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	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	कलन के मूलभूत सिद्धांत के दो भाग हैं। ये प्रमेय शक्तिशाली हैं क्योंकि वे रीमैन योगों का उपयोग किए बिना निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने में सहायक हैं (या वे वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना करने में सहायक हैं)। यहाँ कलन के मूलभूत सिद्धांतों के कथन दिए गए हैं।		कलन के मूलभूत सिद्धांत के दो भाग हैं। ये प्रमेय शक्तिशाली हैं क्योंकि वे रीमैन योगों का उपयोग किए बिना निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने में सहायक हैं (या वे वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना करने में सहायक हैं)। यहाँ कलन के मूलभूत सिद्धांतों के कथन दिए गए हैं।
			{\| class="wikitable"
			\|+
			!FTC 1: <br />
			!<math>{d \over dx}{\int_{a}^{x} }f(x)dx= f(x)</math>
			\|-
			\|'''FTC 2: <br />'''
			\|<math>\int_{a}^{b} f(x)dx= F(b)-F(a)</math>जहाँ <math>F(x)= \int f(x)dx</math>
			\|}

			== कलन का मूलभूत प्रमेय सूत्र ==

	=== कलन का मूलभूत प्रमेय सूत्र ===
	कलन के मूलभूत प्रमेय के दो सूत्र हैं:		कलन के मूलभूत प्रमेय के दो सूत्र हैं:

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Line 1:		Line 1:
	~~कैलकुलस~~ का मूल सिद्धांत (FTC) हमें ~~विभेदन~~ और ~~एकीकरण~~ के बीच संबंध बताता है। इस संबंध की खोज सर आइज़ैक न्यूटन और गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ ने 1600 के दशक के अंत में की थी। FTC के दो भाग हैं: FTC 1 और FTC 2		कलन का मूल सिद्धांत (FTC) हमें अवकलन और समाकलन के बीच संबंध बताता है। इस संबंध की खोज सर आइज़ैक न्यूटन और गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ ने 1600 के दशक के अंत में की थी। FTC के दो भाग हैं: FTC 1 और FTC 2

	हम इस तथ्य से अवगत हैं कि ~~विभेदीकरण~~ और ~~एकीकरण~~ एक दूसरे की विपरीत प्रक्रियाएँ हैं और पहला FTC इसे उचित ठहराता है। हम यह भी जानते हैं कि एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन पहले अनिश्चित समाकल का मूल्यांकन करके और फिर ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करके किया जाता है, और यह प्रक्रिया दूसरे FTC द्वारा उचित ठहराई जाती है।		हम इस तथ्य से अवगत हैं कि अवकलन और समाकलन एक दूसरे की विपरीत प्रक्रियाएँ हैं और पहला FTC इसे उचित ठहराता है। हम यह भी जानते हैं कि एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन पहले अनिश्चित समाकल का मूल्यांकन करके और फिर ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करके किया जाता है, और यह प्रक्रिया दूसरे FTC द्वारा उचित ठहराई जाती है।

	~~कैलकुलस का मूलभूत सिद्धांत क्या है? कैलकुलस~~ के मूलभूत सिद्धांत के दो भाग हैं। ये प्रमेय शक्तिशाली हैं क्योंकि वे रीमैन योगों का उपयोग किए बिना निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने में सहायक हैं (या वे वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना करने में सहायक हैं)। यहाँ ~~कैलकुलस~~ के मूलभूत सिद्धांतों के कथन दिए गए हैं।		== परिभाषा ==
			कलन के मूलभूत सिद्धांत के दो भाग हैं। ये प्रमेय शक्तिशाली हैं क्योंकि वे रीमैन योगों का उपयोग किए बिना निश्चित समाकलन का मूल्यांकन करने में सहायक हैं (या वे वक्रों के बीच के क्षेत्र की गणना करने में सहायक हैं)। यहाँ कलन के मूलभूत सिद्धांतों के कथन दिए गए हैं।



	~~कैलकुलस~~ का मूलभूत प्रमेय सूत्र		=== कलन का मूलभूत प्रमेय सूत्र ===
			कलन के मूलभूत प्रमेय के दो सूत्र हैं:

	~~कैलकुलस के मूलभूत प्रमेय के दो सूत्र हैं:~~		* भाग 1 (FTC 1) है <math>d/dx {\int_{a }^{x } }f(t) dt = f(x)</math>
			* भाग 2 (FTC 1) है <math>\int_{a }^{b } f(t) dt = F(b) - F(a),</math> जहाँ <math>F(x) = \int_{a }^{b }f(x) dx</math>
	* ~~The part~~ 1 (FTC 1) is d/dx ~~∫a<sup>~~x~~</sup>~~ f(t) dt = f(x)
	* ~~The part~~ 2 (FTC 2) ~~is ∫a~~<~~sup~~>b~~</sup>~~ f(t) dt = F(b) - F(a), ~~where~~ F(x) = ~~∫a<sup>~~b~~</sup>~~ f(x) dx

	आइए इन प्रमेयों में से प्रत्येक के बारे में उनके प्रमाणों के साथ विस्तार से जानें।		आइए इन प्रमेयों में से प्रत्येक के बारे में उनके प्रमाणों के साथ विस्तार से जानें।

	कलन का पहला मौलिक प्रमेय (भाग 1)		=== कलन का पहला मौलिक प्रमेय (भाग 1) ===

	कलन का पहला मौलिक प्रमेय (FTC भाग 1) एक समाकल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है और इसलिए यह व्युत्पन्न और समाकल के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस प्रमेय का उपयोग करके, हम वास्तव में निश्चित समाकल का मूल्यांकन किए बिना एक निश्चित समाकल के व्युत्पन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं। कलन का पहला मौलिक प्रमेय (FTC 1) इस प्रकार बताया गया है।		कलन का पहला मौलिक प्रमेय (FTC भाग 1) एक समाकल के व्युत्पन्न को खोजने के लिए उपयोग किया जाता है और इसलिए यह व्युत्पन्न और समाकल के बीच संबंध को परिभाषित करता है। इस प्रमेय का उपयोग करके, हम वास्तव में निश्चित समाकल का मूल्यांकन किए बिना एक निश्चित समाकल के व्युत्पन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं। कलन का पहला मौलिक प्रमेय (FTC 1) इस प्रकार बताया गया है।

Line 66:		Line 65:
	इस प्रकार कलन का पहला मूलभूत प्रमेय सिद्ध होता है।		इस प्रकार कलन का पहला मूलभूत प्रमेय सिद्ध होता है।

	~~कैलकुलस~~ का दूसरा मौलिक प्रमेय (भाग 2)		कलन का दूसरा मौलिक प्रमेय (भाग 2)

	~~कैलकुलस~~ का दूसरा मौलिक प्रमेय (FTC भाग 2) कहता है कि किसी फ़ंक्शन के निश्चित समाकल का मान फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज में ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करके और परिणामों को क्रम से घटाकर प्राप्त किया जाता है। आमतौर पर, किसी फ़ंक्शन के निश्चित समाकल की गणना करने के लिए, हम दिए गए अंतराल के भीतर स्थित उस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र को कई आयतों में विभाजित करेंगे और फिर हम ऐसे सभी आयतों के क्षेत्रों को जोड़ देंगे (इस प्रक्रिया को रीमैन ~~एकीकरण~~ कहा जाता है)। यह प्रमेय रीमैन योग (या वक्रों के अंतर्गत क्षेत्र की गणना) का उपयोग किए बिना एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने में मदद करता है। ~~कैलकुलस~~ का दूसरा मौलिक प्रमेय (FTC 2) इस प्रकार बताया गया है।		कलन का दूसरा मौलिक प्रमेय (FTC भाग 2) कहता है कि किसी फ़ंक्शन के निश्चित समाकल का मान फ़ंक्शन के प्रतिअवकलज में ऊपरी और निचली सीमाओं को प्रतिस्थापित करके और परिणामों को क्रम से घटाकर प्राप्त किया जाता है। आमतौर पर, किसी फ़ंक्शन के निश्चित समाकल की गणना करने के लिए, हम दिए गए अंतराल के भीतर स्थित उस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र को कई आयतों में विभाजित करेंगे और फिर हम ऐसे सभी आयतों के क्षेत्रों को जोड़ देंगे (इस प्रक्रिया को रीमैन समाकलन कहा जाता है)। यह प्रमेय रीमैन योग (या वक्रों के अंतर्गत क्षेत्र की गणना) का उपयोग किए बिना एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने में मदद करता है। कलन का दूसरा मौलिक प्रमेय (FTC 2) इस प्रकार बताया गया है।

	"यदि f(x) [a, b] पर एक सतत फलन है और यदि F(x) f(x) का कुछ प्रतिअवकलज है (अर्थात, F'(x) = f(x)) तो ∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)"		"यदि f(x) [a, b] पर एक सतत फलन है और यदि F(x) f(x) का कुछ प्रतिअवकलज है (अर्थात, F'(x) = f(x)) तो ∫ab f(x) dx = F(b) - F(a)"
Line 84:		Line 83:
	g(x) = ∫ax f(t) dt.		g(x) = ∫ax f(t) dt.

	फिर ~~कैलकुलस~~ के मौलिक प्रमेय (FTC 1) के पहले भाग के अनुसार, g'(x) = f(x) ... (2)		फिर कलन के मौलिक प्रमेय (FTC 1) के पहले भाग के अनुसार, g'(x) = f(x) ... (2)

	आइए हम एक और फ़ंक्शन h(x) परिभाषित करें जैसे कि		आइए हम एक और फ़ंक्शन h(x) परिभाषित करें जैसे कि
Line 118:		Line 117:
	इस प्रकार समाकलन कलन का दूसरा मूल सिद्धांत सिद्ध होता है।		इस प्रकार समाकलन कलन का दूसरा मूल सिद्धांत सिद्ध होता है।

	== ~~कैलकुलस~~ के मूलभूत सिद्धांत के अनुप्रयोग ==		== कलन के मूलभूत सिद्धांत के अनुप्रयोग ==

	* ~~कैलकुलस~~ का मूलभूत सिद्धांत व्युत्पन्न और समाकल के बीच एक बहुत मजबूत संबंध देता है।		* कलन का मूलभूत सिद्धांत व्युत्पन्न और समाकल के बीच एक बहुत मजबूत संबंध देता है।
	* रीमैन योग का उपयोग किए बिना एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने में यह सहायक है।		* रीमैन योग का उपयोग किए बिना एक निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने में यह सहायक है।
	* इसका उपयोग आसानी से एक वक्र के नीचे का क्षेत्र खोजने के लिए किया जाता है।		* इसका उपयोग आसानी से एक वक्र के नीचे का क्षेत्र खोजने के लिए किया जाता है।
	* इसका उपयोग किसी समाकल का व्युत्पन्न खोजने के लिए किया जाता है।		* इसका उपयोग किसी समाकल का व्युत्पन्न खोजने के लिए किया जाता है।

	== ~~कैलकुलस~~ के मूलभूत सिद्धांत पर महत्वपूर्ण नोट्स: ==		== कलन के मूलभूत सिद्धांत पर महत्वपूर्ण नोट्स: ==

	* FTC 1 का उपयोग करते हुए, d/dx ∫ax f(t) dt = f(x), जहाँ 'a' एक स्थिरांक है।		* FTC 1 का उपयोग करते हुए, d/dx ∫ax f(t) dt = f(x), जहाँ 'a' एक स्थिरांक है।

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2024-12-07T03:22:28Z

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	Fundamental Theorem of Calculus		Fundamental Theorem of Calculus

	~~[[Category:कलन]]~~
	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	[[Category:कलन]]		[[Category:कलन]]
	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	[[Category:कलन]]		[[Category:कलन]]
	[[Category:समाकलन]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]]

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	[[Category:कलन]]		[[Category:कलन]]
			[[Category:समाकलन]]

Sarika at 06:47, 19 April 2023

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← Older revision		Revision as of 12:17, 19 April 2023
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	Fundamental Theorem of Calculus		Fundamental Theorem of Calculus
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:कलन~~]][[Category: कक्षा-12~~]]		[[Category:कलन]]

कलन की आधारभूत प्रमेय - Revision history

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