अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-10-10T10:35:14Z

added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

← Older revision		Revision as of 16:05, 10 October 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	'अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ', नाम से ही स्पष्ट होता है कि, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;		'अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ', नाम से ही स्पष्ट होता है कि, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;

Mani at 05:54, 5 October 2023

2023-10-05T05:54:13Z

← Older revision		Revision as of 11:24, 5 October 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~जैसा कि हमें~~ नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;		'अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ', नाम से ही स्पष्ट होता है कि, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;

	<math>\{ a + kd , k\in N \}</math>		<math>\{ a + kd , k\in N \}</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-10-05T03:14:01Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 08:44, 5 October 2023
Line 18:		Line 18:
	# <math>3,5,7,9,...........</math>		# <math>3,5,7,9,...........</math>

	उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः <math>2 </math> तथा <math>3</math> एवं सार्व अंतर <math>4</math> ~~तथा~~ <math>2</math> है , तथा इन श्रेढ़ीयों में असीमित अर्थात अपरिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।		उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः <math>6 </math> तथा <math>3</math> एवं सार्व अंतर <math>4</math> तथा <math>2</math> है , तथा इन श्रेढ़ीयों में असीमित अर्थात अपरिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।

	=== उदाहरण 2 ===		=== उदाहरण 2 ===

Jaya agarwal at 06:46, 1 October 2023

2023-10-01T06:46:01Z

← Older revision		Revision as of 12:16, 1 October 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~Infinite Arithmetic Progressions~~		जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे अपरिमित अर्थात सीमित पद नही होते हैं , उन्हें हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद नही होता है । अपरिमित समांतर श्रेढ़ी को हम निम्न प्रकार से निरूपित कर सकते हैं ;

			<math>\{ a + kd , k\in N \}</math>

			जहां ,

			<math>a=</math> पहला पद

			<math>d =</math> सार्व अंतर

			<math>N=\{1,2,3,4,....\}</math> प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय हैं ।

			=== उदाहरण 1 ===

			# <math>6,10,14,18,22,.......... </math>
			# <math>3,5,7,9,...........</math>

			उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः <math>2 </math> तथा <math>3</math> एवं सार्व अंतर <math>4</math> तथा <math>2</math> है , तथा इन श्रेढ़ीयों में असीमित अर्थात अपरिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम अपरिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।

			=== उदाहरण 2 ===
			निम्नलिखित में से कौन अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का एक उदाहरण है ?<ref>{{Cite web\|title=उदाहरण\|url=https://byjus.com/question-answer/which-among-the-following-is-an-example-of-an-infinite-a-p-the-set-of-1/}}</ref>

			# <math>10</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय
			# सम संख्याओं का समुच्चय
			# <math>100</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय
			# <math>1000</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय

			हल

			# <math>10</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा <math>=\{2,4,6,8,10\}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
			# सम संख्याओं का समुच्चय होगा <math>=\{2,4,6,8,10,...........\infty \}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में अपरिमित अर्थात सीमित पद नही है , तो यह अपरिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
			# <math>100</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा <math>=\{2,4,6,8,10,.........100\}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।
			# <math>1000</math> तक सम संख्याओं का समुच्चय होगा <math>=\{2,4,6,8,10,.........1000\}</math> अतः , हमने देखा कि दी गई श्रेढ़ी में परिमित अर्थात सीमित पद है , तो यह परिमित समांतर श्रेढ़ी होगी ।

			== अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग ==
			एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां <math>n</math> पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है <math>(n\longrightarrow \infty)</math>, और सार्व अंतर <math>d</math> , <math>0</math> से अधिक है अर्थात <math>(d>0)</math>, तो ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग<ref>{{Cite web\|url=https://stgwebsite.mindspark.in/studymaterial/math-concepts/sum-of-an-infinite-arithmetic-progression-mindspark/\|title=अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग}}</ref> <math>S_\infty = \infty</math> होगा ।

			एक अपरिमित समांतर श्रेढ़ी में जहां <math>n</math> पदों की संख्या है , तथा उसमें अपरिमित अर्थात सीमित पद नहीं है <math>(n\longrightarrow \infty)</math>, और सार्व अंतर <math>d</math> , <math>0</math> से कम है अर्थात <math>(d<0)</math>, तो ऐसी अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग <math>S_\infty = - \infty</math> होगा ।

			=== उदाहरण 1 ===
			अपरिमित समांतर श्रेढ़ी <math>-2,0,2,4,6,8,............. </math> का योग ज्ञात करें ।

			हल

			पहला पद <math>a = -2</math>

			सार्व अंतर

			<math>d=0-(-2)</math>

			<math>d=0+2</math>

			<math>d=2</math>

			अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर <math>d=2</math> , <math>0</math> से अधिक है अर्थात <math>(d>0)</math> , तो उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग <math>S_\infty = \infty</math> होगा ।

			=== उदाहरण 2 ===
			अपरिमित समांतर श्रेढ़ी <math>7,3,-1,-5,........... </math> का योग ज्ञात करें ।

			हल

			पहला पद <math>a = 7</math>

			सार्व अंतर

			<math>d=3-7</math>

			<math>d=-4</math>

			अतः , यह स्पष्ट है कि सार्व अंतर <math>d=-4</math> , <math>0</math> से कम है अर्थात <math>(d<0)</math> , तो उपर्युक्त दी गई अपरिमित समांतर श्रेढ़ी का योग <math>S_\infty = - \infty</math> होगा ।

			== संदर्भ ==

Mani at 05:48, 21 August 2023

2023-08-21T05:48:42Z

← Older revision		Revision as of 11:18, 21 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			Infinite Arithmetic Progressions

Mani: Updated Category

2023-08-04T12:26:50Z

Updated Category

← Older revision		Revision as of 17:56, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	~~[[Category:अंकगणित]]~~
	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Sarika at 05:35, 4 August 2023

2023-08-04T05:35:14Z

← Older revision		Revision as of 11:05, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:अंकगणित]]		[[Category:अंकगणित]]
	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Sarika at 05:31, 4 August 2023

2023-08-04T05:31:28Z

← Older revision		Revision as of 11:01, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:अंकगणित]]		[[Category:अंकगणित]]
	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]]

Sarika at 10:58, 18 April 2023

2023-04-18T10:58:08Z

← Older revision		Revision as of 16:28, 18 April 2023
Line 1:		Line 1:
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:अंकगणित]]		[[Category:अंकगणित]]
	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ~~]][[Category: कक्षा-10~~]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]]

Sarika at 06:41, 21 March 2023

2023-03-21T06:41:17Z

← Older revision		Revision as of 12:11, 21 March 2023
Line 1:		Line 1:
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:अंकगणित]]		[[Category:अंकगणित]]
	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category: कक्षा-10]]