अपरिमेय संख्याओं का पुनर्भ्रमण - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-10-10T07:51:21Z

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← Older revision		Revision as of 13:21, 10 October 2023
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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं एवं <math>q\neq0</math> हैं ।		एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं एवं <math>q\neq0</math> हैं ।

Mani at 10:27, 6 October 2023

2023-10-06T10:27:51Z

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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं और <math>q\neq0</math> हैं ।		एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं एवं <math>q\neq0</math> हैं ।

	उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।		उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।
Line 60:		Line 60:
	<math>a=2c</math> जहाँ, <math>c</math> पूर्णांक हैं ।		<math>a=2c</math> जहाँ, <math>c</math> पूर्णांक हैं ।

	दोनों तरफ वर्ग करके लिखने पर ,		दोनों तरफ वर्ग करके लिखने पर ,

	<math>a^2=4c^2</math>		<math>a^2=4c^2</math>

Jaya agarwal: /* अपरिमेय संख्याओं के गुण */

2023-10-06T07:14:54Z

अपरिमेय संख्याओं के गुण

← Older revision		Revision as of 12:44, 6 October 2023
Line 100:		Line 100:
	# सिद्ध करें कि <math>\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।		# सिद्ध करें कि <math>\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
	# सिद्ध करें कि <math>3+2\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।		# सिद्ध करें कि <math>3+2\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
			# <math>2</math> और <math>3</math> के बीच अपरिमेय संख्याएँ ज्ञात करे ।

	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==

Jaya agarwal: /* प्रमेय 1 */

2023-10-05T15:53:39Z

प्रमेय 1

← Older revision		Revision as of 21:23, 5 October 2023
Line 6:		Line 6:

	इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ\|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय\|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।		इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ\|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय\|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।
			==अपरिमेय संख्याओं के गुण ==
			अपरिमेय संख्याओं के गुण<ref>{{Cite web\|url=https://testbook.com/maths/irrational-numbers\|title=अपरिमेय संख्याओं के गुण}}</ref> निम्नलिखित हैं ;
			#वे वास्तविक संख्याएँ हैं ।
			#अपरिमेय संख्याओं को भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है ।
			#यदि <math>a</math> और <math>b</math> दो अलग-अलग अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो <math>\sqrt{ab}</math> ; <math>a</math> और <math>b</math> के बीच स्थित एक अपरिमेय संख्या होगी ।
			#एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग अपरिमेय संख्या होता है ।
			#एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल अपरिमेय संख्या होता है ।
			#किसी भी अभाज्य संख्या के वर्गमूल का मान सदैव एक अपरिमेय संख्या होता है ।
			#दो अपरिमेय संख्याओं के बीच किसी भी संक्रिया (जोड़, गुणा, घटाव, भाग) का परिणाम हमेशा अपरिमेय संख्या नहीं होगा ।
			#अपरिमेय संख्या की प्रकृति सदैव अनवसानी और दोहराव रहित होती है ।
	== प्रमेय 1 ==		== प्रमेय 1 ==
	कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> , <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS ( NCERT0 \|edition=Revised \|pages=6-9}}</ref>		कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> , <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS ( NCERT0 \|edition=Revised \|pages=6-9}}</ref>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-10-05T15:52:30Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 21:22, 5 October 2023
Line 7:		Line 7:
	इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ\|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय\|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।		इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ\|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय\|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।

	== ~~प्रेमय~~ 1 ==		== प्रमेय 1 ==
	कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> , <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS ( NCERT0 \|edition=Revised \|pages=6-9}}</ref>		कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> , <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS ( NCERT0 \|edition=Revised \|pages=6-9}}</ref>

Jaya agarwal: /* प्रेमय 1 */

2023-10-05T03:16:27Z

प्रेमय 1

← Older revision		Revision as of 08:46, 5 October 2023
Line 5:		Line 5:
	उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।		उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।

	इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ\|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय\|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें ~~प्रेमय~~ की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।		इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ\|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय\|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रमेय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।

	== प्रेमय 1 ==		== प्रेमय 1 ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-29T13:51:52Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 19:21, 29 September 2023
Line 8:		Line 8:

	== प्रेमय 1 ==		== प्रेमय 1 ==
	कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> ; <math>a</math> को विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।		कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> , <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS ( NCERT0 \|edition=Revised \|pages=6-9}}</ref>

	प्रमाण :		प्रमाण :
Line 45:		Line 45:
	<math>2b^2=a^2</math> <math>.............(1)</math>		<math>2b^2=a^2</math> <math>.............(1)</math>

	उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि , <math>a^2</math> ; <math>2</math> से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> ; <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>a</math> भी <math>2</math> से विभाज्य होगा ।		उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि ; <math>a^2</math> , <math>2</math> से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> , <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>a</math> भी <math>2</math> से विभाज्य होगा ।

	अब, हम कह सकते हैं ,		अब, हम कह सकते हैं ,
Line 63:		Line 63:
	<math>b^2=2c^2</math>		<math>b^2=2c^2</math>

	अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ; <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> ; <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>2</math> ; <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।		अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> , <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> , <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>2</math> , <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।

	इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।		इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।
Line 86:		Line 86:

	अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>5-\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या है ।		अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>5-\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या है ।

			== अभ्यास प्रश्न ==

			# सिद्ध करें कि <math>\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।
			# सिद्ध करें कि <math>3+2\sqrt{5}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।

			== संदर्भ ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-09-29T13:46:17Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 19:16, 29 September 2023
Line 8:		Line 8:

	== प्रेमय 1 ==		== प्रेमय 1 ==
	कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> <math>a</math> को विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।		कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> ; <math>a</math> को विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।

	प्रमाण :		प्रमाण :
Line 45:		Line 45:
	<math>2b^2=a^2</math> <math>.............(1)</math>		<math>2b^2=a^2</math> <math>.............(1)</math>

	उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि , <math>a^2</math> ; <math>2</math> से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>a</math> भी <math>2</math> से विभाज्य होगा ।		उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि , <math>a^2</math> ; <math>2</math> से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> ; <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>a</math> भी <math>2</math> से विभाज्य होगा ।

	अब, हम कह सकते हैं ,		अब, हम कह सकते हैं ,
Line 63:		Line 63:
	<math>b^2=2c^2</math>		<math>b^2=2c^2</math>

	अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ; <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>2</math> ; <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।		अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ; <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> ; <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>2</math> ; <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।

	इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।		इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।

	अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>\sqrt{2}</math> अपरिमेय संख्या है ।		अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>\sqrt{2}</math> अपरिमेय संख्या है ।
			== उदाहरण 2 ==
			सिद्ध करें कि <math>5-\sqrt{3}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।

			हल

			आइए, इसके विपरीत मान लें कि <math>5-\sqrt{3}</math> एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

			<math>5-\sqrt{3}=\frac{a}{b}</math> जहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं और <math>b\neq0</math> हैं ।

			पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

			<math>\sqrt{3}=5-\frac{a}{b}</math>

			<math>\sqrt{3}=\frac{5b-a}{b}</math>

			चूँकि , <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं ; अतः , यह स्पष्ट है कि <math>5-\frac{a}{b}</math> एक परिमेय संख्या है और इसलिए <math>\sqrt{3}</math> एक परिमेय संख्या है । लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या है। यह विरोधाभास हमारी ग़लत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>5-\sqrt{3}</math> एक परिमेय संख्या है ।

			अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>5-\sqrt{3}</math> अपरिमेय संख्या है ।

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-09-29T13:32:32Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 19:02, 29 September 2023
Line 32:		Line 32:

	हल		हल

			आइए, इसके विपरीत मान लें कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है । अतः , परिमेय संख्या की परिभाषा अनुसार हम कह सकते हैं कि :

			<math>\sqrt{2}=\frac{a}{b}</math> जहाँ, <math>a</math> और <math>b</math> पूर्णांक हैं और <math>b\neq0</math> हैं ।

			मान लीजिए कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई अन्य उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो हम उभयनिष्ठ गुणनखंड से भाग दे सकते हैं, और मान सकते हैं , कि <math>a</math> और <math>b</math> सहअभाज्य हैं । अतः ,

			<math>b\sqrt{2}=a</math>

			दोनों तरफ वर्ग करके पुनर्व्यवस्थित रूप में लिखने पर ,

			<math>2b^2=a^2</math> <math>.............(1)</math>

			उपर्युक्त दिए गए समीकरण से यह स्पष्ट है कि , <math>a^2</math> ; <math>2</math> से विभाज्य है , अतः प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>a</math> भी <math>2</math> से विभाज्य होगा ।

			अब, हम कह सकते हैं ,

			<math>a=2c</math> जहाँ, <math>c</math> पूर्णांक हैं ।

			दोनों तरफ वर्ग करके लिखने पर ,

			<math>a^2=4c^2</math>

			समीकरण <math>(1)</math> से <math>a^2</math> का मान रखने पर ,

			<math>2b^2=4c^2</math>

			दोनों पक्षों में <math>2</math> से भाग देने पर ,

			<math>b^2=2c^2</math>

			अतः , यह स्पष्ट है कि <math>2</math> ; <math>b^2</math> से विभाज्य है , प्रमेय <math>1</math> ( यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> <math>a</math> को भी विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ) के उपयोग से हम कह सकते हैं कि <math>2</math> ; <math>b</math> से भी विभाज्य हैं ।

			इसलिए यह स्पष्ट है कि <math>a</math> और <math>b</math> का उभयनिष्ठ गुणनखंड <math>2</math> हैं , लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि <math>a</math> और <math>b</math> में <math>1</math> के अलावा कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। यह विरोधाभास हमारी गलत धारणा के कारण उत्पन्न हुआ है कि <math>\sqrt{2}</math> एक परिमेय संख्या है ।

			अतः , हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि <math>\sqrt{2}</math> अपरिमेय संख्या है ।

Jaya agarwal at 12:56, 29 September 2023

2023-09-29T12:56:09Z

← Older revision		Revision as of 18:26, 29 September 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~Revisiting Irrational Numbers~~		एक संख्या <math>x</math> को अपरिमेय संख्या कहा जाता है , यदि हम इसे <math>\frac{p}{q}</math> के रूप में व्यक्त नहीं कर सकते हैं , जहाँ <math>p</math> और <math>q</math> पूर्णांक हैं और <math>q\neq0</math> हैं ।

			उदाहरण : <math>\sqrt{2}</math> , <math>\sqrt{3}</math> , <math>\sqrt{7}</math> , <math>\pi</math> , <math>0.10110111011110.....</math> आदि अपरिमेय संख्याओं के उदाहरण हैं ।

			इस इकाई में हम सिद्ध करेंगे कि <math>\sqrt{p}</math> अपरिमेय संख्या है , जहाँ <math>p</math> एक [[अभाज्य संख्याएँ\|अभाज्य संख्या]] है। हम अपने प्रमाण में [[अंकगणित की आधारभूत प्रमेय\|अंकगणित की मौलिक प्रमेय]] का उपयोग करेंगे । इससे पूर्व हमें प्रेमय की आवश्यकता होगी आइए उसके बारे में जानते हैं ।

			== प्रेमय 1 ==
			कथन : माना कि <math>p</math> एक अभाज्य संख्या है, यदि <math>p</math> , <math>a^2</math> को विभाजित करता है , तो <math>p</math> <math>a</math> को विभाजित करता है, जहाँ <math>a</math> एक धनात्मक पूर्णांक है ।

			प्रमाण :

			मान लीजिए कि <math>a</math> का अभाज्य गुणनखंडन इस प्रकार है ,

			<math>a=p_1p_2.......p_n </math> जहाँ <math>p_1,p_2,.....p_n </math> अभाज्य संख्याएँ है ।

			इस प्रकार हम कह सकते हैं कि ,

			<math>a^2=(p_1p_2.....p_n)(p_1p_2....p_n)</math>

			<math>a^2=p_1^2p_2^2.....p_n^2</math>

			कथन में हमें दिया गया है कि, <math>p</math> <math>a</math> को विभाजित करता है, इसलिए अंकगणित की मौलिक प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि <math>p</math> , <math>a^2</math> के अभाज्य गुणनखंडों में से एक है हालाँकि अंकगणित के मौलिक प्रमेय के विशिष्ट भाग का उपयोग करते हुए हम कह सकते हैं कि ; <math>a^2</math> के अभाज्य गुणनखंड <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math> है तो , <math>p</math> का मान <math>p_1 , p_2,p_3,.......p_n</math> इनमें से एक है ।

			इस तरह , <math>a=p_1p_2.......p_n </math> ;

			अतः , <math>p</math> <math>a</math> को विभाजित करता है ।

			== उदाहरण 1 ==
			सिद्ध करें कि <math>\sqrt{2}</math> एक अपरिमेय संख्या है ।

			हल