आव्यूहों पर संक्रियाएँ - Revision history

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2023-12-18T07:00:57Z

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	== आव्यूहों का जोड़ ==		== आव्यूहों का जोड़ ==
	आव्यूहों को जोड़ना मूलभूत संचालन में से एक है जो आव्यूहों पर किया जाता है। आव्यूहों के संगत अवयवों को जोड़कर एक ही ~~क्रम~~ के दो या दो से अधिक आव्यूहों को जोड़ा जा सकता है। यदि <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> एक ही ~~क्रम~~ के दो आव्यूह हैं तो आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> का योग <math>A +B = [a_{ij}] +[b_{ij}]=[a_{ij} +b_{ij}]</math> है:		आव्यूहों को जोड़ना मूलभूत संचालन में से एक है जो आव्यूहों पर किया जाता है। आव्यूहों के संगत अवयवों को जोड़कर एक ही कोटि के दो या दो से अधिक आव्यूहों को जोड़ा जा सकता है। यदि <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> एक ही कोटि के दो आव्यूह हैं तो आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> का योग <math>A +B = [a_{ij}] +[b_{ij}]=[a_{ij} +b_{ij}]</math> है:

	<math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ..... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ..... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}& ..... & a_{3n}\\ . & . & .....		<math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ..... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ..... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}& ..... & a_{3n}\\ . & . & .....
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	== आव्यूहों का घटाव ==		== आव्यूहों का घटाव ==
	समान ~~क्रम~~ के दो आव्यूहों को आव्यूहों के संगत अवयवों को घटाकर घटाया जा सकता है। यदि <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> एक ही ~~क्रम~~ के दो आव्यूह हैं तो <math>A</math> और <math>B</math> का आव्यूहों का घटाव <math>A -B = [a_{ij}] -[b_{ij}]=[a_{ij} -b_{ij}]</math> है:		समान कोटि के दो आव्यूहों को आव्यूहों के संगत अवयवों को घटाकर घटाया जा सकता है। यदि <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> एक ही कोटि के दो आव्यूह हैं तो <math>A</math> और <math>B</math> का आव्यूहों का घटाव <math>A -B = [a_{ij}] -[b_{ij}]=[a_{ij} -b_{ij}]</math> है:

	<math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ..... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ..... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}& ..... & a_{3n}\\ . & . & .....		<math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ..... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ..... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}& ..... & a_{3n}\\ . & . & .....
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	== आव्यूहों का गुणन ==		== आव्यूहों का गुणन ==

			दो आव्यूहों <math>A</math> और <math>B</math> का गुणन संभव है यदि <math>A</math> में स्तंभों की संख्या <math>B</math> में पंक्तियों की संख्या के समान है। कोटि <math>m \times n</math> के आव्यूह <math>A</math> को कोटि <math>n \times p</math> के आव्यूह <math>B</math> के साथ गुणा करने के लिए परिणामी आव्यूह, कोटि <math>m \times p</math> का आव्यूह <math>C</math> होता है।

			दो आव्यूहों के गुणन के लिए, आव्यूह की पंक्तियों के अवयवों को दूसरे आव्यूह के स्तंभों के अवयवों से गुणा किया जाता है, और इस गुणनफल के योग के परिणामस्वरूप परिणामी गुणनफल आव्यूह के अवयव प्राप्त होते हैं। इसे कोटि <math>3 \times 3</math> के आव्यूह <math>A</math> को कोटि <math>3 \times 2</math> के आव्यूह <math>B</math> के साथ गुणा करने के पश्चात प्राप्त कोटि <math>3 \times 2</math> के परिणामी आव्यूह <math>C</math> के द्वारा नीचे दिखाए गए विधि से अधिक स्पष्ट रूप से समझा जा सकता है।

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2023-12-18T06:34:14Z

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 == आव्यूहों का घटाव ==
-समान क्रम के दो आव्यूहों को आव्यूहों के संगत अवयवों को घटाकर घटाया जा सकता है। अगर <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> एक ही क्रम के दो आव्यूह हैं तो  <math>A</math> और <math>B</math> का आव्यूहों का घटाव <math>A -B = [a_{ij}] -[b_{ij}]=[a_{ij} -b_{ij}]</math> है:
+समान क्रम के दो आव्यूहों को आव्यूहों के संगत अवयवों को घटाकर घटाया जा सकता है। यदि <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> एक ही क्रम के दो आव्यूह हैं तो  <math>A</math> और <math>B</math> का आव्यूहों का घटाव <math>A -B = [a_{ij}] -[b_{ij}]=[a_{ij} -b_{ij}]</math> है:
 <math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ..... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ..... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}& ..... & a_{3n}\\ . & . & .....
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 == आव्यूहों का गुणन ==
 [[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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-'''उदाहरण:'''<math>A =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\8 & 10 & 12 \\14 &
+'''उदाहरण:'''
 & 18\end{bmatrix}</math> <math>B =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 7 & 9 & 11 \\ 13 &
 & 17 \end{bmatrix}</math>
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 == आव्यूहों का घटाव ==
 [[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	\\ . & . & .....		\\ . & . & .....
	& .		& .
	\\a_{m1} & a_{m2}& ..... & a_{mn}\end{bmatrix} _{m \times n}</math> <math>=</math> [<math>\begin{bmatrix} a_{11}+ b_{11}& a_{12}+b_{12}& ..... & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}& ..... & a_{2n}+b_{2n}\\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32}& ..... & a_{3n}+b_{3n}\\ . & . & .....		\\a_{m1} & a_{m2}& ..... & a_{mn}\end{bmatrix} _{m \times n}</math> <math>=</math>

			<math>\begin{bmatrix} a_{11}+ b_{11}& a_{12}+b_{12}& ..... & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}& ..... & a_{2n}+b_{2n}\\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32}& ..... & a_{3n}+b_{3n}\\ . & . & .....
	& .		& .
	\\ . & . & .....		\\ . & . & .....
	& .		& .
	\\a_{m1} +b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& ..... & a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix} _{m \times n}</math>'''उदाहरण:'''<math>A =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\8 & 10 & 12 \\14 &		\\a_{m1} +b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& ..... & a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix} _{m \times n}</math>


			'''उदाहरण:'''<math>A =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\8 & 10 & 12 \\14 &
	16 & 18\end{bmatrix}</math> <math>B =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 7 & 9 & 11 \\ 13 &		16 & 18\end{bmatrix}</math> <math>B =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 7 & 9 & 11 \\ 13 &
	15 & 17 \end{bmatrix}</math><math>A + B=\begin{bmatrix} 2 +1& 4+3 & 6+5\\8+7 & 10+9 & 12+11 \\14+13 &		15 & 17 \end{bmatrix}</math>

			<math>A + B=\begin{bmatrix} 2 +1& 4+3 & 6+5\\8+7 & 10+9 & 12+11 \\14+13 &
	16+15 & 18+17\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3& 7 & 11\\15& 19 & 23 \\27 &		16+15 & 18+17\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3& 7 & 11\\15& 19 & 23 \\27 &
	31& 35\end{bmatrix}</math>		31& 35\end{bmatrix}</math>

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2023-12-18T06:19:58Z

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← Older revision		Revision as of 11:49, 18 December 2023
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	आव्यूहों पर संक्रियाओं में आव्यूहों के जोड़, घटाव और गुणन के अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं। इसके ~~अलावा~~, हम ~~मैट्रिक्स~~ का स्थानान्तरण और व्युत्क्रम भी पा सकते हैं, जिसे ~~मैट्रिक्स~~ पर संक्रियाओं के रूप में भी ~~शामिल~~ किया जा सकता है। ~~मैट्रिक्स ऑपरेशन~~ दो या दो से अधिक ~~मैट्रिक्स~~ को एक ~~मैट्रिक्स~~ में संयोजित करने में मदद करते हैं।		आव्यूहों पर संक्रियाओं में आव्यूहों के जोड़, घटाव और गुणन के अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं। इसके अतिरिक्त, हम आव्यूहों का स्थानान्तरण और व्युत्क्रम भी पा सकते हैं, जिसे आव्यूहों पर संक्रियाओं के रूप में भी सम्मिलित किया जा सकता है। आव्यूहों पर संक्रियाएँ, दो या दो से अधिक आव्यूहों को एक आव्यूह में संयोजित करने में मदद करते हैं।

			== आव्यूहों का जोड़ ==
			आव्यूहों को जोड़ना मूलभूत संचालन में से एक है जो आव्यूहों पर किया जाता है। आव्यूहों के संगत अवयवों को जोड़कर एक ही क्रम के दो या दो से अधिक आव्यूहों को जोड़ा जा सकता है। यदि <math>A = [a_{ij}]</math> और <math>B = [b_{ij}]</math> एक ही क्रम के दो आव्यूह हैं तो आव्यूह <math>A</math> और <math>B</math> का योग <math>A +B = [a_{ij}] +[b_{ij}]=[a_{ij} +b_{ij}]</math> है:

			<math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ..... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ..... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}& ..... & a_{3n}\\ . & . & .....
			& .
			\\ . & . & .....
			& .
			\\a_{m1} & a_{m2}& ..... & a_{mn}\end{bmatrix} _{m \times n}</math> + <math>\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}& ..... & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}& ..... & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32}& ..... & a_{3n}\\ . & . & .....
			& .
			\\ . & . & .....
			& .
			\\a_{m1} & a_{m2}& ..... & a_{mn}\end{bmatrix} _{m \times n}</math> <math>=</math> [<math>\begin{bmatrix} a_{11}+ b_{11}& a_{12}+b_{12}& ..... & a_{1n}+b_{1n}\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}& ..... & a_{2n}+b_{2n}\\ a_{31}+b_{31} & a_{32}+b_{32}& ..... & a_{3n}+b_{3n}\\ . & . & .....
			& .
			\\ . & . & .....
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			\\a_{m1} +b_{m1}& a_{m2}+b_{m2}& ..... & a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix} _{m \times n}</math>'''उदाहरण:'''<math>A =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6\\8 & 10 & 12 \\14 &
			16 & 18\end{bmatrix}</math> <math>B =\begin{bmatrix} 1 & 3 & 5\\ 7 & 9 & 11 \\ 13 &
			15 & 17 \end{bmatrix}</math><math>A + B=\begin{bmatrix} 2 +1& 4+3 & 6+5\\8+7 & 10+9 & 12+11 \\14+13 &
			16+15 & 18+17\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3& 7 & 11\\15& 19 & 23 \\27 &
			31& 35\end{bmatrix}</math>

			== आव्यूहों का घटाव ==
	[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	~~Operations on Matrices~~		आव्यूहों पर संक्रियाओं में आव्यूहों के जोड़, घटाव और गुणन के अंकगणितीय संक्रियाएँ सम्मिलित हैं। इसके अलावा, हम मैट्रिक्स का स्थानान्तरण और व्युत्क्रम भी पा सकते हैं, जिसे मैट्रिक्स पर संक्रियाओं के रूप में भी शामिल किया जा सकता है। मैट्रिक्स ऑपरेशन दो या दो से अधिक मैट्रिक्स को एक मैट्रिक्स में संयोजित करने में मदद करते हैं।
	[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	Operations on Matrices		Operations on Matrices

	~~[[Category:रैखिक बीजगणित]]~~
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Sarika at 06:23, 4 August 2023

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	[[Category:रैखिक बीजगणित]]		[[Category:रैखिक बीजगणित]]
	[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]]		[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:19, 4 August 2023

2023-08-04T06:19:48Z

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	[[Category:रैखिक बीजगणित]]		[[Category:रैखिक बीजगणित]]
	[[Category:आव्यूह]]		[[Category:आव्यूह]][[Category:गणित]]

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	[[Category:रैखिक बीजगणित]]		[[Category:रैखिक बीजगणित]]
			[[Category:आव्यूह]]