एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण - Revision history

Mani: content modified

2024-09-17T13:53:06Z

content modified

← Older revision		Revision as of 19:23, 17 September 2024
Line 16:		Line 16:
	इस प्रमेय को सिद्ध करते समय दो सामान्य स्थितियाँ हैं।		इस प्रमेय को सिद्ध करते समय दो सामान्य स्थितियाँ हैं।

	'''~~केस~~ 1:'''		'''स्थिति 1:'''
	[[File:Circle-3.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -1]]		[[File:Circle-3.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -1]]
	त्रिभुज <math>APO</math> पर विचार करें		त्रिभुज <math>APO</math> पर विचार करें
Line 60:		Line 60:
	<math>\angle POQ =2\angle PAQ</math>		<math>\angle POQ =2\angle PAQ</math>

	अतः, ~~केस~~ (1) सिद्ध होती है।		अतः, स्थिति (1) सिद्ध होती है।

	'''~~केस~~ 2:'''		'''स्थिति 2:'''
	[[File:Circle-4.jpg\|alt=Fig. 2\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -2]]		[[File:Circle-4.jpg\|alt=Fig. 2\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -2]]

	इस स्थिति में <math>\angle POQ =2\angle PAQ</math> को प्रमाणित करने के लिए, हम ~~केस~~ (1) के समान ही चरणों का पालन कर सकते हैं। लेकिन (2) और (4) को जोड़ते समय हमें नीचे दिए गए चरणों का पालन करना होगा।		इस स्थिति में <math>\angle POQ =2\angle PAQ</math> को प्रमाणित करने के लिए, हम स्थिति (1) के समान ही चरणों का पालन कर सकते हैं। लेकिन (2) और (4) को जोड़ते समय हमें नीचे दिए गए चरणों का पालन करना होगा।

	<math>\angle BOP +\angle BOQ =2\angle OAP +2\angle OAQ</math>		<math>\angle BOP +\angle BOQ =2\angle OAP +2\angle OAQ</math>

Mani: added content

2024-09-17T13:37:00Z

added content

← Older revision		Revision as of 19:07, 17 September 2024
Line 16:		Line 16:
	इस प्रमेय को सिद्ध करते समय दो सामान्य स्थितियाँ हैं।		इस प्रमेय को सिद्ध करते समय दो सामान्य स्थितियाँ हैं।

	'''~~स्थिति~~ 1:'''		'''केस 1:'''
	[[File:Circle-3.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -1]]		[[File:Circle-3.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -1]]
	~~Consider a triangle~~ <math>APO</math>		त्रिभुज <math>APO</math> पर विचार करें

	~~Here~~, <math>OA=OP</math> (~~Radii~~)		यहाँ, <math>OA=OP</math> (त्रिज्या)

	~~Since, the angles opposite to the equal sides are equal~~,		चूँकि समान भुजाओं के विपरीत कोण समान होते हैं,

	<math>\angle OPA = \angle OAP .... (1)</math>		<math>\angle OPA = \angle OAP .... (1)</math>

	~~Also~~, ~~by using the exterior angle property~~ (~~exterior angle is the sum of interior opposite angles~~),		इसके अतिरिक्त, बाह्य कोण गुण (बाह्य कोण आंतरिक विपरीत कोणों का योग है) का उपयोग करते हुए,

	~~We can write~~,		हम लिख सकते हैं,

	<math>\angle BOP = \angle OAP + \angle OPA</math>		<math>\angle BOP = \angle OAP + \angle OPA</math>

	~~By using~~ <math>(1)</math>		<math>(1)</math> का उपयोग करके

	<math>\angle BOP = \angle OAP + \angle OAP</math>		<math>\angle BOP = \angle OAP + \angle OAP</math>
Line 38:		Line 38:
	<math>\angle BOP = 2 \angle OAP .... (2)</math>		<math>\angle BOP = 2 \angle OAP .... (2)</math>

	~~Similarly~~, ~~consider another triangle~~ <math>AQO</math>,		इसी प्रकार, एक अन्य त्रिभुज <math>AQO</math> पर विचार करें ,

	<math>OA=OQ</math> (~~Radii~~)		<math>OA=OQ</math> (त्रिज्या)

	~~As the angles opposite to the equal sides are equal~~,		चूँकि समान भुजाओं के विपरीत कोण समान होते हैं,

	<math>\angle OQA = \angle OAQ .... (3)</math>		<math>\angle OQA = \angle OAQ .... (3)</math>

	~~Similarly~~, ~~by using the exterior angle property~~, ~~we get~~<math>\angle BOQ = \angle OAQ + \angle OQA</math>		इसी प्रकार, बाह्य कोण गुण का उपयोग करके, हम <math>\angle BOQ = \angle OAQ + \angle OQA</math> प्राप्त करते हैं

	<math>\angle BOQ = \angle OAQ + \angle OAQ</math> (~~using~~ <math>(3)</math>)		<math>\angle BOQ = \angle OAQ + \angle OAQ</math> (<math>(3)</math>का उपयोग करते हुए)

	<math>\angle BOQ = 2 \angle OAQ .... (4)</math>		<math>\angle BOQ = 2 \angle OAQ .... (4)</math>

	~~Adding~~ <math>(2)</math>~~and~~ <math>(4)</math> ~~we get,~~		<math>(2)</math> और <math>(4)</math> को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

	<math>\angle BOP +\angle BOQ =2\angle OAP +2\angle OAQ</math>		<math>\angle BOP +\angle BOQ =2\angle OAP +2\angle OAQ</math>
Line 60:		Line 60:
	<math>\angle POQ =2\angle PAQ</math>		<math>\angle POQ =2\angle PAQ</math>

	~~Hence~~, ~~case~~ (1) ~~is proved.~~		अतः, केस (1) सिद्ध होती है।

	'''~~Case~~ 2:'''		'''केस 2:'''
	[[File:Circle-4.jpg\|alt=Fig. 2\|none\|thumb\|150x150px\|~~Fig.~~ 2]]		[[File:Circle-4.jpg\|alt=Fig. 2\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -2]]

	~~To prove~~ <math>\angle POQ =2\angle PAQ</math> ~~for this case~~, ~~we can follow the steps as same as for case <math>~~(1)~~</math>. But while adding <math>~~(2)~~</math> and<math>~~(4)~~</math>, we have to follow the below steps.~~		इस स्थिति में <math>\angle POQ =2\angle PAQ</math> को प्रमाणित करने के लिए, हम केस (1) के समान ही चरणों का पालन कर सकते हैं। लेकिन (2) और (4) को जोड़ते समय हमें नीचे दिए गए चरणों का पालन करना होगा।

	<math>\angle BOP +\angle BOQ =2\angle OAP +2\angle OAQ</math>		<math>\angle BOP +\angle BOQ =2\angle OAP +2\angle OAQ</math>

	~~Reflex angle~~ <math>\angle POQ =2(\angle OAP +\angle OAQ)</math> (~~Since~~, <math>PQ</math> ~~is a Major arc~~)		प्रतिवर्ती कोण <math>\angle POQ =2(\angle OAP +\angle OAQ)</math> (चूँकि,<math>PQ</math> एक दीर्घ चाप है)

	~~Reflex angle~~ <math>\angle POQ =2\angle PAQ</math>.		प्रतिवर्ती कोण <math>\angle POQ =2\angle PAQ</math>.

	~~Hence, proved.~~		अतः सिद्ध हुआ।

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani: added content

2024-09-17T12:40:08Z

added content

← Older revision		Revision as of 18:10, 17 September 2024
Line 1:		Line 1:
	~~We know that the end points of a chord other than the diameter of a circle divides it into two arcs~~, ~~namely the major arc and the minor arc. In this article, we will discuss the theorem related to the angle subtended by an arc of a circle and its proof with complete explanation.~~		हमे ज्ञात है कि वृत्त के व्यास के अतिरिक्त किसी जीवा के अंतिम बिंदु उसे दो चापों में विभाजित करते हैं, जिन्हें दीर्घ चाप और लघु चाप कहते हैं। इस लेख में हम वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण से संबंधित प्रमेय और उसके पूर्ण स्पष्टीकरण के साथ उसके प्रमाण पर चर्चा करेंगे।

	== ~~Angle Subtended by an Arc of a Circle~~ – ~~Theorem and Proof~~ ==		== एक वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण – प्रमेय एवं प्रमाण ==
			'''प्रमेय:'''

	~~=== Theorem: ===~~		एक चाप द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण वृत्त के शेष भाग पर किसी भी बिंदु पर बनाए गए कोण का दोगुना होता है।
	~~The angle subtended by an arc at the centre is double the angle subtended by it at any point on the remaining part of the circle.~~

	'''~~Proof~~:'''		'''प्रमाण:'''

	~~Consider a circle with centre~~ <math>O</math>~~. Here the arc~~ <math>PQ</math> ~~of the circle subtends angle~~ <math>~~\angle POQ~~</math> ~~at Centre~~ <math>O</math> ~~and~~ <math>~~\angle PAQ~~</math> ~~at a point~~ <math>A</math> ~~on the remaining part of the circle.~~		केंद्र <math>O</math> वाले एक वृत्त पर विचार करें। यहाँ वृत्त का चाप <math>PQ</math> केंद्र <math>O</math> पर कोण <math>\angle POQ</math> तथा वृत्त के शेष भाग पर स्थित बिंदु <math>A</math> पर कोण <math>\angle PAQ</math> अंतरित करता है।

	~~To prove~~: <math>\angle POQ = 2 \angle PAQ</math>		प्रमाण करने हेतु : <math>\angle POQ = 2 \angle PAQ</math>

	~~To prove this~~, ~~join~~ <math>AO</math> ~~and extend it to point~~ <math>B</math>.		इसे प्रमाणित करने के लिए, <math>AO</math> को जोड़ें और इसे बिंदु <math>B</math> तक विस्तारित करें

	~~There are two general cases while proving this theorem.~~		इस प्रमेय को सिद्ध करते समय दो सामान्य स्थितियाँ हैं।

	'''~~Case~~ 1:'''		'''स्थिति 1:'''
	[[File:Circle-3.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|150x150px\|~~Fig.~~ 1]]		[[File:Circle-3.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|150x150px\|चित्र -1]]
	Consider a triangle <math>APO</math>		Consider a triangle <math>APO</math>

Mani at 12:25, 17 September 2024

2024-09-17T12:25:05Z

@@ Line 1: / Line 1: @@
-हम जानते हैं कि किसी वृत्त के व्यास के अलावा किसी जीवा के अंतिम बिंदु उसे दो चापों में विभाजित करते हैं, अर्थात् प्रमुख चाप और लघु चाप। इस लेख में हम वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण से संबंधित प्रमेय और उसके पूर्ण स्पष्टीकरण के साथ उसके प्रमाण पर चर्चा करेंगे।
+We know that the end points of a chord other than the diameter of a circle divides it into two arcs, namely the major arc and the minor arc.  In this article, we will discuss the theorem related to the angle subtended by an arc of a circle and its proof with complete explanation.
-साथ ही, केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण को केंद्र पर संगत जीवा द्वारा अंतरित कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है, इस अर्थ में कि लघु चाप कोण को अंतरित करता है और दीर्घ चाप प्रतिवर्ती कोण को अंतरित करता है।
+== Angle Subtended by an Arc of a Circle – Theorem and Proof ==
-Therefore, in Fig 2, the angle subtended by the minor arc PQ at O is ∠POQ and the angle subtended b
+=== Theorem: ===
 [[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani: added content

2024-09-13T05:47:10Z

added content

← Older revision		Revision as of 11:17, 13 September 2024
Line 3:		Line 3:
	यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ समान हों, तो उनके संगत चाप सर्वांगसम होते हैं और इसके विपरीत, यदि दो चाप सर्वांगसम हों, तो उनके संगत जीवाएँ समान होती हैं।		यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ समान हों, तो उनके संगत चाप सर्वांगसम होते हैं और इसके विपरीत, यदि दो चाप सर्वांगसम हों, तो उनके संगत जीवाएँ समान होती हैं।

	~~Also the angle subtended by an arc at the centre~~		साथ ही, केंद्र पर एक चाप द्वारा अंतरित कोण को केंद्र पर संगत जीवा द्वारा अंतरित कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है, इस अर्थ में कि लघु चाप कोण को अंतरित करता है और दीर्घ चाप प्रतिवर्ती कोण को अंतरित करता है।

	~~is defined to be angle subtended by the corresponding~~		Therefore, in Fig 2, the angle subtended by the minor arc PQ at O is ∠POQ and the angle subtended b

	~~chord at the centre in the sense that the minor arc~~

	~~subtends the angle and the major arc subtends the~~

	~~reflex angle.~~ Therefore, in Fig 2, the angle

	subtended by the minor arc PQ at O is ∠POQ and

	the angle subtended b

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani: added content

2024-09-12T01:32:00Z

added content

← Older revision		Revision as of 07:02, 12 September 2024
Line 1:		Line 1:
	~~We know that the end points of a chord other than the diameter of a circle divides it into two arcs~~, ~~namely the major arc and the minor arc. In this article, we will discuss the theorem related to the angle subtended by an arc of a circle and its proof with complete explanation.~~		हम जानते हैं कि किसी वृत्त के व्यास के अलावा किसी जीवा के अंतिम बिंदु उसे दो चापों में विभाजित करते हैं, अर्थात् प्रमुख चाप और लघु चाप। इस लेख में हम वृत्त के चाप द्वारा अंतरित कोण से संबंधित प्रमेय और उसके पूर्ण स्पष्टीकरण के साथ उसके प्रमाण पर चर्चा करेंगे।
	[[File:Equal chords.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|194x194px\|~~Fig.~~ 1]]		[[File:Equal chords.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|194x194px\|चित्र -1]]
	~~If two chords of a circle are equal~~, ~~then their corresponding arcs are congruent and conversely~~, ~~if two arcs are congruent~~, ~~then their corresponding chords are equal.~~		यदि किसी वृत्त की दो जीवाएँ समान हों, तो उनके संगत चाप सर्वांगसम होते हैं और इसके विपरीत, यदि दो चाप सर्वांगसम हों, तो उनके संगत जीवाएँ समान होती हैं।

	Also the angle subtended by an arc at the centre		Also the angle subtended by an arc at the centre

Mani at 01:24, 12 September 2024

2024-09-12T01:24:41Z

← Older revision		Revision as of 06:54, 12 September 2024
Line 1:		Line 1:
			We know that the end points of a chord other than the diameter of a circle divides it into two arcs, namely the major arc and the minor arc. In this article, we will discuss the theorem related to the angle subtended by an arc of a circle and its proof with complete explanation.
			[[File:Equal chords.jpg\|alt=Fig. 1\|none\|thumb\|194x194px\|Fig. 1]]
			If two chords of a circle are equal, then their corresponding arcs are congruent and conversely, if two arcs are congruent, then their corresponding chords are equal.

			Also the angle subtended by an arc at the centre

			is defined to be angle subtended by the corresponding

			chord at the centre in the sense that the minor arc

			subtends the angle and the major arc subtends the

			reflex angle. Therefore, in Fig 2, the angle

			subtended by the minor arc PQ at O is ∠POQ and

			the angle subtended b

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
	~~Angle subtended by an arc of a circle~~

Mani at 08:55, 16 August 2023

2023-08-16T08:55:34Z

← Older revision		Revision as of 14:25, 16 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
			Angle subtended by an arc of a circle

Ramamurthy: Category updated

2023-08-06T07:46:17Z

Category updated

← Older revision		Revision as of 13:16, 6 August 2023
Line 1:		Line 1:

	~~[[Category:ज्यामिति]]~~
	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:29, 4 August 2023

2023-08-04T05:29:12Z

← Older revision		Revision as of 10:59, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]