y+5=0 </math>

(i) <math>5y=2 </math> ----- <math>0.x+5.y-2=0 </math>

[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
[[Category:गणित]]

चक्रीय चतुर्भुज

2024-10-10T15:05:18Z

Ramamurthy:

[[File:Cyclic quadrilateral.jpg|alt=Fig. 1|thumb|चित्र -1]]
एक [[चतुर्भुज]] ABCD चक्रीय कहलाता है यदि इसके चारों शीर्ष एक वृत्त पर स्थित हों (चित्र-1 देखें)।

यहाँ हमें <math>\angle A+\angle C =180^\circ</math>and <math>\angle B+\angle D =180^\circ</math>प्राप्त होता है।

चक्रीय चतुर्भुज से संबंधित प्रमेय नीचे उल्लिखित हैं।

प्रमेय 1: चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी भी युग्म का योग <math>180^\circ</math> होता है।

प्रमेय 2: यदि चतुर्भुज के विपरीत कोणों के किसी युग्म का योग <math>180^\circ</math> है, तो चतुर्भुज चक्रीय होता है।

== उदाहरण ==
[[File:Cyclic quadrilateral - 2.jpg|alt=Fig. 2|thumb|चित्र -2]]
1: चित्र 2 में, <math>ABCD</math> एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसमें <math>AC</math> और <math>BD</math> इसके विकर्ण हैं।

यदि <math>\angle DBC =55^\circ</math>और <math>\angle BAC =45^\circ</math>हैं , <math>\angle BCD</math> ज्ञात कीजिए

हल:

<math>\angle CAD=\angle DBC =55^\circ</math>(एक ही खंड में कोण)

अत:, <math>\angle DAB=\angle CAD+\angle BAC</math>

<math>\angle DAB=55^\circ +45^\circ=100^\circ</math>

परंतु <math>\angle DAB+\angle BCD = 180^\circ</math>(चक्रीय चतुर्भुज के विपरीत कोण)

<math>\angle BCD = 180^\circ -\angle DAB</math>

<math>\angle BCD = 180^\circ -100^\circ =80^\circ</math>

[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

केंद्र से जीवा पर लंब

2024-09-26T16:36:56Z

Ramamurthy: /* प्रमेय : */

गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लंब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

== केंद्र से जीवा पर लंब– प्रमेय एवं प्रमाण ==

=== प्रमेय : ===
एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg|alt=Fig. 1|thumb|150x150px|चित्र-1]]
चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले <math>O</math> वाले एक वृत्त पर विचार करें

<math>AB</math> एक जीवा है जिससे रेखा <math>OX</math> जीवा <math>AB</math> पर लंबवत है। <math>OX\perp AB</math>

हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है:<math>AX=BX</math>

दो त्रिभुजों <math>OAX</math> और <math>OBX</math> पर विचार करें

<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)

<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)

RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज <math>OAX</math>, <math>OBX</math> के सर्वांगसम है।

अतः,

<math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>

अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>AX=BX</math> (CPCT द्वारा)

इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है

'''प्रमाण:'''

चित्र-1 पर विचार करें

मान लीजिए <math>AB</math> केंद्र <math>O</math> वाले वृत्त की जीवा है।

केंद्र <math>O</math> को जीवा <math>AB</math> के मध्यबिंदु <math>X</math> से जोड़ा गया है।

अब, हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है <math>OX\perp AB</math>

<math>OA</math> और <math>OB</math> को मिलाने पर दो त्रिभुज <math>OAX</math> और <math>OBX</math> बनते हैं

यहाँ,

<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)

<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)

<math>AX=BX</math> (क्योंकि <math>X</math> , <math>AB</math> का मध्यबिंदु है)

अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.

इस प्रकार, RHS नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

इससे यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केंद्र से होकर जीवा को समद्विभाजित करने वाली रेखा जीवा पर लंबवत होती है। अत: इस प्रमेय का व्युत्क्रम सिद्ध होता है।

[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

2024-09-26T16:32:54Z

Ramamurthy: /* पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ */

[[Category:त्रिकोणमिति का परिचय]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-10]]
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, त्रिकोणमिति का एक मूलभूत पहलू है, जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन है। यह सर्वसमिकाएँ गणितीय समीकरण हैं जिनमें ज्या(साइन), कोटिज्या(कोसाइन) और स्पर्शरेखा जैसे त्रिकोणमितीय फलन उपस्थित होते हैं और उपस्थित चर के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, व्यंजक को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और विज्ञान और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोगी हैं। गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में छात्रों और पेशेवरों(प्रोफेशनल्स) के लिए इन सर्वसमिकाएँ के गुणों और अनुप्रयोगों को समझना आवश्यक है।

== पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ==
त्रिकोणमिति में पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से ली गई हैं। निम्नलिखित 3 पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं।

* <math> cos^2A + sin^2A=1 </math>
*<math> 1+tan^2A =sec^2A </math>
*<math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>
[[File:Trigonometric ratios -1 - Hindi.jpg|alt=चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ|thumb|350x350px|चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]
<math>\bigtriangleup ABC</math> में <math>B</math> पर समकोण है (चित्र-1 देखें) हमारे पास है

<math>AB^2+BC^2=AC^2 ....... (1)</math>

<math>(1)</math> के प्रत्येक पद को <math>AC^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{AC^2}+\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{AC} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{AC} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{AC} \right ]^2 </math>

<math> cos^2A + sin^2A=1 </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A \leq 90^\circ</math>

(1) के प्रत्येक पद को <math>AB^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{AB^2}+\frac{BC^2}{AB^2}=\frac{AC^2}{AB^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{AB} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{AB} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{AB} \right ]^2 </math>

<math> 1+tan^2A =sec^2A </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A < 90^\circ</math>

(1) के प्रत्येक पद को <math>BC^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{BC^2}{BC^2}=\frac{AC^2}{BC^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{BC} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{BC} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{BC} \right ]^2 </math>

<math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ <A \leq 90^\circ</math>

निर्देशांक तल

2024-09-26T15:45:51Z

Ramamurthy:

[[File:Cartesian-coordinate-system-with-quadrant.svg|alt=Cartesian-coordinate|thumb|कार्टेशियन-निर्देशांक]]एक कार्तीय(कार्टेशियन) तल समतल स्थान को दो आयामों में विभाजित करता है और बिंदुओं का आसानी से पता लगाने के लिए उपयोगी होता है। इसे निर्देशांक तल भी कहा जाता है। निर्देशांक तल के दो अक्ष क्षैतिज x-अक्ष और ऊर्ध्वाधर y-अक्ष हैं। ये समन्वय अक्ष समतल को चार चतुर्भुजों में विभाजित करते हैं, और इन अक्षों का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल <math>(0,0)</math> है। निर्देशांक तल में किसी भी बिंदु को एक बिंदु x,y द्वारा संदर्भित किया जाता है, जहां <math>x</math> मान <math>x</math>-अक्ष के संदर्भ में बिंदु की स्थिति है, और <math>y</math> मान <math>y</math>-अक्ष के संबंध में बिंदु की स्थिति है।

निर्देशांक तल के चार चतुर्थांशों में दर्शाए गए बिंदु के गुण इस प्रकार हैं:

* मूल बिंदु <math>O</math>, <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष का प्रतिच्छेदन बिंदु है और इसमें निर्देशांक <math>(0,0)</math> हैं।
* मूल बिंदु <math>O</math> के दाईं ओर <math>x</math>-अक्ष धनात्मक <math>x</math>-अक्ष है और मूल बिंदु <math>O</math> के बाईं ओर ऋणात्मक <math>x</math>-अक्ष है। साथ ही, मूल बिंदु <math>O</math> के ऊपर <math>x</math>-अक्ष धनात्मक <math>y</math>-अक्ष है, और मूल बिंदु <math>O</math> के नीचे ऋणात्मक <math>y</math>-अक्ष है।
* पहले चतुर्थांश <math>(x,y)</math> में दर्शाए गए बिंदु में दोनों धनात्मक मान हैं और इसे धनात्मक <math>x</math>-अक्ष और धनात्मक <math>y</math>-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।

[[File:Cartesian coordinate system (comma).svg|alt=5|thumb]]

*दूसरे चतुर्थांश में दर्शाया गया बिंदु <math>(-x,y)</math>ऋणात्मक x}-अक्ष और धनात्मक y}-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।
*तीसरे चतुर्थांश <math>(-x,-y)</math> में दर्शाया गया बिंदु ऋणात्मक x}-अक्ष और ऋणात्मक y}-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।
* चौथे चतुर्थांश <math>(x,-y)</math> में दर्शाया गया बिंदु धनात्मक <math>x</math>-अक्ष और ऋणात्मक <math>y</math>-अक्ष के संदर्भ में आलेखित किया गया है।

[[Category:निर्देशांक ज्यामिति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

त्रिघाती बहुपद

2024-09-26T15:22:24Z

Ramamurthy:

त्रिघाती बहुपद एक प्रकार का बहुपद है जिसमें चर या घात की उच्चतम घात <math>3</math> होती है। त्रिघाती बहुपद का उपयोग भौतिकी, इंजीनियरिंग और अर्थशास्त्र सहित गणित और विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में किया जाता है।

== परिभाषा ==
त्रिघाती बहुपद, एक ऐसा बहुपद है जिसमें एक चर का उच्चतम घातांक होता है अर्थात चर का घात <math>3</math> होता है। एक त्रिघाती बहुपद का सामान्य रूप <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> है, जहां <math>a,b,c</math> गुणांक हैं और <math>d</math> वह स्थिरांक है जिसमें वे सभी वास्तविक संख्या हैं।

त्रिघाती बहुपद वाले समीकरण को त्रिघाती समीकरण कहा जाता है।

त्रिघाती बहुपद के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं

<math>4x^3</math> , <math>2x^3+1</math> , <math>5x^3+x^2</math> , <math>2x^3+4x^2+6x+7</math>

== उदाहरण ==
गुणनखंडन <math>x^3-23x^2+142x-120</math> करने पर

<math>x^3-23x^2+142x-120</math>

<math>x^3-x^2-22x^2+22x+120x-120</math>

<math>x^2(x-1)-22x(x-1)+120(x-1)</math>

<math>(x-1)(x^2-22x+120)</math> सर्वनिष्ठ गुणक <math>(x-1)</math> लेने पर

अब, गुणनखंडन <math>x^2-22x+120</math> करने पर

<math>x^2-22x+120</math>

<math>x^2-10x-12x+120</math>

<math>x(x-10)-12(x-10)</math>

<math>(x-10)(x-12)</math>

<math>x^3-23x^2+142x-120=(x-1)(x-10)(x-12)</math>
[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

द्विघाती बहुपद

2024-09-26T15:20:50Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

द्विघाती बहुपद वह होता है जिसमें बहुपद व्यंजक में एक चर पद की उच्चतम घात <math>2</math> के बराबर होता है।

=== परिभाषा ===
द्विघाती बहुपद एक द्वितीय-घात बहुपद है जहां उच्चतम घात पद का मान <math>2</math> के समान होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में दिया जाता है। यहां, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, <math>x</math> अज्ञात चर है और <math>c</math> है स्थिर पद. चूँकि इस समीकरण में एक द्विघाती बहुपद है, अतः इसे हल करने पर दो समाधान मिलेंगे। इसका तात्पर्य यह है कि <math>x</math> के दो मान हो सकते हैं।

=== उदाहरण ===
<math>x^2+4x+4=0</math>

इस समीकरण का हल खोजने के लिए हम इसका गुणनखंड इस प्रकार करते हैं

<math>x^2+4x+4=0</math>

<math>x^2+2x+2x+4</math>

<math>x(x+2)+2(x+2)</math>

<math>(x+2)(x+2)=0</math>

इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

बहुपद की घात

2024-09-26T15:19:50Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

बहुपदों की घात किसी फलन में समाधानों की अधिकतम संख्या निर्धारित करती है।

== परिभाषा ==
बहुपद की घात, एक बहुपद व्यंजक में चर की उच्चतम घात होती है। बहुपद को दो से अधिक बीजगणितीय पदों के व्यंजक के रूप में परिभाषित किया गया है, विशेष रूप से कई पदों का योग (या अंतर) जिसमें समान या अलग-अलग चर की विभिन्न घातें होती हैं। यह [[एकपद|एकपदी]] का एक रैखिक संयोजन है।

उदाहरण के लिए: <math>6x^4+4x^3+3x^2+2</math>

== उदाहरण ==
घात सहित बहुपद के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:

* <math>6x^4+4x^3+3x^2+2</math> – बहुपद की घात <math>4</math> है
* <math>4x^3+3x^2+2</math> – बहुपद की घात <math>3</math> है
* <math>3x^2+2</math> – बहुपद की घात <math>2</math> है
* <math>2x</math> – बहुपद की घात <math>1</math> है
* <math>2</math> – बहुपद की घात <math>0</math> है
*<math>8xy^2+2x^2+3x+6</math> – बहुपद की घात <math>3</math> है , चूंकि इस <math>8xy^2</math> पद में <math>x</math> का घातांक <math>1</math> है और <math>y</math> का घातांक <math>2</math> है , बहुपद की घात <math>1+2=3</math> है

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

त्रिपद

2024-09-26T15:19:22Z

Ramamurthy: /* परिभाषा */

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन पद होते हैं। बीजगणितीय व्यंजक में एक या अधिक पदों के चर और अचर होते हैं। ये व्यंजक +, -, ×, और ÷ जैसे प्रतीकों या संक्रियाओं को विभाजक के रूप में उपयोग करते हैं। इस बीजगणितीय व्यंजक के अंतर्गत एक त्रिपद के साथ-साथ एकपद, द्विपद और बहुपद को वर्गीकृत किया गया है।

== परिभाषा ==
त्रिपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें तीन गैर-शून्य पद होते हैं और व्यंजक में एक से अधिक चर होते हैं। त्रिपद एक प्रकार का बहुपद है लेकिन इसमें तीन पद होते हैं। बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक या अधिक पद होते हैं और इसे मानक रूप में <math>a_0x^n+a_1x^{n-1}+a_2x^{n-2}+.....+a_nx^0</math> के रूप में लिखा जाता है, जहां <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n</math>स्थिरांक हैं और <math>n</math> एक प्राकृतिक संख्या है।

अनेक चरों और तीन पदों वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+y^2+xy</math> , <math>xyz^3+x^2z^2+zy^3</math>हैं

एक चर वाले त्रिपदों के उदाहरण <math>x^2+2x+3</math>, <math>5x^4-4x^2+1</math> हैं

द्विपद

2024-09-26T15:18:56Z

Ramamurthy: /* द्विपद के उदाहरण */

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
द्विपद एक बहुपद है जिसमें केवल दो पद होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>x+2</math> एक द्विपद है, जहां <math>x</math> और <math>2</math> दो अलग पद हैं। इसलिए, एक द्विपद एक दो-पदीय बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें एक चर, गुणांक, घातांक और स्थिरांक शामिल होते हैं।

== परिभाषा ==
द्विपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें दो पद होते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बीजगणितीय व्यंजक जिसमें स्थिरांक और चर वाले दो असमान पद होते हैं, एक द्विपद व्यंजक है। ये पद <math>+</math> (जोड़ ) और <math>-</math>(घटाव ) जैसे अंकगणितीय संचालिका का उपयोग करके जुड़े हुए हैं।

द्विपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें <math>+</math> (जोड़ ) या <math>-</math>(घटाव ) से जुड़े दो अलग-अलग पद होते हैं। दूसरे शब्दों में, हम कह सकते हैं कि अलग-अलग घात के दो अलग-अलग एकपदी, एक द्विपद बनाने के लिए जोड़ या घटाव संकेतों से जुड़े होते हैं।

उदाहरण के लिए, दो एकपदी, <math>2x</math> और <math>5x^3</math> पर विचार करें। इन एकपदों को जोड़ने का व्यंजक, <math>2x+5x^3</math> द्वारा दिया गया एक द्विपद प्राप्त होता है।

== द्विपद के उदाहरण ==
कुछ द्विपद उदाहरण इस प्रकार हैं;
* <math>4x^2+5y^2</math>
* <math>4x^2+5x</math>
* <math>x+y</math>

एकपद

2024-09-26T15:18:30Z

Ramamurthy: /* एकपद के उदाहरण */

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[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
== परिभाषा ==
एकपद को एक व्यंजक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें एक गैर-शून्य पद है। इसमें चर, गुणांक और उसके घात जैसे अलग-अलग भाग होते हैं। एकपद में चर उसमें उपस्थित अक्षर होते हैं। गुणांक वे संख्याएँ हैं जिन्हें एकपद के चरों से गुणा किया जाता है। एकपद की घात सभी चरों के घातांकों का योग होती है।

आइए एक व्यंजक <math>8xy^2</math> पर विचार करें। इस एकपद के चर, गुणांक और घात को नीचे दी गई तालिका में दिखाया गया है।
{| class="wikitable"
|चर एकपद में उपस्थित अक्षर हैं
|चर
|<math>x,y</math>
|-
|गुणांक वह संख्या है जिसे चरों से गुणा किया जाता है।
|गुणांक
|<math>8</math>
|-
|घात एकपदी में चरों के घातांक का योग है।
<math>x</math> का घातांक <math>1</math> है, और <math>y</math> का घातांक <math>2</math> है,
इसलिए घात <math>2+1=3</math> है।
|घात
|<math>3</math>
|}

== एकपद की पहचान ==
निम्नलिखित गुणों की सहायता से एकपद को आसानी से पहचाना जा सकता है:

* एकपद व्यंजक में एक गैर-शून्य पद होना चाहिए।
* चरों के घातांक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए।
* हर में कोई चर नहीं होना चाहिए।

== एकपद के उदाहरण ==
* <math>12x</math>
* <math>xy</math>
* <math>x^2</math>

शून्य बहुपद

2024-09-26T15:17:56Z

Ramamurthy: /* परिभाषा */

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
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शून्य बहुपद एक प्रकार का बहुपद है जहां गुणांक शून्य होते हैं और साधारणतः <math>0</math> के रूप में लिखे जाते हैं और इसमें कोई पद नहीं होता है।

== परिभाषा ==
कोई भी बहुपद जिसके सभी चरों के गुणांक शून्य के समान हों, शून्य बहुपद कहलाता है। अत: शून्य बहुपद का मान शून्य होता है। जो फलन इसे परिभाषित करता है उसे स्थिर फलन या शून्य मानचित्र कहा जाता है जिसे प्रायः <math>p(x)=0</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां <math>x </math> बहुपद का चर है जिसका गुणांक शून्य है। एक शून्य बहुपद में विभिन्न घातों वाले चरों के साथ-साथ अनंत संख्या में पद हो सकते हैं, जहाँ चरों का गुणांक शून्य होता है। उदाहरण के लिए: <math>0x^2+0x+0</math>

अचर बहुपद

2024-09-26T15:17:21Z

Ramamurthy: /* अचर बहुपद आरेख */

बीजगणित में अचर बहुपद वह बहुपद होता है जिसकी घात शून्य के समान होती है। एक अचर बहुपद को दर्शाने का मानक रूप <math>f(x)=k</math> है जहाँ <math>k</math> एक वास्तविक संख्या है। इसका आरेख <math>x-</math>अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा है क्योंकि चर <math>x</math> में परिवर्तन के बाद भी अचर बहुपद <math>f(x)=k</math> का मान समान रहता है।

== परिभाषा ==
बीजगणित में शून्य घात वाले बहुपद को अचर बहुपद कहा जाता है।

सरल शब्दों में, हम कह सकते हैं कि बीजगणित में अचर बहुपद एक बहुपद है जिसका निर्गम(आउटपुट) मान (निवेश)इनपुट मानों में परिवर्तन के बाद भी समान रहता है। अचर बहुपद के कुछ उदाहरण इस प्रकार हैं:
* <math>f(x)=4</math>
* <math>g(x)=\pi</math>
== अचर बहुपद आरेख ==
[[File:Constant polynomial.jpg|alt=Constant polynomial|thumb|अचर बहुपद]]
हम जानते हैं कि (निवेश)इनपुट मान में परिवर्तन के साथ स्थिर निर्गम(आउटपुट) मान नहीं बदलता है। तो, इसमें <math>x-</math>अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा का आरेख(ग्राफ) है। नीचे एक अचर बहुपद का आरेख दिया गया है <math>f(x)=3</math>, <math>x</math> का मान जो भी हो, संबंधित निर्गम(आउटपुट) मान वही रहता है जो <math>3</math> के समान है।

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

बहुपद के पद

2024-09-26T15:16:53Z

Ramamurthy: /* बहुपद के पद */

[[Category:बहुपद]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
गणित में, बहुपद को एक बीजगणितीय व्यंजक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें चर, गुणांक और जोड़, घटाव, गुणा या भाग जैसे गणितीय संचालन उपस्थित होते हैं।

== बहुपद के पद ==
[[File:Terms Of Polynomial - Hindi.jpg|alt=बहुपद के पद|thumb|बहुपद के पद]]
बहुपद एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें दो या दो से अधिक बीजीय पद होते हैं। इसमें चर, अचर, गुणांक, घातांक और संचालक हैं।

उदाहरण के लिए <math>5x^2+3y-8</math>

'''चर''' : एक वर्णमाला जिसका उपयोग अज्ञात मान को दर्शाने के लिए किया जाता है। यहाँ <math>x</math> और <math>y</math> चर हैं।

'''गुणांक''': एक संख्या जिसे चर से गुणा किया जाता है। यहाँ <math>5 ,3
</math> एक गुणांक है

'''संचालक''': संचालक जोड़ (+), घटाव (-), गुणा (*) आदि हो सकता है। यहां <math>+ , -
</math> एक संचालक है

'''अचर''' : वह पद जो बदलता नहीं है या स्थिर रहता है। यहाँ <math>8</math> एक अचर है।

'''घातांक (घात)''': घातांक से तात्पर्य किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने की संख्या से है। यहाँ <math>2</math> घातांक (घात) है

उदाहरण के लिए <math>4x^2+3x+5=0</math>
{| class="wikitable"
!'''चर'''
!'''गुणांक'''
!'''संचालक'''
!'''अचर'''
!घातांक (घात)
|-
|<math>x</math>
|<math>4 , 3</math>
|<math>+</math>
|5
|<math>2</math>
|}

गुणनखंड प्रमेय

2024-09-26T15:15:38Z

Ramamurthy: /* गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कैसे करें? */

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग मुख्य रूप से बहुपदों का गुणनखंड करने और बहुपदों के <math>n</math> मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जाता है। बहुपद समीकरणों का विश्लेषण करने के लिए गुणनखंड प्रमेय बहुत उपयोगी है। वास्तविक जीवन में, पैसों का आदान-प्रदान करते समय, किसी भी मात्रा को समान भागों में विभाजित करने के लिए, समय को समझते हुए और कीमतों की तुलना करते समय गुणनखंडन उपयोगी हो सकता है।

== गुणनखंड प्रमेय कथन ==
गुणनखंड प्रमेय बताता है कि यदि <math>p(x)</math> घात <math>n \ge 1</math> का एक बहुपद है और <math>a</math> कोई वास्तविक संख्या है, तो

* <math>x-a</math> , <math>p(x)</math>का एक गुणनखंड है,यदि <math>p(a)=0</math>।
* <math>p(a)=0</math>, यदि <math>x-a</math> , <math>p(x)</math>का एक गुणनखंड है।

उदाहरण 6: जांच करें कि क्या <math>x+2</math>, <math>x^3+3x^2+5x+6</math> और <math>2x+4</math> का एक गुणनखंड है

हल : <math>x+2</math> is <math>-2</math> का शून्य।

मान लीजिए <math>p(x)=x^3+3x^2+5x+6</math>

<math>p(-2)=(-2)^3+3(-2)^2+5(-2)+6</math>

<math>p(-2)=-8+3(4)-10+6=0</math>

<math>s(x)=2x+4</math>

<math>s(-2)=2(-2)+4 =0</math>

अत: <math>x+2</math>, <math>x^3+3x^2+5x+6</math> और <math>2x+4</math> का गुणनखंड है।

== गुणनखंड प्रमेय का उपयोग कैसे करें? ==
आइए एक उदाहरण के साथ कारक प्रमेय का उपयोग कैसे करते हैं सीखें। जाँच करें कि <math>y+5</math>, <math>2y^2+7y-15</math> का गुणनखंड है या नहीं। दिया गया है, <math>y+5=0</math>. फिर, <math>y=-5</math>. अब आइए दिए गए बहुपद समीकरण में <math>y=-5</math> प्रतिस्थापित करें। हमें निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:

<math>g(-5)=2(-5)^2+7(-5)-15</math>

<math>g(-5)=2(25)+-35-15</math>

<math>g(-5)=50+-35-15=0</math>

अत:, <math>y+5</math>, <math>2y^2+7y-15</math> का गुणनखंड है।

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[[Category:गणित]]
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गुणनखंडन

2024-09-26T15:15:08Z

Ramamurthy: /* गुणनखंडन या गुणनखंडीकरण क्या है? */

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[[Category:गणित]]
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== गुणनखंडन या गुणनखंडीकरण क्या है? ==
जब हम किसी संख्या या बहुपद को अन्य बहुपदों के कई गुणनखंडों के गुणनफल में विभाजित करते हैं, जिसे गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है, तो इसे गुणनखंडन कहा जाता है।

किसी संख्या का गुणनखंड करने के लिए, हम गुणनखंडन सूत्र का उपयोग करते हैं। गुणनखंडन एक इकाई (उदाहरण के लिए, एक संख्या, या एक बहुपद) को किसी अन्य इकाई या गुणक के गुणनफल में परिवर्तित करने की प्रक्रिया है, जिसे एक साथ गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है।

गुणनखंडन सूत्र बड़ी संख्या को छोटी संख्याओं में विभाजित करता है, जिन्हें गुणनखंड कहा जाता है। गुणनखंड वह संख्या है जो किसी दिए गए पूर्णांक को बिना कोई शेष छोड़े पूर्णतः विभाजित कर देती है।

उदाहरण के लिए - <math>28 = 2 \times 2 \times 7 </math> का अभाज्य गुणनखंडन और

गुणनखंडन आरंभ करने से पहले, आइए 'गुणनखंड' शब्द को जान लें।

गुणनखंड क्या है?

गुणनखंड संख्याएँ, बीजगणितीय चर, या बीजगणितीय व्यंजक हैं जो संख्या या बीजीय व्यंजक को बिना कोई शेष छोड़े विभाजित करते हैं।

उदाहरण के लिए <math>9 </math> का एक गुणनखंड <math>1,3,9 </math> है

बीजीय व्यंजक

2024-09-26T15:14:40Z

Ramamurthy: /* बहुपद व्यंजक */

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[[Category:गणित]]
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बीजगणितीय व्यंजक, संख्याओं को उनके वास्तविक मान निर्दिष्ट किए बिना अक्षरों या वर्णमाला का उपयोग करके व्यक्त करने का विचार है। बीजगणित की मूल बातों ने हमें सिखाया कि किसी अज्ञात मान को <math>x,y,z</math> आदि अक्षरों का उपयोग करके कैसे व्यक्त किया जाए। इन अक्षरों को चर कहा जाता है। एक बीजीय व्यंजक चर और अचर दोनों का संयोजन हो सकता है। कोई भी मान जिसे किसी चर से पहले रखा जाता है और उससे गुणा किया जाता है, एक गुणांक होता है।

== परिभाषा ==
गणित में बीजगणितीय व्यंजक, एक व्यंजक है जो बीजगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, आदि) के साथ चर और अचर/स्थिरांक से बनी होती है। व्यंजक पदों से बना होता हैं।

इन व्यंजकों को अज्ञात चर, अचर/स्थिरांक और गुणांक की सहायता से दर्शाया जाता है। इन तीनों के संयोजन (पदों के रूप में) को व्यंजक कहा जाता है। बीजगणितीय समीकरण के विपरीत, एक बीजीय व्यंजक का कोई पक्ष नहीं होता है या वह एक चिह्न के समान होता है। इसके कुछ उदाहरणों में <math>5x+8y-6</math>, और <math>5x+8</math> उपस्थित हैं।

<math>5x+8</math> में <math>5</math>, <math>x</math> का गुणांक है, <math>x</math> एक चर है, <math>8</math> स्थिरांक है, <math>5x+8</math> एक पद है।

== बीजीय व्यंजक के प्रकार ==
बीजीय व्यंजकों के 3 मुख्य प्रकार हैं जो निम्नलिहित हैं:

* एकपद व्यंजक
* द्विपद व्यंजक
* बहुपद व्यंजक

=== एकपद व्यंजक ===
बीजीय व्यंजक जिसमें मात्र एक पद होता है, एकपदी कहलाता है।

एकपद व्यंजकों के उदाहरणों में से निम्नलिखित हैं- <math>3x^3
</math> , <math>4xy</math> , <math>8y</math> आदि

=== द्विपद व्यंजक ===
द्विपद व्यंजक एक बीजगणितीय व्यंजक है जिसमें दो पद होते हैं, जो भिन्न होते हैं।

द्विपद व्यंजकों के उदाहरणों में से निम्नलिखित हैं- <math>4xy+9</math> , <math>y^3+4xy</math> आदि

=== बहुपद व्यंजक ===
सामान्य तौर पर, किसी चर के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाले एक से अधिक पदों वाले व्यंजक को बहुपद के रूप में जाना जाता है।

बहुपद व्यंजकों के उदाहरणों में से निम्नलिखित हैं- <math>2x+3y+4z</math> , <math>x^3+2x^2+4x+6</math> आदि

वास्तविक संख्याओं के लिए घातांक-नियम

2024-09-26T15:13:56Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
घातांक के नियम गुणा और भाग की संक्रियाओं को सरल बनाते हैं और समस्याओं को आसानी से हल करने में मदद करते हैं। इस लेख में, हम घातांक के छह महत्वपूर्ण नियमों के बारे में जानेंगे।

== घातांक के नियम ==
मान लीजिए <math>a >0</math> एक वास्तविक संख्या है और <math>p</math> और <math>q</math> परिमेय संख्याएँ हों। तो हमारे पास हैं
* <math>a^p \times a^q=a^{p+q}</math>
* <math>(a^p)^q=a^{pq}</math>
* <math>\frac{a^p}{a^q}=a^{p-q}</math>
*<math>a^{-p}=\frac{1}{a^p}</math>
*<math>a^\frac{1}{p}=\sqrt[p]{a}</math>
*<math>a^0=1</math>

== उदाहरण ==

# <math>5^2 \times 5^5 = 5^{2+5}=5^7</math>
# <math>(5^2)^3=5^{2 \times 3}=5^6</math>
# <math>\frac{5^6}{5^4}=5^{6-4}=5^2 =25</math>
# <math>5^{-2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25}</math>
# <math>5^\frac{1}{3}=\sqrt[3]{5}</math>
# <math>5^0=1</math>

वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाएँ

2024-09-26T15:13:28Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

यहां हम वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं की विधि को सीखेंगे।

== वास्तविक संख्याओं पर संक्रियाओं का नियम ==

* एक परिमेय संख्या और अपरिमेय संख्या का योग या अंतर अपरिमेय होता है।
* अपरिमेय संख्या के साथ एक गैर-शून्य परिमेय संख्या का गुणनफल या भागफल अपरिमेय संख्या होती है।
* जब दो अपरिमेय संख्याओं को जोड़ा, घटाया, गुणा या विभाजित किया जाता है, तो परिणाम एक परिमेय या अपरिमेय संख्या हो सकती है।

यदि <math>a </math> और <math>b</math> धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं, तो हमारे पास है,
* <math>\sqrt{ab}=\sqrt{a}\sqrt{b}</math>
* <math>\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}</math>
* <math>(\sqrt{a} +\sqrt{b})(\sqrt{a} -\sqrt{b})=a-b</math>

* <math>(a+\sqrt{b})(a -\sqrt{b})=a^2-b</math>
* <math>(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{c} +\sqrt{d})=\sqrt{ac}+\sqrt{ad}+\sqrt{bc}+\sqrt{bd}</math>
* <math>(\sqrt{a} +\sqrt{b})^2=a+2\sqrt{ab}+b</math>

== उदाहरण ==
1.<math>(\sqrt{11} +\sqrt{7})(\sqrt{11} -\sqrt{b})</math>

<math>11-7=4</math>

2.<math>(\sqrt{3} +\sqrt{7})^2 </math>

<math>(\sqrt{3})^2 +2(\sqrt{3})(\sqrt{7})+(\sqrt{7})^2 </math>

<math>3 +2(\sqrt{21})+7 </math>

<math>10 +2(\sqrt{21}) </math>

3. <math>(5+\sqrt{7})(2 +\sqrt{5})</math>

<math>10 + 5\sqrt{5}+2\sqrt{7}+\sqrt{35}</math>

4.<math>(\sqrt{7} +\sqrt{5})(\sqrt{7} -\sqrt{5})</math>

<math>(\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5})^2</math>

<math>7-5=2</math>

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

आधार और घातांक

2024-09-26T15:12:01Z

Ramamurthy: /* ऋणात्मक आधार */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
[[File:आधार और घातांक.jpg|thumb|आधार और घातांक]]
"आधार और घातांक" की अवधारणा मुख्य रूप से बड़ी संख्या में पढ़ने और लिखने को आसान बनाने के लिए पेश की गई है।

उदाहरण के लिए <math>10^6=1000000</math>

== परिभाषा ==
घातांक का आधार एक संख्या है जिसे एक निश्चित घात तक बढ़ाया जाता है। तो, एक घातांक का आधार उस संख्या को दर्शाता है जिसे स्वयं से गुणा किया जाता है।

घातांक दर्शाता है कि आधार संख्या को कितनी बार गुणा किया गया है।

घात को आधार संख्या को घातांक तक बढ़ाकर प्राप्त संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तो, यह पूर्ण अभिव्यक्ति को संदर्भित करता है।

चित्र में, <math>2</math> आधार है, <math>3</math> घातांक है। 8 घात है.

यहां <math>2^3</math> को कई प्रकार से पढ़ा जाता है

* <math>2</math> की घात <math>3</math>
* <math>2</math> को <math>3</math> तक बढ़ा दिया गया

== ऋणात्मक आधार ==
स्थिति 1: यदि आधार ऋणात्मक है और घातांक एक सम संख्या है, तो घात सकारात्मक है।

<math>(-5)^2 = -5 \times -5 = 25
</math>

स्थिति 2: यदि आधार ऋणात्मक है और घातांक एक विषम संख्या है, तो घात ऋणात्मक है।

<math>(-5)^3 = -5 \times -5 \times -5= 125
</math>

और साथ ही <math>(-a)^n \neq -a^n
</math>

<math>(-5)^2 \neq -5^2
</math>

<math>25\neq -25
</math>

हर का परिमेयकरण

2024-09-26T15:11:24Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
हम यह सुनिश्चित करने के लिए हर का परिमेयकरण करते हैं कि परिमेय संख्या पर कोई भी गणना करना आसान हो जाए। जब हम किसी भिन्न में हर का परिमेयकरण करते हैं, तो हम हर से वर्गमूल और घनमूल जैसे मूल भावों को हटा देते हैं।

== परिभाषा ==
परिमेयकरण एक परिमेय संख्या प्राप्त करने के लिए किसी अन्य समान योग से गुणा करने की प्रक्रिया है। गुणा करने के लिए जिस करणी(सर्ड) का उपयोग किया जाता है उसे परिमेयकरण कारक कहा जाता है।

* परिमेयकरण बनाने के लिए <math>\sqrt {x}</math> हमें एक और <math>\sqrt {x}</math> चाहिए, <math>\sqrt {x} \times \sqrt {x} = x</math> ।
* <math>a+ \sqrt {b}</math> को परिमेयकरण बनाने के लिए हमें एक परिमेयकरण कारक <math>a- \sqrt {b}</math> की आवश्यकता है, <math>(a+ \sqrt {b}) \times (a- \sqrt {b})= a^2 -(\sqrt {b})^2 = a^2 -b</math>
* <math>2 \sqrt {3 }</math> के परिमेयकरण कारक को परिमेयकरण बनाने के लिए <math>\sqrt {3 }</math> की आवश्यकता है, <math>2 \sqrt {3 }\times \sqrt {3 }=2\times3=6</math> ।

'''हर का परिमेयकरण का अर्थ'''

हर का परिमेयकरण का अर्थ है किसी मूल को, उदाहरण के लिए, एक घनमूल या वर्गमूल को भिन्न (हर) के नीचे से भिन्न (अंश) के शीर्ष तक ले जाने की प्रक्रिया। इसके द्वारा हम भिन्न को उसके सरलतम रूप में लाते हैं जिससे हर परिमेय हो जाता है।

== उदाहरण ==
1. हर का परिमेयकरण <math>\frac{1}{7+3\sqrt {2}}</math>

<math>\frac{1}{7+3\sqrt {2}} =\frac{1}{7+3\sqrt {2}} \times\frac{(7-3\sqrt {2})}{(7-3\sqrt {2})}= \frac{(7-3\sqrt {2})}{7^2-(3\sqrt{2})^2}=\frac{(7-3\sqrt {2})}{49-18}=\frac{(7-3\sqrt {2})}{31}</math>

2. हर का परिमेयकरण <math>\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt {5}}</math>

<math>\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt {5}} =\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt {5}} \times\frac{(\sqrt{3}+\sqrt {5})}{(\sqrt{3}+\sqrt {5})}= \frac{5(\sqrt{3}+\sqrt {5})}{(\sqrt{3})^2-(\sqrt{5})^2}=\frac{5(\sqrt{3}+\sqrt {5})}{3-5}=-\frac{5}{2} (\sqrt{3}+\sqrt {5})</math>

परिशुद्धता मात्रा

2024-09-26T15:10:43Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
== परिभाषा ==
परिशुद्धता मात्रा इस बात का माप है कि कोई दिया गया माप वास्तविक मान के कितना करीब है। यह मापों की परिशुद्धता की जाँच करके उनकी गुणवत्ता की पहचान करने में हमारी मदद करता है

संदर्भ के आधार पर, किसी माप की परिशुद्धता मात्रा उत्तर देना हमेशा आवश्यक नहीं हो सकता है। अन्य समय में, मात्रा की परिशुद्धता की उचित मात्रा तक पूर्णांकित करना वास्तव में अधिक स्वीकार्य होता है। देशों की जनसंख्या प्रायः लाखों में बताई जाती है क्योंकि सटीक आंकड़े लगातार बदलते रहते हैं। उदाहरण के लिए, ब्रिटेन की जनसंख्या 'लगभग 65 मिलियन' है।

यह इस पर भी निर्भर हो सकता है कि आप माप के साथ क्या करने जा रहे हैं। उदाहरण के लिए, पर्दे के लिए एक खिड़की को मापते समय, निकटतम <math>5</math> सेमी की चौड़ाई पर्याप्त से अधिक होगी। लेकिन यदि आप शीशे के प्रतिस्थापन फलक के लिए उसी खिड़की को माप रहे हैं, तो बहुत अधिक परिशुद्धता मात्रा की आवश्यकता होगी।

यह समझा जाना चाहिए कि माप निरंतर है, इसलिए लंबाई, वजन आदि दशमलव और भिन्न सहित संख्या रेखा पर कोई भी मान ले सकते हैं। यह गिनती की जाने वाली मात्राओं के विपरीत है, जैसे कि एक जार में मिठाइयों की संख्या, जो केवल पूर्ण संख्या मान ही ले सकती है। हालाँकि, बड़ी संख्या में गिनी जाने वाली वस्तुएँ निरंतर माप के रूप में कार्य कर सकती हैं, जैसे कि राष्ट्रीय जनसंख्या का आकार।

परिशुद्धता को प्रायः दशमलव स्थानों की संख्या का उपयोग करके उद्धृत किया जाता है। यदि आपको माप को <math>1</math> दशमलव स्थान पर पूर्णांकित करने की आवश्यकता है, जिसका तात्पर्य निकटतम दसवें भाग से है। यदि आपको किसी माप को <math>2</math> दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने की आवश्यकता है, जिसका तात्पर्य निकटतम एक-सौवें भाग से है।

== उदाहरण ==

* <math>3.68759</math> को <math>2</math> दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर यह <math>3.69</math> हो जाएगा।यहां तीसरा दशमलव <math>7</math>,<math>5</math> से बड़ा है, इसलिए दूसरा दशमलव में <math>1</math> की वृद्धि होगी।

* <math>3.68459</math> को <math>2</math> दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर यह <math>3.68</math> हो जाएगा। यहां तीसरा दशमलव <math>4</math>, <math>5</math> से कम है , इसलिए तीसरा दशमलव वही रहेगा।
* <math>100</math> के निकटतम <math>465</math>, <math>500</math> हो जाता है। यहां <math>65</math>, <math>50</math>, से बड़ा है, इसलिए <math>465</math>, निकटतम <math>100</math> पर <math>500</math> हो जाता है।
* <math>100</math> के निकटतम <math>435</math>, <math>400</math> हो जाता है। यहां <math>35</math>, <math>50</math>, से छोटा है, इसलिए <math>435</math>, निकटतम <math>100</math> पर <math>400</math> हो जाता है।
* निकटतम <math>10</math> के लिए <math>62</math>, <math>60</math> हो जाता है। यहां दूसरा अंक <math>2</math>, <math>5</math> से कम है, इसलिए <math>62</math>, निकटतम <math>10</math> के लिए <math>60</math> हो जाता है।
* निकटतम <math>10</math> के लिए <math>67</math>, <math>70</math> हो जाता है। यहां दूसरा अंक <math>7</math>, <math>5</math> से बड़ा है, इसलिए <math>67</math>, निकटतम <math>10</math> के लिए <math>70</math> हो जाता है।

उत्तरोत्तर आवर्धन प्रक्रम

2024-09-26T15:10:01Z

Ramamurthy:

आवर्धक लेंस का उपयोग करके संख्या रेखा पर संख्याओं को देखने की प्रक्रिया को उत्तरोत्तर आवर्धन प्रक्रम कहा जाता है।

आइए संख्या रेखा पर बिंदु <math>2.665</math> का पता लगाने का प्रयास करें।

हम जानते हैं कि बिंदु <math>2.665</math>, <math>2</math> और <math>3</math> के बीच की संख्या रेखा पर स्थित है।[[File:Successive magnification - 1.jpg|alt=2 - 3|thumb|2 - 3|none]]2 और 3 के बीच में 10 बराबर भाग हैं, जैसे 2.1, 2,2, 2.3, इत्यादि। 2.665 का सटीक पता लगाने के लिए, 2.6 और 2.7 के बीच के बिंदुओं पर फिर से ध्यान केंद्रित करें, क्योंकि 2.665 बीच में स्थित है।[[File:Successive magnification - 2.jpg|alt=2.6 - 2.7|thumb|2.6 - 2.7|none]]चूँकि 2.665, 2.66 और 2.67 के बीच स्थित है, फिर से इन बिंदुओं पर ध्यान केंद्रित करें।[[File:Successive magnification - 3.jpg|alt=2.66 - 2.67|thumb|2.66 - 2.67|none]]इस प्रकार, उत्तरोत्तर आवर्धन प्रक्रम का उपयोग करके बिंदु 2.665 संख्या रेखा पर स्थित है। तो, इस विधि की सहायता से, कोई व्यक्ति संख्या रेखा पर वास्तविक संख्याओं (परिमेय और अपरिमेय संख्याओं) के प्रतिनिधित्व को देखने के लिए पर्याप्त उत्तरोत्तर आवर्धन प्रक्रम द्वारा बिंदु का पता लगा सकता है।

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार

2024-09-26T15:09:08Z

Ramamurthy: /* अनवसानी(असांत) अनावर्ती दशमलव प्रसार */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
अनवसानी(असांत) दशमलव वे दशमलव होते हैं जिनमें कभी न समाप्त होने वाले दशमलव अंक होते हैं और वे सदैव के लिए जारी रहते हैं।

== अनवसानी दशमलव परिभाषा ==
अनवसानी दशमलव को उन दशमलव संख्याओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनके दशमलव अंकों में कोई समापन बिंदु नहीं होता है और जो सदैव के लिए जारी रहते हैं। ऐसा तब होता है जब एक लाभांश को एक भाजक द्वारा विभाजित किया जाता है लेकिन शेष कभी भी <math>0</math> नहीं होता है और इसलिए प्रक्रिया दोहराई जाती रहती है और भागफल में अनवसानी दशमलव प्राप्त होता है जहां दशमलव अंक आते रहते हैं और कभी समाप्त नहीं होते हैं . एक अनवसानी दशमलव में दशमलव स्थानों की अनंत संख्या होती है और इसे अनवसानी नाम दिया गया है क्योंकि दशमलव कभी समाप्त नहीं होगा।

उदाहरण के लिए, <math>1.333333....</math><math>4.65675747775....</math>आदि

== अनवसानी(असांत) दशमलव प्रसार के प्रकार ==
एक अनवसानी(असांत) दशमलव प्रसार में अनंत स्थानों की संख्या होती है और इसका विस्तार सदैव चलता रहता है। हमारे पास दो प्रकार के अनवसानी दशमलव प्रसार हैं और वे इस प्रकार हैं:

* अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार
* अनवसानी(असांत) गैर-आवर्ती दशमलव प्रसार

=== अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार ===
अनवसानी आवर्ती दशमलव को असांत आवर्ती दशमलव के नाम से भी जाना जाता है। इस प्रसार में, दशमलव स्थान एक विशिष्ट प्रतिरूप(पैटर्न) में दशमलव मानों की पुनरावृत्ति के साथ सदैव के लिए जारी रहेंगे।

उदाहरण के लिए, <math>\frac{2}{9}=0.2222222....</math> एक अनवसानी आवर्ती दशमलव प्रसार है। दशमलव की पुनरावृत्ति को दोहराई जाने वाली संख्याओं के शीर्ष पर एक रेखा (बार) दिखाकर भी दर्शाया जा सकता है, यानी <math>0.2222222....</math>को <math>0.\bar{2}</math> के रूप में भी दर्शाया जा सकता है। इसी प्रकार,<math>\frac{1}{7}=0.142857142857....</math> जिसे <math>0.\bar{1}\bar{4}\bar{2}\bar{8}\bar{5}\bar{7}
</math> के रूप में भी लिखा जा सकता है, यह भी एक असांत आवर्ती दशमलव प्रसार है क्योंकि दशमलव का ब्लॉक 142857 हर 6 अंकों के बाद दोहराया जाता है। असांत आवर्ती दशमलव को सदैव एक परिमेय संख्या में परिवर्तित किया जा सकता है।

=== अनवसानी(असांत) अनावर्ती दशमलव प्रसार ===
अनवसानी अनावर्ती दशमलव को अनवसानी गैर-आवर्ती दशमलव के नाम से भी जाना जाता है क्योंकि दशमलव के बाद के मानों की पुनरावृत्ति या समाप्ति नहीं होती है।

उदाहरण के लिए, <math>1.4142135....</math> , <math>2.35638745....</math>एक अनवसानी अनावर्ती दशमलव को परिमेय संख्या में परिवर्तित नहीं किया जा सकता। इसलिए, असांत अनावर्ती दशमलव को अपरिमेय संख्या के रूप में भी जाना जाता है। ध्यान दें कि pi(<math>\pi</math>) एक अपरिमेय संख्या है क्योंकि इसका प्रसार अनवसानी, अनावर्ती है अर्थात, <math>3.1415926535 897....</math>

दशमलव प्रसार को सांत करना

2024-09-26T15:08:37Z

Ramamurthy: /* परिभाषा */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
सांत दशमलव वे संख्याएँ हैं जिनमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक निश्चित या सीमित संख्या होती है। दशमलव संख्याओं का उपयोग भिन्नों की तरह, पूर्णांक की आंशिक मात्रा को दर्शाने के लिए किया जाता है।

== परिभाषा ==
वह संख्या जिसमें दशमलव बिंदु के बाद अंकों की एक सीमित संख्या होती है, सांत दशमलव कहलाती है। दशमलव का उपयोग पूर्ण संख्या और भिन्न को एक साथ व्यक्त करने के लिए किया जाता है जिन्हें "." सम्मिलित करके एक दूसरे से अलग किया जाता है। अर्थात एक दशमलव बिंदु. उदाहरण के लिए, 10.4, 10 पूर्ण संख्या है और 4 दशमलव भिन्न है। दशमलव बिंदु के बाद किस प्रकार के अंक आते हैं, इसके आधार पर दशमलव की विभिन्न श्रेणियां हैं, वे हैं:

* दशमलव प्रसार को सांत करना
* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार]]
* [[अनवसानी(असांत) आवर्ती दशमलव प्रसार|अनवसानी(असांत) अनावर्ती दशमलव प्रसार]]

किसी संख्या में सांत दशमलव प्रसार होता है यदि दशमलव बिंदु के बाद के अंक समाप्त हो जाते हैं या परिमित होते हैं। भिन्न <math>\frac{1}{2}</math> का दशमलव प्रसार 0.5 है, जो कि एक सांत दशमलव प्रसार है क्योंकि दशमलव बिंदु के बाद के अंक एक अंक के बाद समाप्त होते हैं। सांत दशमलव [[परिमेय संख्याएँ]] हैं।

भिन्न

2024-09-26T15:07:32Z

Ramamurthy: /* समान और विपरीत भिन्न */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
एक भिन्न पूर्ण का एक भाग दर्शाता है। यह पूर्ण एक क्षेत्र या संग्रह हो सकता है. भिन्न(फ्रैक्शन शब्द लैटिन शब्द 'फ्रैक्टियो' से लिया गया है जिसका अर्थ है 'टूटना')।
[[File:Fractions of a circle.jpg|thumb|भिन्न]]

== भिन्न क्या हैं? ==
गणित में भिन्नों को एक संख्यात्मक मान के रूप में दर्शाया जाता है, जो पूर्ण के एक भाग को परिभाषित करता है। भिन्न, पूर्ण में से किसी भी मात्रा का एक भाग या अनुभाग हो सकता है, जहाँ पूर्ण कोई संख्या, कोई विशिष्ट मान या कोई वस्तु हो सकती है।

उदाहरण के लिए चित्र में,

* निचला वृत्त <math>4</math> समान भागों में विभाजित है। प्रत्येक भाग को इस <math>\frac{1}{4}</math> प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।
* नीचे एक और वृत्त को <math>8</math> समान भागों में विभाजित किया गया है। प्रत्येक भाग को इस <math>\frac{1}{8}</math> प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।

== भिन्न के भाग ==
सभी भिन्नों में एक अंश और एक हर होता है और उन्हें एक क्षैतिज पट्टी द्वारा अलग किया जाता है जिसे भिन्न पट्टी के रूप में जाना जाता है।

* हर उन भागों की संख्या को इंगित करता है जिनमें संपूर्ण को विभाजित किया गया है। इसे भिन्न के निचले भाग में भिन्नात्मक पट्टी के नीचे रखा जाता है।
* अंश इंगित करता है कि भिन्न के कितने अनुभाग दर्शाए गए हैं या चुने गए हैं। इसे भिन्न के ऊपरी भाग में भिन्नात्मक पट्टी के ऊपर रखा जाता है।

== भिन्नों के प्रकार ==
अंश और हर के आधार पर, जो भिन्न के भाग होते हैं, विभिन्न प्रकार के होते हैं, जैसा कि नीचे सूचीबद्ध है:

=== उचित भिन्न ===
उचित भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनमें अंश हर से कम होता है। उदाहरण के लिए, <math>\frac{4}{7} , \frac{3}{5}, \frac{1}{8}</math> उचित भिन्न हैं।

=== अनुचित भिन्न ===
अनुचित भिन्न, वह भिन्न प्रकार है जिसमें अंश उसके हर से बड़ा होता है। उदाहरण के लिए, <math>\frac{7}{4} , \frac{5}{3}, \frac{8}{5}</math> अनुचित भिन्न हैं।

=== एकक भिन्न ===
वे भिन्न जिनमें अंश है 1 एकक भिन्न के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\frac{1}{4} , \frac{1}{3}, \frac{1}{5}</math> एकक भिन्न हैं।

=== मिश्र भिन्न ===
मिश्र भिन्न, एक पूर्ण संख्या और उचित भिन्न का मिश्रण है। उदाहरण के लिए, <math>5\frac{1}{2}</math> जहाँ <math>5</math> पूर्ण संख्या है और <math>\frac{1}{2}</math> उचित भिन्न है, या, <math>2\frac{1}{3} ,7\frac{9}{11}</math>

=== तुल्य भिन्न ===
तुल्य भिन्न, वे भिन्न होते हैं जो सरलीकृत होने के बाद समान मान दर्शाते हैं। किसी दिए गए भिन्न के तुल्य भिन्न प्राप्त करने के लिए:

* हम दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से गुणा कर सकते हैं।
* हम दिए गए भिन्न के अंश और हर दोनों को एक ही संख्या से विभाजित कर सकते हैं।

उदाहरण: वे दो भिन्न ज्ञात कीजिए जो इसके समतुल्य हैं <math>\frac{4}{7}</math>

हल:

तुल्य भिन्न 1: आइए हम अंश और हर को समान संख्या <math>2 </math> से गुणा करें,

इसका अर्थ है, <math>\frac{4}{7}=\frac{4 \times 2}{7 \times 2}=\frac{8}{14}</math>

तुल्य भिन्न 2: आइए हम अंश और हर को समान संख्या <math>3 </math> से गुणा करें।

इसका अर्थ है, <math>\frac{4}{7}=\frac{4 \times 3}{7 \times 3}=\frac{12}{21}</math>

अतः, <math>\frac{4}{7},\frac{8}{14},\frac{12}{21}</math> समतुल्य भिन्न हैं।

=== समान और विपरीत भिन्न ===
समान भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनके हर समान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\frac{4}{7},\frac{2}{7},\frac{1}{7}</math> समान भिन्न हैं।

विपरीत भिन्न, वे भिन्न होते हैं जिनके हर विभिन्न-विभिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए ,<math>\frac{4}{7},\frac{9}{14},\frac{13}{21}</math> विपरीत भिन्न हैं।

प्राकृतिक संख्याएँ

2024-09-26T15:06:25Z

Ramamurthy: /* सम प्राकृतिक संख्याएँ */

प्राकृतिक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनका उपयोग हम गिनने के लिए करते हैं जो वास्तविक संख्याओं का भाग होती हैं।

प्राकृतिक संख्याएँ धनात्मक पूर्णांक होती हैं जो 1 से प्रारंभ होती हैं और अनंत पर समाप्त होती हैं।

उदाहरण: 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ......................

शून्य कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है. किसी भी वस्तु की गिनती के लिए हम शून्य से नहीं बल्कि 1 से गिनती प्रारंभ करते हैं।

=== प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय ===
समुच्चय अवयवों (इस संदर्भ में संख्याएँ) का एक संग्रह है। प्राकृत संख्याओं के समुच्चय को N द्वारा निरूपित किया जाता है।

N = { 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 ... ∞ }

=== विषम प्राकृतिक संख्याएँ ===
विषम प्राकृतिक संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 2 से पूर्णतः विभाज्य नहीं होती हैं

उदाहरण: 1 , 3 , 5 , 7 , 9 .......

जब 3 को 2 से विभाजित किया जाता है

<math>\frac{3}{2} = 1 \quad Remainder= 1</math>

=== सम प्राकृतिक संख्याएँ ===
सम प्राकृतिक संख्याएँ वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो 2 से पूर्णतः विभाज्य होती हैं

उदाहरण:2 , 4, 6 , 8 , 10 .......

जब 4 को 2 से विभाजित किया जाता है

<math>\frac{4}{2} = 2 \quad Remainder= 0</math>

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

परिमेय संख्याएँ

2024-09-26T15:05:52Z

Ramamurthy: /* परिमेय संख्या के गुण */

एक संख्या जिसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां p और q पूर्णांक हैं और q<math>\neq</math>0 एक परिमेय संख्या है। जब परिमेय संख्या को विभाजित किया जाता है तो परिणाम दशमलव रूप में प्राप्त होता है।

उदाहरण:
{| class="wikitable"
|+
!p
!q
!<math>\frac{p}{q}</math>
|-
|10
|2
|<math>\frac{10}{2} =5</math>
|-
|1
|1000
|<math>\frac{1}{1000}=0.001</math>
|-
|7
|1
|<math>\frac{7}{1} = 7</math>
|}

=== सकारात्मक परिमेय संख्या ===
एक संख्या जिसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है जहां q≠0 और p और q दोनों सकारात्मक पूर्णांक हैं, सकारात्मक परिमेय संख्या कहलाती है।

उदाहरण: <math>\frac{1}{3} , \frac{17}{3} , \frac{3}{17} </math>

=== ऋणात्मक परिमेय संख्या ===
एक संख्या जिसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में दर्शाया जा सकता है जहां q≠0 और जहां या तो p या q एक ऋणात्मक पूर्णांक है उसे ऋणात्मक परिमेय संख्या कहा जाता है।

उदाहरण: <math>\frac{1}{-3} , \frac{-17}{3} , \frac{3}{-17} </math>

=== परिमेय संख्या के गुण ===

# यदि हम किसी परिमेय संख्या में शून्य जोड़ दें तो हमें वही परिमेय संख्या प्राप्त होगी। उदाहरण: <math>\frac{2}{3}+0 = \frac{2}{3}</math>
# यदि हम अंश और हर दोनों को एक ही गुणनखंड से गुणा या भाग करते हैं तो एक परिमेय संख्या वही रहती है। उदाहरण: <math>\frac{2}{3} = \frac{2 X 3}{3 X 3} = \frac{2}{3}</math>
# यदि हम किन्हीं दो परिमेय संख्याओं को जोड़ते हैं, घटाते हैं या गुणा करते हैं तो परिणाम सदैव एक परिमेय संख्या ही होते हैं। उदाहरण: <math>\frac{2}{3}+\frac{2}{3} = \frac{4}{3}</math>

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

पूर्ण संख्याएँ

2024-09-26T15:04:48Z

Ramamurthy:

पूर्ण संख्याएँ भिन्न रहित संख्याएँ हैं और यह धनात्मक पूर्णांकों और शून्य का संग्रह है। पूर्ण संख्याओं के समुच्चय को W से दर्शाया जाता है। W= {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9 , 10 ................}
{| class="wikitable"
|+पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के बीच अंतर
!पूर्ण संख्याएँ
!प्राकृतिक संख्याएँ
|-
|पूर्ण संख्याओं का समुच्चय W={0,1,2,3......} है
|प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N ={1,2,3......} है
|-
|सबसे छोटी पूर्ण संख्या 0 होती है.
|सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या 1 है
|-
|प्रत्येक प्राकृत संख्या एक पूर्ण संख्या होती है।
|0 को छोड़कर प्रत्येक पूर्ण संख्या एक प्राकृतिक संख्या होती है।
|}

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

संख्या

2024-09-26T15:04:06Z

Ramamurthy: /* संख्याओं के प्रकार */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
हम अपने दैनिक जीवन में संख्याओं का उपयोग करते हैं। इन्हें प्रायः अंक कहा जाता है। संख्याओं के बिना हम वस्तुओं, तिथि, समय, धन आदि की गिनती नहीं कर सकते। संख्याओं के गुण उन्हें उन पर अंकगणितीय संक्रियाएँ करने में सक्षम बनाते हैं। इन संख्याओं को संख्यात्मक रूप में तथा शब्दों में भी व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, 2 को शब्दों में दो लिखा जाता है, 27 को शब्दों में सत्ताईस लिखा जाता है, आदि।

गणित में विभिन्न प्रकार की संख्याएँ होती हैं जैसे प्राकृतिक और पूर्ण संख्याएँ, विषम और सम संख्याएँ, परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ आदि।

== परिभाषा ==
संख्या को एक अंकगणितीय मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसे एक शब्द, एक प्रतीक या एक आकृति का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है जो एक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है। संख्याओं का उपयोग गिनती और गणना में किया जाता है।

== संख्याओं के प्रकार ==
गणित में संख्याएँ विभिन्न प्रकार की होती हैं

* [[प्राकृतिक संख्याएँ]]
* [[पूर्ण संख्याएँ]]
* [[पूर्णांक]]
* [[वास्तविक संख्याएँ]]
* [[परिमेय संख्याएँ]]
* [[अपरिमेय संख्याएँ]]

संख्या रेखा

2024-09-26T15:01:58Z

Ramamurthy: /* संख्या रेखा पर घटाव */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
[[File:Number-line-4.svg|thumb|संख्या रेखा]]
संख्या रेखाएँ क्षैतिज सीधी रेखाएँ होती हैं जिनमें पूर्णांकों को समान अंतराल में रखा जाता है। किसी अनुक्रम की सभी संख्याओं को एक संख्या रेखा में दर्शाया जा सकता है। यह रेखा दोनों सिरों पर अनिश्चित काल तक फैली हुई है। चित्र में, हम एक संख्या रेखा देख सकते हैं जहाँ पूर्णांक रखे गए हैं। यहां, धनात्मक और ऋणात्मक पूर्णांक शून्य के दोनों ओर रखे गए हैं।

== संख्या रेखा क्या है? ==
संख्या रेखा एक सीधी रेखा पर संख्याओं का सचित्र चित्रण है। यह संख्याओं की तुलना करने और उन्हें क्रमबद्ध करने के लिए एक संदर्भ है। इसका उपयोग किसी भी वास्तविक संख्या को दर्शाने के लिए किया जा सकता है जिसमें प्रत्येक पूर्ण संख्या और प्राकृतिक संख्या शामिल होती है।संख्याओं को संख्या रेखा पर लिखने से संख्याओं की तुलना करना आसान हो जाता है। उपरोक्त आकृति से, हम देख सकते हैं कि बाईं ओर के पूर्णांक दाईं ओर के पूर्णांकों से छोटे हैं। उदाहरण के लिए,

<math>0</math>, <math>1</math> से कम है, <math>-1</math>, <math>0</math> से कम है, <math>-2</math>, <math>-1</math> से कम है, इत्यादि।

== संख्या रेखा पर संख्याएँ ==
संख्याओं की अंकगणितीय संक्रियाओं को संख्या रेखा पर बेहतर ढंग से समझाया जा सकता है। हमें यह जानना चाहिए कि संख्या रेखा पर संख्याओं का पता कैसे लगाया जाए। शून्य किसी संख्या रेखा का मध्य बिंदु है। सभी (प्राकृतिक संख्याएँ) धनात्मक संख्याएँ शून्य के दाईं ओर होती हैं जबकि ऋणात्मक संख्याएँ संख्या रेखा पर शून्य के बाईं ओर होती हैं। जैसे-जैसे हम बाईं ओर आगे बढ़ते हैं, संख्या का मान घटता जाता है।उदाहरण के लिए, <math>1</math>, <math>-2</math> से बड़ा है। संख्या रेखा में पूर्णांक, भिन्न और दशमलव को भी आसानी से दर्शाया जा सकता है।
[[File:Number line method.svg|thumb|संख्या रेखा पर योग]]

== संख्या रेखा पर योग ==
जब हम दो धनात्मक संख्याओं को जोड़ते हैं, तो परिणाम प्रायः एक धनात्मक संख्या ही होगी इसलिए, सकारात्मक संख्याओं को जोड़ने पर गति की दिशा हमेशा दाईं ओर होगी।

उदाहरण के लिए, <math>5</math> और <math>2</math> का योग

<math>5+2=7</math>

यहां पहली संख्या <math>5</math> है और दूसरी संख्या <math>2</math> है; दोनों ही सकारात्मक हैं। सबसे पहले, संख्या रेखा पर <math>5</math> का पता लगाएं। फिर <math>2</math> स्थान दाईं ओर ले जाने पर <math>7</math> प्राप्त होगा।[[File:Integers-line 2-4.svg|thumb|संख्या रेखा पर घटाव]]

== संख्या रेखा पर घटाव ==
जब हम दो धनात्मक संख्याएँ घटाते हैं, तो दूसरी संख्या के मान तक बाईं ओर जाने पर।

उदाहरण के लिए, <math>2</math> में से <math>4 </math> घटाएँ

यहां पहली संख्या <math>2</math> है और दूसरी संख्या <math>4 </math> है; दोनों ही सकारात्मक हैं। सबसे पहले, संख्या रेखा पर <math>2</math> का पता लगाएं। फिर बाईं ओर <math>4 </math> स्थान जाने पर <math>-2</math> प्राप्त होगा।

संख्या पद्धति

2024-09-26T15:00:11Z

Ramamurthy: /* षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या पद्धति (आधार 16 संख्या पद्धति) */

[[Category:संख्या पद्धति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]
संख्या पद्धति/प्रणाली संख्याओं का नामकरण या प्रतिनिधित्व करने की पद्धति है। संख्या एक गणितीय मान है जो वस्तुओं को गिनने या मापने में मदद करती है और यह विभिन्न गणितीय गणनाएँ करने में मदद करती है।

== परिभाषा ==
संख्या पद्धति को संख्याओं को व्यक्त करने के लिए लिखने की पद्धति के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह अंकों या अन्य प्रतीकों का सुसंगत तरीके से उपयोग करके किसी दिए गए सेट की संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए गणितीय संकेतन है। यह प्रत्येक संख्या का एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व प्रदान करता है और आंकड़ों की अंकगणित और बीजगणितीय संरचना का प्रतिनिधित्व करता है। यह हमें जोड़, घटाव, गुणा और भाग जैसे अंकगणितीय ऑपरेशन संचालित करने की भी अनुमति देता है।

किसी संख्या में किसी भी अंक का मान निम्न द्वारा निर्धारित किया जा सकता है:

* अंक
* संख्या में उसका स्थान
* संख्या पद्धति का आधार

== संख्या पद्धतियों के प्रकार ==
गणित में विभिन्न प्रकार की संख्या पद्धतियाँ हैं। चार सर्वाधिक सामान्य संख्या पद्धति इस प्रकार हैं:

# दशमलव संख्या पद्धति (आधार-<math>10</math>})
# द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति (आधार-<math>2</math>})
# अष्टाधारी संख्या पद्धति (आधार-<math>8</math>})
# षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या पद्धति (आधार-<math>16</math>})

=== दशमलव संख्या पद्धति (आधार 10 संख्या पद्धति) ===
दशमलव संख्या पद्धति का आधार <math>10</math> है क्योंकि यह <math>0</math> से <math>9</math> तक दस अंकों का उपयोग करता है। दशमलव संख्या पद्धति में, दशमलव बिंदु के बाईं ओर की क्रमिक स्थानइकाइयों, दहाई, सैकड़ों, हजारों आदि को दर्शाती है। यह पद्धति दशमलव संख्याओं में व्यक्त की जाती है। प्रत्येक स्थान आधार का एक विशेष घात दर्शाता है (<math>10</math>)।

'''दशमलव संख्या पद्धति के उदाहरण:'''

दशमलव संख्या <math>1234</math> में इकाई स्थान में अंक <math>4</math> शामिल है,दहाई के स्थान पर <math>3</math>, सैकड़े के स्थान पर <math>2</math>, और हज़ार के स्थान पर <math>1</math> जिसका मान इस प्रकार लिखा जा सकता है:

<math>(1\times10^3)+(2\times10^2)+(3\times10^1)+(4\times10^0)</math>

<math>(1\times1000)+(2\times100)+(3\times10)+(4\times1)</math>

<math>(1000 + 200 + 30 +4)</math>

<math>1234</math>

=== द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति (आधार 2 संख्या पद्धति) ===
आधार <math>2</math> संख्या पद्धति को द्वि आधारी संख्या प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है, जिसमें मात्र दो द्वि आधारी अंक उपस्थित होते हैं, यानी, <math>0</math> और <math>1</math>। इस प्रणाली के अंतर्गत वर्णित अंकों को द्विआधारी संख्या के रूप में जाना जाता है जो कि <math>0</math> और <math>1</math> का संयोजन हैं। उदाहरण के लिए, <math>1110</math> एक द्विआधारी संख्या है।

'''द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या पद्धति के उदाहरण:'''

<math>(14)_{10}</math> को द्वि आधारी(बाइनरी) संख्या के रूप में लिखें।

'''हल:'''
{| class="wikitable"
|<math>2</math>
|<math>14</math>
|
|
|-
|<math>2</math>
|<math>7</math>
|<math>0</math>
|<math>\uparrow</math>
|-
|<math>2</math>
|<math>3</math>
|<math>1</math>
|<math>\uparrow</math>
|-
|
|<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>\uparrow</math>
|-
|
|<math>\rightarrow</math>
|<math>\rightarrow</math>
|
|}
'''प्रक्रिया :'''

संख्या <math>14</math> को <math>2</math> से विभाजित करें, भागफल <math>7</math> है और शेषफल <math>0</math> है।

भागफल <math>7</math> को <math>2</math> से विभाजित करें, भागफल <math>3</math> है और शेषफल <math>1</math> है।

भागफल <math>3</math> को <math>2</math> से विभाजित करें, भागफल <math>1</math> है और शेषफल <math>1</math> है।

ऊपर दिए गए बाण चिन्ह की दिशा के अनुसार संख्याएँ लिखें -

<math>(14)_{10} = (1110)_{2}</math>

=== अष्टाधारी संख्या पद्धति (आधार 8 संख्या पद्धति) ===
अष्टाधारी संख्या पद्धति में, आधार <math>8</math> है और यह संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए <math>0</math> से <math>7</math> तक की संख्याओं का उपयोग करता है। अष्टाधारी संख्याएँ साधारणतः कंप्यूटर अनुप्रयोगों में उपयोग की जाती हैं।

उदाहरण के लिए, <math>(14110)_8</math> एक अष्टाधारी संख्या है जो <math>(2158)_{10
}</math> के समतुल्य है।

=== षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या पद्धति (आधार 16 संख्या पद्धति) ===
षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) पद्धति में, संख्याओं को आधार <math>16 </math> के साथ लिखा या दर्शाया जाता है। हेक्साडेसिमल प्रणाली में, संख्याओं को पहले दशमलव प्रणाली की तरह ही दर्शाया जाता है, यानी <math>0</math> से <math>9</math> तक। फिर, संख्याओं को <math>A</math> से <math>F</math> तक वर्णमाला का उपयोग करके दर्शाया जाता है।

उदाहरण के लिए, <math>(F2)_{16
}</math> एक षोडश आधारी(हेक्साडेसिमल) संख्या है जो <math>(242)_{10
}</math>

सांख्यिकी

2024-09-26T14:57:26Z

Ramamurthy: /* आंकड़ों का प्रस्तुतिकरण */

== भूमिका ==
प्रतिदिन हमें तथ्यों, संख्यात्मक अंकों, सारणियों, आलेखों (ग्राफों) आदि के रूप में विभिन्न प्रकार की सूचनाएँ देखने को मिलती रहती हैं। ये सूचनाएँ हमें समाचार पत्रों, टेलीविजनों, पत्रिकाओं और संचार के अन्य साधनों से उपलब्ध होती रहती हैं।

एक निश्चित उद्देश्य से एकत्रित किए गए इन तथ्यों या अंकों को, जो संख्यात्मक या अन्य रूप में हो सकते हैं, आंकड़े (''data'') कहा जाता है। अंग्रेजी शब्द "''data''" लैटिन शब्द ''datum'' का बहुवचन है।

अर्थपूर्ण सूचनाएँ उपलब्ध करने से संबंधित अध्ययन गणित की एक शाखा में किया जाता है, जिसे ''सांख्यिकी'' ''(statistics'') कहा जाता है।

''सांख्यिकी'' में आंकड़ों के संग्रह करने, व्यवस्थित करने, विश्लेषण करने और निर्वचन करने के बारे में अध्ययन किया जाता है । भिन्न-भिन्न संदर्भों में शब्द 'statistics' का अर्थ भिन्न-भिन्न होता है।

== आंकड़ों का संग्रह ==
आइए हम निम्नलिखित क्रियाकलाप करके आंकड़ों को एकत्रित करने का कार्य प्रारम्भ करें।

क्रियाकलाप 1: अपनी कक्षा के विद्यार्थियों को चार समूहों में बाँट दीजिए। प्रत्येक समूह को निम्न प्रकार के आंकड़ों में से एक प्रकार के आंकड़ों को संग्रह करने का काम दे दीजिए।

(i) अपनी कक्षा के 20 विद्यार्थियों की लंबाई ।

(ii) अपनी कक्षा में किसी एक महीने के प्रत्येक दिन अनुपस्थित रहे विद्यार्थियों की संख्या ।

(iii) आपके कक्षा मित्रों के परिवारों के सदस्यों की संख्या।

(iv) आपके विद्यालय में या उसके आस-पास के 15 पौधों की लंबाइयाँ ।

स्वयं अंवेषक ने अपने दिमाग में एक निश्चित उद्देश्य रखकर सूचनाओं को एकत्रित किया है। इस प्रकार एकत्रित किए गए आंकड़ों को प्राथमिक आंकड़े (''primary data'') कहा जाता है।

जहाँ किसी स्रोत से, जिसमें सूचनाएँ पहले से ही एकत्रित हैं, आंकड़े प्राप्त किए गए हों उन आंकड़ों को गौण आंकड़े (''secondary data)'' कहा जाता है।

== आंकड़ों का प्रस्तुतिकरण ==
आंकड़ों को एकत्रित करने का काम समाप्त होने के उपरांत ही, अंवेषक को इन आंकड़ों को ऐसे रूप में प्रस्तुत करने की विधियों को ज्ञात करना होता है जो अर्थपूर्ण हो, सरलता से समझी जा सकती हों और एक ही झलक में उसके मुख्य लक्षणों को जाना जा सकता हो।

== आंकड़ों का आलेखीय निरूपण ==
एक कहावत यह रही है कि, एक चित्र हजार शब्द से भी उत्तम होता है। प्रायः अलग-अलग मदों की तुलनाओं को आलेखों (graphs) की सहायता से अच्छी तरह से दर्शाया जाता है। तब वास्तविक आंकड़ों की तुलना में इस निरूपण को समझना अधिक सरल हो जाता है। इस अनुच्छेद में, हम निम्नलिखित आलेखीय निरूपणों का अध्ययन करेंगे।

(A) दंड आलेख (''Bar Graph'')

(B) एकसमान चौड़ाई और परिवर्ती चौड़ाइयों वाले आयतचित्र (''Histograms'')

(C) बारंबारता बहुभुज (''Frequency Polygons'')
[[File:Adobe Flex ColumnChart.png|alt=Bar graph|thumb|Bar graph|263x263px]]

आईए हम इन आलेखीय निरूपणों को विस्तार से देखें :

'''(A) दंड आलेख (''Bar Graph'')'''

दंड आलेख आंकड़ों का एक चित्रीय निरूपण होता है जिसमें प्राय: एक अक्ष (मान लीजिए x-अक्ष) पर एक चर को प्रकट करने वाले एक समान चौड़ाई के दंड खींचे जाते हैं जिनके बीच में बराबर-बराबर दूरियाँ छोड़ी जाती हैं। चर के मान दूसरे अक्ष (मान लीजिए y-अक्ष) पर दिखाए जाते हैं और दंडों की ऊँचाइयाँ चर के मानों पर निर्भर करती हैं।

'''(B) आयतचित्र (''Histograms'')'''
[[File:Histogram example.svg|alt=Histogram|thumb|Histogram|261x261px]]
यह संतत वर्ग अंतरालों के लिए प्रयुक्त दंड आलेख की भाँति निरूपण का एक रूप है।

'''(C) बारंबारता बहुभुज (''Frequency Polygons'')'''

मात्रात्मक आंकड़ों (''quantitative data'') और उनकी बारंबारताओं को निरूपित करने की एक अन्य विधि भी है। वह है एक बहुभुज (''polygon'')।

आयतचित्र बनाए बिना ही बारंबारता बहुभुजों को स्वतंत्र रूप से भी बनाया जा सकता है। इसके लिए हमें आंकड़ों में प्रयुक्त वर्ग अंतरालों के मध्य बिन्दुओं की आवश्यकता होती है। वर्ग अंतरालों के इन मध्य-बिंदुओं को वर्ग - चिह्न (''class-marks'') कहा जाता है।
किसी वर्ग अंतराल का वर्ग चिह्न ज्ञात करने के लिए, हम उस वर्ग अंतराल की उपरि सीमा (''upper limit'') और निम्न सीमा (''lower limit'') का योग ज्ञात करते हैं और इस योग को 2 से भाग दे देते हैं।

इस तरह,
'''''वर्ग -चिह्न = (उपरि सीमा + निम्न सीमा)/2'''''
[[Category:सांख्यिकी]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]

बहुलक

2024-09-26T14:55:11Z

Ramamurthy: /* सांख्यिकी में बहुलक सूत्र (अवर्गीकृत आँकड़े) */

[[Category:सांख्यिकी]]
बहुलक केंद्रीय प्रवृत्ति के माप के मूल्यों में से एक है। यह मान हमें एक मोटा-मोटा अंदाज़ा देता है कि दत्त(डेटा) समुच्चय में कौन से आँकड़े(आइटम) सबसे अधिक बार घटित होते हैं।

बहुलक हमें दत्त(डेटा) समुच्चय में किसी दिए गए आँकड़े(आइटम) की उच्चतम आवृत्ति के बारे में बताता है।

== परिभाषा ==
एक बहुलक को उस मान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसकी दिए गए मानों के समुच्चय में उच्च आवृत्ति होती है। यह वह मान है जो सबसे अधिक बार प्रकट होता है।

'''उदाहरण:''' डेटा के दिए गए समुच्चय में: 2, 4, 5, 5, 6, 7, दत्त(डेटा) समुच्चय का बहुलक 5 है क्योंकि यह समुच्चय में दो बार दिखाई दिया है।

सांख्यिकी किसी विशेष उद्देश्य के लिए डेटा और सूचना की प्रस्तुति, संग्रह और विश्लेषण से संबंधित है। हम तालिकाओं, ग्राफ़, पाई चार्ट, बार ग्राफ़, सचित्र प्रतिनिधित्व आदि का उपयोग करते हैं। डेटा के उचित संगठन के बाद, उपयोगी जानकारी का अनुमान लगाने के लिए इसका और विश्लेषण किया जाना चाहिए।

इस प्रयोजन के लिए, प्रायः आँकड़ों में, हम डेटा के एक समुच्चय को एक प्रतिनिधि मान द्वारा प्रस्तुत करते हैं जो मोटे तौर पर संपूर्ण डेटा संग्रह को परिभाषित करता है। इस प्रतिनिधि मान को केंद्रीय प्रवृत्ति की माप के रूप में जाना जाता है। नाम से ही पता चलता है कि यह एक मान है जिसके चारों ओर डेटा केंद्रित है। केंद्रीय प्रवृत्ति के ये उपाय हमें विशाल, संगठित डेटा का एक सांख्यिकीय सारांश बनाने की अनुमति देते हैं। केंद्रीय प्रवृत्ति का एक ऐसा माप डेटा का बहुलक है।

== बहुबहुलकीय (एक से अधिक बहुलक); [बाइमॉडल, ट्राइमॉडल और मल्टीमॉडल] ==

* जब किसी आँकड़े के समुच्चय में दो बहुलक होते हैं तो समुच्चय को '''बाइमॉडल''' कहा जाता है

उदाहरण के लिए, समुच्चय A = {3,3,3,4,5,5,6,6,6} का बहुलक 3 और 6 है, क्योंकि दिए गए समुच्चय में 3 और 6 दोनों को तीन बार दोहराया जाता है।

* जब किसी आँकड़े के समुच्चय में तीन बहुलक होते हैं तो समुच्चय को '''ट्राइमॉडल''' कहा जाता है

उदाहरण के लिए, समुच्चय A = {2,2,2,3,6,6,5,5,5,7,8,8,8} का बहुलक 2, 5 और 8 है

* जब किसी आँकड़े के समुच्चय में चार या अधिक बहुलक होते हैं तो उस समुच्चय को '''बहुबहुलकीय('''मल्टीमॉडल''')''' कहा जाता है

== सांख्यिकी में बहुलक सूत्र (अवर्गीकृत आँकड़े) ==
प्रेक्षणों के किसी समुच्चय में सबसे अधिक बार आने वाला मान उसका बहुलक है। दूसरे शब्दों में, आँकड़े का बहुलक आँकड़े के सेट में सबसे अधिक आवृत्ति वाला अवलोकन है। ऐसी संभावना है कि एक से अधिक अवलोकनों की आवृत्ति समान हो, यानी एक आँकड़े के समुच्चय में एक से अधिक बहुलक हो सकते हैं। ऐसी स्थिति में, आँकड़े के समुच्चय को मल्टीमॉडल कहा जाता है।

'''उदाहरण''': निम्नलिखित तालिका एक विद्यार्थी द्वारा 10 परीक्षाओं में गणित में प्राप्त अंकों की संख्या को दर्शाती है। दिए गए आँकड़े के समुच्चय का बहुलक ज्ञात करें।
{| class="wikitable"
!परीक्षा
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!9
!10
|-
|प्राप्त अंक
|50
|40
|40
|60
|50
| 60
|50
|50
|70
|40
|}
यह देखा जा सकता है कि विद्यार्थी ने विभिन्न परीक्षाओं में बार-बार 50 अंक प्राप्त किये। अतः, दिए गए आँकडों का बहुलक 50 है
[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

त्रिज्यखंड और वृत्तखंड के क्षेत्रेफल

2024-09-26T14:53:31Z

Ramamurthy: /* उदाहरण */

== त्रिज्यखंड ==
[[File:Sector.jpg|alt=Fig. 1 - Sector|thumb|150x150px|चित्र 1 -त्रिज्यखंड ]]
किसी वृत्त की दो त्रिज्याओं के बीच का वृत्ताकार क्षेत्र और उनके बीच का चाप वृत्त का त्रिज्यखंड कहलाता है। त्रिज्यखंड सदैव वृत्त के केंद्र से प्रारंभ होता है। अर्धवृत्त को वृत्त का त्रिज्यखंड भी कहा जाता है।

त्रिज्यखंड दो प्रकार के होते हैं, लघु त्रिज्यखंड और दीर्घ त्रिज्यखंड।

चित्र 1 में <math>OAPB</math> , केंद्र <math>O</math> सहित वृत्त का एक त्रिज्यखंड है। <math>\angle AOB</math> को त्रिज्यखंड का कोण कहा जाता है। <math>OAPB</math> को लघु त्रिज्यखंड कहा जाता है और <math>OAQB</math> को दीर्घ त्रिज्यखंड कहा जाता है।

दीर्घ त्रिज्यखंड का कोण <math>360^\circ-\angle AOB</math> है।

== वृत्तखंड ==
[[File:Segment.jpg|alt=Fig. 2 - Segment|thumb|150x150px|चित्र 2 -वृत्तखंड]]
किसी जीवा और संगत चाप के बीच घिरे वृत्ताकार क्षेत्र के भाग को वृत्त का खंड कहा जाता है।

चित्र 2 में <math>AB</math> केंद्र <math>O</math> वाले वृत्त की एक जीवा है।

<math>APB</math> वृत्त का एक खंड है।

खंड दो प्रकार के होते हैं, लघु वृत्तखंड और दीर्घ वृत्तखंड ।

<math>APB</math> को लघु वृत्तखंड कहा जाता है और

<math>AQB</math> को दीर्घ वृत्तखंड कहा जाता है।

== त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ==
[[File:Sector-1.jpg|alt=Fig 3 - Sector|thumb|150x150px|चित्र 3 -त्रिज्यखंड ]]आइए एक त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करें।

चित्र 3 में. चलो मान लें कि <math>OAPB</math> एक वृत्त का त्रिज्यखंड है जिसका केंद्र <math>O</math>, और त्रिज्या <math>r</math> है तथा <math>\angle AOB</math>, 𝜃 है।

हम जानते हैं कि एक वृत्त का क्षेत्रफल <math>\Pi r^2</math> है।

जब केंद्र पर कोण के माप का घात <math>360</math> है, तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = <math>\Pi r^2</math> है, इसलिए जब केंद्र पर कोण के माप का घात <math>\theta</math> है,

तो त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल =<math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>
{| class="wikitable"
|+
!कोण <math>\theta</math> के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल=<math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>,जहाँ <math>r</math> वृत्त की त्रिज्या है और <math>\theta</math> घात में त्रिज्यखंड का कोण है।
|}
'''त्रिज्यखंड <math>OAPB</math>''' '''संगत''' '''चाप की लम्बाई एवं क्षेत्रफल <math>APB</math>'''
[[File:Sector-length.jpg|alt=Fig 4 - Sector|thumb|151x151px|चित्र 4 -त्रिज्यखंड ]]
चित्र 4 में।

जब केंद्र पर कोण की माप का घात <math>360</math> है, तो चाप की लंबाई = <math>2\Pi r</math>

अत: जब केंद्र पर कोण की माप का घात <math>\theta</math> है, तो चाप की लंबाई =<math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math> होती है
{| class="wikitable"
!चाप की लंबाई = <math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math>
|}
वृत्तखंड का क्षेत्रफल '''<math>APB</math>''' = त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल '''<math>OAPB</math>''' - <math>\triangle OAB</math> का क्षेत्रफल

चित्र 3 और चित्र 4 से

दीर्घ त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल '''<math>OAQB</math> = <math>\Pi r^2</math>''' – लघु त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल '''<math>OAPB</math>'''

दीर्घ वृत्तखंड का क्षेत्रफल '''<math>AQB</math>''' = <math>\Pi r^2</math> – लघु वृत्तखंड का क्षेत्रफल '''<math>APB</math>'''

== उदाहरण ==
[[File:Sector-segment problem.jpg|alt=Example - 1|thumb|उदाहरण- 1]]
<math>21</math> cm त्रिज्या वाले एक वृत्त में, एक चाप केंद्र पर <math>60^\circ</math> का कोण अंतरित करता है।

ज्ञात करें:

(i) चाप की लंबाई (ii) चाप द्वारा बनाए गए त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल (iii) संगत जीवा द्वारा बनाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल

यहाँ <math>\theta =60</math> <math>r=21</math>

(i) चाप की लंबाई '''<math>APB</math> '''= <math>\frac{\theta}{360}\times2\pi r</math>

=<math>\frac{60}{360}\times2\pi \times 21</math> = <math>7\pi</math> = <math>7\times \frac{22}{7}=22</math> cm

(ii) त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल <math>OAPB</math> = <math>\frac{\theta}{360}\times\pi r^2</math>

= <math>\frac{60}{360}\times\pi \times 21^2</math> = <math>73.5\pi</math> = <math>73.5\times \frac{22}{7}=231</math> cm<sup>2</sup>

(iii)वृत्तखंड का क्षेत्रफल <math>APB</math> संगत जीवा द्वारा निर्मित = त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल <math>OAPB</math> - त्रिभुज का क्षेत्रफल <math>OAB</math>

= <math>231 - \frac{\sqrt 3}{4}\times OB \times OA</math>

= <math>231 - \frac{\sqrt 3}{4}\times 21 \times 21</math>

= <math>\left[231 - \frac{441\sqrt 3}{4} \right]
</math> cm<sup>2</sup>
[[Category:वृत्तों से संबंधित क्षेत्रफल]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-10]]

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

2024-09-26T14:50:49Z

Ramamurthy: /* पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ */

[[Category:त्रिकोणमिति का परिचय]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-10]]
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, त्रिकोणमिति का एक मूलभूत पहलू है, जो त्रिभुजों के कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों का अध्ययन है। यह सर्वसमिकाएँ गणितीय समीकरण हैं जिनमें ज्या(साइन), कोटिज्या(कोसाइन) और स्पर्शरेखा जैसे त्रिकोणमितीय फलन उपस्थित होते हैं और उपस्थित चर के सभी मानों के लिए सत्य होते हैं।

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ, व्यंजक को सरल बनाने, समीकरणों को हल करने और विज्ञान और इंजीनियरिंग के विभिन्न क्षेत्रों में गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए उपयोगी हैं। गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में छात्रों और पेशेवरों(प्रोफेशनल्स) के लिए इन सर्वसमिकाएँ के गुणों और अनुप्रयोगों को समझना आवश्यक है।

== पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ==
त्रिकोणमिति में पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ पाइथागोरस प्रमेय से ली गई हैं। निम्नलिखित 3 पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं।

* <math> cos^2A + sin^2A=1 </math>
*<math> 1+tan^2A =sec^2A </math>
*<math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>
<math>\bigtriangleup ABC</math> में <math>B</math> पर समकोण है (चित्र-1 देखें) हमारे पास है [[File:Trigonometric ratios -1.jpg|alt=Fig.1 Trigonometric Identities|thumb|चित्र-1 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ]]<math>AB^2+BC^2=AC^2 ....... (1)</math>

<math>(1)</math> के प्रत्येक पद को <math>AC^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{AC^2}+\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{AC^2}{AC^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{AC} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{AC} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{AC} \right ]^2 </math>

<math> cos^2A + sin^2A=1 </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A \leq 90^\circ</math>

(1) के प्रत्येक पद को <math>AB^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{AB^2}+\frac{BC^2}{AB^2}=\frac{AC^2}{AB^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{AB} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{AB} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{AB} \right ]^2 </math>

<math> 1+tan^2A =sec^2A </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ\leq A < 90^\circ</math>

(1) के प्रत्येक पद को <math>BC^2</math> से विभाजित करने पर

<math>\frac{AB^2}{BC^2}+\frac{BC^2}{BC^2}=\frac{AC^2}{BC^2}</math>

<math> \left [ \frac{AB}{BC} \right ]^2 + \left [ \frac{BC}{BC} \right ]^2 = \left [ \frac{AC}{BC} \right ]^2 </math>

<math> cot^2A+1 =cosec^2A </math>

यह सभी <math>A</math> के लिए सत्य है जैसे कि <math>0^\circ <A \leq 90^\circ</math>

त्रिकोणमिति

2024-09-26T14:44:45Z

Ramamurthy: /* त्रिकोणमिति का उपयोग */

त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है, जो एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं और कोणों से संबंधित है। यह ग्रीक शब्द ''‘त्रि’'' से लिया गया है, जिसका अर्थ है तीन, ‘गॉन’ जिसका अर्थ है भुजाएं, ‘मेट्रोन’ का अर्थ है माप। इसका उपयोग आरंभ के खगोलविदों और मिस्र और बेबीलोन में किया गया था। इस इकाई में हम त्रिकोणमिति क्या है यह जानेंगे ।

== त्रिकोणमिति का परिचय ==
विभिन्न कोणों (0 से 90 डिग्री) के लिए त्रिकोणमिति और त्रिकोणमितीय अनुपातों का प्रयोग करने के बाद इसका उपयोग आर्किटेक्चर, इंजीनियरिंग, भौतिक विज्ञान जैसे विषय में देख सकते हैं। त्रिकोणमिति गणित की वह शाखा है, जिसमें त्रिभुज की तीनों भुजाओं और तीनों कोणों का अध्ययन किया जाता है।त्रिकोणमिति का अर्थ त्रिभुज की तीनों भुजाओं का माप होता है।

== त्रिकोणमिति की खोज ==
त्रिकोणमिति का आविष्कार और प्रयोग प्राचीन भारत में किया गया। त्रिकोणमिति के जनक, शून्य और दशमलव का महत्व बताने वाले विश्व के महान गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट् हैं।

== त्रिकोणमिति का उपयोग ==
त्रिकोणमिति का उपयोग गणित, विज्ञान और तकनीकी में किया जाता है। त्रिकोणमिति के अध्ययन के बाद हम इसका उपयोग निम्न चीजों में देखते हैं-

* खेतों, भूखंडों और क्षेत्रों को मापना
* सिरेमिक टाइल की माप
[[Category:त्रिकोणमिति का परिचय]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-10]]

कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

2024-09-26T14:43:38Z

Ramamurthy: /* 30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात */

इस अनुभाग में, हम <math>0^\circ ,30^\circ , 45^\circ, 60^\circ , 90^\circ

</math>के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करेंगे।

== 45° के त्रिकोणमितीय अनुपात ==
[[File:Right angle triangle.jpg|alt=Fig.1 Triangle|thumb|चित्र -1 त्रिभुज]]
<math>\bigtriangleup ABC</math> में <math>B</math> समकोण है, यदि <math>\angle A =45^\circ</math>, <math>\angle C =45^\circ</math>

<math>BC=AB=a</math>

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए

<math>AB^2+BC^2=AC^2</math>

<math>a^2+a^2=2a^2</math>

<math>AC= a\sqrt{2} </math>

<math>sin \ 45^\circ = \frac{side \ opposite \ to \ angle \ 45^\circ}{hypotenuse}= \frac{BC} {AC} =\frac{a} {a\sqrt{2}}=\frac{1} {\sqrt{2}}</math>

<math>cos \ 45^\circ = \frac{side \ adjacent \ to \ angle \ 45^\circ}{hypotenuse}= \frac{AB} {AC} =\frac{a} {a\sqrt{2}}=\frac{1} {\sqrt{2}}</math>

<math>tan \ 45^\circ = \frac{side \ opposite \ to \ angle \ 45^\circ}{side \ adjacent \ to \ angle \ 45^\circ}= \frac{BC}{AB} =\frac{a}{a}=1</math>

<math>cosec \ 45^\circ = \frac{1}{sin \ 45^\circ}=\sqrt{2}</math> , <math>sec \ 45^\circ = \frac{1}{cos \ 45^\circ}=\sqrt{2}</math> , <math>cot \ 45^\circ = \frac{1}{tan \ 45^\circ}=1</math>

== 30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात ==
[[File:Triangle -1.jpg|alt=Fig. 2 - Triangle|thumb|चित्र -2 त्रिभुज]]
समबाहु <math>\bigtriangleup ABC</math> पर विचार करें। समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक कोण <math>60^\circ</math> होता है, इसलिए, <math>\angle A = \angle B =\angle C =60^\circ</math> .

<math>A</math> से भुजा <math>BC</math> तक एक लंब <math>AD</math> खींचिए (चित्र-2 देखें)।

अब <math>\bigtriangleup ABD=\bigtriangleup ACD</math>

अतः, <math>BD=DC</math> और <math>\angle BAD = \angle CAD</math> (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

<math>\bigtriangleup ABD</math> एक समकोण त्रिभुज है, जो <math>\angle BAD = 30^\circ</math> और <math>\angle ABD = 60^\circ</math> के साथ <math>D</math> पर समकोण है।

मान लीजिए <math>AB=2a</math> , अत: <math>BC=AC=AB=2a</math>

<math>BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} \times 2a=a</math>

<math>AD^2=AB^2-BD^2=(2a)^2-a^2=3a^2</math>

<math>AD=a\sqrt{3}</math>

<math>sin \ 30^\circ = \ \frac{BD} {AB} =\frac{a} {2a}=\frac{1} {2}</math> , <math>cos \ 30^\circ = \ \frac{AD} {AB} =\frac{a\sqrt{3}} {2a}=\frac{\sqrt{3}} {2}</math> , <math>tan \ 30^\circ = \ \frac{BD} {AD} =\frac{a} {a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} </math>

<math>cosec \ 30^\circ = \frac{1}{sin \ 30^\circ}=2</math> , <math>sec \ 30^\circ = \frac{1}{cos \ 30^\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}</math> , <math>cot \ 30^\circ = \frac{1}{tan \ 30^\circ}=\sqrt{3}</math>

इसी प्रकार

<math>sin \ 60^\circ = \ \frac{AD} {AB} =\frac{a\sqrt{3}} {2a}=\frac{\sqrt{3}} {2}</math> , <math>cos \ 60^\circ = \ \frac{BD} {AB} =\frac{a} {2a}=\frac{1} {2}</math> , <math>tan \ 60^\circ = \ \frac{AD} {BD} =\frac{a\sqrt{3}} {a}=\sqrt{3} </math>

<math>cosec \ 60^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}</math> , <math>sec \ 60^\circ = \frac{1}{cos \ 60^\circ}=2</math> , <math>cot \ 60^\circ = \frac{1}{tan \ 60^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math>

{| class="wikitable"
|+0°, 30°, 45°, 60° और 90° के त्रिकोणमितीय अनुपात
!<math>\angle A</math>
!<math>0^\circ</math>
!<math>30^\circ</math>
!<math>45^\circ</math>
!<math>60^\circ</math>
!<math>90^\circ</math>
|-
|<math>sin \ A</math>
|<math>0</math>
|<math>\frac{1} {2}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}} {2}</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>cos \ A</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}} {2}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{1} {2}</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>tan \ A</math>
|<math>0</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3} </math>
|अपरिभाषित
|-
|<math>cosec \ A</math>
|अपरिभाषित
|<math>2</math>
|<math>\sqrt{2} </math>
|<math>\frac {2}{\sqrt{3}}</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>sec \ A</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac {2}{\sqrt{3}}</math>
|<math>\sqrt{2} </math>
|<math>2</math>
|अपरिभाषित
|-
|<math>cot \ A</math>
|अपरिभाषित
|<math>\sqrt{3} </math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
|<math>0</math>
|}
[[Category:त्रिकोणमिति का परिचय]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-10]]

कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात

2024-09-26T14:40:20Z

Ramamurthy: /* 30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात */

इस अनुभाग में, हम <math>0^\circ ,30^\circ , 45^\circ, 60^\circ , 90^\circ

</math>के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय अनुपातों के मान ज्ञात करेंगे।

== 45° के त्रिकोणमितीय अनुपात ==
[[File:Right angle triangle.jpg|alt=Fig.1 Triangle|thumb|चित्र -1 त्रिभुज]]
<math>\bigtriangleup ABC</math> में <math>B</math> समकोण है, यदि <math>\angle A =45^\circ</math>, <math>\angle C =45^\circ</math>

<math>BC=AB=a</math>

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए

<math>AB^2+BC^2=AC^2</math>

<math>a^2+a^2=2a^2</math>

<math>AC= a\sqrt{2} </math>

<math>sin \ 45^\circ = \frac{side \ opposite \ to \ angle \ 45^\circ}{hypotenuse}= \frac{BC} {AC} =\frac{a} {a\sqrt{2}}=\frac{1} {\sqrt{2}}</math>

<math>cos \ 45^\circ = \frac{side \ adjacent \ to \ angle \ 45^\circ}{hypotenuse}= \frac{AB} {AC} =\frac{a} {a\sqrt{2}}=\frac{1} {\sqrt{2}}</math>

<math>tan \ 45^\circ = \frac{side \ opposite \ to \ angle \ 45^\circ}{side \ adjacent \ to \ angle \ 45^\circ}= \frac{BC}{AB} =\frac{a}{a}=1</math>

<math>cosec \ 45^\circ = \frac{1}{sin \ 45^\circ}=\sqrt{2}</math> , <math>sec \ 45^\circ = \frac{1}{cos \ 45^\circ}=\sqrt{2}</math> , <math>cot \ 45^\circ = \frac{1}{tan \ 45^\circ}=1</math>

== 30° और 60° के त्रिकोणमितीय अनुपात ==
[[File:Triangle -1.jpg|alt=Fig. 2 - Triangle|thumb|चित्र -2 त्रिभुज]]
समबाहु <math>\bigtriangleup ABC</math> पर विचार करें। समबाहु त्रिभुज में प्रत्येक कोण <math>60^\circ</math> होता है, इसलिए, <math>\angle A = \angle B =\angle C =60^\circ</math> .

<math>A</math> से भुजा <math>BC</math> तक एक लंब <math>AD</math> खींचिए (चित्र-2 देखें)।

अब <math>\bigtriangleup ABD=\bigtriangleup ACD</math>

अतः, <math>BD=DC</math> और <math>\angle BAD = \angle CAD</math> (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग)

<math>\bigtriangleup ABD</math> एक समकोण त्रिभुज है, जो <math>\angle BAD = 30^\circ</math> और <math>\angle ABD = 60^\circ</math> के साथ <math>D</math> पर समकोण है।

मान लीजिए <math>AB=2a</math> , अत: <math>BC=AC=AB=2a</math>

<math>BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} \times 2a=a</math>

<math>AD^2=AB^2-BD^2=(2a)^2-a^2=3a^2</math>

<math>AD=a\sqrt{3}</math>

<math>sin \ 30^\circ = \ \frac{BD} {AB} =\frac{a} {2a}=\frac{1} {2}</math> , <math>cos \ 30^\circ = \ \frac{AD} {AB} =\frac{a\sqrt{3}} {2a}=\frac{\sqrt{3}} {2}</math> , <math>tan \ 30^\circ = \ \frac{BD} {AD} =\frac{a} {a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}} </math>

<math>cosec \ 30^\circ = \frac{1}{sin \ 30^\circ}=2</math> , <math>sec \ 30^\circ = \frac{1}{cos \ 30^\circ}=\frac{2}{\sqrt{3}}</math> , <math>cot \ 30^\circ = \frac{1}{tan \ 30^\circ}=\sqrt{3}</math>

इसी प्रकार

<math>sin \ 60^\circ = \ \frac{AD} {AB} =\frac{a\sqrt{3}} {2a}=\frac{\sqrt{3}} {2}</math> , <math>cos \ 60^\circ = \ \frac{BD} {AB} =\frac{a} {2a}=\frac{1} {2}</math> , <math>tan \ 60^\circ = \ \frac{AD} {BD} =\frac{a\sqrt{3}} {a}=\sqrt{3} </math>

<math>cosec \ 60^\circ = \frac{2}{\sqrt{3}}</math> , <math>sec \ 60^\circ = \frac{1}{cos \ 60^\circ}=2</math> , <math>cot \ 60^\circ = \frac{1}{tan \ 60^\circ}=\frac{1}{\sqrt{3}}</math>

{| class="wikitable"
|+0°, 30°, 45°, 60° और 90° के त्रिकोणमितीय अनुपात
!<math>\angle A</math>
!<math>0^\circ</math>
!<math>30^\circ</math>
!<math>45^\circ</math>
!<math>60^\circ</math>
!<math>90^\circ</math>
|-
|<math>sin \ A</math>
|<math>0</math>
|<math>\frac{1} {2}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}} {2}</math>
|<math>1</math>
|-
|<math>cos \ A</math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{\sqrt{3}} {2}</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
|<math>\frac{1} {2}</math>
|<math>0</math>
|-
|<math>tan \ A</math>
|<math>0</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
|<math>1</math>
|<math>\sqrt{3} </math>
|अपरिभाषित
|-
|<math>cosec \ A</math>
|अपरिभाषित
|<math>2</math>
|<math>\sqrt{2} </math>
|<math>\frac {2}{\sqrt{3}}</math>
|<math>1</math>
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|<math>sec \ A</math>
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|<math>\frac {2}{\sqrt{3}}</math>
|<math>\sqrt{2} </math>
|<math>2</math>
|अपरिभाषित
|-
|<math>cot \ A</math>
|अपरिभाषित
|<math>\sqrt{3} </math>
|<math>1</math>
|<math>\frac{1}{\sqrt{3}}</math>
|<math>0</math>
|}
[[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-10]]

रेखा

2024-09-26T14:36:03Z

Ramamurthy: /* स्पष्टीकरण */

[[Category:यूक्लिड की ज्यामिति]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]]

रेखा एक सीधी एक-आयामी आकृति है जिसमें कोई मोटाई नहीं होती है, और यह दोनों दिशाओं में अंतहीन रूप से फैली हुई होती है।[[File:WhatsApp Image 2023-10-18 at 2.16.45 PM.jpg|thumb]]
== रेखाओं के प्रकार ==

# '''ऊंचाई''': एक रेखा जो एक शीर्ष और विपरीत दिशा से होकर गुजरती है, और उस तरफ से समकोण बनाती है।
# '''माध्यिका''': एक रेखा जो एक भुजा के मध्यबिंदु और विपरीत शीर्ष से होकर गुजरती है।
# '''लंब समद्विभाजक''': एक रेखा जो त्रिभुज की एक भुजा को उसके मध्य बिंदु पर काटती है और भुजा के साथ समकोण बनाती है।
# '''आंतरिक/आंतरिक कोण समद्विभाजक''': एक रेखा जो त्रिभुज के आंतरिक कोण को दो सर्वांगसम भागों में विभाजित करती है।
# '''बाहरी/बाह्य कोण समद्विभाजक''': एक रेखा जो त्रिभुज के बाहरी कोण को दो सर्वांगसम भागों में विभाजित करती है।

== स्पष्टीकरण ==
चूँकि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ और शीर्ष होते हैं, इसलिए इसमें तीन ऊँचाई, माध्यिकाएँ, लम्ब समद्विभाजक, आंतरिक कोण समद्विभाजक और बाह्य कोण समद्विभाजक भी होते हैं। उदाहरण के लिए, △ABC के शीर्ष A के अनुरूप ऊँचाई, माध्यिका, लंब समद्विभाजक, आंतरिक कोण समद्विभाजक और बाह्य कोण समद्विभाजक को क्रमशः <math>a, b, c, d,e</math> के रूप में दिखाया गया है। अक्सर हम आंतरिक कोण समद्विभाजक को मात्र एक आंतरिक कोण समद्विभाजक कहते हैं। इस पर बल दिए बिना कोण समद्विभाजक एक आंतरिक कोण के लिए है।

इन सभी विशेष रेखाओं को सेवियन भी कहा जाता है, जिनका नाम एक इतालवी गणितज्ञ जियोवानी सेवा के नाम पर रखा गया है। सरल शब्दों में सेवियन एक ऐसी रेखा है जो त्रिभुज के शीर्ष और उस शीर्ष के विपरीत भुजा दोनों को काटती है।

स्केल गुणक

2024-09-26T14:35:09Z

Ramamurthy: /* स्केल फैक्टर के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग */

[[Category:त्रिभुज]]
[[Category:गणित]]
स्केल गुणक का उपयोग विभिन्न आयामों में आकृतियों को स्केल करने के लिए किया जाता है । ज्यामिति में, हम विभिन्न ज्यामितीय आकृतियों के बारे में सीखते हैं जो दो-आयाम और तीन-आयाम दोनों में होती हैं। स्केल फ़ैक्टर समान आकृतियों के लिए एक माप है , जो समान दिखते हैं लेकिन उनके पैमाने या माप अलग-अलग होते हैं। मान लीजिए, दो वृत्त समान दिखते हैं लेकिन उनकी त्रिज्याएँ अलग-अलग हो सकती हैं।

== स्केल गुणक क्या है? ==
जिस आकार से आकृति को बड़ा या छोटा किया जाता है उसे उसका स्केल कारक कहा जाता है। इसका उपयोग तब किया जाता है जब हमें 2D आकृति , जैसे वृत्त, त्रिभुज, वर्ग, आयत, आदि का आकार बढ़ाने की आवश्यकता होती है।

यदि y = Kx एक समीकरण है, तो K, x के लिए स्केल फ़ैक्टर है। हम इस अभिव्यक्ति को आनुपातिकता के संदर्भ में भी प्रस्तुत कर सकते हैं:

y ∝ x

इसलिए, हम यहां K को आनुपातिकता के स्थिरांक के रूप में मान सकते हैं।

स्केल फ़ैक्टर को मूल आनुपातिकता प्रमेय द्वारा भी बेहतर ढंग से समझा जा सकता है ।

== स्केल गुणक सूत्र ==
स्केल गुणक का सूत्र इस प्रकार दिया गया है:

मूल आकार का आयाम x स्केल फैक्टर = नए आकार का आयाम

स्केल फ़ैक्टर = नए आकार का आयाम/मूल आकार का आयाम

दो वर्गों का उदाहरण लें जिनकी लंबाई-भुजाओं की लंबाई क्रमशः 6 इकाई और 3 इकाई है। अब, स्केल फ़ैक्टर खोजने के लिए नीचे दिए गए चरणों का पालन करें।

चरण 1: <math>3</math> x स्केल फ़ैक्टर = <math>6</math>

चरण 2: स्केल फ़ैक्टर = <math>3/6</math> (प्रत्येक पक्ष को 6 से विभाजित करें)।

चरण 3: स्केल फ़ैक्टर = ½ =1:2 (सरलीकृत)।

इसलिए, बड़े वर्ग से छोटे वर्ग तक का स्केल फैक्टर 1:2 है।

स्केल फ़ैक्टर का उपयोग विभिन्न आकृतियों के साथ भी किया जा सकता है।

== त्रिभुज का स्केल गुणक ==
जो त्रिभुज समरूप होते हैं उनका आकार समान होता है और तीनों कोणों का माप भी समान होता है। एकमात्र चीज जो भिन्न होती है वह है उनके पक्ष। हालाँकि, एक त्रिभुज की भुजाओं का अनुपात दूसरे त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के बराबर होता है, जिसे यहाँ स्केल फ़ैक्टर कहा जाता है।

यदि हमें छोटे त्रिभुज के समान बड़ा त्रिभुज खोजना है, तो हमें छोटे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई को स्केल फैक्टर से गुणा करना होगा।

== स्केल गुणक उदाहरण ==
उदाहरण के लिए, 6 सेमी और 3 सेमी माप वाला एक आयत है।

यदि हम मूल आयत के लिए स्केल फैक्टर को 2 से बढ़ा देते हैं तो आयत की दोनों भुजाएं दोगुनी हो जाएंगी। यानी स्केल फैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को 2 से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई 6 सेमी और चौड़ाई 3 सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को 2 बढ़ाने के बाद, लंबाई 12 सेमी और चौड़ाई 6 सेमी है।

यदि हम मूल आयत के स्केल फ़ैक्टर को 3 से बढ़ा देते हैं तो दोनों भुजाएँ तिगुनी हो जाएँगी। यानी स्केल फ़ैक्टर को बढ़ाने से हमारा मतलब आयत के मौजूदा माप को दिए गए स्केल फ़ैक्टर से गुणा करना है। यहां, हमने आयत के मूल माप को 3 से गुणा कर दिया है।

मूल रूप से, आयत की लंबाई 6 सेमी और चौड़ाई 3 सेमी थी।

इसके स्केल फैक्टर को 3 बढ़ाने के बाद, लंबाई 18 सेमी और चौड़ाई 9 सेमी है।

== स्केल फैक्टर के वास्तविक जीवन में अनुप्रयोग ==

# यदि आपके घर पर किसी पार्टी में अपेक्षा से अधिक लोगों का समूह है। आपको सभी को खिलाने के लिए खाद्य पदार्थों की सामग्री को प्रत्येक को समान संख्या से गुणा करके बढ़ाना होगा। उदाहरण के लिए, यदि आपकी अपेक्षा से 4 लोग अतिरिक्त हैं और एक व्यक्ति को 2 पिज़्ज़ा स्लाइस की आवश्यकता है, तो आपको उन सभी को खिलाने के लिए 8 और पिज़्ज़ा स्लाइस बनाने की आवश्यकता है।
# इसी प्रकार, स्केल फ़ैक्टर का उपयोग किसी विशेष प्रतिशत वृद्धि का पता लगाने या किसी राशि के प्रतिशत की गणना करने के लिए किया जाता है।
# यह हमें समय सारणी ज्ञान का उपयोग करके विभिन्न समूहों के अनुपात और अनुपात का पता लगाने की सुविधा भी देता है।
# आकार बदलने के लिए: इसमें कितना बड़ा करना है यह व्यक्त करने का अनुपात निकाला जा सकता है।
# स्केल ड्राइंग: यह दिए गए मूल आंकड़े की तुलना में ड्राइंग को मापने का अनुपात है।
# 2 समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करने के लिए: जब हम स्केल फैक्टर द्वारा दो समान ज्यामितीय आकृतियों की तुलना करते हैं, तो यह संबंधित पक्षों की लंबाई का अनुपात देता है।

[[File:Scale factor.jpg|thumb]]
[[Category:कक्षा-10]]

चतुर्भुज

2024-09-26T14:34:20Z

Ramamurthy: /* पतंग के गुण */

चतुर्भुज एक ऐसी आकृति है जिसकी चार भुजाएं और चार किनारे होते हैं। साधारणतयः चतुर्भुज के आकार चार भुजाओं के साथ जैसे , आयत , विषमकोण, वर्ग , समलम्ब और पतंग एवं कई अनियमित आकृतियां होती हैं।

== चतुर्भुज के प्रकार ==
चतुर्भुज के कई प्रकार होते हैं – सभी के चार भुजाएँ और इन आकृतियों का कोणों का योग 360° होता है।

* समलम्ब
* समांतर चतुर्भुज
* वर्ग
* आयत
* विषमकोण
* पतंग

== चतुर्भुज का क्षेत्रफल ==
समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल - आधार x लंबाई

आयात का क्षेत्रफल - लंबाई x चौड़ाई

वर्ग का क्षेत्रफल - भुजा x भुजा

== चतुर्भुज के गुण ==
सभी चतुर्भुज के चार भुजाएं , 4 कोण और चार कोने होते हैं।

आंतरिक कोण का योग 360° होता है।

=== वर्ग के गुण ===

* वर्ग की सभी भुजाएं समान होती हैं।
* सभी भुजाएं आपस में समांतर होती हैं।
* सभी आंतरिक कोण 90° के होते हैं।
* वर्ग के विकर्ण एक-दूसरे को लंबवत समद्विभाजक करते हैं।

=== आयत के गुण ===

* आयत के विपरीत भुजाओं की लंबाई समान होती है।
* आयत के विपरीत भुजाएं आपस में समानांतर होती है।
* आयत के सभी आंतरिक कोण 90 के होते हैं।
* आयत के विकर्ण आपस में समद्विभाजक करते हैं।

=== विषमकोण के गुण ===

* विषमकोण की सभी चारों भुजाएं आपस में समान होती है।
* विषमकोण की विपरीत भुजाएँ एक-दूसरे के समांतर होती हैं।
* इसके विपरीत कोण समान होते हैं।
* विषमकोण के आसन्न कोण का योग 180° होता है।
* इसके विकर्ण लंबवत समद्विभाजक करते हैं।

=== समांतर चतुर्भुज के गुण ===

* समांतर चतुर्भुज की विपरीत भुजाओं की लंबाई समान होती है।
* इसकी विपरीत भुजाएँ एक- दूसरे के समांतर होते हैं।
* इसके विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजक करते हैं।
* इसके विपरीत कोण समान होते हैं।
* समांतर चतुर्भुज के आसन्न कोण का योग 180° होता है।

=== समलंब के गुण ===

* समलंब के केवल एक विपरीत भुजाओं के जोड़े एक दूसरे के समांतर होते हैं।
* समलम्ब के दो आसन्न भुजाएं पूरक होते हैं।
* इसके विकर्ण एक-दूसरे को समान अनुपात में विभाजित करते हैं।

=== पतंग के गुण ===

* पतंग के आसन्न भुजाओं के जोडों की लंबाई समान होती है।
* पतंग की बड़ी विकर्ण ,छोटी विकर्ण को विभाजित करती है।
* विपरीत कोण के केवल एक जोड़े समान होते हैं।
[[Category:चतुर्भुज]]
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

पाइथागोरस प्रमेय

2024-09-26T14:33:37Z

Ramamurthy: /* पाइथागोरस प्रमेय कथन */

[[Category:त्रिभुज]]
[[File:पाइथागोरस प्रमेय.jpeg|thumb|पाइथागोरस प्रमेय]]
पाइथागोरस प्रमेय गणित का एक महत्वपूर्ण विषय है, जो समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को बताता है।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग मूल रूप से किसी त्रिभुज की अज्ञात भुजा की लंबाई और कोण ज्ञात करने के लिए किया जाता है। इस प्रमेय के द्वारा हम आधार, लम्ब और कर्ण सूत्र प्राप्त कर सकते हैं।

== पाइथागोरस प्रमेय कथन ==
पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि "एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण भुजा का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है"। इस त्रिभुज की भुजाओं को लंब, आधार और कर्ण नाम दिया गया है। यहां, कर्ण सबसे लंबी भुजा है, क्योंकि यह कोण 90° के विपरीत है।

चित्र में <math>ABC</math> जहां भुजा <math>AB</math> को लंब कहा जाता है, भुजा <math>BC</math> को आधार कहा जाता है, भुजा <math>AC</math> को कर्ण कहा जाता है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

लम्ब का वर्ग + आधार का वर्ग = कर्ण का वर्ग

<math>AB^2+BC^2=AC^2</math>

== उदाहरण ==
1. एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें। इसके कर्ण का माप 20 इंच है. त्रिभुज की एक भुजा 16 इंच है। तीसरी भुजा की माप क्या होगी?

मान लीजिए <math>x</math> तीसरी भुजा का माप है।

पाइथोगोरस प्रमेय के अनुसार

लम्ब का वर्ग + आधार का वर्ग = कर्ण का वर्ग
<math>16^2+x^2=20^2
</math>

<math>x^2=20^2-16^2
</math>

<math>x^2=400 -256 =144
</math>

<math>x=\sqrt{144} = 12
</math>

तीसरी भुजा की माप = <math>12</math> इंच.

2. एक समकोण त्रिभुज पर विचार कीजिए। त्रिभुज की एक भुजा 8 सेमी है, त्रिभुज की दूसरी भुजा 6 सेमी है। कर्ण भुजा का माप क्या होगा?

माना कि कर्ण भुजा का माप <math>x</math> है।

पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार

लम्ब का वर्ग + आधार का वर्ग = कर्ण का वर्ग

<math>8^2+6^2=x^2
</math>

<math>x^2=64+36
</math>

<math>x^2=100
</math>

<math>x=\sqrt{100} = 10
</math>

कर्ण भुजा का माप = <math>10
</math> सेमी
[[Category:गणित]]
[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

प्रतिस्थापन विधि

2024-09-26T14:29:16Z

Ramamurthy: /* संदर्भ */

[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]]
[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
[[Category:Vidyalaya Completed]]
दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने की प्रतिस्थापन विधि सबसे सरल विधियों में से एक है । जैसा कि नाम से स्पष्ट है , प्रतिस्थापन विधि में हम एक चर के मान को दूसरे के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं , जिसके कारण समीकरण रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाता है , और उसे हल करना आसान हो जाता है । इस इकाई में हम प्रतिस्थापन विधि को विस्तार पूर्वक समझते है । दो चर वाले रैखिक समीकरणों के युग्म को हल करने के लिए हम एक चर के मान को दूसरे चर के रूप में व्यक्त करके प्रतिस्थापित करते हैं । इसीलिए इसे प्रतिस्थापन विधि कहा जाता है ।

== प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण ==
प्रतिस्थापन विधि के मुख्य चरण<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT) |edition=Revised |pages=30-33}}</ref> निम्नलिखित है ;

=== चरण 1 ===
दी गई दोनों समीकरणों में से किसी भी एक समीकरण से हम एक चर ( मान लीजिए <math>y</math> ) का मान दूसरे चर ( मान लीजिए <math>x</math> ) के संदर्भ में ज्ञात करेंगे ।

=== चरण 2 ===
चरण <math>1</math> में हमें जो <math>y</math> का मान प्राप्त हुआ , हम उसे अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करेंगे । प्रतिस्थापित करने के उपरांत समीकरण <math>x</math> के रैखिक रूप में परिवर्तित हो जाएगी ।

=== चरण 3 ===
चरण 2 में प्राप्त रैखिक समीकरण को हम आसानी से हल कर लेंगे ।

=== चरण 4 ===
चरण <math>3</math> में प्राप्त <math>x</math> के मान को हम किसी भी एक समीकरण में रखेंगे , जिससे हमें दूसरे चर <math>y</math> का मान प्राप्त हो जाए ।

इस प्रकार ऊपर दिए गए चरणों को क्रमबद्ध तरीके से उपयोग करने के बाद, हम दो चर वाले रैखिक समीकरण को हल करने में सक्षम होंगे ।

== उदाहरण 1 ==
प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें :

<math>7x-15y=2</math>

<math>x+2y=3</math>

हल

दी गई समीकरण ,

<math>7x-15y=2</math> <math>....................(1)</math>

<math>x+2y=3</math> <math>......................(2)</math>

समीकरण <math>(2)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,

<math>x+2y=3</math>

<math>x=3-2y</math> <math>....................(3)</math>

समीकरण <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math> के मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखकर हल करने पर ,

<math>7x-15y=2</math>

<math>7(3-2y)-15y=2</math> ( समीकरण <math>(3)</math> से <math>x=3-2y</math> )

<math>21-14y-15y=2</math>

<math>21-29y=2</math>

<math>21-2=29y</math>

<math>19=29y</math>

<math>y=\frac{19}{29}</math>

<math>y</math> के प्राप्त मान को समीकरण <math>(3)</math> में रखने पर ,

<math>x=3-2y</math>

<math>x=3-2\left ( \frac{19}{29} \right )</math>

<math>x=3-\frac{38}{29}</math>

<math>x=\frac{87-38}{29}</math>

<math>x=\frac{49}{29}</math>

अतः , उपर्युक्त दी गई समीकरणों का हल <math>x=\frac{49}{29}</math> , <math>y=\frac{19}{29}</math> है ।

== उदाहरण 2 ==
<math>2</math> टॉफ़ी और <math>3</math> पेंसिल का मूल्य ₹ <math>9</math> है और <math>4</math> टॉफ़ी और <math>6</math> पेंसिल का मूल्य ₹ <math>18</math> है । प्रत्येक टॉफ़ी और पेंसिल का मूल्य ज्ञात कीजिए ।

हल

माना कि प्रत्येक टॉफी की कीमत <math>x</math> है और प्रत्येक पेंसिल की कीमत <math>y</math> है ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,

<math>2x+3y=9</math> <math>....................(1)</math>

<math>4x+6y=18</math> <math>......................(2)</math>

समीकरण <math>(1)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,

<math>2x+3y=9</math>

<math>2x=9-3y</math>

<math>x=\frac{9-3y}{2}</math><math>....................(3)</math>

समीकरण <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math> के मान को समीकरण <math>(2)</math> में रखकर हल करने पर ,

<math>4x+6y=18</math>

<math>4\left ( \frac{9-3y}{2} \right )+6y=18</math>

<math>\left ( \frac{36-12y}{2} \right )+6y=18</math>

<math>\left ( \frac{36-12y+12y}{2} \right )=18</math>

<math>\left ( \frac{36}{2} \right )=18</math>

<math>18=18</math> यह कथन <math>y</math> के सभी मानों के लिए सत्य है ।

अतः , हमें <math>y</math> का कोई विशिष्ट मान नहीं मिला इसलिए हम <math>x</math> का विशिष्ट मान प्राप्त नहीं कर सकते है । अतः , यह स्पष्ट है कि समीकरण <math>(1)</math> और <math>(2)</math> के अनंत रूप से कई हल होगे ।

== उदाहरण 3 ==
दो संख्याओं का अंतर <math>26</math> है , और एक संख्या दूसरी संख्या का तीन गुना है। संख्याएँ ज्ञात कीजिए ।

हल

माना कि दो संख्याएँ <math>x</math> और <math>y</math> हैं ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार, दो संख्याओं का अंतर <math>26</math> है ,

<math>x-y=26</math> <math>............(1)</math>

प्रश्न में दिए गए दूसरे कथन के अनुसार, एक संख्या दूसरी की तीन गुनी है ,

<math>x=3y</math>

<math>x-3y=0</math> <math>............(2)</math>

समीकरण <math>(2)</math> से <math>x</math> का मान <math>y</math> के रूप में ज्ञात करने पर ,

<math>x-3y=0</math>

<math>x=3y</math> <math>....................(3)</math>

समीकरण <math>(3)</math> में प्राप्त के <math>x</math> के मान को समीकरण <math>(1)</math> में रखकर हल करने पर ,

<math>x-y=26</math>

<math>3y-y=26</math> ( समीकरण <math>(3)</math> से <math>x=3y</math> )

<math>2y=26</math>

<math>y=\frac{26}{2}</math>

<math>y=13</math>

<math>y</math> के प्राप्त मान को समीकरण <math>(3)</math> में रखने पर ,

<math>x=3y</math>

<math>x=3\times 13</math>

<math>x=39</math>

अतः , उपर्युक्त दिए गए प्रश्न में कथन के अनुसार संख्याएं <math>13,39</math> हैं ।

== अभ्यास प्रश्न ==

# प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके दो चर वाले निम्नलिखित समीकरण युग्म को हल करें : <math>0.2x+0.3y=1.3</math> , <math>0.4x+0.5y=2.3</math>

== संदर्भ ==

दो चरों में रैखिक समीकरण

2024-09-26T14:28:15Z

Ramamurthy: /* संदर्भ */

[[Category:दो चर वाले रैखिक समीकरण युग्म]]
[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
कोई भी समीकरण जिसे हम <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिख सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0 ,b\neq0</math> है , दो चर वाला रैखिक समीकरण कहलाता है । जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है , इन समीकरणों में दो चर होते हैं तथा दोनों की घात एक होती है । इस इकाई में हम दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के बारे में ज्ञान प्राप्त करेंगे ।

=== उदाहरण ===

# <math>9x+6y=89</math>
# <math>5s-2(4t)=76</math>
# <math>81y+4(3-32z)=90</math>

उपयुक्त उदाहरणो में समीकरणों में दो चर है तथा दोनों की घात एक है , अतः यह दो चरों वाले रैखिक समीकरणों का उदाहरण है ।

== दो चरों में रैखिक समीकरण के गुण ==
दो चरों वाले रैखिक समीकरणों के गुण निम्नलिखित है ;

# दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से कई हल होते हैं ।
# दो चर वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण का आरेख एक सीधी रेखा होता है ।
# दो चर में रैखिक समीकरण के आरेख पर प्रत्येक बिंदु रैखिक समीकरण का हल होता है ।

== उदाहरण 1 ==
निम्नलिखित प्रत्येक समीकरण को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखें और <math>a,b</math> और <math>c</math> के मान ज्ञात करें<ref>{{Cite book |title=MATHEMATICS ( NCERT 9) |edition=Revised |pages=55-58}}</ref> ।

# <math>8x+3y=786</math>
# <math>x-4=\sqrt{7}y</math>
# <math>2x=y</math>
# <math>y=2</math>
# <math>x=-10</math>

हल

1) समीकरण <math>8x+3y=786</math> को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखने पर ,

<math>8x+3y-786=0</math>

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,

<math>a=8</math> , <math>b=3</math> , <math>c=-786</math>

2) समीकरण <math>x-4=\sqrt{7}y</math> को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखने पर ,

<math>x-\sqrt{7}y-4=0</math>

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,

<math>a=1</math> , <math>b=-\sqrt{7}</math> , <math>c=-4</math>

3) समीकरण <math>2x=y</math> को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखने पर ,

<math>2x-y+0c=0</math>

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,

<math>a=2</math> , <math>b=-1</math> , <math>c=0</math>

4) समीकरण <math>y=2</math> को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखने पर ,

<math>0x+1y-2=0</math>

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,

<math>a=0</math> , <math>b=1</math> , <math>c=-2</math>

5) समीकरण <math>x=-10</math> को <math>ax+by+c=0</math> के रूप में लिखने पर ,

<math>1x+0y+10=0</math>

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के मानक रूप <math>ax+by+c=0</math> से तुलना करने पर ,

<math>a=1</math> , <math>b=0</math> , <math>c=10</math>

== उदाहरण 2 ==
एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से <math>4</math> गुना है । इस कथन को दर्शाने के लिए दो चर में एक रैखिक समीकरण लिखें ।

हल

माना कि कुर्सी की कीमत <math>x</math> है , और माना मेज की कीमत <math>y</math> है ,

प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार ,एक मेज की कीमत एक कुर्सी की कीमत से <math>4</math> गुना है ;

<math>y=4x</math>

व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

<math>4x-y=0</math>

अतः , दिए गए कथन का दो चर में एक रैखिक समीकरण <math>4x-y=0</math> होगा ।

== उदाहरण 3 ==
दो चरों में निम्नलिखित रैखिक समीकरण के लिए हल ज्ञात कीजिये ।

<math>4x + 3y = 12</math>

हल

दी गई समीकरण ,

<math>4x + 3y = 12</math>

पहला हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान रखेंगे ,

समीकरण में <math>x=0</math> रखने पर ,

<math>4x + 3y = 12</math>

<math>4\times 0 + 3y = 12</math>

<math>3y = 12</math>

<math>y =\frac{ 12}{3}</math>

<math>y =4</math>

अतः , समीकरण <math>4x + 3y = 12</math> का पहला हल <math>x=0</math> , <math>y =4</math> होगा ।

दूसरा हल ज्ञात करने के लिए हम समीकरण में किसी भी एक चर का मान <math>1</math> रखेंगे ,

समीकरण में <math>x=1</math> रखने पर ,

<math>4x + 3y = 12</math>

<math>4\times 1 + 3y = 12</math>

<math>4+3y = 12</math>

<math>3y =12-4</math>

<math>3y =8</math>

<math>y =\frac{8}{3}</math>

अतः , समीकरण <math>4x + 3y = 12</math> का दूसरा हल <math>x=1</math> , <math>y =\frac{8}{3}</math> होगा ।

अतः , समीकरण <math>4x + 3y = 12</math> के हल <math>(0,4)</math> एवं <math>(1, \frac{8}{3})</math> होंगे । इसी प्रकार हम <math>x</math> के विभिन्न मान के लिए <math>y</math> के विभिन्न मान निकाल सकते हैं । अतः , यह स्पष्ट है कि दो चर वाले रैखिक समीकरण के लिए अनंत रूप से अनेक हल होते हैं ।

== संदर्भ ==