अनिश्चित समाकलन - Revision history

Mani at 09:19, 7 December 2024

2024-12-07T09:19:08Z

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	अनिश्चित समाकलन, किसी फलन का बिना किसी सीमा का समाकलन है। समाकलन, अवकलन की विपरीत/प्रतिलोम प्रक्रिया है और इसे फलन का प्रतिअवकलज कहा जाता है। अनिश्चित समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है और समाकलन पर सीमित बिंदुओं का अनुप्रयोग इसे [[निश्चित समाकलन]] में बदल देता है। समाकलन को फलन <math>f(x)</math> के लिए परिभाषित किया गया है और यह निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के संदर्भ में वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्र को ज्ञात करने में सहायता करता है।		अनिश्चित समाकलन, किसी फलन का बिना किसी सीमा का समाकलन है। समाकलन, अवकलन की विपरीत/प्रतिलोम प्रक्रिया है और इसे फलन का प्रतिअवकलज कहा जाता है। अनिश्चित समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है और समाकलन पर सीमित बिंदुओं का अनुप्रयोग इसे [[निश्चित समाकलन]] में बदल देता है। समाकलन को फलन <math>f(x)</math> के लिए परिभाषित किया गया है और यह निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के संदर्भ में वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्र को ज्ञात करने में सहायता करता है।

	अनिश्चित समाकलन को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, [[आंशिक भिन्नों द्वारा ~~समाकलन\|आंशिक भिन्नों का~~ समाकलन]] और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, और उदाहरण के बारे में अधिक जानें।		अनिश्चित समाकलन को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, [[आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]] और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, और उदाहरण के बारे में अधिक जानें।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
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	उदाहरण: मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और घात नियम से, <math>f '(x) = 2x</math> है।		उदाहरण: मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और घात नियम से, <math>f '(x) = 2x</math> है।

	तब <math>f'(x)</math> का समाकलन <math>x^2 + C</math> है, क्योंकि <math>x^2</math> ही नहीं ~~बल्कि~~ <math>x^2 + 2, x^2 - 1,</math>आदि जैसे फलनों का भी अवकलन करने पर <math>2x</math> प्राप्त होता है।		तब <math>f'(x)</math> का समाकलन <math>x^2 + C</math> है, क्योंकि <math>x^2</math> ही नहीं अन्यथा <math>x^2 + 2, x^2 - 1,</math>आदि जैसे फलनों का भी अवकलन करने पर <math>2x</math> प्राप्त होता है।

	अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।		अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।
Line 37:		Line 37:
	* एक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए, पहले उपरोक्त विधियों में से किसी एक का उपयोग करके प्रतिअवकलन का मूल्यांकन करें और फिर सूत्र <math>\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)</math> का उपयोग करके सीमाएँ लागू करें।		* एक निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने के लिए, पहले उपरोक्त विधियों में से किसी एक का उपयोग करके प्रतिअवकलन का मूल्यांकन करें और फिर सूत्र <math>\int_{a}^{b} f(x)dx = F(b) - F(a)</math> का उपयोग करके सीमाएँ लागू करें।

	== उदाहरण ==		=== उदाहरण ===
	'''उदाहरण''': अनिश्चित समाकलन <math>\int 3x^2 sin x^3 dx</math> की गणना करें।		'''उदाहरण''': अनिश्चित समाकलन <math>\int 3x^2 sin x^3 dx</math> की गणना करें।

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	* <math>\int [k_1f_1(x) + k_2f_2(x) + ...+k_nf_n(x)]dx = k_1\int f_1(x)dx + k_2\int f_2(x)dx + ... + k_n\int f_n(x)dx</math>		* <math>\int [k_1f_1(x) + k_2f_2(x) + ...+k_nf_n(x)]dx = k_1\int f_1(x)dx + k_2\int f_2(x)dx + ... + k_n\int f_n(x)dx</math>

			== उदाहरण ==
			'''उदाहरण:''' <math>x^{2/3}</math> का अनिश्चित समाकलन ज्ञात कीजिए

			'''समाधान:'''

			समाकलन के घात नियम से,

			<math>\int x^{2/3} dx = x^{2/3+1} / (2/3 + 1) + C</math>

			<math>= x^{5/3} / (5/3) + C</math>

			<math>= 3x^{5/3}/ 5 + C</math>

			'''उत्तर''': अतः <math>x^{2/3}</math> का समाकलन <math>3x^{5/3}/ 5 + C</math> के बराबर है।
	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:समाकलन]]		[[Category:समाकलन]]

Mani: formulas

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formulas

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	यहाँ, <math>C</math> समाकलन का स्थिरांक है, और यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि हमें इसे प्रत्येक अनिश्चित समाकलन के मान के बाद क्यों जोड़ना होगा।		यहाँ, <math>C</math> समाकलन का स्थिरांक है, और यहाँ एक उदाहरण दिया गया है कि हमें इसे प्रत्येक अनिश्चित समाकलन के मान के बाद क्यों जोड़ना होगा।

	उदाहरण: मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और घात नियम से, <math>f '(x) = 2x</math> है। तब <math>f'(x)</math> का समाकलन <math>x^2 + C</math> है, क्योंकि <math>x^2</math> ही नहीं बल्कि <math>x^2 + 2, x^2 - 1,</math>आदि जैसे ~~कार्यों~~ का भी अवकलन करने पर <math>2x</math> प्राप्त होता है। अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।		उदाहरण: मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और घात नियम से, <math>f '(x) = 2x</math> है।

			तब <math>f'(x)</math> का समाकलन <math>x^2 + C</math> है, क्योंकि <math>x^2</math> ही नहीं बल्कि <math>x^2 + 2, x^2 - 1,</math>आदि जैसे फलनों का भी अवकलन करने पर <math>2x</math> प्राप्त होता है।

			अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।
	<br /><math>\int f(x)dx=F(x)+C,</math> जहाँ		<br /><math>\int f(x)dx=F(x)+C,</math> जहाँ

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	<math>C=</math> समाकलन स्थिरांक		<math>C=</math> समाकलन स्थिरांक

			=== ''' ''' उपरोक्त परिभाषा में: ===
	उपरोक्त परिभाषा में:

	* <math>f(x)</math> को समाकलन कहा जाता है		* <math>f(x)</math> को समाकलन कहा जाता है
	* <math>dx</math> का अर्थ है कि समाकलन का चर <math>x</math> है		* <math>dx</math> का अर्थ है कि समाकलन का चर <math>x</math> है
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	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	उदाहरण: अनिश्चित समाकलन <math>\int 3x^2 sin x^3 dx</math> की गणना करें।		'''उदाहरण''': अनिश्चित समाकलन <math>\int 3x^2 sin x^3 dx</math> की गणना करें।

	समाधान:		'''समाधान''':

	दिए गए समाकलन का मूल्यांकन प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है।		दिए गए समाकलन का मूल्यांकन प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करके किया जा सकता है।
Line 51:		Line 53:
	नीचे अनिश्चित समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं। इन सूत्रों और अधिक नियमों के बारे में अधिक जानने के लिए, यहाँ क्लिक करें।		नीचे अनिश्चित समाकलन के कुछ महत्वपूर्ण सूत्र दिए गए हैं। इन सूत्रों और अधिक नियमों के बारे में अधिक जानने के लिए, यहाँ क्लिक करें।

	* ~~∫ x~~<~~sup~~>~~n</sup> dx~~ = x~~<sup>~~n + 1~~</sup>~~/ (n + 1) + C		* <math>\int x ^ndx = x^{n + 1}/ (n + 1) + C</math>
	* ∫ 1 dx = x + C		* <math>\int 1 \ dx = x + C</math>
	* ~~∫ e~~<~~sup~~>x~~</sup>~~ dx = e~~<sup>~~x</~~sup~~> ~~+ C~~		* <math>\int e^x dx = e^x + C</math>
	* ∫1/x dx = ln \|x\| + C		* <math>\int 1/x dx = \ln \|x\| + C</math>
	* ~~∫ a~~<~~sup~~>x~~</sup>~~ dx = a~~<sup>~~x~~</sup>~~ / ln a + C		* <math>\int a^x dx = a^x / \ln\ a + C</math>
	* ∫ cos x dx = sin x + C		* <math>\int cos\ x \ dx = sin\ x + C</math>
	* ∫ sin x dx = -cos x + C		* <math>\int sin\ x \ dx = -cos \ x + C</math>
	* ~~∫ sec~~<~~sup~~>~~2</sup>x~~ dx = tan x + C		* <math>\int sec^2x dx = tan\ x + C</math>

	== अनिश्चित समाकलन के गुणधर्म ==		== अनिश्चित समाकलन के गुणधर्म ==
	अनिश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते समय हमें नीचे दिए गए गुणधर्मों को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।		अनिश्चित समाकलन का मूल्यांकन करते समय हमें नीचे दिए गए गुणधर्मों को लागू करने की आवश्यकता हो सकती है।

	* '''योग का गुणधर्म''' ~~: ∫~~ [f(x) + g(x)]dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx		* '''योग का गुणधर्म :''' <math>\int [f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx</math>
	* '''अंतर का गुणधर्म''' ''':''' ∫ [f(x) - g(x)]dx = ∫ f(x)dx - ∫ g(x)dx		* '''अंतर का गुणधर्म''' ''':''' <math>\int [f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx</math>
	* '''स्थिर गुणज का गुणधर्म :''' ∫ k f(x)dx = k∫ f(x)dx		* '''स्थिर गुणज का गुणधर्म :''' <math>\int k f(x)dx = k\int f(x)dx</math>
	* ∫ f(x) dx = ∫ g(x) dx ~~if ∫~~ [f(x) - g(x)]dx = 0		* <math>\int f(x) dx = \int g(x) dx,</math> यदि <math> \int [f(x) - g(x)]dx = 0</math>
	* ∫ [~~k1f1~~(x) + ~~k2f2~~(x) + ...+~~knfn~~(x)]dx = ~~k1∫ f1~~(x)dx + ~~k2∫ f2~~(x)dx + ... + ~~kn∫ fn~~(x)dx		* <math>\int [k_1f_1(x) + k_2f_2(x) + ...+k_nf_n(x)]dx = k_1\int f_1(x)dx + k_2\int f_2(x)dx + ... + k_n\int f_n(x)dx</math>


	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:समाकलन]]		[[Category:समाकलन]]

Mani at 08:53, 7 December 2024

2024-12-07T08:53:32Z

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	उदाहरण: मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और घात नियम से, <math>f '(x) = 2x</math> है। तब <math>f'(x)</math> का समाकलन <math>x^2 + C</math> है, क्योंकि <math>x^2</math> ही नहीं बल्कि <math>x^2 + 2, x^2 - 1,</math>आदि जैसे कार्यों का भी अवकलन करने पर <math>2x</math> प्राप्त होता है। अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।		उदाहरण: मान लें कि <math>f(x) = x^2</math> है और घात नियम से, <math>f '(x) = 2x</math> है। तब <math>f'(x)</math> का समाकलन <math>x^2 + C</math> है, क्योंकि <math>x^2</math> ही नहीं बल्कि <math>x^2 + 2, x^2 - 1,</math>आदि जैसे कार्यों का भी अवकलन करने पर <math>2x</math> प्राप्त होता है। अनिश्चित समाकलन को तकनीकी रूप से नीचे दिखाए अनुसार परिभाषित किया गया है।
			<br /><math>\int f(x)dx=F(x)+C,</math> जहाँ

			<math>F'(x)=f(x)</math>

			<math>C=</math> समाकलन स्थिरांक

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2024-12-07T08:00:02Z

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	अनिश्चित समाकलन किसी ~~फ़ंक्शन~~ का बिना किसी सीमा के समाकलन है। समाकलन ~~विभेदन~~ की विपरीत प्रक्रिया है और इसे ~~फ़ंक्शन~~ का प्रतिअवकलज कहा जाता है। अनिश्चित समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण ~~हिस्सा~~ है और समाकलन पर सीमित बिंदुओं का अनुप्रयोग इसे निश्चित समाकलन में बदल देता है। समाकलन को ~~फ़ंक्शन~~ f(x) के लिए परिभाषित किया गया है और यह निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के संदर्भ में वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्र को ~~खोजने~~ में ~~मदद~~ करता है।		अनिश्चित समाकलन, किसी फलन का बिना किसी सीमा का समाकलन है। समाकलन, अवकलन की विपरीत/प्रतिलोम प्रक्रिया है और इसे फलन का प्रतिअवकलज कहा जाता है। अनिश्चित समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है और समाकलन पर सीमित बिंदुओं का अनुप्रयोग इसे [[निश्चित समाकलन]] में बदल देता है। समाकलन को फलन <math>f(x)</math> के लिए परिभाषित किया गया है और यह निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के संदर्भ में वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्र को ज्ञात करने में सहायता करता है।

	अनिश्चित समाकल को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, आंशिक अंशों का समाकलन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, उदाहरण ~~और अनिश्चित समाकल और निश्चित समाकल के बीच अंतर~~ के बारे में अधिक जानें।		अनिश्चित समाकल को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, आंशिक अंशों का समाकलन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, और उदाहरण के बारे में अधिक जानें।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	अनिश्चित समाकलन वे समाकलन हैं जिनकी गणना ~~विभेदन~~ की विपरीत प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है और उन्हें ~~फ़ंक्शन~~ के प्रतिअवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी ~~फ़ंक्शन~~ f(x) के लिए, यदि व्युत्पन्न को f'(x) द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिणामी f'(x) का समाकलन प्रारंभिक ~~फ़ंक्शन~~ f(x) को वापस देता है। समाकलन की इस प्रक्रिया को निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आइए इसे नीचे दिए गए व्यंजक से समझते हैं।		अनिश्चित समाकलन, वे समाकलन हैं जिनकी गणना अवकलन की विपरीत प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है और उन्हें फलन के प्रतिअवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी फलन <math>f(x)</math> के लिए, यदि व्युत्पन्न को f'(x) द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिणामी f'(x) का समाकलन प्रारंभिक फलन f(x) को वापस देता है। समाकलन की इस प्रक्रिया को निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आइए इसे नीचे दिए गए व्यंजक से समझते हैं।

	* If d/dx f(x) = f'(x) then ∫ f'(x) dx = f(x) + C		* If d/dx f(x) = f'(x) then ∫ f'(x) dx = f(x) + C
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	उपरोक्त परिभाषा में:		उपरोक्त परिभाषा में:

	* f(x) को समाकलन कहा जाता है		* <math>f(x)</math> को समाकलन कहा जाता है
	* dx का अर्थ है कि समाकलन का चर x है		* dx का अर्थ है कि समाकलन का चर x है
	* F(x) अनिश्चित समाकल का मान है		* F(x) अनिश्चित समाकल का मान है

	अर्थात, ~~फ़ंक्शन~~ f(x) का अनिश्चित समाकल F(x) + C है, जहाँ, F(x) का व्युत्पन्न मूल ~~फ़ंक्शन~~ f(x) है।		अर्थात, फलन <math>f(x)</math> का अनिश्चित समाकल F(x) + C है, जहाँ, F(x) का व्युत्पन्न मूल फलन <math>f(x)</math> है।

	== अनिश्चित समाकल की गणना ==		== अनिश्चित समाकल की गणना ==
	अनिश्चित समाकल की गणना करने की प्रक्रिया दिए गए ~~फ़ंक्शन~~ पर निर्भर करती है। विभिन्न प्रकार के ~~फ़ंक्शन~~ के अनिश्चित समाकल की गणना करने के चरण इस प्रकार हैं:		अनिश्चित समाकल की गणना करने की प्रक्रिया दिए गए फलन पर निर्भर करती है। विभिन्न प्रकार के फलन के अनिश्चित समाकल की गणना करने के चरण इस प्रकार हैं:

	सरल अनिश्चित समाकल को सीधे समाकलन सूत्रों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिनका उल्लेख नीचे अनुभाग में किया गया है।		सरल अनिश्चित समाकल को सीधे समाकलन सूत्रों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, जिनका उल्लेख नीचे अनुभाग में किया गया है।

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2024-12-07T05:54:27Z

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	अनिश्चित समाकल को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, आंशिक अंशों का समाकलन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, उदाहरण और अनिश्चित समाकल और निश्चित समाकल के बीच अंतर के बारे में अधिक जानें।		अनिश्चित समाकल को भागों द्वारा समाकलन, प्रतिस्थापन द्वारा समाकलन, आंशिक अंशों का समाकलन और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के समाकलन की विभिन्न विधियों के माध्यम से हल किया जाता है। आइए अनिश्चित समाकल, महत्वपूर्ण सूत्र, उदाहरण और अनिश्चित समाकल और निश्चित समाकल के बीच अंतर के बारे में अधिक जानें।

	~~अनिश्चित समाकलन क्या है?~~		== परिभाषा ==

	अनिश्चित समाकलन वे समाकलन हैं जिनकी गणना विभेदन की विपरीत प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है और उन्हें फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन f(x) के लिए, यदि व्युत्पन्न को f'(x) द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिणामी f'(x) का समाकलन प्रारंभिक फ़ंक्शन f(x) को वापस देता है। समाकलन की इस प्रक्रिया को निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आइए इसे नीचे दिए गए व्यंजक से समझते हैं।		अनिश्चित समाकलन वे समाकलन हैं जिनकी गणना विभेदन की विपरीत प्रक्रिया द्वारा की जा सकती है और उन्हें फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। किसी फ़ंक्शन f(x) के लिए, यदि व्युत्पन्न को f'(x) द्वारा दर्शाया जाता है, तो परिणामी f'(x) का समाकलन प्रारंभिक फ़ंक्शन f(x) को वापस देता है। समाकलन की इस प्रक्रिया को निश्चित समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। आइए इसे नीचे दिए गए व्यंजक से समझते हैं।

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-Indefinite Integral
+अनिश्चित समाकलन किसी फ़ंक्शन का बिना किसी सीमा के समाकलन है। समाकलन विभेदन की विपरीत प्रक्रिया है और इसे फ़ंक्शन का प्रतिअवकलज कहा जाता है। अनिश्चित समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है और समाकलन पर सीमित बिंदुओं का अनुप्रयोग इसे निश्चित समाकलन में बदल देता है। समाकलन को फ़ंक्शन f(x) के लिए परिभाषित किया गया है और यह निर्देशांक अक्षों में से किसी एक के संदर्भ में वक्र द्वारा संलग्न क्षेत्र को खोजने में मदद करता है।
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
 [[Category:समाकलन]]

Mani: Updated Category

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			[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:~~कलन~~]][[Category:~~गणित~~]][[Category:~~कक्षा-12~~]]		[[Category:समाकलन]]

Sarika at 06:24, 4 August 2023

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	[[Category:कलन]][[Category:गणित]]		[[Category:कलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:20, 4 August 2023

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	Indefinite Integral		Indefinite Integral

	[[Category:कलन]]		[[Category:कलन]][[Category:गणित]]