ऊँचाइयाँ और दूरियाँ - Revision history

Ramamurthy at 01:51, 19 June 2024

2024-06-19T01:51:31Z

← Older revision		Revision as of 07:21, 19 June 2024
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	* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना		* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना
	== दृष्टि-रेखा ==		== दृष्टि-रेखा ==
	पर्यवेक्षक की आंखों से वस्तु पर देखे जा रहे बिंदु तक खींची गई रेखा को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है।		पर्यवेक्षक की आंखों से वस्तु पर देखे जा रहे बिंदु तक खींची गई रेखा को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। [[File:Heights and Distances - Hindi.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]

	== उन्नयन कोण ==		== उन्नयन कोण ==
	पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु (क्षैतिज स्तर से ऊपर) पर बिंदु का उन्नयन कोण वह कोण है जो क्षैतिज स्तर के साथ दृष्टि-रेखा द्वारा बनता है।~~[[File:Heights and Distances - Hindi.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]~~		पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु (क्षैतिज स्तर से ऊपर) पर बिंदु का उन्नयन कोण वह कोण है जो क्षैतिज स्तर के साथ दृष्टि-रेखा द्वारा बनता है।

	== अवनमन कोण ==		== अवनमन कोण ==
	पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु पर स्थित बिंदु (क्षैतिज स्तर से नीचे) का अवनमन कोण, दृष्टि-रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बनने वाला कोण होता है।		पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु पर स्थित बिंदु (क्षैतिज स्तर से नीचे) का अवनमन कोण, दृष्टि-रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बनने वाला कोण होता है।

Ramamurthy at 01:50, 19 June 2024

2024-06-19T01:50:53Z

← Older revision		Revision as of 07:20, 19 June 2024
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	* समुद्र से तट की दूरी निर्धारित करना		* समुद्र से तट की दूरी निर्धारित करना
	* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना		* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना
	~~[[File:Heights and Distances - Hindi.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]~~

	== दृष्टि-रेखा ==		== दृष्टि-रेखा ==
	पर्यवेक्षक की आंखों से वस्तु पर देखे जा रहे बिंदु तक खींची गई रेखा को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है।		पर्यवेक्षक की आंखों से वस्तु पर देखे जा रहे बिंदु तक खींची गई रेखा को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है।

	== उन्नयन कोण ==		== उन्नयन कोण ==
	पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु (क्षैतिज स्तर से ऊपर) पर बिंदु का उन्नयन कोण वह कोण है जो क्षैतिज स्तर के साथ दृष्टि-रेखा द्वारा बनता है।		पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु (क्षैतिज स्तर से ऊपर) पर बिंदु का उन्नयन कोण वह कोण है जो क्षैतिज स्तर के साथ दृष्टि-रेखा द्वारा बनता है।[[File:Heights and Distances - Hindi.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]

	== अवनमन कोण ==		== अवनमन कोण ==

Ramamurthy at 01:49, 19 June 2024

2024-06-19T01:49:47Z

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Line 4:		Line 4:
	* समुद्र से तट की दूरी निर्धारित करना		* समुद्र से तट की दूरी निर्धारित करना
	* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना		* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना
			[[File:Heights and Distances - Hindi.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]
	[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]

	== दृष्टि-रेखा ==		== दृष्टि-रेखा ==

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2024-06-15T04:53:24Z

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← Older revision		Revision as of 10:23, 15 June 2024
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	उदाहरण के लिए, चित्र-1 में, एक व्यक्ति वस्तु के शीर्ष की ओर देख रहा है। <math>AB</math> क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AC</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle CAB</math> को उन्नयन कोण कहा जाता है। इसी प्रकार, चित्र-1 में, एक व्यक्ति नीचे किसी वस्तु को देख रहा है। <math>AB</math> क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AD</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle BAD</math> को अवनमन कोण कहते हैं।		उदाहरण के लिए, चित्र-1 में, एक व्यक्ति वस्तु के शीर्ष की ओर देख रहा है। <math>AB</math> क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AC</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle CAB</math> को उन्नयन कोण कहा जाता है। इसी प्रकार, चित्र-1 में, एक व्यक्ति नीचे किसी वस्तु को देख रहा है। <math>AB</math> क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AD</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle BAD</math> को अवनमन कोण कहते हैं।
	[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg\|alt=Fig. 2 - Problem\|thumb\|500x500px\|~~Fig.~~ 2 ~~- Problem~~]]		[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg\|alt=Fig. 2 - Problem\|thumb\|500x500px\|चित्र -2 समस्या/ परिप्रश्न ]]
	'''उदाहरण:''' एक मीनार जमीन पर लंबवत खड़ी है। जमीन पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से <math>15 </math> मीटर दूर है, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण <math>60^\circ</math> है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।		'''उदाहरण:''' एक मीनार जमीन पर लंबवत खड़ी है। जमीन पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से <math>15 </math> मीटर दूर है, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण <math>60^\circ</math> है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

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2024-06-15T04:51:34Z

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← Older revision		Revision as of 10:21, 15 June 2024
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	त्रिकोणमितीय अनुपात की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लॅंबाई या दो दूर की वस्तुओं के बीच की दूरी निर्धारित की जा सकती है।		त्रिकोणमितीय अनुपात की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लॅंबाई या दो दूर की वस्तुओं के बीच की दूरी निर्धारित की जा सकती है।

	~~For example~~, ~~in fig.~~1, ~~a person is looking at the top of the object.~~ <math>AB</math> ~~is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes.~~ <math>AC</math> ~~is known as the line of sight.~~ <math>\angle CAB</math> ~~is called the angle of elevation. Similarly~~, ~~in fig.~~ 1, ~~person is looking down at a object.~~ <math>AB</math> ~~is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes.~~ <math>AD</math> ~~is known as the line of sight.~~ <math>\angle BAD</math> ~~is called the angle of depression.~~		उदाहरण के लिए, चित्र-1 में, एक व्यक्ति वस्तु के शीर्ष की ओर देख रहा है। <math>AB</math> क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AC</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle CAB</math> को उन्नयन कोण कहा जाता है। इसी प्रकार, चित्र-1 में, एक व्यक्ति नीचे किसी वस्तु को देख रहा है। <math>AB</math> क्षैतिज स्तर है। यह स्तर पर्यवेक्षक की आंखों से गुजरने वाली जमीन के समानांतर रेखा है। <math>AD</math> को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है। <math>\angle BAD</math> को अवनमन कोण कहते हैं।
	[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg\|alt=Fig. 2 - Problem\|thumb\|500x500px\|Fig. 2 - Problem]]		[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg\|alt=Fig. 2 - Problem\|thumb\|500x500px\|Fig. 2 - Problem]]
	'''उदाहरण:''' ~~A tower stands vertically on the ground. From a point on the ground~~, ~~which is~~ <math>15 </math>~~m away from the foot of the tower~~, ~~the angle of elevation of the top of the tower is found to be~~ <math>60^\circ</math>~~. Find the height of the tower.~~		'''उदाहरण:''' एक मीनार जमीन पर लंबवत खड़ी है। जमीन पर एक बिंदु से, जो मीनार के पाद से <math>15 </math> मीटर दूर है, मीनार के शीर्ष का उन्नयन कोण <math>60^\circ</math> है। मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

	'''हल:''' ~~To solve the problem~~, ~~we choose the trigonometric ratio~~ <math>tan \ 60^\circ</math> ~~(or~~ <math>cot \ 60^\circ</math>), ~~as the ratio involves~~ <math>AB</math> ~~and~~ <math>BC</math> .		'''हल:''' समस्या को हल करने के लिए, हम त्रिकोणमितीय अनुपात <math>tan \ 60^\circ</math> या <math>cot \ 60^\circ</math> चुनते हैं, क्योंकि अनुपात में <math>AB</math> और <math>BC</math> उपस्थित हैं।

	<math>tan \ 60^\circ =\frac{BC}{AB}</math>		<math>tan \ 60^\circ =\frac{BC}{AB}</math>
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	<math>BC=15\sqrt{3}</math>		<math>BC=15\sqrt{3}</math>

	~~Hence, the height of the tower is~~ <math>15\sqrt{3}</math> m.		अतः टावर की ऊँचाई <math>15\sqrt{3}</math> मीटर है।

	[[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

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2024-06-15T04:24:41Z

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← Older revision		Revision as of 09:54, 15 June 2024
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	[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]		[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]

	== ~~Line of Sight~~ ==		== दृष्टि-रेखा ==
	~~The line which is drawn from the eyes of the observer to the point being viewed on the object is known as the line of sight.~~		पर्यवेक्षक की आंखों से वस्तु पर देखे जा रहे बिंदु तक खींची गई रेखा को दृष्टि-रेखा के रूप में जाना जाता है।

	== ~~Angle of Elevation~~ ==		== उन्नयन कोण ==
	~~The angle of elevation of the point on the object~~ (~~above horizontal level~~) ~~viewed by the observer is the angle which is formed by the line of sight with the horizontal level.~~		पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु (क्षैतिज स्तर से ऊपर) पर बिंदु का उन्नयन कोण वह कोण है जो क्षैतिज स्तर के साथ दृष्टि-रेखा द्वारा बनता है।

	== ~~Angle of Depression~~ ==		== अवनमन कोण ==
	~~The angle of depression of the point on the object~~ (~~below horizontal level~~) ~~viewed by the observer is the angle which is formed by the line of sight with the horizontal level.~~		पर्यवेक्षक द्वारा देखी गई वस्तु पर स्थित बिंदु (क्षैतिज स्तर से नीचे) का अवनमन कोण, दृष्टि-रेखा और क्षैतिज स्तर के बीच बनने वाला कोण होता है।

	== ~~How to find heights and distances~~ ==		== ऊँचाई और दूरियाँ कैसे ज्ञात करें ==
	~~The height or length of an object or the distance between two distant objects can be determined with the help of trigonometric ratios.~~		त्रिकोणमितीय अनुपात की सहायता से किसी वस्तु की ऊँचाई या लॅंबाई या दो दूर की वस्तुओं के बीच की दूरी निर्धारित की जा सकती है।

	For example, in fig.1, a person is looking at the top of the object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AC</math> is known as the line of sight. <math>\angle CAB</math> is called the angle of elevation. Similarly, in fig. 1, person is looking down at a object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AD</math> is known as the line of sight. <math>\angle BAD</math> is called the angle of depression.		For example, in fig.1, a person is looking at the top of the object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AC</math> is known as the line of sight. <math>\angle CAB</math> is called the angle of elevation. Similarly, in fig. 1, person is looking down at a object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AD</math> is known as the line of sight. <math>\angle BAD</math> is called the angle of depression.
	[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg\|alt=Fig. 2 - Problem\|thumb\|500x500px\|Fig. 2 - Problem]]		[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg\|alt=Fig. 2 - Problem\|thumb\|500x500px\|Fig. 2 - Problem]]
	'''~~Example~~''': A tower stands vertically on the ground. From a point on the ground, which is <math>15 </math>m away from the foot of the tower, the angle of elevation of the top of the tower is found to be <math>60^\circ</math>. Find the height of the tower.		'''उदाहरण:''' A tower stands vertically on the ground. From a point on the ground, which is <math>15 </math>m away from the foot of the tower, the angle of elevation of the top of the tower is found to be <math>60^\circ</math>. Find the height of the tower.

	'''~~Solution~~:''' To solve the problem, we choose the trigonometric ratio <math>tan \ 60^\circ</math> (or <math>cot \ 60^\circ</math>), as the ratio involves <math>AB</math> and <math>BC</math> .		'''हल:''' To solve the problem, we choose the trigonometric ratio <math>tan \ 60^\circ</math> (or <math>cot \ 60^\circ</math>), as the ratio involves <math>AB</math> and <math>BC</math> .

	<math>tan \ 60^\circ =\frac{BC}{AB}</math>		<math>tan \ 60^\circ =\frac{BC}{AB}</math>

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2024-06-14T09:18:42Z

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← Older revision		Revision as of 14:48, 14 June 2024
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	ऊँचाई और दूरियाँ का विषय त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में से एक है, जिसका वास्तविक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरियाँ शब्दों का प्रायः उपयोग किया जाता है, जबकि इसके अनुप्रयोगों से आचरण किया जाता है। त्रिकोणमिति के ऊँचाई और दूरी के अनुप्रयोग में, निम्नलिखित अवधारणाएँ उपस्थित हैं:		ऊँचाई और दूरियाँ का विषय त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में से एक है, जिसका वास्तविक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरियाँ शब्दों का प्रायः उपयोग किया जाता है, जबकि इसके अनुप्रयोगों से आचरण किया जाता है। त्रिकोणमिति के ऊँचाई और दूरी के अनुप्रयोग में, निम्नलिखित अवधारणाएँ उपस्थित हैं:

	* ~~Measuring the heights of towers~~		* मीनारों(टावरों) की ऊँचाई मापना
	* ~~Determining the distance of the shore from the sea~~		* समुद्र से तट की दूरी निर्धारित करना
	* ~~Finding the distance between two celestial bodies~~		* दो खगोलीय पिंडों के बीच की दूरी ज्ञात करना

	[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]		[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]

Mani: added content

2024-06-14T09:15:56Z

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← Older revision		Revision as of 14:45, 14 June 2024
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	~~The topic heights and distance is one of the applications of Trigonometry~~, which is extensively used in real-life. The words height and distance are frequently used in the trigonometry while dealing with its applications. In the height and distances application of trigonometry, ~~the following concepts are included~~:		ऊँचाई और दूरियाँ का विषय त्रिकोणमिति के अनुप्रयोगों में से एक है, जिसका वास्तविक जीवन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। त्रिकोणमिति में ऊँचाई और दूरियाँ शब्दों का प्रायः उपयोग किया जाता है, जबकि इसके अनुप्रयोगों से आचरण किया जाता है। त्रिकोणमिति के ऊँचाई और दूरी के अनुप्रयोग में, निम्नलिखित अवधारणाएँ उपस्थित हैं:

	* Measuring the heights of towers		* Measuring the heights of towers

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2024-06-14T09:11:42Z

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← Older revision		Revision as of 14:41, 14 June 2024
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	* Determining the distance of the shore from the sea		* Determining the distance of the shore from the sea
	* Finding the distance between two celestial bodies		* Finding the distance between two celestial bodies
	[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|~~Fig.~~ 1 ~~- Heights and distances~~]]		[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|चित्र -1 ऊँचाइयाँ और दूरियाँ]]

	== Line of Sight ==		== Line of Sight ==

Mani at 09:08, 14 June 2024

2024-06-14T09:08:57Z

← Older revision		Revision as of 14:38, 14 June 2024
Line 1:		Line 1:
			The topic heights and distance is one of the applications of Trigonometry, which is extensively used in real-life. The words height and distance are frequently used in the trigonometry while dealing with its applications. In the height and distances application of trigonometry, the following concepts are included:

			* Measuring the heights of towers
			* Determining the distance of the shore from the sea
			* Finding the distance between two celestial bodies
			[[File:Heights and Distances.jpg\|alt=Fig. 1 - Heights and distances\|thumb\|500x500px\|Fig. 1 - Heights and distances]]

			== Line of Sight ==
			The line which is drawn from the eyes of the observer to the point being viewed on the object is known as the line of sight.

			== Angle of Elevation ==
			The angle of elevation of the point on the object (above horizontal level) viewed by the observer is the angle which is formed by the line of sight with the horizontal level.

			== Angle of Depression ==
			The angle of depression of the point on the object (below horizontal level) viewed by the observer is the angle which is formed by the line of sight with the horizontal level.

			== How to find heights and distances ==
			The height or length of an object or the distance between two distant objects can be determined with the help of trigonometric ratios.

			For example, in fig.1, a person is looking at the top of the object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AC</math> is known as the line of sight. <math>\angle CAB</math> is called the angle of elevation. Similarly, in fig. 1, person is looking down at a object. <math>AB</math> is horizontal level. This level is the line parallel to ground passing through the observer’s eyes. <math>AD</math> is known as the line of sight. <math>\angle BAD</math> is called the angle of depression.
			[[File:Heights and Distances - problem 1.jpg\|alt=Fig. 2 - Problem\|thumb\|500x500px\|Fig. 2 - Problem]]
			'''Example''': A tower stands vertically on the ground. From a point on the ground, which is <math>15 </math>m away from the foot of the tower, the angle of elevation of the top of the tower is found to be <math>60^\circ</math>. Find the height of the tower.

			'''Solution:''' To solve the problem, we choose the trigonometric ratio <math>tan \ 60^\circ</math> (or <math>cot \ 60^\circ</math>), as the ratio involves <math>AB</math> and <math>BC</math> .

			<math>tan \ 60^\circ =\frac{BC}{AB}</math>

			<math>\sqrt{3} =\frac{BC}{15}</math>

			<math>BC=15\sqrt{3}</math>

			Hence, the height of the tower is <math>15\sqrt{3}</math> m.

	[[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:त्रिकोणमिति के कुछ अनुप्रयोग]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~Heights and Distances~~