आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन - Revision history

Deepak at 14:58, 5 December 2024

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	<math>1/t-1/(1+t) - 1/(1+t)^2</math>		<math>1/t-1/(1+t) - 1/(1+t)^2</math>

	इसलिए, <math>I</math> इस प्रकार		इसलिए, <math>I</math> इस प्रकार है

	<math>I= \ln \left\vert t \right\vert - \ln \left\vert 1+t \right\vert + 1/(1+t) + C</math>		<math>I= \ln \left\vert t \right\vert - \ln \left\vert 1+t \right\vert + 1/(1+t) + C</math>

Deepak at 14:57, 5 December 2024

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	<math>1/t-1/(1+t) - 1/(1+t)^2</math>		<math>1/t-1/(1+t) - 1/(1+t)^2</math>

	इसलिए, <math>I</math> इस प्रकार है		इसलिए, <math>I</math> इस प्रकार

	<math>I= \ln \left\vert t \right\vert - \ln \left\vert 1+t \right\vert + 1/(1+t) + C</math>		<math>I= \ln \left\vert t \right\vert - \ln \left\vert 1+t \right\vert + 1/(1+t) + C</math>

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	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी परिमेय भिन्न समाकलन को अपघटित करने और फिर समाकलित करने के लिए किया जाता है जिसके हर में जटिल पद होते हैं। आंशिक भिन्न का उपयोग करके, हम व्यंजक की गणना करते हैं और उसे सरल पदों में अपघटित करते हैं ताकि हम इस प्रकार प्राप्त व्यंजक की आसानी से गणना या समाकलन कर सकें।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी परिमेय भिन्न [[समाकलन की विधियाँ\|समाकलन]] को अपघटित करने और फिर समाकलित करने के लिए किया जाता है जिसके हर में जटिल पद होते हैं। आंशिक भिन्न का उपयोग करके, हम व्यंजक की गणना करते हैं और उसे सरल पदों में अपघटित करते हैं ताकि हम इस प्रकार प्राप्त व्यंजक की आसानी से गणना या समाकलन कर सकें।

	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में मूल विचार हर को गुणनखंडित करना और फिर उन्हें दो अलग-अलग भिन्नों में अपघटित करना है जहाँ हर क्रमशः गुणनखंड होते हैं और अंश की गणना उपयुक्त रूप से की जाती है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न रूपों और विभिन्न विधियों के बारे में अधिक जानें।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में मूल विचार हर को गुणनखंडित करना और फिर उन्हें दो अलग-अलग भिन्नों में अपघटित करना है जहाँ हर क्रमशः [[गुणनखंड प्रमेय\|गुणनखंड]] होते हैं और अंश की गणना उपयुक्त रूप से की जाती है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न रूपों और विभिन्न विधियों के बारे में अधिक जानें।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन, समाकलन की तीन विधियों में से एक है। इस विधि में, हम उचित परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों के योग में अपघटित करते हैं। परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों में अपघटित करना सदैव संभव होता है और यह आंशिक भिन्न अपघटन नामक प्रक्रिया द्वारा किया जाता है।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन, समाकलन की तीन विधियों में से एक है। इस विधि में, हम उचित [[परिमेय संख्याएँ\|परिमेय]] भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों के योग में अपघटित करते हैं। परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों में अपघटित करना सदैव संभव होता है और यह आंशिक भिन्न अपघटन नामक प्रक्रिया द्वारा किया जाता है।

	आइए इसे एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं। मान लीजिए हमारे पास <math>5/6</math> है, तो हम इसे<math>5/6 = 1/2 + 1/3 </math> के रूप में अपघटित कर सकते हैं, इसी तरह, हम दो आंशिक भिन्नों को बीजगणितीय रूप से अपघटित करके ऐसा करते हैं। मान लीजिए हमारे पास है:		आइए इसे एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं। मान लीजिए हमारे पास <math>5/6</math> है, तो हम इसे<math>5/6 = 1/2 + 1/3 </math> के रूप में अपघटित कर सकते हैं, इसी तरह, हम दो आंशिक भिन्नों को बीजगणितीय रूप से अपघटित करके ऐसा करते हैं। मान लीजिए हमारे पास है:

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	<math>6/(x+1)(x-1)= [A(x+1) + B (x-1)]/(x-1)(x+1)</math>		<math>6/(x+1)(x-1)= [A(x+1) + B (x-1)]/(x-1)(x+1)</math>

	इसके ~~अलावा~~, दोनों पक्षों के हर ~~बराबर~~ हैं, इसलिए अंश भी ~~बराबर~~ होंगे।		इसके अतिरिक्त , दोनों पक्षों के हर समान हैं, इसलिए अंश भी समान होंगे।

	<math>6 = [A(x+1) + B (x-1)]</math>		<math>6 = [A(x+1) + B (x-1)]</math>
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	आंशिक भिन्नो द्वारा समाकलज का उपयोग करके समाकलन करें: <math>\int [x+1]/x(1+xe^x)^2dx</math>		आंशिक भिन्नो द्वारा समाकलज का उपयोग करके समाकलन करें: <math>\int [x+1]/x(1+xe^x)^2dx</math>

	'''समाधान''': ध्यान दें कि <math>xe^x</math> का ~~व्युत्पन्न~~ <math>(x+1)e^x</math> है। इस प्रकार, हम <math>xe^x</math> को एक नए चर <math>t </math> के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं यदि हम उपरोक्त ~~अभिव्यक्ति~~ के अंश और हर को <math>e^x</math> से गुणा करते हैं:		'''समाधान''': ध्यान दें कि <math>xe^x</math> का अवकलज <math>(x+1)e^x</math> है। इस प्रकार, हम <math>xe^x</math> को एक नए चर <math>t </math> के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं यदि हम उपरोक्त व्यंजक के अंश और हर को <math>e^x</math> से गुणा करते हैं:

	<math>I = \int [x+1]/x(1+xe^x)^2dx</math>		<math>I = \int [x+1]/x(1+xe^x)^2dx</math>

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	<math>\int [6/(x^2-1)]dx = -3 \ln (\left\vert x+1 \right\vert)+3 \ln (\left\vert x-1 \right\vert)+C</math>		<math>\int [6/(x^2-1)]dx = -3 \ln (\left\vert x+1 \right\vert)+3 \ln (\left\vert x-1 \right\vert)+C</math>

			== उदाहरण ==
			'''उदाहरण:'''

			आंशिक भिन्नो द्वारा समाकलज का उपयोग करके समाकलन करें: <math>\int [x+1]/x(1+xe^x)^2dx</math>

			'''समाधान''': ध्यान दें कि <math>xe^x</math> का व्युत्पन्न <math>(x+1)e^x</math> है। इस प्रकार, हम <math>xe^x</math> को एक नए चर <math>t </math> के लिए प्रतिस्थापित कर सकते हैं यदि हम उपरोक्त अभिव्यक्ति के अंश और हर को <math>e^x</math> से गुणा करते हैं:

			<math>I = \int [x+1]/x(1+xe^x)^2dx</math>

			<math>=\int (x+1)ex/xe^x(1+xe^x)^2dx</math>

			प्रतिस्थापन <math>xe^x=t </math> अब <math>I</math> को घटाकर निम्न कर देता है:

			<math>I = \int dt/(t(1+t)^2).dt</math>

			अब हम आंशिक भिन्नों का उपयोग करके इस व्यंजक को <math>t </math> में विस्तारित कर सकते हैं:

			<math>1/(t(1+t)^2) = A/t+B/(1+t) + C/(1+t)^2</math>

			<math>\Rightarrow 1 = A(1+t)^2 + B(1+t)t + Ct</math>

			<math>t = 0 \Rightarrow A=1</math> रखने पर

			<math>t = -1 \Rightarrow C = -1</math> रखने पर

			<math>t^2 \Rightarrow 0 = A+B</math> के गुणांक की तुलना करें

			<math>\Rightarrow B = -1</math>

			आंशिक भिन्न का विस्तार है:

			<math>1/t-1/(1+t) - 1/(1+t)^2</math>

			इसलिए, <math>I</math> इस प्रकार है

			<math>I= \ln \left\vert t \right\vert - \ln \left\vert 1+t \right\vert + 1/(1+t) + C</math>

			'''उत्तर''': <math>\int [x+1]/x(1+xe^2)^2dx = \ln \left\vert t \right\vert - \ln \left\vert \right\vert + 1/(1+ xe^x) + C</math>
	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani at 11:22, 4 December 2024

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	<math>\int [6/(x^2-1)]dx = -3 \ln (\left\vert x+1 \right\vert)+3 \ln (\left\vert x-1 \right\vert)+C</math>		<math>\int [6/(x^2-1)]dx = -3 \ln (\left\vert x+1 \right\vert)+3 \ln (\left\vert x-1 \right\vert)+C</math>

	~~[[File:आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन.jpg\|thumb\|356x356px\|आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]~~
	Suppose we have to find y=∫P(x)Q(x)dx where P(x)Q(x) is an improper rational function. We reduce it in such a way that P(x)Q(x)=T(x)+P1(x)Q(x). Here, T(x) is polynomial in x and P1(x)Q(x) is proper rational function. The following table shows some rational functions and their corresponding form of partial fractions.

	~~For example, let's find the integral of f(x)=1(x+1)(x+2) using integration by partial fractions.By using partial fraction we have~~

	~~1(x+1)(x+2)=Ax+1+Bx+2⋯(1).~~

	~~We will determine the values of A and B.~~

	~~On comparing in equation (1), we get 1=A(x+2)+B(x+1).From this, we have a set of two linear equations.~~

	~~A+B=0 and 2A+B =1~~

	~~On solving these equations we get, A=1 and B=-1.~~

	~~So, equation (1) can be written as 1(x+1)(x+2)=1x+1−1x+2.~~

	~~Now, solving the integral~~

	~~∫(1(x+1)(x+2))dx=∫(1x+1−1x+2)dx=log\|x+1\|−log\|x+2\|+C=log∣∣∣x+1x+2∣∣∣+C~~


	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	== आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में प्रयुक्त रूप ==		== आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में प्रयुक्त रूप ==
			[[File:आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन.jpg\|thumb\|356x356px\|आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]
	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में, हम उचित परिमेय भिन्नों के विशिष्ट रूपों को अपघटित करने के लिए कुछ विशेष प्रकार की आंशिक भिन्नों का उपयोग कर सकते हैं। इन रूपों का उपयोग करके हम आसानी से उन भिन्नों को समाकलित कर सकते हैं जो निम्न तालिका में दिए गए समान रूपों में हैं।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में, हम उचित परिमेय भिन्नों के विशिष्ट रूपों को अपघटित करने के लिए कुछ विशेष प्रकार की आंशिक भिन्नों का उपयोग कर सकते हैं। इन रूपों का उपयोग करके हम आसानी से उन भिन्नों को समाकलित कर सकते हैं जो निम्न तालिका में दिए गए समान रूपों में हैं।




	== आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि ==		== आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि ==
	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि एक सरल प्रक्रिया है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि को एक उदाहरण से समझें। हमारे पास है:		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि एक सरल प्रक्रिया है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि को एक उदाहरण से समझें। हमारे पास है:

	∫[6/(x~~<sup>~~2~~</sup>~~-1)]dx		<math>\int [6/(x^2-1)]dx</math>

	~~Since we know~~: x<~~sup~~>2~~</sup>~~-1 = (x+1)(x-1)		चूँकि हम जानते हैं: <math>x^2-1 = (x+1)(x-1)</math>

	~~Hence we can write~~:		अतः हम लिख सकते हैं:

	∫[6/(x~~<sup>~~2~~</sup>~~-1)]dx = ∫[6/(x+1)(x-1)]dx		<math>\int [6/(x^2-1)]dx = \int [6/(x+1)(x-1)]dx</math>

	अब इस प्रकार के परिमेय रूप के लिए आंशिक भिन्न के रूप का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:		अब इस प्रकार के परिमेय रूप के लिए आंशिक भिन्न के रूप का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

	6/(x+1)(x-1) = A/(x-1) + B/(x+1)		<math>6/(x+1)(x-1) = A/(x-1) + B/(x+1)</math>

	~~Now~~, ~~we have to find the value of~~ A ~~and~~ B, ~~making a common denominator on both sides.~~		अब, हमें <math>A</math> और <math>B</math> का मान ज्ञात करना है, जिससे दोनों पक्षों पर एक समान हर बन जाए।

	6/(x+1)(x-1) = [A/(x-1)][(x+1)/(x+1)] + [B/(x+1)][(x-1)/(x-1)]		<math>6/(x+1)(x-1) = [A/(x-1)][(x+1)/(x+1)] + [B/(x+1)][(x-1)/(x-1)]</math>

	6/(x+1)(x-1)= [A(x+1) + B (x-1)]/(x-1)(x+1)		<math>6/(x+1)(x-1)= [A(x+1) + B (x-1)]/(x-1)(x+1)</math>

	~~Further we have the denominators on both the sides as equal~~, ~~and hence the numerators will also be equal.~~		इसके अलावा, दोनों पक्षों के हर बराबर हैं, इसलिए अंश भी बराबर होंगे।

	6 = [A(x+1) + B (x-1)]		<math>6 = [A(x+1) + B (x-1)]</math>

	~~On solving we get~~,		हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

	A = 3, ~~and~~ B = -3		<math>A = 3,</math> और <math>B = -3</math>

	~~Hence, we can write~~		अत: हम लिख सकते हैं

	6/(x+1)(x-1) = 3/(x-1) + (-3)/(x+1)		<math>6/(x+1)(x-1) = 3/(x-1) + (-3)/(x+1)</math>

	~~Now~~, ~~we can write~~:		अब, हम लिख सकते हैं:

	∫[6/(x~~<sup>~~2~~</sup>~~-1)]dx = ∫[3/(x-1) - 3/(x+1)]dx		<math>\int [6/(x^2-1)]dx = \int [3/(x-1) - 3/(x+1)]dx</math>

	~~On solving~~, ~~we will get~~:		हल करने पर, हमें प्राप्त होगा:

	∫[6/(x~~<sup>~~2~~</sup>~~-1)]dx = ~~−3ln~~(\|x+1\|)+~~3ln~~(~~\|x−1\|~~)+C		<math>\int [6/(x^2-1)]dx = -3 \ln (\left\vert x+1 \right\vert)+3 \ln (\left\vert x-1 \right\vert)+C</math>

	[[File:आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन.jpg\|thumb\|356x356px\|आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]		[[File:आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन.jpg\|thumb\|356x356px\|आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन]]

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2024-12-04T10:53:14Z

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← Older revision		Revision as of 16:23, 4 December 2024
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	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी परिमेय भिन्न समाकलन को अपघटित करने और फिर समाकलित करने के लिए किया जाता है जिसके हर में जटिल पद होते हैं। आंशिक भिन्न का उपयोग करके, हम व्यंजक की गणना करते हैं और उसे सरल पदों में अपघटित करते हैं ताकि हम इस प्रकार प्राप्त व्यंजक की आसानी से गणना या ~~एकीकरण~~ कर सकें।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी परिमेय भिन्न समाकलन को अपघटित करने और फिर समाकलित करने के लिए किया जाता है जिसके हर में जटिल पद होते हैं। आंशिक भिन्न का उपयोग करके, हम व्यंजक की गणना करते हैं और उसे सरल पदों में अपघटित करते हैं ताकि हम इस प्रकार प्राप्त व्यंजक की आसानी से गणना या समाकलन कर सकें।

	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में मूल विचार हर को गुणनखंडित करना और फिर उन्हें दो अलग-अलग भिन्नों में अपघटित करना है जहाँ हर क्रमशः गुणनखंड होते हैं और अंश की गणना उपयुक्त रूप से की जाती है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न रूपों और विभिन्न विधियों के बारे में अधिक जानें।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में मूल विचार हर को गुणनखंडित करना और फिर उन्हें दो अलग-अलग भिन्नों में अपघटित करना है जहाँ हर क्रमशः गुणनखंड होते हैं और अंश की गणना उपयुक्त रूप से की जाती है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न रूपों और विभिन्न विधियों के बारे में अधिक जानें।
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	<math>(x-1)/(x^2+x) = 2/(x+1) - 1/x</math>		<math>(x-1)/(x^2+x) = 2/(x+1) - 1/x</math>

	इस प्रकार आंशिक भिन्नों को सरल पदों में ~~अपघटितकर~~ दिया गया है। इसलिए अब परिणामी पदों को एकीकृत करना अपेक्षाकृत आसान कार्य होगा। आंशिक भिन्नों द्वारा ~~एकीकरण~~ इस प्रकार होगा:		इस प्रकार आंशिक भिन्नों को सरल पदों में अपघटित कर दिया गया है। इसलिए अब परिणामी पदों को एकीकृत करना अपेक्षाकृत आसान कार्य होगा। आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन इस प्रकार होगा:

	∫[f(x)/g(x)]dx = ∫[p(x)/q(x)]dx + ∫[r(x)/s(x)]dx		<math>\int [f(x)/g(x)]dx = \int [p(x)/q(x)]dx + \int [r(x)/s(x)]dx</math>

	~~where~~		जहाँ

	* f(x)/g(x) = p(x)/q(x) + r(x)/s(x) ~~and~~		* <math>f(x)/g(x) = p(x)/q(x) + r(x)/s(x)</math>और
	* g(x) = q(x).s(x)		* <math>g(x) = q(x).s(x)</math>

	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में प्रयुक्त रूप		== आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में प्रयुक्त रूप ==
			आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में, हम उचित परिमेय भिन्नों के विशिष्ट रूपों को अपघटित करने के लिए कुछ विशेष प्रकार की आंशिक भिन्नों का उपयोग कर सकते हैं। इन रूपों का उपयोग करके हम आसानी से उन भिन्नों को समाकलित कर सकते हैं जो निम्न तालिका में दिए गए समान रूपों में हैं।
	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में, हम उचित परिमेय भिन्नों के विशिष्ट रूपों को ~~अपघटितकरने~~ के लिए कुछ विशेष प्रकार की आंशिक भिन्नों का उपयोग कर सकते हैं। इन रूपों का उपयोग करके हम आसानी से उन भिन्नों को समाकलित कर सकते हैं जो निम्न तालिका में दिए गए समान रूपों में हैं।


	~~आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि~~

			== आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि ==
	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि एक सरल प्रक्रिया है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि को एक उदाहरण से समझें। हमारे पास है:		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि एक सरल प्रक्रिया है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन की विधि को एक उदाहरण से समझें। हमारे पास है:

Mani: formulas

2024-12-04T10:47:05Z

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← Older revision		Revision as of 16:17, 4 December 2024
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	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन, समाकलन की तीन विधियों में से एक है। इस विधि में, हम उचित परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों के योग में अपघटित करते हैं। परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों में अपघटित करना सदैव संभव होता है और यह आंशिक भिन्न अपघटन नामक प्रक्रिया द्वारा किया जाता है।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन, समाकलन की तीन विधियों में से एक है। इस विधि में, हम उचित परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों के योग में अपघटित करते हैं। परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों में अपघटित करना सदैव संभव होता है और यह आंशिक भिन्न अपघटन नामक प्रक्रिया द्वारा किया जाता है।

	आइए इसे एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं। मान लीजिए हमारे पास <math>5/6</math> है, तो हम इसे <math>5/6 = 1/2 + 1/3 </math> के रूप में अपघटित कर सकते हैं, इसी तरह, हम दो आंशिक भिन्नों को बीजगणितीय रूप से अपघटित करके ऐसा करते हैं। मान लीजिए हमारे पास है:		आइए इसे एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं। मान लीजिए हमारे पास <math>5/6</math> है, तो हम इसे<math>5/6 = 1/2 + 1/3 </math> के रूप में अपघटित कर सकते हैं, इसी तरह, हम दो आंशिक भिन्नों को बीजगणितीय रूप से अपघटित करके ऐसा करते हैं। मान लीजिए हमारे पास है:

	<math>2/(x+1) - 1/x </math>		<math>2/(x+1) - 1/x </math>

	~~on adding we will get~~		जोड़ने पर हमें प्राप्त होगा

	2/(x+1) - 1/x = (x-1)/(x~~<sup>~~2</~~sup~~>~~+x).~~		<math>2/(x+1) - 1/x = (x-1)/(x^2+x)</math>

	~~Now if we have~~		अब यदि हमारे पास है

	(x-1)/(x~~<sup>~~2</~~sup~~>~~+x)~~		<math>(x-1)/(x^2+x)</math>

	~~so we can decompose it into~~		इसलिए हम इसे अपघटित कर सकते हैं

	(x-1)/(x~~<sup>~~2~~</sup>~~+x) = 2/(x+1) - 1/x		<math>(x-1)/(x^2+x) = 2/(x+1) - 1/x</math>

	इस प्रकार आंशिक भिन्नों को सरल पदों में अपघटितकर दिया गया है। इसलिए अब परिणामी पदों को एकीकृत करना अपेक्षाकृत आसान कार्य होगा। आंशिक भिन्नों द्वारा एकीकरण इस प्रकार होगा:		इस प्रकार आंशिक भिन्नों को सरल पदों में अपघटितकर दिया गया है। इसलिए अब परिणामी पदों को एकीकृत करना अपेक्षाकृत आसान कार्य होगा। आंशिक भिन्नों द्वारा एकीकरण इस प्रकार होगा:

Mani at 08:44, 4 December 2024

2024-12-04T08:44:22Z

← Older revision		Revision as of 14:14, 4 December 2024
Line 1:		Line 1:
	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी परिमेय भिन्न समाकलन को ~~विघटित~~ करने और फिर समाकलित करने के लिए किया जाता है जिसके हर में जटिल पद होते हैं। आंशिक भिन्न का उपयोग करके, हम व्यंजक की गणना करते हैं और उसे सरल पदों में ~~विघटित~~ करते हैं ताकि हम इस प्रकार प्राप्त व्यंजक की आसानी से गणना या एकीकरण कर सकें।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी परिमेय भिन्न समाकलन को अपघटित करने और फिर समाकलित करने के लिए किया जाता है जिसके हर में जटिल पद होते हैं। आंशिक भिन्न का उपयोग करके, हम व्यंजक की गणना करते हैं और उसे सरल पदों में अपघटित करते हैं ताकि हम इस प्रकार प्राप्त व्यंजक की आसानी से गणना या एकीकरण कर सकें।

	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में मूल विचार हर को गुणनखंडित करना और फिर उन्हें दो अलग-अलग भिन्नों में ~~विघटित~~ करना है जहाँ हर क्रमशः गुणनखंड होते हैं और अंश की गणना उपयुक्त रूप से की जाती है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न रूपों और विभिन्न विधियों के बारे में अधिक जानें।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में मूल विचार हर को गुणनखंडित करना और फिर उन्हें दो अलग-अलग भिन्नों में अपघटित करना है जहाँ हर क्रमशः गुणनखंड होते हैं और अंश की गणना उपयुक्त रूप से की जाती है। आइए आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न रूपों और विभिन्न विधियों के बारे में अधिक जानें।

	आंशिक भिन्नों द्वारा ~~एकीकरण क्या~~ है?		== परिभाषा ==
			आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन, समाकलन की तीन विधियों में से एक है। इस विधि में, हम उचित परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों के योग में अपघटित करते हैं। परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों में अपघटित करना सदैव संभव होता है और यह आंशिक भिन्न अपघटन नामक प्रक्रिया द्वारा किया जाता है।

	आंशिक भिन्नों द्वारा एकीकरण एकीकरण की तीन विधियों में से एक है। इस विधि में, हम उचित परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों के योग में विघटित करते हैं। परिमेय भिन्न को सरल परिमेय भिन्नों में विघटित करना हमेशा संभव होता है और यह आंशिक भिन्न अपघटन नामक प्रक्रिया द्वारा किया जाता है। आइए इसे एक उदाहरण की ~~मदद~~ से समझते हैं। मान लीजिए हमारे पास 5/6 है, तो हम इसे 5/6 = 1/2 + 1/3 के रूप में ~~विघटित~~ कर सकते हैं, इसी तरह, हम दो आंशिक भिन्नों को बीजगणितीय रूप से ~~विघटित~~ करके ऐसा करते हैं। मान लीजिए हमारे पास है:		आइए इसे एक उदाहरण की सहायता से समझते हैं। मान लीजिए हमारे पास <math>5/6</math> है, तो हम इसे <math>5/6 = 1/2 + 1/3 </math> के रूप में अपघटित कर सकते हैं, इसी तरह, हम दो आंशिक भिन्नों को बीजगणितीय रूप से अपघटित करके ऐसा करते हैं। मान लीजिए हमारे पास है:

	2/(x+1) - 1/x		<math>2/(x+1) - 1/x </math>

	on adding we will get		on adding we will get
Line 21:		Line 22:
	(x-1)/(x<sup>2</sup>+x) = 2/(x+1) - 1/x		(x-1)/(x<sup>2</sup>+x) = 2/(x+1) - 1/x

	इस प्रकार आंशिक भिन्नों को सरल पदों में ~~विघटित कर~~ दिया गया है। इसलिए अब परिणामी पदों को एकीकृत करना अपेक्षाकृत आसान कार्य होगा। आंशिक भिन्नों द्वारा एकीकरण इस प्रकार होगा:		इस प्रकार आंशिक भिन्नों को सरल पदों में अपघटितकर दिया गया है। इसलिए अब परिणामी पदों को एकीकृत करना अपेक्षाकृत आसान कार्य होगा। आंशिक भिन्नों द्वारा एकीकरण इस प्रकार होगा:

	∫[f(x)/g(x)]dx = ∫[p(x)/q(x)]dx + ∫[r(x)/s(x)]dx		∫[f(x)/g(x)]dx = ∫[p(x)/q(x)]dx + ∫[r(x)/s(x)]dx
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	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में प्रयुक्त रूप		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में प्रयुक्त रूप

	आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में, हम उचित परिमेय भिन्नों के विशिष्ट रूपों को ~~विघटित करने~~ के लिए कुछ विशेष प्रकार की आंशिक भिन्नों का उपयोग कर सकते हैं। इन रूपों का उपयोग करके हम आसानी से उन भिन्नों को समाकलित कर सकते हैं जो निम्न तालिका में दिए गए समान रूपों में हैं।		आंशिक भिन्नों द्वारा समाकलन में, हम उचित परिमेय भिन्नों के विशिष्ट रूपों को अपघटितकरने के लिए कुछ विशेष प्रकार की आंशिक भिन्नों का उपयोग कर सकते हैं। इन रूपों का उपयोग करके हम आसानी से उन भिन्नों को समाकलित कर सकते हैं जो निम्न तालिका में दिए गए समान रूपों में हैं।