एक बिंदु की रेखा से दूरी - Revision history

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2024-11-21T02:07:21Z

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	यूक्लिडियन ज्यामिति के अनुसार, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी को किसी दिए गए बिंदु से अनंत सरल रेखा पर स्थित बिंदु तक की सबसे छोटी दूरी माना जा सकता है। बिंदु को रेखा पर निकटतम बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई उस बिंदु से सबसे छोटी दूरी होती है, जो बिंदु से रेखा तक की लंबवत दूरी होती है। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी की गणना करने का सूत्र कई रूपों में व्युत्पन्न और व्यक्त किया जा सकता है। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी जानना विभिन्न वास्तविक जीवन की स्थितियों में उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, दो वस्तुओं जैसे दो पेड़ों के बीच की दूरी ज्ञात करना।		[[यूक्लिड की ज्यामिति\|यूक्लिडियन ज्यामिति]] के अनुसार, एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी को किसी दिए गए बिंदु से अनंत [[सरल रेखा में गति\|सरल रेखा]] पर स्थित बिंदु तक की सबसे छोटी दूरी माना जा सकता है। बिंदु को रेखा पर निकटतम बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड की लंबाई उस बिंदु से सबसे छोटी दूरी होती है, जो बिंदु से रेखा तक की लंबवत दूरी होती है। एक बिंदु से एक [[रेखा]] तक की दूरी की गणना करने का सूत्र कई रूपों में व्युत्पन्न और व्यक्त किया जा सकता है। एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी जानना विभिन्न वास्तविक जीवन की स्थितियों में उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, दो वस्तुओं जैसे दो पेड़ों के बीच की दूरी ज्ञात करना।

	इस लेख में, हम व्युत्पन्न और हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके एक रेखा से एक बिंदु की दूरी कैसे ज्ञात करें, इसका अध्ययन करेंगे।		इस लेख में, हम व्युत्पन्न और हल किए गए उदाहरणों का उपयोग करके एक रेखा से एक बिंदु की दूरी कैसे ज्ञात करें, इसका अध्ययन करेंगे।

Mani at 02:05, 21 November 2024

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	<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।		<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।

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	ध्यान दें कि चूँकि <math>\angle B = 90^\circ</math> है, यह त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, जिसका अर्थ है कि <math>AC</math> (कर्ण) सबसे बड़ी भुजा है। यह हमेशा सत्य होगा। कर्ण <math>AC</math> हमेशा <math>A</math> से <math>BC</math> पर पड़ने वाले लंब से बड़ा होगा, जो <math>AB</math> है। अपने बिंदु और रेखा पर वापस आते हुए, आइए <math>X</math> से <math>L</math> पर एक लंब गिराएँ:		ध्यान दें कि चूँकि <math>\angle B = 90^\circ</math> है, यह त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, जिसका अर्थ है कि <math>AC</math> (कर्ण) सबसे बड़ी भुजा है। यह हमेशा सत्य होगा। कर्ण <math>AC</math> हमेशा <math>A</math> से <math>BC</math> पर पड़ने वाले लंब से बड़ा होगा, जो <math>AB</math> है। अपने बिंदु और रेखा पर वापस आते हुए, आइए <math>X</math> से <math>L</math> पर एक लंब गिराएँ:
	[[File:एक बिंदु की रेखा से दूरी 3.jpg~~\|left~~\|thumb\|210x210px\|चित्र- एक बिंदु की रेखा से दूरी 3 ]]		[[File:एक बिंदु की रेखा से दूरी 3.jpg\|thumb\|210x210px\|चित्र- एक बिंदु की रेखा से दूरी 3 ]]



	<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।		<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।








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	<math>XY</math>-तल में एक रेखा <math>L</math> पर विचार करें और <math>K(x_1,y_1)</math> रेखा <math>L</math> से <math>d</math> दूरी पर स्थित कोई भी बिंदु है। इस रेखा को <math>Ax + By + C = 0</math> द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा ‘<math>d</math>’ से बिंदु की दूरी <math>K</math> से <math>L</math> तक खींचे गए लंब की लंबाई है। <math>x</math> और <math>y</math>-अवरोधन को क्रमशः <math>\left ( \frac{-C}{A} \right )</math> और <math>\left ( \frac{-C}{B} \right )</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।		<math>XY</math>-तल में एक रेखा <math>L</math> पर विचार करें और <math>K(x_1,y_1)</math> रेखा <math>L</math> से <math>d</math> दूरी पर स्थित कोई भी बिंदु है। इस रेखा को <math>Ax + By + C = 0</math> द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा ‘<math>d</math>’ से बिंदु की दूरी <math>K</math> से <math>L</math> तक खींचे गए लंब की लंबाई है। <math>x</math> और <math>y</math>-अवरोधन को क्रमशः <math>\left ( \frac{-C}{A} \right )</math> और <math>\left ( \frac{-C}{B} \right )</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
	[[File:रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति.jpg\|thumb\|चित्र- रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति]]		[[File:रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति.jpg\|thumb\|चित्र- रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति]]

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	<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।		<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।
















	== रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति ==		== रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति ==
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	<math>XY</math>-तल में एक रेखा <math>L</math> पर विचार करें और <math>K(x_1,y_1)</math> रेखा <math>L</math> से <math>d</math> दूरी पर स्थित कोई भी बिंदु है। इस रेखा को <math>Ax + By + C = 0</math> द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा ‘<math>d</math>’ से बिंदु की दूरी <math>K</math> से <math>L</math> तक खींचे गए लंब की लंबाई है। <math>x</math> और <math>y</math>-अवरोधन को क्रमशः <math>\left ( \frac{-C}{A} \right )</math> और <math>\left ( \frac{-C}{B} \right )</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।		<math>XY</math>-तल में एक रेखा <math>L</math> पर विचार करें और <math>K(x_1,y_1)</math> रेखा <math>L</math> से <math>d</math> दूरी पर स्थित कोई भी बिंदु है। इस रेखा को <math>Ax + By + C = 0</math> द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा ‘<math>d</math>’ से बिंदु की दूरी <math>K</math> से <math>L</math> तक खींचे गए लंब की लंबाई है। <math>x</math> और <math>y</math>-अवरोधन को क्रमशः <math>\left ( \frac{-C}{A} \right )</math> और <math>\left ( \frac{-C}{B} \right )</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।
			[[File:रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति.jpg\|thumb\|चित्र- रेखा से बिंदु की दूरी की व्युत्पत्ति]]


	~~Image~~

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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	एक बिंदु और रेखा के बीच की दूरी उनके बीच की सबसे छोटी दूरी होती है। यह बिंदु से रेखा पर स्थित बिंदु तक जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम लंबाई होती है। न्यूनतम लंबाई की इस दूरी को रेखा के लंबवत रेखाखंड के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक रेखा <math>L</math> और एक बिंदु <math>X</math> पर विचार करें जो <math>L</math> पर स्थित नहीं है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:		एक बिंदु और रेखा के बीच की दूरी उनके बीच की सबसे छोटी दूरी होती है। यह बिंदु से रेखा पर स्थित बिंदु तक जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम लंबाई होती है। न्यूनतम लंबाई की इस दूरी को रेखा के लंबवत रेखाखंड के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक रेखा <math>L</math> और एक बिंदु <math>X</math> पर विचार करें जो <math>L</math> पर स्थित नहीं है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:
			[[File:एक बिंदु की रेखा से दूरी 1.jpg\|left\|thumb\|210x210px\|चित्र- एक बिंदु की रेखा से दूरी ]]



	~~Image~~

	हम एक रेखा से बिंदु की दूरी कैसे माप सकते हैं जब बिंदु रेखा पर नहीं स्थित है? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक सीधी रेखा के समीकरण और दूरी सूत्र को याद करें। इसके अलावा, एक त्रिभुज <math>ABC</math> पर विचार करें, जो <math>B</math> पर समकोण है:		हम एक रेखा से बिंदु की दूरी कैसे माप सकते हैं जब बिंदु रेखा पर नहीं स्थित है? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक सीधी रेखा के समीकरण और दूरी सूत्र को याद करें। इसके अलावा, एक त्रिभुज <math>ABC</math> पर विचार करें, जो <math>B</math> पर समकोण है:
			[[File:एक बिंदु की रेखा से दूरी 2.jpg\|left\|thumb\|210x210px\|चित्र-एक बिंदु की रेखा से दूरी 2]]


	~~Image~~

	ध्यान दें कि चूँकि <math>\angle B = 90^\circ</math> है, यह त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, जिसका अर्थ है कि <math>AC</math> (कर्ण) सबसे बड़ी भुजा है। यह हमेशा सत्य होगा। कर्ण <math>AC</math> हमेशा <math>A</math> से <math>BC</math> पर पड़ने वाले लंब से बड़ा होगा, जो <math>AB</math> है। अपने बिंदु और रेखा पर वापस आते हुए, आइए <math>X</math> से <math>L</math> पर एक लंब गिराएँ:		ध्यान दें कि चूँकि <math>\angle B = 90^\circ</math> है, यह त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, जिसका अर्थ है कि <math>AC</math> (कर्ण) सबसे बड़ी भुजा है। यह हमेशा सत्य होगा। कर्ण <math>AC</math> हमेशा <math>A</math> से <math>BC</math> पर पड़ने वाले लंब से बड़ा होगा, जो <math>AB</math> है। अपने बिंदु और रेखा पर वापस आते हुए, आइए <math>X</math> से <math>L</math> पर एक लंब गिराएँ:
			[[File:एक बिंदु की रेखा से दूरी 3.jpg\|left\|thumb\|210x210px\|चित्र- एक बिंदु की रेखा से दूरी 3 ]]


	~~Image~~

	<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।		<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।

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2024-11-20T12:20:49Z

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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	एक बिंदु और रेखा के बीच की दूरी उनके बीच की सबसे छोटी दूरी होती है। यह बिंदु से रेखा पर स्थित बिंदु तक जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम लंबाई होती है। न्यूनतम लंबाई की इस दूरी को रेखा के लंबवत रेखाखंड के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक रेखा <math>L</math> और एक बिंदु <math>X</math> पर विचार करें जो <math>L</math> पर स्थित नहीं है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:		एक बिंदु और रेखा के बीच की दूरी उनके बीच की सबसे छोटी दूरी होती है। यह बिंदु से रेखा पर स्थित बिंदु तक जाने के लिए आवश्यक न्यूनतम लंबाई होती है। न्यूनतम लंबाई की इस दूरी को रेखा के लंबवत रेखाखंड के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक रेखा <math>L</math> और एक बिंदु <math>X</math> पर विचार करें जो <math>L</math> पर स्थित नहीं है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

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	हम एक रेखा से बिंदु की दूरी कैसे माप सकते हैं जब बिंदु रेखा पर नहीं स्थित है? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक सीधी रेखा के समीकरण और दूरी सूत्र को याद करें। इसके अलावा, एक त्रिभुज <math>ABC</math> पर विचार करें, जो <math>B</math> पर समकोण है:		हम एक रेखा से बिंदु की दूरी कैसे माप सकते हैं जब बिंदु रेखा पर नहीं स्थित है? प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आइए एक सीधी रेखा के समीकरण और दूरी सूत्र को याद करें। इसके अलावा, एक त्रिभुज <math>ABC</math> पर विचार करें, जो <math>B</math> पर समकोण है:


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	ध्यान दें कि चूँकि <math>\angle B = 90^\circ</math> है, यह त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, जिसका अर्थ है कि <math>AC</math> (कर्ण) सबसे बड़ी भुजा है। यह हमेशा सत्य होगा। कर्ण <math>AC</math> हमेशा <math>A</math> से <math>BC</math> पर पड़ने वाले लंब से बड़ा होगा, जो <math>AB</math> है। अपने बिंदु और रेखा पर वापस आते हुए, आइए <math>X</math> से <math>L</math> पर एक लंब गिराएँ:		ध्यान दें कि चूँकि <math>\angle B = 90^\circ</math> है, यह त्रिभुज का सबसे बड़ा कोण है, जिसका अर्थ है कि <math>AC</math> (कर्ण) सबसे बड़ी भुजा है। यह हमेशा सत्य होगा। कर्ण <math>AC</math> हमेशा <math>A</math> से <math>BC</math> पर पड़ने वाले लंब से बड़ा होगा, जो <math>AB</math> है। अपने बिंदु और रेखा पर वापस आते हुए, आइए <math>X</math> से <math>L</math> पर एक लंब गिराएँ:


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	<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।		<math>Y</math> इस लंब का पैर है, जबकि <math>Z</math> <math>L</math> पर कोई अन्य अलग बिंदु है। ध्यान दें कि <math>XY</math> हमेशा <math>XZ</math> से छोटा होगा, चाहे <math>Z</math> रेखा पर कहीं भी हो। दूसरे शब्दों में: किसी बिंदु की रेखा से सबसे छोटी दूरी उस बिंदु से उस रेखा पर गिराए गए लंब के साथ होती है। इस प्रकार, रेखा <math>L</math> से बिंदु <math>X</math> की दूरी की परिभाषा है: <math>X</math> से <math>L</math> पर गिराए गए लंब की लंबाई।
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	<math>XY</math>-तल में एक रेखा <math>L</math> पर विचार करें और <math>K(x_1,y_1)</math> रेखा <math>L</math> से <math>d</math> दूरी पर स्थित कोई भी बिंदु है। इस रेखा को <math>Ax + By + C = 0</math> द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा ‘<math>d</math>’ से बिंदु की दूरी <math>K</math> से <math>L</math> तक खींचे गए लंब की लंबाई है। <math>x</math> और <math>y</math>-अवरोधन को क्रमशः <math>\left ( \frac{-C}{A} \right )</math> और <math>\left ( \frac{-C}{B} \right )</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।		<math>XY</math>-तल में एक रेखा <math>L</math> पर विचार करें और <math>K(x_1,y_1)</math> रेखा <math>L</math> से <math>d</math> दूरी पर स्थित कोई भी बिंदु है। इस रेखा को <math>Ax + By + C = 0</math> द्वारा दर्शाया जाता है। रेखा ‘<math>d</math>’ से बिंदु की दूरी <math>K</math> से <math>L</math> तक खींचे गए लंब की लंबाई है। <math>x</math> और <math>y</math>-अवरोधन को क्रमशः <math>\left ( \frac{-C}{A} \right )</math> और <math>\left ( \frac{-C}{B} \right )</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।


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	रेखा <math>L</math> क्रमशः <math>x</math> और <math>y</math>-अक्षों को बिंदु <math>B</math> और <math>A</math> पर मिलती है। <math>KJ</math> बिंदु <math>K</math> की लंबवत दूरी है जो बिंदु <math>J</math> पर के आधार <math>AB</math> से मिलती है। दिए गए तीन बिंदुओं <math>K</math>, <math>B</math> और <math>A</math> के लिए निर्देशांक <math>K(x_1,y_1)</math><math>, B(x_2,y_2),</math>और <math>A(x_3,y_3)</math> के रूप में दिए जा सकते हैं। यहाँ,<math>(x_2,y_2) = (\left ( \frac{-C}{A} \right ), 0)</math>और <math>(x_3,y_3) = (0, \left ( \frac{-C}{B} \right ))</math>।		रेखा <math>L</math> क्रमशः <math>x</math> और <math>y</math>-अक्षों को बिंदु <math>B</math> और <math>A</math> पर मिलती है। <math>KJ</math> बिंदु <math>K</math> की लंबवत दूरी है जो बिंदु <math>J</math> पर के आधार <math>AB</math> से मिलती है। दिए गए तीन बिंदुओं <math>K</math>, <math>B</math> और <math>A</math> के लिए निर्देशांक <math>K(x_1,y_1)</math><math>, B(x_2,y_2),</math>और <math>A(x_3,y_3)</math> के रूप में दिए जा सकते हैं। यहाँ,<math>(x_2,y_2) = (\left ( \frac{-C}{A} \right ), 0)</math>और <math>(x_3,y_3) = (0, \left ( \frac{-C}{B} \right ))</math>।

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	<math>AB = \Bigl(\Bigl(\frac{C}{A}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{C}{B}\Bigr)^2\Bigr)^\frac{1}{2}</math>		<math>AB = \Bigl(\Bigl(\frac{C}{A}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{C}{B}\Bigr)^2\Bigr)^\frac{1}{2}</math>

	दूरी, AB = \|C/AB\| (A2 + B2)~~½ ->~~ (3)		दूरी, <math>AB = \mid \frac{C}{AB} \mid(A^2 + B^2)^\frac{1}{2} \rightarrow (3)</math>

	(1) में (2) और (3) प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है		<math>(1)</math> में <math>(2)</math> और <math>(3)</math> प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

	लंब KJ की दूरी = d = \|~~Ax1~~+ ~~By1~~+ C\| / (A2 + B2)½		लंब <math>KJ</math> की दूरी <math>=d = \frac{\|Ax_1+ By_1+ C\|}{{(A^2 + B^2)^\frac{1}{2}}}</math>

	अतः, बिंदु (x1,y1) से रेखा Ax + By + C = 0 तक की दूरी = \|A1+ ~~By1~~+ C\| ~~/ √~~(A2 + B2)		अतः, बिंदु<math>(x_1,y_1)</math> से रेखा <math>Ax + By + C = 0</math> तक की दूरी <math>= \frac{\|Ax_1+ By_1+ C\|}{\sqrt{(A^2 + B^2)}}</math>

	इस सूत्र में अंश को निरपेक्ष मान चिह्न के साथ संलग्न किया जाना चाहिए, क्योंकि दूरी एक धनात्मक मान होनी चाहिए और ~~Ax1~~, ~~By1~~		इस सूत्र में अंश को निरपेक्ष मान चिह्न के साथ संलग्न किया जाना चाहिए, क्योंकि दूरी एक धनात्मक मान होनी चाहिए और<math>Ax_1, By_1 , C</math> के कुछ संयोजन ऋणात्मक संख्या उत्पन्न कर सकते हैं।
	, C के कुछ संयोजन ऋणात्मक संख्या उत्पन्न कर सकते हैं।

	== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==		== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==

Mani: formulas

2024-11-20T12:05:50Z

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Line 37:		Line 37:
	<math>= \frac{1}{2} \|(\frac{C}{B})\times x_1 - \frac{C}{A}\frac{(-C-By_1)}{B}\|</math>		<math>= \frac{1}{2} \|(\frac{C}{B})\times x_1 - \frac{C}{A}\frac{(-C-By_1)}{B}\|</math>

	\| <math>= \frac{1}{2} \|(\frac{C}{B})\times x_1 +\frac{C^2}{AB}+\frac{(BCy_1)}{AB}\|</math>		<math>= \frac{1}{2} \|(\frac{C}{B})\times x_1 +\frac{C^2}{AB}+\frac{(BCy_1)}{AB}\|</math>

	<math>= \frac{1}{2} \|(\frac{C}{B})\times x_1 +(\frac{C}{A})\times y_1 +\Bigl(\frac{C^2}{AB}\Bigr)\|</math>		<math>= \frac{1}{2} \|(\frac{C}{B})\times x_1 +(\frac{C}{A})\times y_1 +\Bigl(\frac{C^2}{AB}\Bigr)\|</math>
Line 57:		Line 57:
	यहाँ, <math>A(x_1,y_1) = A(0, \frac{-C}{B})</math> और <math>B(x_2,y_2) = B(\frac{-C}{A},0)</math>		यहाँ, <math>A(x_1,y_1) = A(0, \frac{-C}{B})</math> और <math>B(x_2,y_2) = B(\frac{-C}{A},0)</math>

	AB = (((-C/A)2 - 0) + (0 - (-C/B)2))½		<math>AB = ((\Bigl(\frac{-C}{A}\Bigr)^2-0) + (0-\Bigl(\frac{-C}{B}\Bigr)^2))^\frac{1}{2}</math>

	= ((C/A)2 + (C/B)2)½		<math>AB = \Bigl(\Bigl(\frac{C}{A}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{C}{B}\Bigr)^2\Bigr)^\frac{1}{2}</math>

	दूरी, AB = \|C/AB\| (A2 + B2)½ -> (3)		दूरी, AB = \|C/AB\| (A2 + B2)½ -> (3)

Mani: formulas

2024-11-20T11:56:50Z

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Line 51:		Line 51:
	<math>= \frac{1}{2} \mid \frac{C}{AB}\mid \cdot\mid {Ax_1+By_1+C}\mid \rightarrow (2)</math>		<math>= \frac{1}{2} \mid \frac{C}{AB}\mid \cdot\mid {Ax_1+By_1+C}\mid \rightarrow (2)</math>

	दूरी सूत्र के अनुसार, निर्देशांक A(x1,y1), B(x2,y2) वाली रेखा <math>AB</math> की दूरी की गणना इस प्रकार की जा सकती है:		दूरी सूत्र के अनुसार, निर्देशांक <math>A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)</math> वाली रेखा <math>AB</math> की दूरी की गणना इस प्रकार की जा सकती है:

	AB = ((x2-x1)2 + (y2-y1)2)~~½यहाँ~~, A(x1,y1) = A(0, -C/B) और B(x2,y2) = B(-C/A,0)		<math>AB = ((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)^\frac{1}{2}</math>

			यहाँ, <math>A(x_1,y_1) = A(0, \frac{-C}{B})</math> और <math>B(x_2,y_2) = B(\frac{-C}{A},0)</math>

	AB = (((-C/A)2 - 0) + (0 - (-C/B)2))½		AB = (((-C/A)2 - 0) + (0 - (-C/B)2))½

Mani: formulas

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	<math>= \frac{1}{2} \|\frac{CAx_1}{AB}+\frac{CBy_1}{AB} +\frac{C^2}{AB}\|</math>		<math>= \frac{1}{2} \|\frac{CAx_1}{AB}+\frac{CBy_1}{AB} +\frac{C^2}{AB}\|</math>

	~~=½ \|C/ (AB)\|.\|Ax1+ By1+ C\| ->(2)~~ <math>= \frac{1}{2} \|\frac{~~CAx_1~~}{AB}+\~~frac~~{~~CBy_1~~}~~{AB} +~~\~~frac{C^~~2~~}{AB}\|~~</math>		<math>= \frac{1}{2} \mid \frac{C}{AB}\mid \cdot\mid {Ax_1+By_1+C}\mid \rightarrow (2)</math>

	दूरी सूत्र के अनुसार, निर्देशांक A(x1,y1), B(x2,y2) वाली रेखा <math>AB</math> की दूरी की गणना इस प्रकार की जा सकती है:		दूरी सूत्र के अनुसार, निर्देशांक A(x1,y1), B(x2,y2) वाली रेखा <math>AB</math> की दूरी की गणना इस प्रकार की जा सकती है: