आव्यूह के सहखंडज और व्युत्क्रम - Revision history

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	'''प्रक्रिया''' '''3:''' सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।		'''प्रक्रिया''' '''3:''' सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	आव्यूह <math>A</math> का एडजॉइंट adj <math>A</math> =सहखंड आव्यूह <math>C</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>का परिवर्त		आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज(एडजॉइंट) adj <math>A</math> =सहखंड आव्यूह <math>C</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>का परिवर्त

	== आव्यूह का व्युत्क्रम ==		== आव्यूह का व्युत्क्रम ==

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	* <math>adj(A)</math>= <math>A</math> का सहखंडज		* <math>adj(A)</math>= <math>A</math> का सहखंडज

	=== ~~<math>~~3 \ X \ 3~~</math>~~ आव्यूह का व्युत्क्रम ===		=== 3 X 3 आव्यूह का व्युत्क्रम ===
	<math>A =</math> <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math> का सारणिक		<math>A =</math> <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math> का सारणिक

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	* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।		* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	=== ~~<math>~~3 \ X ~~\ 3</math> आव्यूह~~ का सहखंडज ===		=== 3 X 3आव्यूह का सहखंडज ===
	<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>		<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>

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	== आव्यूह का व्युत्क्रम ==		== आव्यूह का व्युत्क्रम ==
	~~The inverse of a matrix~~ <math>A</math>, ~~which is represented as~~ <math>A^{-1}</math>, ~~is found using the adjoint of a matrix.~~		आव्यूह <math>A</math> का व्युत्क्रम, जिसे <math>A^{-1}</math> के रूप में दर्शाया जाता है, आव्यूह के सहखंडज का उपयोग करके पाया जाता है।

	A<sup>-1</sup> = (1/\|A\|) × adj(A). ~~Here~~, <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>		A<sup>-1</sup> = (1/\|A\|) × adj(A). यहाँ, <math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>

	~~Here~~		यहाँ

	* <math>\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}</math>= ~~the determinant of~~ <math>A</math>		* <math>\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}</math>= <math>A</math> का सारणिक

	* <math>adj(A)</math>= ~~adjoint of~~ <math>A</math>		* <math>adj(A)</math>= <math>A</math> का सहखंडज

	=== ~~Inverse of a~~ <math>3 \ X \ 3</math> ~~Matrix~~ ===		=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का व्युत्क्रम ===
	~~determinant of~~ <math>A =</math> <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math>		<math>A =</math> <math>{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}} = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{vmatrix}=2(-10-(-2))-(-1)(0-2)+3(0-5)=2(-8)-2-15=-33</math> का सारणिक

	~~Adjoint of Matrix~~ <math>A =</math> <math>adj(A)</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>		<math>A =</math> <math>adj(A)</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math> का सहखंडज

	~~Inverse of matrix~~ <math>A =</math><math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math>		आव्यूह <math>A =</math><math>A^{-1}=\left [\frac{1}{\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}}\right ] \times adj(A)</math> का व्युत्क्रम

	<math>A^{-1}=\left [\frac{1}{-33}\right ] \times \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{8}{33} & \frac{5}{33} & \frac{17}{33} \\ - \frac{2}{33} & \frac{7}{33} & \frac{4}{33} \\ \frac{5}{33} & - \frac{1}{33} &		<math>A^{-1}=\left [\frac{1}{-33}\right ] \times \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{8}{33} & \frac{5}{33} & \frac{17}{33} \\ - \frac{2}{33} & \frac{7}{33} & \frac{4}{33} \\ \frac{5}{33} & - \frac{1}{33} &

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	किसी आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए आव्यूह के सहखंडज की आवश्यकता होती है।		किसी आव्यूह के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए आव्यूह के सहखंडज की आवश्यकता होती है।

	== आव्यूह के सहखंडज ==		== आव्यूह का सहखंडज ==
	आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज, <math>A</math> के सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। वर्ग आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) द्वारा निरूपित किया जाता है। मान लीजिए <math>A=[a_{ij}]</math>, <math>n</math> कोटि का एक वर्ग आव्यूह है।		आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज, <math>A</math> के सहखंड आव्यूह का परिवर्त है। वर्ग आव्यूह <math>A</math> का सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) द्वारा निरूपित किया जाता है। मान लीजिए <math>A=[a_{ij}]</math>, <math>n</math> कोटि का एक वर्ग आव्यूह है।

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	'''प्रक्रिया''' '''2:''' ~~Find the cofactor matrix~~ <math>C</math> ~~of all the~~ उपसारणिक ~~elements of matrix~~ <math>M</math>		'''प्रक्रिया''' '''2:''' आव्यूह <math>M</math> के सभी उपसारणिक अवयवों का सहखंड आव्यूह <math>C</math> को ज्ञात करें ।

	~~To find the cofactors of~~ <math>3 \ X \ 3</math> ~~matrix~~, ~~the corresponding उपसारणिकs should be multiplied by the signs below according to their position.~~		<math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह के सहखंडों को ज्ञात करने के लिए, संबंधित उपसारणिक को उनकी स्थिति के अनुसार नीचे दिए गए चिह्नों से गुणा किया जाना चाहिए।

	<math>C= \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}</math>		<math>C= \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}</math>

	~~उपसारणिक of Matrix~~ <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>		आव्यूह <math>A</math> का उपसारणिक <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>

			आव्यूह <math>A</math> का सहखंड <math>C= \begin{bmatrix} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{bmatrix}</math>

	~~Cofactor of Matrix A is <math>C= \begin{bmatrix} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{bmatrix}</math>~~


	'''~~Step~~ 3:''' ~~Find the adj~~ <math>A</math> ~~by taking the transpose of the cofactor matrix~~ <math>C</math>		'''प्रक्रिया''' '''3:''' सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	~~Adjoint of Matrix~~ A is adj <math>A</math> = ~~Transpose of the Cofactor Matrix~~ <math>C</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>		आव्यूह <math>A</math> का एडजॉइंट adj <math>A</math> =सहखंड आव्यूह <math>C</math> <math>= \begin{bmatrix} -8 & -5 & -17 \\ 2 & -7 & -4 \\ -5 & 1 & 10 \end{bmatrix}</math>का परिवर्त

	== ~~Inverse of a Matrix~~ ==		== आव्यूह का व्युत्क्रम ==
	The inverse of a matrix <math>A</math>, which is represented as <math>A^{-1}</math>, is found using the adjoint of a matrix.		The inverse of a matrix <math>A</math>, which is represented as <math>A^{-1}</math>, is found using the adjoint of a matrix.

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2024-02-08T07:24:58Z

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	* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।		* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	=== <math>~~3X3~~</math> आव्यूह का सहखंडज ===		=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का सहखंडज ===
	<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>		<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>
	~~'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.~~

	'''~~Step~~ 1:''' ~~Find the minor matrix~~ <math>M</math> ~~of all the elements of matrix~~ <math>A</math>.		'''प्रक्रिया 1:''' आव्यूह <math>A</math> के सभी अवयवों का उपसारणिक आव्यूह <math>M</math> को ज्ञात करें ।

	'''''~~Row~~ 1:'''''		'''''पंक्ति 1:'''''

	~~Minor of~~ <math>2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(-10-(-2))=-10+2=-8</math>		<math>2 = \begin{vmatrix} 5 & 2 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(-10-(-2))=-10+2=-8</math> का उपसारणिक

	~~Minor of~~ <math>-1 = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(0-2)=-2</math>		<math>-1 = \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(0-2)=-2</math> का उपसारणिक

	~~Minor of~~ <math>3 = \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(0-5))=-5</math>		<math>3 = \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(0-5))=-5</math> का उपसारणिक

	'''''~~Row~~ 2:'''''		'''''पंक्ति 2:'''''

	~~Minor of~~ <math>0 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(2-(-3))=2+3=5</math>		<math>0 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ -1 & -2 \end{vmatrix}=(2-(-3))=2+3=5</math> का उपसारणिक

	~~Minor of~~ <math>5 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(-4-3)=-7</math>		<math>5 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=(-4-3)=-7</math> का उपसारणिक

	~~Minor of~~ <math>2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(-2-(-1))=-1</math>		<math>2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=(-2-(-1))=-1</math> का उपसारणिक

	'''''~~Row~~ 3:'''''		'''''पंक्ति 3:'''''

	~~Minor of~~ <math>1 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=(-2-15)=-17</math>		<math>1 = \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 5 & 2 \end{vmatrix}=(-2-15)=-17</math> का उपसारणिक

	~~Minor of~~ <math>-1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=(4-0)=4</math>		<math>-1 = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix}=(4-0)=4</math> का उपसारणिक

	~~Minor of~~ <math>-2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=(10-0)=10</math>		<math>-2 = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 5 \end{vmatrix}=(10-0)=10</math> का उपसारणिक

	~~Minor of Matrix~~ <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>		आव्यूह <math>A</math> का उपसारणिक <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>



	~~'''Step 2:''' Find the cofactor matrix <math>C</math> of all the minor elements of matrix <math>M</math>~~

	To find the cofactors of <math>3 \ X \ 3</math> matrix, the corresponding ~~minors~~ should be multiplied by the signs below according to their position.		'''प्रक्रिया''' '''2:''' Find the cofactor matrix <math>C</math> of all the उपसारणिक elements of matrix <math>M</math>

			To find the cofactors of <math>3 \ X \ 3</math> matrix, the corresponding उपसारणिकs should be multiplied by the signs below according to their position.

	<math>C= \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}</math>		<math>C= \begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}</math>

	~~Minor~~ of Matrix <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>		उपसारणिक of Matrix <math>A</math> is <math>M= \begin{bmatrix} -8 & -2 & -5 \\ 5 & -7 & -1 \\ -17 & 4 & 10 \end{bmatrix}</math>

	Cofactor of Matrix A is <math>C= \begin{bmatrix} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{bmatrix}</math>		Cofactor of Matrix A is <math>C= \begin{bmatrix} -8 & 2 & -5 \\ -5 & -7 & 1 \\ -17 & -4 & 10 \end{bmatrix}</math>

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	* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।		* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	=== <math>~~3 X 3~~</math> आव्यूह का सहखंडज ===		=== <math>3X3</math> आव्यूह का सहखंडज ===
	<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>		<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>
	'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.		'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.

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	* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।		* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का सहखंडज ===		=== <math>3 X 3</math> आव्यूह का सहखंडज ===
	<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>		<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>
	'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.		'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.

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	* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।		* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	=== <math>3 \ X \ 3</math>आव्यूह का सहखंडज ===		=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का सहखंडज ===
	<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>		<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>
	'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.		'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.

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	* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।		* सहखंड आव्यूह <math>C</math> का परिवर्त लेते हुए सहखंडज <math>A</math>(adj.<math>A</math>) को ज्ञात करें ।

	=== <math>3 \ X \ 3</math> आव्यूह का सहखंडज ===		=== <math>3 \ X \ 3</math>आव्यूह का सहखंडज ===
	<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>		<math>A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 0 & 5 & 2 \\ 1 & -1 & -2 \end{bmatrix}</math>
	'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.		'''Step 1:''' Find the minor matrix <math>M</math> of all the elements of matrix <math>A</math>.