उद्देशीय फलन - Revision history

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-Objective function
+उद्देशीय  फलन  का उपयोग मुख्य रूप से रैखिक प्रोग्रामिंग की अनुकूलन समस्याओं को दर्शाने और हल करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय  फलन  <math>Z = ax + by</math>  के रूप का होता है, जहाँ <math>x, y</math> निर्णय चर हैं। इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए फलन  <math>Z = ax + by</math> को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना चाहिए। यहाँ उद्देशीय  फलन  बाधाओं <math>x > 0, y > 0</math> द्वारा नियंत्रित होता है। अनुकूलन समस्याएँ जिनमें लाभ को अधिकतम करने, लागत को न्यूनतम करने या संसाधनों के उपयोग को न्यूनतम करने की आवश्यकता होती है, उद्देशीय  फलन  का उपयोग करती हैं।
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Objective function
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	उद्देशीय फलन का उपयोग मुख्य रूप से रैखिक ~~प्रोग्रामिंग~~ की अनुकूलन समस्याओं को दर्शाने और हल करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> के रूप का होता है, जहाँ <math>x, y</math> निर्णय चर हैं। इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए फलन <math>Z = ax + by</math> को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना चाहिए। यहाँ उद्देशीय फलन बाधाओं <math>x > 0, y > 0</math> द्वारा नियंत्रित होता है। अनुकूलन समस्याएँ जिनमें लाभ को अधिकतम करने, लागत को न्यूनतम करने या संसाधनों के उपयोग को न्यूनतम करने की आवश्यकता होती है, उद्देशीय फलन का उपयोग करती हैं।		उद्देशीय फलन का उपयोग मुख्य रूप से रैखिक प्रोग्रामन की अनुकूलन समस्याओं को दर्शाने और हल करने के लिए किया जाता है। उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> के रूप का होता है, जहाँ <math>x, y</math> निर्णय चर हैं। इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए फलन <math>Z = ax + by</math> को अधिकतम या न्यूनतम किया जाना चाहिए। यहाँ उद्देशीय फलन बाधाओं <math>x > 0, y > 0</math> द्वारा नियंत्रित होता है। अनुकूलन समस्याएँ जिनमें लाभ को अधिकतम करने, लागत को न्यूनतम करने या संसाधनों के उपयोग को न्यूनतम करने की आवश्यकता होती है, उद्देशीय फलन का उपयोग करती हैं।

	उद्देशीय फलन का उपयोग उद्योग, वाणिज्य, प्रबंधन, अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से उद्देशीय फलन को हल करने, इसके प्रमेयों, अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।		उद्देशीय फलन का उपयोग उद्योग, वाणिज्य, प्रबंधन, अनुप्रयुक्त विज्ञान में कई वास्तविक जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। आइए उदाहरणों, अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्नों की मदद से उद्देशीय फलन को हल करने, इसके प्रमेयों, अनुप्रयोगों के बारे में अधिक जानें।
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	'''उद्देशीय फलन''' : <math>Z = ax + by</math>		'''उद्देशीय फलन''' : <math>Z = ax + by</math>

	एक रैखिक ~~प्रोग्रामिंग~~ समस्या का उद्देशीय फलन इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए आवश्यक है: लाभ को अधिकतम करना, लागत को कम करना, या संसाधनों के उपयोग को कम करना, संसाधनों का सही उपयोग करना। [[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण\|रैखिक प्रोग्रामन]] में उद्देशीय फलन का वाणिज्य, उद्योग और अनुप्रयुक्त विज्ञान की समस्याओं का प्रतिनिधित्व करने में व्यापक अनुप्रयोग है।		एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या का उद्देशीय फलन इष्टतम समाधान ज्ञात करने के लिए आवश्यक है: लाभ को अधिकतम करना, लागत को कम करना, या संसाधनों के उपयोग को कम करना, संसाधनों का सही उपयोग करना। [[रैखिक प्रोग्रामन समस्या और उसका गणितीय सूत्रीकरण\|रैखिक प्रोग्रामन]] में उद्देशीय फलन का वाणिज्य, उद्योग और अनुप्रयुक्त विज्ञान की समस्याओं का प्रतिनिधित्व करने में व्यापक अनुप्रयोग है।

	== उद्देशीय फलन के प्रमेय ==		== उद्देशीय फलन के प्रमेय ==
	रैखिक ~~प्रोग्रामिंग~~ समस्या के उद्देशीय फलन के दो महत्वपूर्ण प्रमेय इस प्रकार हैं।		रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय फलन के दो महत्वपूर्ण प्रमेय इस प्रकार हैं।

	'''प्रमेय 1''': मान लें कि रैखिक ~~प्रोग्रामिंग~~ समस्या के लिए R व्यवहार्य क्षेत्र (उत्तल बहुभुज) है और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। जब Z का एक इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) होता है, जहाँ चर <math>x</math> और <math>y</math> रैखिक असमानताओं द्वारा वर्णित बाधाओं के अधीन होते हैं, तो यह इष्टतम मान व्यवहार्य क्षेत्र के एक कोने बिंदु* (शीर्ष) पर होना चाहिए।		'''प्रमेय 1''': मान लें कि रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए R व्यवहार्य क्षेत्र (उत्तल बहुभुज) है और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। जब Z का एक इष्टतम मान (अधिकतम या न्यूनतम) होता है, जहाँ चर <math>x</math> और <math>y</math> [[रैखिक प्रोग्रामन समस्याओं के भिन्न प्रकार\|रैखिक]] असमानताओं द्वारा वर्णित बाधाओं के अधीन होते हैं, तो यह इष्टतम मान व्यवहार्य क्षेत्र के एक कोने बिंदु* (शीर्ष) पर होना चाहिए।

	'''प्रमेय 2''': मान लें कि <math>R</math> रैखिक ~~प्रोग्रामिंग~~ समस्या के लिए व्यवहार्य क्षेत्र है, और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। यदि <math>R</math> परिबद्ध है**, तो उद्देशीय फलन <math>Z</math> का <math>R</math> पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान होता है और इनमें से प्रत्येक के एक कोने बिंदु (शीर्ष) पर होता है।		'''प्रमेय 2''': मान लें कि <math>R</math> रैखिक प्रोग्रामन समस्या के लिए व्यवहार्य क्षेत्र है, और <math>Z = ax + by</math> उद्देशीय फलन है। यदि <math>R</math> परिबद्ध है**, तो उद्देशीय फलन <math>Z</math> का <math>R</math> पर अधिकतम और न्यूनतम दोनों मान होता है और इनमें से प्रत्येक के एक कोने बिंदु (शीर्ष) पर होता है।

	== उद्देशीय फलन का हल ==		== उद्देशीय फलन का हल ==
	रैखिक ~~प्रोग्रामिंग~~ समस्या के उद्देशीय फलन का व्यवहार्य क्षेत्र उद्देशीय फलन का ग्राफ़ बनाकर, कोने के बिंदुओं को ढूँढ़कर और फिर अधिकतम और न्यूनतम मान ढूँढ़कर प्राप्त किया जाता है। आइए इसे नीचे दिए गए चरणों में समझने का प्रयास करें।		रैखिक प्रोग्रामन समस्या के उद्देशीय फलन का व्यवहार्य क्षेत्र उद्देशीय फलन का ग्राफ़ बनाकर, कोने के बिंदुओं को ढूँढ़कर और फिर अधिकतम और न्यूनतम मान ढूँढ़कर प्राप्त किया जाता है। आइए इसे नीचे दिए गए चरणों में समझने का प्रयास करें।

	* उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> को एक रेखा के रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जाता है, और प्रतिबंध <math>x < k,</math> और <math>y < m</math> को भी ग्राफ़ में रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।		* उद्देशीय फलन <math>Z = ax + by</math> को एक रेखा के रैखिक समीकरण के रूप में दर्शाया जाता है, और प्रतिबंध <math>x < k,</math> और <math>y < m</math> को भी ग्राफ़ में रेखाओं के रूप में दर्शाया जाता है।
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	* '''विनिर्माण समस्या''': एक विनिर्माण फर्म द्वारा उत्पादित किए जाने वाले विभिन्न उत्पादों की इकाइयों की संख्या मशीन के समय, मैन-घंटे की संख्या, प्रति इकाई आइटम गोदाम स्थान पर निर्भर करती है। जब हम लागत को कम करने और आवश्यक संसाधनों को आवंटित करने की समस्या को हल कर रहे हों, तो इन सभी पर विचार किया जाना चाहिए।		* '''विनिर्माण समस्या''': एक विनिर्माण फर्म द्वारा उत्पादित किए जाने वाले विभिन्न उत्पादों की इकाइयों की संख्या मशीन के समय, मैन-घंटे की संख्या, प्रति इकाई आइटम गोदाम स्थान पर निर्भर करती है। जब हम लागत को कम करने और आवश्यक संसाधनों को आवंटित करने की समस्या को हल कर रहे हों, तो इन सभी पर विचार किया जाना चाहिए।
	* '''आहार समस्याएँ''': आहार के विभिन्न घटकों को भोजन में किस अनुपात में उपस्थित किया जाना चाहिए ताकि प्राप्त पोषक तत्वों को अनुकूलित किया जा सके और आहार की लागत को भी कम किया जा सके, यह एक रैखिक ~~प्रोग्रामिंग~~ समस्या है जिसे उद्देशीय फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।		* '''आहार समस्याएँ''': आहार के विभिन्न घटकों को भोजन में किस अनुपात में उपस्थित किया जाना चाहिए ताकि प्राप्त पोषक तत्वों को अनुकूलित किया जा सके और आहार की लागत को भी कम किया जा सके, यह एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या है जिसे उद्देशीय फलन का उपयोग करके हल किया जा सकता है।
	* '''परिवहन समस्या:''' दूरी को कम करने, ड्रॉपिंग पॉइंट की संख्या बढ़ाने, ईंधन की लागत को कम करने के लिए जिन विभिन्न मार्गों का अनुसरण करना पड़ता है, वह एक अनुकूलन समस्या है, जिसे उद्देशीय फलन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और सर्वोत्तम समाधान के लिए हल किया जा सकता है।		* '''परिवहन समस्या:''' दूरी को कम करने, ड्रॉपिंग पॉइंट की संख्या बढ़ाने, ईंधन की लागत को कम करने के लिए जिन विभिन्न मार्गों का अनुसरण करना पड़ता है, वह एक अनुकूलन समस्या है, जिसे उद्देशीय फलन के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और सर्वोत्तम समाधान के लिए हल किया जा सकता है।

	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]
	[[Category:रैखिक प्रोग्रामन]]		[[Category:रैखिक प्रोग्रामन]]