आधारभूत संकल्पनाएँ - Revision history

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2024-11-27T14:17:59Z

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← Older revision		Revision as of 19:47, 27 November 2024
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	<math>tan^{-1}(1.1106)=48^\circ</math>		<math>tan^{-1}(1.1106)=48^\circ</math>

	== ~~निष्कर्ष~~ ==		== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==
	प्रतिलोम ~~त्रिकोणमिति की अवधारणा~~ त्रिकोणमितीय फलनों के ~~प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए~~, ~~प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन प्रतिलोम कोटैंजेंट~~, ~~प्रतिलोम कोसेकेंट~~, ~~प्रतिलोम साइन~~, ~~प्रतिलोम स्पर्शज्या~~, ~~प्रतिलोम सेकेंट~~ और प्रतिलोम ~~कोसाइन हैं।~~		नीचे दिए गए कुछ सुझाव प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के विभिन्न सूत्रों को हल करने और लागू करने में सहायक होंगे।

			* <math>sin^{-1}(sin x) = x,
			</math> जब <math>-1 \leq x \leq 1</math> (अधिक जानकारी के लिए, यहाँ क्लिक करें)
			* <math>sin(sin^{-1}x) = x,
			</math> जब <math> \frac{-\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}</math>
			* <math>sin^{-1}x
			</math> , <math> (sin x)^{-1}
			</math>से अलग है। साथ ही, <math>(sin x)^{-1}= \frac{1}{sinx}</math>
			* <math>sin^{-1}x = \theta</math> और <math>\theta</math> कोण को संदर्भित करता है, जो इस प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का मुख्य मान है।

	जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग प्रायः भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।
	[[Category:गणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:अवकल समीकरण]]		[[Category:अवकल समीकरण]]

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2024-11-27T14:06:06Z

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← Older revision		Revision as of 19:36, 27 November 2024
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	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	'''प्रश्न''' ~~- सिद्ध कीजिये "~~ <math>sin^{-1}~~(-x)=-sin^{-1}x, x\in[-1,~~1]</math>"		'''प्रश्न 1''' <math>6 sin^{-1}1</math> का मान

	'''उत्तर'''- मान लीजिए,		'''उत्तर''': मान लीजिए <math>A=sin^{-1}1,</math> तो <math>sinA=1</math>

	<math>sin^{-1}~~(-x)~~ = y </math>		चूँकि <math>sin \frac{\pi}{2}=1,</math>

	तो		<math>6sin^{-1}1=6\times\frac{\pi}{2}</math>

	<math>x=~~-sin y~~</math>		<math>6sin^{-1}1=3\pi</math>

	~~<math>x =sin(-y)</math>~~

	<math>~~sin~~^{-1}~~x= arc sin~~(~~sin(-y)~~)</math>		'''प्रश्न 2''' <math>tan^{-1}(1.1106)</math> का मान ज्ञात करें।

	<math>~~sin~~^{-1}(x) ~~= y~~ </math>		'''उत्तर''': मान लें <math>A=tan^{-1}(1.1106)</math>

	<math>~~sin~~^{-1}(x) = ~~-sin~~^~~{-1}(-x)~~ </math>~~अत:~~		तो, <math>tanA = 1.1106</math>

			<math>A=48^\circ</math>

			<math>tan48 = 1.1106</math>

			[डिग्री मोड में कैलकुलेटर का उपयोग करें]

			<math>tan^{-1}(1.1106)=48^\circ</math>

	~~<math>sin^{-1}(-x) = -sin^{-1}(x),x\in [-1,1] </math>~~
	== निष्कर्ष ==		== निष्कर्ष ==
	प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।		प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

Mani: /* उदाहरण */

2024-11-27T13:52:01Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 19:22, 27 November 2024
Line 75:		Line 75:

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	'''~~समस्या~~''' 1- <math>sin^{-1 }(sin ~~(4)~~</math> ~~का मान क्या है?~~		'''प्रश्न''' - सिद्ध कीजिये " <math>sin^{-1}(-x)=-sin^{-1}x, x\in[-1,1]</math>"

	'''~~समाधान~~''' 1- ~~जैसा कि हम जानते हैं~~, ~~<math>sin^{-1} (sin x) = x</math>~~		'''उत्तर'''- मान लीजिए,

	~~इसलिए,~~<math>sin^{-1 }(~~sin (4~~)~~</math> का मान <math>x</math><math>tan^{-1}211 + tan^{-1}724= tan^{-1}12</math><math>~~= 4</math>		<math>sin^{-1}(-x) = y </math>

	~~समस्या 2- सिद्ध करें कि <math>tan^{-1}211 + tan^{-1}724= tan^{-1}12</math>~~		तो

	~~समाधान 2-~~ <math>~~tan^{-1}~~x ~~+ tan^{-1}y~~= ~~tan^{~~-~~1}x+~~y~~^1-xy~~</math>		<math>x=-sin y</math>

	<math>~~tan^{-1}211 + tan^{-1}724~~= ~~tan^{-1}211+7241~~-~~211\cdot724~~</math>		<math>x =sin(-y)</math>

	<math>~~= tan~~^{-1}~~48+7724\times1111\times24-1424\times11~~ = ~~tan^{~~-~~1}125250~~</math>		<math>sin^{-1}x= arc sin(sin(-y))</math>

	<math>~~= tan~~^{-1}12</math>		<math>sin^{-1}(x) = y </math>

	~~इसलिए, हम सत्यापित कर सकते हैं कि~~		<math>sin^{-1}(x) = -sin^{-1}(-x) </math>अत:

	~~'''समस्या''' 3 <math>sin^{-1}-12</math> का मुख्य मान क्या है?~~

	~~'''समाधान''' 3~~

	~~हम जानते हैं कि <math>-1</math> से <math>1</math> की सीमा में आने वाले के सभी मानों के लिए,~~ <math>sin^{-1}(-x) = -sin^{-1} x</math> ।

	~~इसलिए, <math>y = sin^{-1}-12</math><math>y = sin^{-1}-12</math>~~

	~~चूँकि, <math>sin 6 = 12</math>~~

	~~इसलिए, <math>sin^{-1}12 = 6</math>~~

	~~इसलिए, <math>y = sin^{-1}-sin 6 = 6</math>~~

	~~इसलिए, <math>sin^{-1}-12</math> का मुख्य मान <math>= 6</math>~~

			<math>sin^{-1}(-x) = -sin^{-1}(x),x\in [-1,1] </math>
	== निष्कर्ष ==		== निष्कर्ष ==
	प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।		प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

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2024-11-27T10:36:53Z

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@@ Line 42: / Line 42: @@
 * <math>tan^{-1} x - tan^{-1} y = tan^{-1}(x - y/1 + xy)</math>
 * <math>tan^{-1}x + tan^{-1} y +tan^{-1} z = tan^{-1} \frac{(x + y + z - xyz)}{(1 - xy - yz - zx)}</math>
 == उदाहरण ==

Mani: formulas

2024-11-27T10:28:52Z

formulas

← Older revision		Revision as of 15:58, 27 November 2024
Line 4:		Line 4:
	गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।		गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।

	प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।		[[प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म\|प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों]] की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

	जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।		जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।
Line 16:		Line 16:
	प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन होते हैं जिन्हें <math>cos^{-1} x, sin^{-1} x, tan^{-1} x, cot^{-1} x, cosec^{-1} x, sec^{-1} x</math> के रूप में लिखा जाता है।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन होते हैं जिन्हें <math>cos^{-1} x, sin^{-1} x, tan^{-1} x, cot^{-1} x, cosec^{-1} x, sec^{-1} x</math> के रूप में लिखा जाता है।

	प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\omega</math> के कई मान ऐसे हैं कि <math> z = sin \omega</math>, इसलिए <math>sin ^{-1 }z </math> तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रतिलोम साइन के मुख्य मान को <math>sin ^{-1 }z </math> या <math>arc(sin z)</math>) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।		प्रतिलोम [[त्रिकोणमितीय फलन]] बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\omega</math> के कई मान ऐसे हैं कि <math> z = sin \omega</math>, इसलिए <math>sin ^{-1 }z </math> तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रतिलोम साइन के मुख्य मान को <math>sin ^{-1 }z </math> या <math>arc(sin z)</math>) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।


Line 30:		Line 30:
	जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-		जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-

	<math>2cos^{-1} x = cos^{-1} (2\times2-1)</math>		* <math>2cos^{-1} x = cos^{-1} (2\times2-1)</math>
			* <math>2sin^{-1}x = sin^{-1} 2x \sqrt{(1- x^2)}</math>
	<math>2sin^{-1}x = sin^{-1} 2x \sqrt{(1- x^2)}</math>		* <math>3sin^{-1}x = sin^{-1}(3x-4\times3)</math>
			* <math>3cos^{-1} x = cos^{-1} (4\times3 - 3x)</math>
	<math>3sin^{-1}x = sin^{-1}(3x-4\times3)</math>		* <math>3tan^{-1}x = tan^{-1}((3x - x3/1 - 3\times2))</math>
			* <math>sin^{-1}x + sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} + y\sqrt{(1-x^2)}}</math>
	<math>3cos^{-1} x = cos^{-1} (4\times3 - 3x)</math>		* <math>sin^{-1}x - sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} - y\sqrt{(1-x^2)}}</math>
			* <math>cos^{-1}x + cos^{-1} y = cos^{-1} [xy - \sqrt{{(1-x^2)(1 - y^2)}}]</math>
	<math>3tan^{-1}x = tan^{-1}((3x - x3/1 - 3\times2))</math>		* <math>cos^{-1} x -cos^{-1} y = cos^{-1} [xy + \sqrt{{(1 -x^2)(1- y^2)}}]</math>
			* <math>tan^{-1} x + tan^{-1} y = tan^{-1}(x + y/1 - xy)</math>
	<math>sin^{-1}x + sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} + y\sqrt{(1-x^2)}}</math>		* <math>tan^{-1} x - tan^{-1} y = tan^{-1}(x - y/1 + xy)</math>
			* <math>tan^{-1}x + tan^{-1} y +tan^{-1} z = tan^{-1} \frac{(x + y + z - xyz)}{(1 - xy - yz - zx)}</math>
	<math>sin^{-1}x - sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} - y\sqrt{(1-x^2)}}</math>

	<math>cos^{-1}x + cos^{-1} y = cos^{-1} [xy - \sqrt{{(1-x^2)(1 - y^2)}}]</math>

	<math>cos^{-1} x -cos^{-1} y = cos^{-1} [xy + \sqrt{{(1 -x^2)(1- y^2)}}]</math>

	<math>tan^{-1} x + tan^{-1} y = tan^{-1}(x + y/1 - xy)</math>

	<math>tan^{-1} x - tan^{-1} y = tan^{-1}(x - y/1 + xy)</math>

	<math>tan^{-1}x + tan^{-1} y +tan^{-1} z = tan^{-1} \frac{(x + y + z - xyz)}{(1 - xy - yz - zx)}</math>

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==

Mani: formulas

2024-11-27T10:25:52Z

formulas

← Older revision		Revision as of 15:55, 27 November 2024
Line 30:		Line 30:
	जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-		जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-

	<math>2cos^{-1} x = cos^{-1} (~~2x^~~2-1)</math>		<math>2cos^{-1} x = cos^{-1} (2\times2-1)</math>

	<math>2sin^{-1}x = sin^{-1} 2x \sqrt{(1- x^2)}</math>		<math>2sin^{-1}x = sin^{-1} 2x \sqrt{(1- x^2)}</math>

	3sin-1x = sin-1(3x ~~– 4×3~~)		<math>3sin^{-1}x = sin^{-1}(3x-4\times3)</math>

	3cos-1 x = cos-1 (~~4×3 –~~ 3x)		<math>3cos^{-1} x = cos^{-1} (4\times3 - 3x)</math>

	3tan-1x = tan-1((3x – x3/1 ~~– 3×2~~))		<math>3tan^{-1}x = tan^{-1}((3x - x3/1 - 3\times2))</math>

	sin-1x + sin-1y = sin-1{ x√(1 ~~– y2~~) + y√(1 ~~– x2~~)}		<math>sin^{-1}x + sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} + y\sqrt{(1-x^2)}}</math>

	sin-~~1x –~~ sin-1y = sin-1{ x√(1 ~~– y2~~) ~~– y√~~(1 ~~– x2~~)}		<math>sin^{-1}x - sin^{-1}y = sin^{-1}{ x\sqrt{(1- y^2)} - y\sqrt{(1-x^2)}}</math>

	cos-1 x + cos-1 y = cos-1 [xy ~~– √~~{(1 ~~– x2~~)(1 ~~– y2~~)}]		<math>cos^{-1}x + cos^{-1} y = cos^{-1} [xy - \sqrt{{(1-x^2)(1 - y^2)}}]</math>

	cos-1 x – cos-1 y = cos-1 [xy + √{(1 ~~– x2~~)(1 ~~– y2~~)}		<math>cos^{-1} x -cos^{-1} y = cos^{-1} [xy + \sqrt{{(1 -x^2)(1- y^2)}}]</math>

	tan-1 x + tan-1 y = tan-1(x + y/1 – xy)		<math>tan^{-1} x + tan^{-1} y = tan^{-1}(x + y/1 - xy)</math>

	tan-1 x – tan-1 y = tan-1(x – y/1 + xy)		<math>tan^{-1} x - tan^{-1} y = tan^{-1}(x - y/1 + xy)</math>

	tan-1 x + tan-1 y +tan-1 z = tan-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)		<math>tan^{-1}x + tan^{-1} y +tan^{-1} z = tan^{-1} \frac{(x + y + z - xyz)}{(1 - xy - yz - zx)}</math>

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	समस्या 1- sin-1 (sin (4)) का मान क्या है?		'''समस्या''' 1- <math>sin^{-1 }(sin (4)</math> का मान क्या है?

	समाधान 1- जैसा कि हम जानते हैं, sin-1 (sin x) = x		'''समाधान''' 1- जैसा कि हम जानते हैं, <math>sin^{-1} (sin x) = x</math>

	इसलिए, sin-1 (sin (4)) का मान = 4		इसलिए,<math>sin^{-1 }(sin (4)</math> का मान <math>x</math><math>tan^{-1}211 + tan^{-1}724= tan^{-1}12</math><math>= 4</math>

	समस्या 2- सिद्ध करें कि tan-~~1211~~ + tan-~~1724~~= tan-~~112~~		समस्या 2- सिद्ध करें कि <math>tan^{-1}211 + tan^{-1}724= tan^{-1}12</math>

	समाधान 2- ~~Tan~~-1x + ~~Tan~~-1y = ~~Tan~~-1x+y1-xy		समाधान 2- <math>tan^{-1}x + tan^{-1}y= tan^{-1}x+y^1-xy</math>

	tan-~~1211~~ + tan-~~1724~~= tan-~~1211~~+7241-~~211724~~		<math>tan^{-1}211 + tan^{-1}724= tan^{-1}211+7241-211\cdot724</math>

	= tan-1 48+~~7724×1111×24~~-~~1424×11~~ = tan-1 125250		<math>= tan^{-1}48+7724\times1111\times24-1424\times11 = tan^{-1}125250</math>

	= tan-~~112~~		<math>= tan^{-1}12</math>

	इसलिए, हम सत्यापित कर सकते हैं कि ~~tan-1211 + tan-1724= tan-112~~		इसलिए, हम सत्यापित कर सकते हैं कि

	समस्या 3 – sin-1-12 का मुख्य मान क्या है?		'''समस्या''' 3 <math>sin^{-1}-12</math> का मुख्य मान क्या है?

	समाधान 3 –		'''समाधान''' 3

	हम जानते हैं कि -1 से 1 की सीमा में आने वाले x के सभी मानों के लिए, ~~Sin~~-1(-x) = – sin-1 x.		हम जानते हैं कि <math>-1</math> से <math>1</math> की सीमा में आने वाले के सभी मानों के लिए, <math>sin^{-1}(-x) = -sin^{-1} x</math> ।

	इसलिए, y = sin-1-12		इसलिए, <math>y = sin^{-1}-12</math><math>y = sin^{-1}-12</math>

	चूँकि, sin 6 = 12		चूँकि, <math>sin 6 = 12</math>

	इसलिए, sin-~~112~~ = 6		इसलिए, <math>sin^{-1}12 = 6</math>

	इसलिए, y = sin-1-sin 6 = 6		इसलिए, <math>y = sin^{-1}-sin 6 = 6</math>

	इसलिए, sin-1-12 का मुख्य मान = 6		इसलिए, <math>sin^{-1}-12</math> का मुख्य मान <math>= 6</math>

	== निष्कर्ष ==		== निष्कर्ष ==

Mani: formulas

2024-11-27T09:39:35Z

formulas

← Older revision		Revision as of 15:09, 27 November 2024
Line 11:		Line 11:

	प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।
			[[File:प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन.jpg\|thumb\|चित्र प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन]]

	== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र ==		== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र ==
	~~Image~~		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन होते हैं जिन्हें <math>cos^{-1} x, sin^{-1} x, tan^{-1} x, cot^{-1} x, cosec^{-1} x, sec^{-1} x</math> के रूप में लिखा जाता है।

	प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन ~~त्रिकोणमितीय फलनों~~ के ~~प्रतिलोम फलन होते~~ हैं ~~जिन्हें~~ <math>~~cos^{-1} x~~, sin^{-1} ~~x, tan^{~~-~~1} x~~, ~~cot^{-1} x~~, ~~cosec^{-1} x~~, ~~sec~~^{-1} x</math> के रूप में ~~लिखा जाता~~ है।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\omega</math> के कई मान ऐसे हैं कि <math> z = sin \omega</math>, इसलिए <math>sin ^{-1 }z </math> तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रतिलोम साइन के मुख्य मान को <math>sin ^{-1 }z </math> या <math>arc(sin z)</math>) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।

	प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\omega</math> के कई मान ऐसे हैं कि <math> z = sin \omega</math>, इसलिए <math>sin ^{-1 }z </math> तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रतिलोम साइन के मुख्य मान को <math>sin ^{-1 }z </math> या <math>arc(sin z)</math>) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।


Line 30:		Line 30:
	जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-		जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-

	2cos-1 x = cos-1 (~~2×2 –~~ 1)		<math>2cos^{-1} x = cos^{-1} (2x^2-1)</math>

	2sin-1x = sin-1 ~~2x√~~(1 ~~– x2~~)		<math>2sin^{-1}x = sin^{-1} 2x \sqrt{(1- x^2)}</math>

	3sin-1x = sin-1(3x – 4×3)		3sin-1x = sin-1(3x – 4×3)

Mani: added content

2024-11-27T07:48:09Z

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← Older revision		Revision as of 13:18, 27 November 2024
Line 90:		Line 90:

	== निष्कर्ष ==		== निष्कर्ष ==
	~~गणित~~ की ~~वह शाखा जो कोणों और भुजाओं~~ से संबंधित है, ~~उसे त्रिकोणमिति कहते~~ हैं।		प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

	प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रतिलोम कार्यों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।		जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग प्रायः भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।

	जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग ~~आम तौर पर~~ भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।
	[[Category:गणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:अवकल समीकरण]]		[[Category:अवकल समीकरण]]

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	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन आर्कस फलन या प्रति त्रिकोणमितीय फलन होते हैं। ये त्रिकोणमितीय फलनों के ~~व्युत्क्रम~~ फलन हैं, जिनके डोमेन उपयुक्त रूप से सीमित होते हैं। यहाँ, हम साइन, कोसाइन, ~~टेंगेंट~~, ~~कोटैंगेंट~~, सेकेंट और कोसेकेंट फलनों के लिए ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय सूत्रों का अध्ययन करेंगे, और इनका उपयोग किसी भी कोण के त्रिकोणमितीय अनुपात से कोण प्राप्त करने के लिए किया जाता है। आइए हम इनका विस्तार से अध्ययन करें।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, आर्कस फलन या प्रति त्रिकोणमितीय फलन होते हैं। ये त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन हैं, जिनके प्रांत(डोमेन) उपयुक्त रूप से सीमित होते हैं। यहाँ, हम साइन, कोसाइन, टैन्जन्ट , कोटैन्जन्ट , सेकेंट और कोसेकेंट फलनों के लिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों का अध्ययन करेंगे।

	== परिचय ==		== परिचय ==
	गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।		गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, त्रिकोणमिति कहलाती है।

	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के ~~व्युत्क्रम~~ फलनों से संबंधित है। इसलिए, ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन ~~व्युत्क्रम~~ कोटैंजेंट, ~~व्युत्क्रम~~ कोसेकेंट, ~~व्युत्क्रम~~ साइन, ~~व्युत्क्रम~~ स्पर्शज्या, ~~व्युत्क्रम~~ सेकेंट और ~~व्युत्क्रम~~ कोसाइन हैं।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

	जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।		जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं।

	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग ~~आम तौर पर~~ भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग साधारणतः भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है।

	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय विरोधी फलन या आर्कस फलन भी कहा जाता है।

	== ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय सूत्र ==		== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्र ==
	Image		Image

	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के ~~व्युत्क्रम~~ फलन होते हैं जिन्हें cos-1 x, sin-1 x, tan-1 x, cot-1 x, cosec-1 x, sec-1 x के रूप में लिखा जाता है।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन त्रिकोणमितीय फलनों के प्रतिलोम फलन होते हैं जिन्हें <math>cos^{-1} x, sin^{-1} x, tan^{-1} x, cot^{-1} x, cosec^{-1} x, sec^{-1} x</math> के रूप में लिखा जाता है।

	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, ω के कई मान ऐसे हैं कि z = ~~sinω~~, इसलिए sin-1 z तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, ~~व्युत्क्रम~~ साइन के मुख्य मान को sin-1 z या arc(~~sinz~~) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन बहु-मूल्यवान होते हैं। उदाहरण के लिए, <math>\omega</math> के कई मान ऐसे हैं कि <math> z = sin \omega</math>, इसलिए <math>sin ^{-1 }z </math> तब तक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता जब तक कि कोई मुख्य मान परिभाषित न हो। ऐसे मुख्य मानों को कभी-कभी बड़े अक्षर से दर्शाया जाता है, इसलिए, उदाहरण के लिए, प्रतिलोम साइन के मुख्य मान को <math>sin ^{-1 }z </math> या <math>arc(sin z)</math>) के रूप में विभिन्न रूप से दर्शाया जा सकता है।


	मान लीजिए, यदि y = sin x, तो x = sin-1 y, इसी तरह अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए भी। यह व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों में से एक है। अब, y = sin-1 (x), y ∈ [π/2 , π/2] और x ∈ [-1,1]।

	~~इस प्रकार~~, ~~दिए गए~~ x ~~∈ [~~-1, 1] के लिए sin-1 x ~~के अनंत मान हैं।~~		मान लीजिए, यदि <math>y = sin x,</math> तो <math>x = sin^{-1} y</math>, इसी तरह अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए भी। यह प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों में से एक है। अब,<math>y = sin^{-1} (x) </math> <math>, y \in[\frac{\pi}{2 },\frac{\pi}{2 }] </math> और <math>x \in [-1,1] </math>।

	~~इन मानों में से केवल एक मान है जो अंतराल~~ [π/~~2, π~~/~~2] में स्थित है। इस मान को मुख्य~~ मान ~~कहा जाता है।~~		इस प्रकार, दिए गए <math>x \in [-1,1] </math> के लिए <math> sin^{-1} x </math> के अनंत मान हैं।

	== ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ==		इन मानों में से केवल एक मान है जो अंतराल <math>[\frac{\pi}{2 },\frac{\pi}{2 }] </math> में स्थित है। इस मान को मुख्य मान कहा जाता है।
	जबकि ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय पहचान और ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-
			== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ ==
			जबकि प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के केवल छह गुण हैं, फिर भी कुछ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचान और प्रतिलोम त्रिकोणमिति सूत्र हैं जिन्हें अनदेखा कर दिया गया है। इसलिए, निम्नलिखित सूची में कुछ और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ हैं-

	2cos-1 x = cos-1 (2×2 – 1)		2cos-1 x = cos-1 (2×2 – 1)
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	गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।		गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।

	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के ~~व्युत्क्रम~~ कार्यों से संबंधित है। इसलिए, ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय कार्य ~~व्युत्क्रम~~ कोटैंजेंट, ~~व्युत्क्रम~~ कोसेकेंट, ~~व्युत्क्रम~~ साइन, ~~व्युत्क्रम~~ स्पर्शज्या, ~~व्युत्क्रम~~ सेकेंट और ~~व्युत्क्रम~~ कोसाइन हैं।		प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रतिलोम कार्यों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

	जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।		जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग आम तौर पर भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।
	[[Category:गणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]][[Category:कक्षा-12]]
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 tan-1 x + tan-1 y +tan-1 z = tan-1 (x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)
-== व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन श्रेणी और डोमेन तालिका ==
+== उदाहरण ==
 समस्या 1- sin-1 (sin (4)) का मान क्या है?