अवकल समीकरण - Revision history

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2024-12-09T12:30:07Z

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	एक समीकरण जिसमें किसी अज्ञात फलन का अवकल होता है, उसे अवकल समीकरण कहा जाता है। किसी बिंदु पर फलन के परिवर्तन की दर फलन के अवकलनों द्वारा परिभाषित की जाती है। एक अवकल समीकरण इन अवकलनों को अन्य ~~फ़ंक्शनों~~ से जोड़ता है। अवकल समीकरणों का उपयोग मुख्य रूप से जीव विज्ञान, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कई क्षेत्रों में किया जाता है। अवकल समीकरण का मुख्य उद्देश्य उन समाधानों का अध्ययन करना है जो समीकरणों और समाधानों के गुणों को संतुष्ट करते हैं। आइए परिभाषा, प्रकार, अवकल समीकरण को हल करने के तरीके, अवकल समीकरण के कोटी और घात , अवकल समीकरणों के प्रकार, वास्तविक दुनिया के उदाहरणों और अभ्यास समस्याओं के साथ चर्चा करें।		एक समीकरण जिसमें किसी अज्ञात फलन का अवकल होता है, उसे अवकल समीकरण कहा जाता है। किसी बिंदु पर फलन के परिवर्तन की दर फलन के अवकलनों द्वारा परिभाषित की जाती है। एक अवकल समीकरण इन अवकलनों को अन्य फलनों से जोड़ता है। अवकल समीकरणों का उपयोग मुख्य रूप से जीव विज्ञान, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कई क्षेत्रों में किया जाता है।

			अवकल समीकरण का मुख्य उद्देश्य उन समाधानों का अध्ययन करना है जो समीकरणों और समाधानों के गुणों को संतुष्ट करते हैं। आइए परिभाषा, प्रकार, अवकल समीकरण को हल करने के तरीके, अवकल समीकरण के कोटी और घात ,अवकल समीकरणों के प्रकार, वास्तविक दुनिया के उदाहरणों और अभ्यास समस्याओं के साथ चर्चा करें।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें किसी अज्ञात फलन का कम से कम एक अवकल होता है, या तो एक साधारण अवकल या आंशिक ~~व्युत्पन्न।~~ मान लीजिए कि <math>x </math> के [[संबंध]] में फलन <math>y </math> के परिवर्तन की दर <math>y </math> के व्युत्क्रमानुपाती है, हम इसे <math>dy/dx = k/y</math> के रूप में व्यक्त करते हैं।		अवकल समीकरण एक ऐसा समीकरण है जिसमें किसी अज्ञात फलन का कम से कम एक अवकल होता है, या तो एक साधारण अवकल या आंशिक अवकलज । मान लीजिए कि <math>x </math> के [[संबंध]] में फलन <math>y </math> के परिवर्तन की दर <math>y </math> के व्युत्क्रमानुपाती है, हम इसे <math>dy/dx = k/y</math> के रूप में व्यक्त करते हैं।

	कलन में, एक अवकल समीकरण एक समीकरण है जिसमें स्वतंत्र चर (चर) के संबंध में आश्रित चर के [[अवकलनीयता\|अवकल]] (~~व्युत्पन्न~~) उपस्थित होते हैं। अवकल परिवर्तन की दर के अलावा कुछ भी नहीं दर्शाता है, और अवकल समीकरण हमें किसी अन्य मात्रा में परिवर्तन के संबंध में बदलती मात्रा के बीच संबंध प्रस्तुत करने में ~~मदद~~ करता है। <math>y=f(x)</math> एक फलन हो जहाँ <math>y </math> एक आश्रित चर है, f एक अज्ञात फलन है, <math>x </math> एक स्वतंत्र चर है। यहाँ कुछ अवकल समीकरण दिए गए हैं।		कलन में, एक अवकल समीकरण एक समीकरण है जिसमें स्वतंत्र चर (चर) के संबंध में आश्रित चर के [[अवकलनीयता\|अवकल]] (अवकलज ) उपस्थित होते हैं। अवकल परिवर्तन की दर के अलावा कुछ भी नहीं दर्शाता है, और अवकल समीकरण हमें किसी अन्य मात्रा में परिवर्तन के संबंध में बदलती मात्रा के बीच संबंध प्रस्तुत करने में सहायता करता है। <math>y=f(x)</math> एक फलन हो जहाँ <math>y </math> एक आश्रित चर है, f एक अज्ञात फलन है, <math>x </math> एक स्वतंत्र चर है। यहाँ कुछ अवकल समीकरण दिए गए हैं।

	* <math>(dy/dx) = sin\ x</math>		* <math>(dy/dx) = sin\ x</math>
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	== अवकल समीकरणों की घात ==		== अवकल समीकरणों की घात ==
	यदि कोई अवकल समीकरण बहुपद रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो उच्चतम कोटी अवकल की अभिन्न ~~शक्ति~~ जो प्रकट होती है उसे अवकल समीकरण की घात कहा जाता है। अवकल समीकरण की घात समीकरण में ~~मौजूद~~ उच्चतम कोटी अवकल की ~~शक्ति~~ है। अवकल समीकरण की घात ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक अवकल के सूचकांक के रूप में एक सकारात्मक पूर्णांक की आवश्यकता होती है। उदाहरण:		यदि कोई अवकल समीकरण बहुपद रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो उच्चतम कोटी अवकल की अभिन्न घात जो प्रकट होती है उसे अवकल समीकरण की घात कहा जाता है। अवकल समीकरण की घात समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटी अवकल की घात है। अवकल समीकरण की घात ज्ञात करने के लिए, हमें प्रत्येक अवकल के सूचकांक के रूप में एक सकारात्मक [[पूर्णांक]] की आवश्यकता होती है। उदाहरण:

	<math>({dy \over dx^4})^3+4({dy \over dx})^7+6y=5cos3x</math>		<math>({dy \over dx^4})^3+4({dy \over dx})^7+6y=5cos3x</math>
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	दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है		दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

	<math>y^2 - (dy/dx \cdot x)^2 = [r\sqrt{(1+(dy/dx)^2})]^2</math>		<math>y^2 - (dy/dx \cdot x)^2 = [r\sqrt{(1+(dy/dx)^2})]^2</math>

	<math>[y - x(dy/dx)]^2 = r^2 (1+(dy/dx))^2</math> आवश्यक अवकल समीकरण है।		<math>[y - x(dy/dx)]^2 = r^2 (1+(dy/dx))^2</math> आवश्यक अवकल समीकरण है।
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	* हम अवकलनों के लिए निम्नलिखित संकेतन <math>(dy/dx) = y', (d^2y/dx^2) = y'', (d^3y/dx^3) = y'''</math> का उपयोग कर सकते हैं।		* हम अवकलनों के लिए निम्नलिखित संकेतन <math>(dy/dx) = y', (d^2y/dx^2) = y'', (d^3y/dx^3) = y'''</math> का उपयोग कर सकते हैं।
	* अवकल समीकरण का कोटी और घात सदैव धनात्मक [[पूर्णांक]] होना चाहिए।		* अवकल समीकरण का कोटी और घात सदैव धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए।

	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:अवकल समीकरण]]		[[Category:अवकल समीकरण]]

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-Differential Equation
+एक समीकरण जिसमें किसी अज्ञात फ़ंक्शन का व्युत्पन्न होता है, उसे अंतर समीकरण कहा जाता है। किसी बिंदु पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर फ़ंक्शन के व्युत्पन्नों द्वारा परिभाषित की जाती है। एक अंतर समीकरण इन व्युत्पन्नों को अन्य फ़ंक्शनों से जोड़ता है। अंतर समीकरणों का उपयोग मुख्य रूप से जीव विज्ञान, भौतिकी, इंजीनियरिंग और कई क्षेत्रों में किया जाता है। अंतर समीकरण का मुख्य उद्देश्य उन समाधानों का अध्ययन करना है जो समीकरणों और समाधानों के गुणों को संतुष्ट करते हैं। आइए परिभाषा, प्रकार, अंतर समीकरण को हल करने के तरीके, अंतर समीकरण के क्रम और डिग्री, अंतर समीकरणों के प्रकार, वास्तविक दुनिया के उदाहरणों और अभ्यास समस्याओं के साथ चर्चा करें।
 [[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
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	Differential Equation		Differential Equation
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Sarika at 06:24, 4 August 2023

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	Differential Equation		Differential Equation

	[[Category:कलन]]		[[Category:कलन]][[Category:गणित]]

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Differential Equation
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[[Category:कलन]]