अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में - Revision history

Mani: added internal links

2024-11-06T12:04:38Z

added internal links

← Older revision		Revision as of 17:34, 6 November 2024
Line 4:		Line 4:
	परिभाषा - समुच्चयों पर विचार करते हुए :		परिभाषा - समुच्चयों पर विचार करते हुए :

	यदि समुच्चय <math>A</math> का प्रत्येक अवयव, समुच्चय <math>B</math> का भी एक अवयव है, तो <math>A</math>, <math>B</math> का उपसमुच्चय कहलाता है।		यदि समुच्चय <math>A</math> का प्रत्येक अवयव, समुच्चय <math>B</math> का भी एक अवयव है, तो <math>A</math>, <math>B</math> का [[उपसमुच्चय]] कहलाता है।

	अन्य शब्दों में, <math>A \subset B</math>, यदि जब कभी <math>a \in A</math>, तो <math>a \in B</math>. बहुधा प्रतीक '<math>\Longrightarrow</math>', जिसका अर्थ 'तात्पर्य है' होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग कर के, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:		अन्य शब्दों में, <math>A \subset B</math>, यदि जब कभी <math>a \in A</math>, तो <math>a \in B</math>. बहुधा प्रतीक '<math>\Longrightarrow</math>', जिसका अर्थ 'तात्पर्य है' होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग कर के, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:
Line 12:		Line 12:
	जैसा कि उपसमुच्चय की परिभाषा और उपरयुक्त उदाहरण से स्पष्ट होता है कि समुच्चय के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। निम्नलिखित उदाहरण से भी हम देख सकते हैं की यदि		जैसा कि उपसमुच्चय की परिभाषा और उपरयुक्त उदाहरण से स्पष्ट होता है कि समुच्चय के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। निम्नलिखित उदाहरण से भी हम देख सकते हैं की यदि

	परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>M</math>, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय <math>R</math> का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि <math>M\subset R</math>।		परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>M</math>, [[वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चय\|वास्तविक संख्याओं]] के समुच्चय <math>R</math> का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि <math>M\subset R</math>।

	मान लेते हैं कि <math>a, b \in R</math> और <math>a < b</math>। तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय <math>\{y:a<y<b\}</math> एक विवृत अंतराल कहलाता है और प्रतीक <math>(a,b)</math> द्वारा निरूपित होता है। <math>a</math> और <math>b</math> के बीच स्थित सभी बिंदु इस अंतराल में होते हैं परंतु <math>a</math> और <math>b</math> स्वयं इस अंतराल में नहीं होते हैं।		मान लेते हैं कि <math>a, b \in R</math> और <math>a < b</math>। तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय <math>\{y:a<y<b\}</math> एक विवृत अंतराल कहलाता है और प्रतीक <math>(a,b)</math> द्वारा निरूपित होता है। <math>a</math> और <math>b</math> के बीच स्थित सभी बिंदु इस अंतराल में होते हैं परंतु <math>a</math> और <math>b</math> स्वयं इस अंतराल में नहीं होते हैं।

Mani at 11:54, 6 November 2024

2024-11-06T11:54:29Z

← Older revision		Revision as of 17:24, 6 November 2024
Line 25:		Line 25:

	[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र \|left]]		[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र \|left]]

Mani at 11:54, 6 November 2024

2024-11-06T11:54:11Z

← Older revision		Revision as of 17:24, 6 November 2024
Line 25:		Line 25:

	[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र \|left]]		[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र \|left]]

Mani: added content

2024-11-06T11:38:54Z

added content

← Older revision		Revision as of 17:08, 6 November 2024
Line 24:		Line 24:
	<math>(a,b]=\{x:a \leq x \leq b \}</math>, <math>a</math> से <math>b</math>, तक एक खुला अंतराल हैं जिसमें <math>b</math> सम्मिलित है किंतु <math>a</math> अपवर्जित है।		<math>(a,b]=\{x:a \leq x \leq b \}</math>, <math>a</math> से <math>b</math>, तक एक खुला अंतराल हैं जिसमें <math>b</math> सम्मिलित है किंतु <math>a</math> अपवर्जित है।

	[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र ]]		[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र \|left]]
	इन संकेतों द्वारा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों के उल्लेख करने की एक वैकल्पिक विधि मिलती है। उदाहरण के लिए, यदि A = (35) और B = [ -7, 9], तो Ac B. समुच्चय [ 0, ००) ऋणेतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है, जबकि ( ~~– ००~~, 0 ) ॠण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। ( - ०, ० ), - ० से ० तक विस्तृत रेखा से संबंधित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। वास्तविक रेखा पर R के उपसमुच्चयों के रूप में वर्णित उपर्युक्त अंतरालों को ~~आकृति 1.1~~ में दर्शाया गया है:







			इन संकेतों द्वारा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों के उल्लेख करने की एक वैकल्पिक विधि मिलती है। उदाहरण के लिए, यदि <math>A=(-3,5)</math>और <math>B=[-7,9]</math>, तो <math>A\subset B</math>। समुच्चय <math>[0,\infty)</math> ऋणेतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है, जबकि <math>(-\infty,0)</math> ॠण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। (-<math>(-\infty,\infty)</math>, <math>-\infty</math> से <math>\infty</math> तक विस्तृत रेखा से संबंधित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। वास्तविक रेखा पर <math>R</math> के उपसमुच्चयों के रूप में वर्णित उपर्युक्त अंतरालों को चित्र में दर्शाया गया है:

Mani: added content

2024-11-06T11:26:27Z

added content

← Older revision		Revision as of 16:56, 6 November 2024
Line 20:		Line 20:
	अतः <math>[a,b]=\{x:a \leq x \leq b \}</math> ऐसे अंतराल भी हैं जो एक अंत्य बिंदु पर बंद और दूसरे पर खुले होते		अतः <math>[a,b]=\{x:a \leq x \leq b \}</math> ऐसे अंतराल भी हैं जो एक अंत्य बिंदु पर बंद और दूसरे पर खुले होते

			<math>[a,b)=\{x:a \leq x \leq b \}</math>, <math>a</math> से <math>b</math>, तक एक खुला अंतराल हैं जिसमें <math>a</math> अंतर्विष्ट है किंतु <math>b</math> अपवर्जित है।

	~~अपवर्जित है।~~		<math>(a,b]=\{x:a \leq x \leq b \}</math>, <math>a</math> से <math>b</math>, तक एक खुला अंतराल हैं जिसमें <math>b</math> सम्मिलित है किंतु <math>a</math> अपवर्जित है।

	(a,b]= {x:~~aa अपवर्जित है।~~

	a

	एक खुला अंतराल जिसमें b सम्मिलित है किंतु
	[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र ]]		[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र ]]
	इन संकेतों द्वारा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों के उल्लेख करने की एक वैकल्पिक विधि मिलती है। उदाहरण के लिए, यदि A = (35) और B = [ -7, 9], तो Ac B. समुच्चय [ 0, ००) ऋणेतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है, जबकि ( – ००, 0 ) ॠण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। ( - ०, ० ), - ० से ० तक विस्तृत रेखा से संबंधित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। वास्तविक रेखा पर R के उपसमुच्चयों के रूप में वर्णित उपर्युक्त अंतरालों को आकृति 1.1 में दर्शाया गया है:		इन संकेतों द्वारा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों के उल्लेख करने की एक वैकल्पिक विधि मिलती है। उदाहरण के लिए, यदि A = (35) और B = [ -7, 9], तो Ac B. समुच्चय [ 0, ००) ऋणेतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है, जबकि ( – ००, 0 ) ॠण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। ( - ०, ० ), - ० से ० तक विस्तृत रेखा से संबंधित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। वास्तविक रेखा पर R के उपसमुच्चयों के रूप में वर्णित उपर्युक्त अंतरालों को आकृति 1.1 में दर्शाया गया है:

Mani: added content

2024-11-06T11:08:21Z

added content

← Older revision		Revision as of 16:38, 6 November 2024
Line 2:		Line 2:
	[[Category:कक्षा-11]]		[[Category:कक्षा-11]]
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
			परिभाषा - समुच्चयों पर विचार करते हुए :

			यदि समुच्चय <math>A</math> का प्रत्येक अवयव, समुच्चय <math>B</math> का भी एक अवयव है, तो <math>A</math>, <math>B</math> का उपसमुच्चय कहलाता है।

			अन्य शब्दों में, <math>A \subset B</math>, यदि जब कभी <math>a \in A</math>, तो <math>a \in B</math>. बहुधा प्रतीक '<math>\Longrightarrow</math>', जिसका अर्थ 'तात्पर्य है' होता है, का प्रयोग सुविधाजनक होता है। इस प्रतीक का प्रयोग कर के, हम उपसमुच्चय की परिभाषा इस प्रकार लिख सकते हैं:

			<math>A \subset B</math>, यदि <math>a \in A</math> <math>\Longrightarrow</math> <math>a \in B</math>

			जैसा कि उपसमुच्चय की परिभाषा और उपरयुक्त उदाहरण से स्पष्ट होता है कि समुच्चय के बहुत से महत्वपूर्ण उपसमुच्चय हैं। निम्नलिखित उदाहरण से भी हम देख सकते हैं की यदि

			परिमेय संख्याओं का समुच्चय <math>M</math>, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय <math>R</math> का एक उपसमुच्चय है और हम लिखते हैं कि <math>M\subset R</math>।

			मान लेते हैं कि <math>a, b \in R</math> और <math>a < b</math>। तब वास्तविक संख्याओं का समुच्चय <math>\{y:a<y<b\}</math> एक विवृत अंतराल कहलाता है और प्रतीक <math>(a,b)</math> द्वारा निरूपित होता है। <math>a</math> और <math>b</math> के बीच स्थित सभी बिंदु इस अंतराल में होते हैं परंतु <math>a</math> और <math>b</math> स्वयं इस अंतराल में नहीं होते हैं।

			वह अंतराल जिसमें अंत्य बिंदु भी होते हैं, संवृत ( बंद) अंतराल कहलाता है और प्रतीक <math>[a,b ]</math> द्वारा निरूपित होता है।

			अतः <math>[a,b]=\{x:a \leq x \leq b \}</math> ऐसे अंतराल भी हैं जो एक अंत्य बिंदु पर बंद और दूसरे पर खुले होते


			अपवर्जित है।

			(a,b]= {x:aa अपवर्जित है।

			a

			एक खुला अंतराल जिसमें b सम्मिलित है किंतु
			[[File:अंतराल R के उपसमुच्चय के रूप में.jpg\|thumb\|500x500px\|चित्र ]]
			इन संकेतों द्वारा वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के उपसमुच्चयों के उल्लेख करने की एक वैकल्पिक विधि मिलती है। उदाहरण के लिए, यदि A = (35) और B = [ -7, 9], तो Ac B. समुच्चय [ 0, ००) ऋणेतर वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है, जबकि ( – ००, 0 ) ॠण वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। ( - ०, ० ), - ० से ० तक विस्तृत रेखा से संबंधित वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को प्रदर्शित करता है। वास्तविक रेखा पर R के उपसमुच्चयों के रूप में वर्णित उपर्युक्त अंतरालों को आकृति 1.1 में दर्शाया गया है:

Mani: New Mathematics Class11 Hindi Page Created

2024-11-06T10:37:48Z

New Mathematics Class11 Hindi Page Created

New page

[[Category:समुच्चय]]
[[Category:कक्षा-11]]
[[Category:गणित]]