अंकगणित की आधारभूत प्रमेय - Revision history

Ramamurthy: /* अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन */

2023-09-26T12:17:17Z

अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन

← Older revision		Revision as of 17:47, 26 September 2023
Line 24:		Line 24:

	सामान्यतः एक भाज्य संख्या "C" को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, C = p<sub>1</sub> p<sub>2</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n .</sub>		सामान्यतः एक भाज्य संख्या "C" को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, C = p<sub>1</sub> p<sub>2</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n .</sub>

			<math>c= p_1,p_2,p_3.....p_n</math>

	जहां p<sub>1,</sub> p<sub>2,</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n</sub> आरोही क्रम ( ascending order) में लिखे गए अभाज्य गुणनखंड (prime factors) हैं , ( p1≤p2≤p3 ………… ≤ p<sub>n</sub>)		जहां p<sub>1,</sub> p<sub>2,</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n</sub> आरोही क्रम ( ascending order) में लिखे गए अभाज्य गुणनखंड (prime factors) हैं , ( p1≤p2≤p3 ………… ≤ p<sub>n</sub>)
Line 35:		Line 37:

	हल – 350 के अभाज्य गुणनखंड = 2 ×5 ×5 ×7		हल – 350 के अभाज्य गुणनखंड = 2 ×5 ×5 ×7

			हल – <math>350</math> के अभाज्य गुणनखंड <math>= 2 \times 5 \times 5 \times 7</math>

	2. संख्या 3045 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।		2. संख्या 3045 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।
Line 83:		Line 87:

	दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366		दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366

			<math>= 26 \times 91=2366</math>

	इसलिए, HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल		इसलिए, HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल

	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Mani at 06:49, 26 September 2023

2023-09-26T06:49:17Z

← Older revision		Revision as of 12:19, 26 September 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]
	अंकगणित गणित की मुख्य शाखाओं में से एक है, जो संख्याओं और अक्षरों से संबंधित है। यह शाखा गणित का आधार है जिसके माध्यम से हम कठिन प्रश्नों को हल कर सकते हैं। दैनिक जीवन में अंकगणित का उपयोग जोड़, घटाव, गुणा ,भाग, अंश और दशमलव जैसे विभिन्न कार्यों मे होता है। आइए , इस इकाई की शुरुआत भाज्य और अभाज्य संख्याओं को समझ कर करते हैं।		अंकगणित, गणित की मुख्य शाखाओं में से एक है, जो संख्याओं और अक्षरों से संबंधित है। यह शाखा गणित का आधार है जिसके माध्यम से हम कठिन प्रश्नों को हल कर सकते हैं। दैनिक जीवन में अंकगणित का उपयोग जोड़, घटाव, गुणा ,भाग, अंश और दशमलव जैसे विभिन्न कार्यों मे होता है। आइए , इस इकाई की शुरुआत भाज्य और अभाज्य संख्याओं को समझ कर करते हैं।

	== अभाज्य और भाज्य संख्याएँ ==		== अभाज्य और भाज्य संख्याएँ ==
Line 7:		Line 7:
	=== अभाज्य संख्याएँ ===		=== अभाज्य संख्याएँ ===

	वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक '<math>1</math>' और वे स्वयं '''number itself''<nowiki/>', वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।		वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक '<math>1</math>' और वे स्वयं '''number itself''<nowiki/>', वह संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

	उदाहरण - <math>3, 5, 7,11</math> आदि ।		उदाहरण - <math>3, 5, 7,11</math> आदि ।
Line 13:		Line 13:
	=== भाज्य संख्याएँ ===		=== भाज्य संख्याएँ ===

	वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।		वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।

	उदाहरण - <math>4,9,12,15</math> आदि ।		उदाहरण - <math>4,9,12,15</math> आदि ।
Line 19:		Line 19:
	== अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन ==		== अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन ==

	"अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या (prime number) है या इसे अभाज्य संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सभी प्राकृत संख्याओं (natural number) को उसके अभाज्य गुणनखंडों (prime number) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है । "		"अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि <math>1</math> से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या (prime number) है या इसे अभाज्य संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सभी प्राकृत संख्याओं (natural number) को उसके अभाज्य गुणनखंडों (prime number) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है । "

	एक मिश्रित संख्या (composite number) को अभाज्य संख्या (prime number) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है , इस प्रमेय से हम यह भी देख सकते हैं कि न केवल एक भाज्य संख्या को उनके अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, बल्कि प्रत्येक भाज्य संख्या के लिए गुणनखंडन विशिष्ट (unique) अर्थात अलग होता है।		एक मिश्रित संख्या (composite number) को अभाज्य संख्या (prime number) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है , इस प्रमेय से हम यह भी देख सकते हैं कि न केवल एक भाज्य संख्या को उनके अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, बल्कि प्रत्येक भाज्य संख्या के लिए गुणनखंडन विशिष्ट (unique) अर्थात अलग होता है।

	सामान्यतः एक भाज्य संख्या "C" को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, C = p<sub>1</sub> p<sub>2</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n</sub>,		सामान्यतः एक भाज्य संख्या "C" को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है, C = p<sub>1</sub> p<sub>2</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n .</sub>

	जहां p<sub>1,</sub> p<sub>2,</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n</sub> आरोही क्रम ( ascending order) में लिखे गए अभाज्य गुणनखंड (prime factors) हैं , ( p1≤p2≤p3 ………… ≤ p<sub>n</sub>)		जहां p<sub>1,</sub> p<sub>2,</sub> p<sub>3</sub> ………… p<sub>n</sub> आरोही क्रम ( ascending order) में लिखे गए अभाज्य गुणनखंड (prime factors) हैं , ( p1≤p2≤p3 ………… ≤ p<sub>n</sub>)
Line 32:		Line 32:

	=== उदाहरण ===		=== उदाहरण ===
	1. संख्या ~~350 को~~ उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।		1. संख्या 350 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।

	हल – 350 के अभाज्य गुणनखंड = 2 ×5 ×5 ×7		हल – 350 के अभाज्य गुणनखंड = 2 ×5 ×5 ×7

	2. संख्या ~~3045 को~~ उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।		2. संख्या 3045 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।

	हल – 3045 के अभाज्य गुणनखंड = 3×5×7×29		हल – 3045 के अभाज्य गुणनखंड = 3×5×7×29
Line 43:		Line 43:

	=== गुणनखंडन करना ===		=== गुणनखंडन करना ===
	यह प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को उसके अभाज्य गुणनखंडों में ~~तोड़ने का~~ एक ~~तरीका~~ प्रदान करती है , जो गुणनखंडन और कई अन्य गणितीय और कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए उपयोगी है। यह संख्या सिद्धांत में भी एक महत्वपूर्ण परिणाम है, जो गणित की वह शाखा है जो पूर्णांकों के गुणों ( characteristics) का अध्ययन करती है।		यह प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को उसके अभाज्य गुणनखंडों में खंडित करने की एक विधि प्रदान करती है , जो गुणनखंडन और कई अन्य गणितीय और संगणनात्मक(कम्प्यूटेशनल) उद्देश्यों के लिए उपयोगी है। यह संख्या सिद्धांत में भी एक महत्वपूर्ण परिणाम है, जो गणित की वह शाखा है, जो पूर्णांकों के गुणों ( characteristics) का अध्ययन करती है।

	=== उदाहरण 1 ===		=== उदाहरण 1 ===
Line 59:		Line 59:
	अंकगणित की मौलिक प्रमेय के उपयोग से हम महत्तम समापवर्तक या म.स. और लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. ज्ञात कर सकते हैं,		अंकगणित की मौलिक प्रमेय के उपयोग से हम महत्तम समापवर्तक या म.स. और लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. ज्ञात कर सकते हैं,

	लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. (~~lcm~~)= संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।		लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. (LCM)= संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।

	महत्तम समापवर्तक या म.स. (~~hcf~~)= संख्याओं में प्रत्येक सामान्य अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल ।		महत्तम समापवर्तक या म.स. (HCF)= संख्याओं में प्रत्येक सामान्य अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल ।

	आईए इन दोनों को समझते हैं एक उदाहरण के माध्यम से -		आईए इन दोनों को समझते हैं एक उदाहरण के माध्यम से -
Line 76:		Line 76:
	91 = 7 x 13		91 = 7 x 13

	महत्तम समापवर्तक HCF (26, 91) = 13		महत्तम समापवर्तक HCF (26, 91) = 13

	लघुत्तम समापवर्तक LCM (26, 91) = 13 x 2 x 7= 182		लघुत्तम समापवर्तक LCM (26, 91) = 13 x 2 x 7= 182

	HCF × LCM = 13 × 182 = 2366		HCF × LCM = 13 × 182 = 2366

Mani at 05:07, 26 September 2023

2023-09-26T05:07:56Z

← Older revision		Revision as of 10:37, 26 September 2023
Line 45:		Line 45:
	यह प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने का एक तरीका प्रदान करती है , जो गुणनखंडन और कई अन्य गणितीय और कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए उपयोगी है। यह संख्या सिद्धांत में भी एक महत्वपूर्ण परिणाम है, जो गणित की वह शाखा है जो पूर्णांकों के गुणों ( characteristics) का अध्ययन करती है।		यह प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने का एक तरीका प्रदान करती है , जो गुणनखंडन और कई अन्य गणितीय और कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए उपयोगी है। यह संख्या सिद्धांत में भी एक महत्वपूर्ण परिणाम है, जो गणित की वह शाखा है जो पूर्णांकों के गुणों ( characteristics) का अध्ययन करती है।

	=== उदाहरण 1. ===		=== उदाहरण 1 ===
	निम्नलिखित धनात्मक पूर्णांकों में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।		निम्नलिखित धनात्मक पूर्णांकों में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

Line 65:		Line 65:
	आईए इन दोनों को समझते हैं एक उदाहरण के माध्यम से -		आईए इन दोनों को समझते हैं एक उदाहरण के माध्यम से -

	=== उदाहरण 2. ===		=== उदाहरण 2 ===
	26 और 91 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें, और सिद्ध करें कि:		26 और 91 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें, और सिद्ध करें कि:

Mani at 05:04, 26 September 2023

2023-09-26T05:04:21Z

← Older revision		Revision as of 10:34, 26 September 2023
Line 7:		Line 7:
	=== अभाज्य संख्याएँ ===		=== अभाज्य संख्याएँ ===

	वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (<math>1</math>) और वे स्वयं ( number itself), वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।		वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक '<math>1</math>' और वे स्वयं '''number itself''<nowiki/>', वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

	उदाहरण - <math>3, 5, 7,11</math> आदि ।		उदाहरण - <math>3, 5, 7,11</math> आदि ।

Mani: mathematical formula

2023-09-26T04:58:13Z

mathematical formula

← Older revision		Revision as of 10:28, 26 September 2023
Line 7:		Line 7:
	=== अभाज्य संख्याएँ ===		=== अभाज्य संख्याएँ ===

	वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (1) और वे स्वयं ( number itself), वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।		वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (<math>1</math>) और वे स्वयं ( number itself), वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

	उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।		उदाहरण - <math>3, 5, 7,11</math> आदि ।

	=== भाज्य संख्याएँ ===		=== भाज्य संख्याएँ ===
Line 15:		Line 15:
	वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।		वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।

	उदाहरण - 4,9,12,15 आदि ।		उदाहरण - <math>4,9,12,15</math> आदि ।

	== अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन ==		== अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन ==

Mani: removed Underline

2023-09-26T04:52:51Z

removed Underline

← Older revision		Revision as of 10:22, 26 September 2023
Line 11:		Line 11:
	उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।		उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।

	=== ~~<u>~~भाज्य संख्याएँ~~</u>~~ ===		=== भाज्य संख्याएँ ===

	वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।		वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।
Line 31:		Line 31:
	हम किसी भी संख्या को विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विघटित कर सकते हैं।		हम किसी भी संख्या को विशिष्ट रूप से अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विघटित कर सकते हैं।

	=== ~~<u>~~उदाहरण~~</u>~~ ===		=== उदाहरण ===
	1. संख्या 350 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।		1. संख्या 350 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।

Line 40:		Line 40:
	हल – 3045 के अभाज्य गुणनखंड = 3×5×7×29		हल – 3045 के अभाज्य गुणनखंड = 3×5×7×29

	== ~~<u>~~अंकगणित की मौलिक प्रमेय का अनुप्रयोग~~</u>~~ ==		== अंकगणित की मौलिक प्रमेय का अनुप्रयोग ==

	=== ~~<u>~~गुणनखंडन करना~~</u>~~ ===		=== गुणनखंडन करना ===
	यह प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने का एक तरीका प्रदान करती है , जो गुणनखंडन और कई अन्य गणितीय और कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए उपयोगी है। यह संख्या सिद्धांत में भी एक महत्वपूर्ण परिणाम है, जो गणित की वह शाखा है जो पूर्णांकों के गुणों ( characteristics) का अध्ययन करती है।		यह प्रमेय महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह हमें किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को उसके अभाज्य गुणनखंडों में तोड़ने का एक तरीका प्रदान करती है , जो गुणनखंडन और कई अन्य गणितीय और कम्प्यूटेशनल उद्देश्यों के लिए उपयोगी है। यह संख्या सिद्धांत में भी एक महत्वपूर्ण परिणाम है, जो गणित की वह शाखा है जो पूर्णांकों के गुणों ( characteristics) का अध्ययन करती है।

Line 56:		Line 56:
	उत्तर- 234 = 2 x 3 x 3 x 13		उत्तर- 234 = 2 x 3 x 3 x 13

	=== ~~<u>~~महत्तम समापवर्तक या म. स. ( HCF) और लघुतम समापवर्तक ल. स. (LCM) ज्ञात करना~~</u>~~ ===		=== महत्तम समापवर्तक या म. स. ( HCF) और लघुतम समापवर्तक ल. स. (LCM) ज्ञात करना ===
	अंकगणित की मौलिक प्रमेय के उपयोग से हम महत्तम समापवर्तक या म.स. और लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. ज्ञात कर सकते हैं,		अंकगणित की मौलिक प्रमेय के उपयोग से हम महत्तम समापवर्तक या म.स. और लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. ज्ञात कर सकते हैं,

Shikha at 09:54, 13 September 2023

2023-09-13T09:54:50Z

← Older revision		Revision as of 15:24, 13 September 2023
Line 7:		Line 7:
	=== अभाज्य संख्याएँ ===		=== अभाज्य संख्याएँ ===

	वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (1) और वे स्वयं ( number itself), वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती ~~हैं ।~~		वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (1) और वे स्वयं ( number itself), वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।

	उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।		उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।

Shikha at 09:54, 13 September 2023

2023-09-13T09:54:22Z

← Older revision		Revision as of 15:24, 13 September 2023
Line 7:		Line 7:
	=== अभाज्य संख्याएँ ===		=== अभाज्य संख्याएँ ===

	वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (1) और वे स्वयं ( number itself) , वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।		वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (1) और वे स्वयं ( number itself), वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।

	उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।		उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।
Line 66:		Line 66:

	=== उदाहरण 2. ===		=== उदाहरण 2. ===
	26 और 91 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें, और सिद्ध करें कि ~~- '''HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल।'''~~		26 और 91 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें, और सिद्ध करें कि:

	उत्तर- अभाज्य गुणनखंडन द्वारा,		'''HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल।'''

			'''उत्तर-''' अभाज्य गुणनखंडन द्वारा,

	26 = 2 x 13		26 = 2 x 13

Shikha at 09:51, 13 September 2023

2023-09-13T09:51:47Z

← Older revision		Revision as of 15:21, 13 September 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]
	अंकगणित गणित की मुख्य शाखाओं में से एक है, जो संख्याओं और अक्षरों से संबंधित ~~है ।~~ यह शाखा गणित का आधार है जिसके माध्यम से हम कठिन प्रश्नों को हल कर सकते ~~हैं ।~~ दैनिक जीवन में अंकगणित का उपयोग जोड़, घटाव, गुणा ,भाग, अंश और दशमलव जैसे विभिन्न कार्यों मे होता है। आइए , इस इकाई की शुरुआत भाज्य और अभाज्य संख्याओं को समझ कर करते हैं।		अंकगणित गणित की मुख्य शाखाओं में से एक है, जो संख्याओं और अक्षरों से संबंधित है। यह शाखा गणित का आधार है जिसके माध्यम से हम कठिन प्रश्नों को हल कर सकते हैं। दैनिक जीवन में अंकगणित का उपयोग जोड़, घटाव, गुणा ,भाग, अंश और दशमलव जैसे विभिन्न कार्यों मे होता है। आइए , इस इकाई की शुरुआत भाज्य और अभाज्य संख्याओं को समझ कर करते हैं।

	== अभाज्य और भाज्य संख्याएँ ==		== अभाज्य और भाज्य संख्याएँ ==
Line 7:		Line 7:
	=== अभाज्य संख्याएँ ===		=== अभाज्य संख्याएँ ===

			वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (1) और वे स्वयं ( number itself) , वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।

	वे संख्याएँ जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं अर्थात् एक (1) और वे स्वयं ( number itself) , वे संख्याएँ अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।

	उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।		उदाहरण - 3, 5, 7,11 आदि ।

	=== <u>भाज्य संख्याएँ</u> ===		=== <u>भाज्य संख्याएँ</u> ===



	वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।		वे संख्याएं जिनमें दो से ज्यादा गुणनखंड होते हैं, वह संख्याएँ भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं ।
Line 22:		Line 18:

	== अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन ==		== अंकगणित की मौलिक प्रमेय का कथन ==



	"अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या (prime number) है या इसे अभाज्य संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सभी प्राकृत संख्याओं (natural number) को उसके अभाज्य गुणनखंडों (prime number) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है । "		"अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक या तो एक अभाज्य संख्या (prime number) है या इसे अभाज्य संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सभी प्राकृत संख्याओं (natural number) को उसके अभाज्य गुणनखंडों (prime number) के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है । "

Snehlata sharma: /* उदाहरण */

2023-09-10T05:57:09Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 11:27, 10 September 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]]
	अंकगणित गणित की मुख्य शाखाओं में से एक है, जो संख्याओं और अक्षरों से संबंधित है । यह शाखा गणित का आधार है जिसके माध्यम से हम कठिन प्रश्नों को हल कर सकते हैं । दैनिक जीवन में अंकगणित का उपयोग जोड़, घटाव, गुणा ,भाग, अंश और दशमलव जैसे विभिन्न कार्यों ~~मेहोता~~ है। आइए इस इकाई की शुरुआत भाज्य और अभाज्य संख्याओं को समझ कर करते हैं।		अंकगणित गणित की मुख्य शाखाओं में से एक है, जो संख्याओं और अक्षरों से संबंधित है । यह शाखा गणित का आधार है जिसके माध्यम से हम कठिन प्रश्नों को हल कर सकते हैं । दैनिक जीवन में अंकगणित का उपयोग जोड़, घटाव, गुणा ,भाग, अंश और दशमलव जैसे विभिन्न कार्यों मे होता है। आइए , इस इकाई की शुरुआत भाज्य और अभाज्य संख्याओं को समझ कर करते हैं।

	== अभाज्य और भाज्य संख्याएँ ==		== अभाज्य और भाज्य संख्याएँ ==

	=== अभाज्य संख्याएँ ===		=== अभाज्य संख्याएँ ===



Line 13:		Line 14:

	=== <u>भाज्य संख्याएँ</u> ===		=== <u>भाज्य संख्याएँ</u> ===



Line 38:		Line 40:
	1. संख्या 350 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।		1. संख्या 350 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।

	हल – 350 के अभाज्य गुणनखंड = 255*7		हल – 350 के अभाज्य गुणनखंड = 2 ×5 ×5 ×7

	2. संख्या 3045 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।		2. संख्या 3045 को उनके अभाज्य गुणनखंडो के रूप में व्यक्त कीजिए ।
Line 52:		Line 54:
	निम्नलिखित धनात्मक पूर्णांकों में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।		निम्नलिखित धनात्मक पूर्णांकों में से प्रत्येक को अभाज्य गुणनखंड विधि द्वारा उसके अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें।

	a.156 ~~156~~ = 2 x 78 = 2 x 2 x 39 = 2 x 2 x 3 x 13		a.156 = 2 x 78 = 2 x 2 x 39 = 2 x 2 x 3 x 13

	उत्तर- 156 = 2 x 2 x 3 x 13		उत्तर- 156 = 2 x 2 x 3 x 13

	b. 234 ~~234~~ = 2 x 117 =2 x 3 x 39 = 2 x 3 x 3 x 13		b. 234 = 2 x 117 =2 x 3 x 39 = 2 x 3 x 3 x 13

	उत्तर- 234 = 2 x 3 x 3 x 13		उत्तर- 234 = 2 x 3 x 3 x 13

	=== <u>महत्तम समापवर्तक या म. स. ( HCF) और लघुतम समापवर्तक ल. स. (LCM) ज्ञात करना</u> ===		=== <u>महत्तम समापवर्तक या म. स. ( HCF) और लघुतम समापवर्तक ल. स. (LCM) ज्ञात करना</u> ===
	अंकगणित की मौलिक प्रमेय के उपयोग से हम महत्तम समापवर्तक या म.स. और लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. ज्ञात कर सकते हैं, आईए इन दोनों को समझते हैं एक उदाहरण के माध्यम से -		अंकगणित की मौलिक प्रमेय के उपयोग से हम महत्तम समापवर्तक या म.स. और लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. ज्ञात कर सकते हैं,

			लघुत्तम समापवर्तक या ल.स. (lcm)= संख्याओं में शामिल प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की सबसे बड़ी घात का गुणनफल।

			महत्तम समापवर्तक या म.स. (hcf)= संख्याओं में प्रत्येक सामान्य अभाज्य गुणनखंड की सबसे छोटी घात का गुणनफल ।

			आईए इन दोनों को समझते हैं एक उदाहरण के माध्यम से -

	=== उदाहरण 2. ===		=== उदाहरण 2. ===
	26 और 91 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें, और सिद्ध करें कि - '''HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल।'''		26 और 91 का महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक ज्ञात करें, और सिद्ध करें कि - '''HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल।'''

	उत्तर- अभाज्य गुणनखंडन द्वारा,		उत्तर- अभाज्य गुणनखंडन द्वारा,
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	91 = 7 x 13		91 = 7 x 13

	महत्तम समापवर्तक HCF (26, 91) = 13		महत्तम समापवर्तक HCF (26, 91) = 13

	लघुत्तम समापवर्तक LCM (26, 91) = 13 x 2 x 7= 182		लघुत्तम समापवर्तक LCM (26, 91) = 13 x 2 x 7= 182

	HCF × LCM = 13 × 182 = 2366		HCF × LCM = 13 × 182 = 2366

	दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366		दो संख्याओं का गुणनफल = 26 × 91 = 2366