किसी बहुपद के शून्यकों और गुणांकों में सम्बंध - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-10-10T07:52:37Z

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	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]
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	इस इकाई में हम बहुपद के शून्यको तथा उसके गुणांकों के बीच संबंध को जानेंगे , तो आईए सबसे पहले हम बहुपद के शून्यको के बारे में जानते हैं । किसी बहुपद <math>p(x)</math> में यदि <math>p(k)=0</math> तो <math>k</math> को बहुपद <math>p(x)</math> का शून्यक कहा जाता है , जहां <math>k</math> एक वास्तविक संख्या होगी । बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम उस बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं और उसमें चर का मान ज्ञात करते हैं। चर का मान बहुपद का शून्यक या मूल कहलाता हैं, जो बहुपद की घात पर निर्भर करता है। यदि बहुपद की घात <math>1</math> है, तो एक शून्यक होगा और यदि घात <math>2</math> है, तो दो शून्यक होंगे । किसी बहुपद में चर से गुणा की जाने वाली वास्तविक संख्या को उसका गुणांक कहा जाता है ।		इस इकाई में हम बहुपद के शून्यको तथा उसके गुणांकों के बीच संबंध को जानेंगे , तो आईए सबसे पहले हम बहुपद के शून्यको के बारे में जानते हैं । किसी बहुपद <math>p(x)</math> में यदि <math>p(k)=0</math> तो <math>k</math> को बहुपद <math>p(x)</math> का शून्यक कहा जाता है , जहां <math>k</math> एक वास्तविक संख्या होगी । बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम उस बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं और उसमें चर का मान ज्ञात करते हैं। चर का मान बहुपद का शून्यक या मूल कहलाता हैं, जो बहुपद की घात पर निर्भर करता है। यदि बहुपद की घात <math>1</math> है, तो एक शून्यक होगा और यदि घात <math>2</math> है, तो दो शून्यक होंगे । किसी बहुपद में चर से गुणा की जाने वाली वास्तविक संख्या को उसका गुणांक कहा जाता है ।

Mani at 13:53, 25 September 2023

2023-09-25T13:53:52Z

← Older revision		Revision as of 19:23, 25 September 2023
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	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]
	इस इकाई में हम बहुपद के शून्यको तथा उसके गुणांकों के बीच संबंध को जानेंगे , तो आईए सबसे पहले हम बहुपद के शून्यको के बारे में जानते हैं । किसी बहुपद <math>p(x)</math> में यदि <math>p(k)=0</math> तो <math>k</math> को बहुपद <math>p(x)</math> का शून्यक कहा जाता है , जहां <math>k</math> एक वास्तविक संख्या होगी । बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम उस बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं और उसमें चर का मान ज्ञात करते हैं। चर का मान बहुपद का शून्यक या मूल कहलाता हैं जो बहुपद की घात पर निर्भर करता है। यदि बहुपद की घात <math>1</math> है तो एक शून्यक होगा और यदि घात <math>2</math> है तो दो शून्यक होंगे । किसी बहुपद में चर से गुणा की जाने वाली वास्तविक संख्या को उसका गुणांक कहा जाता है ।		इस इकाई में हम बहुपद के शून्यको तथा उसके गुणांकों के बीच संबंध को जानेंगे , तो आईए सबसे पहले हम बहुपद के शून्यको के बारे में जानते हैं । किसी बहुपद <math>p(x)</math> में यदि <math>p(k)=0</math> तो <math>k</math> को बहुपद <math>p(x)</math> का शून्यक कहा जाता है , जहां <math>k</math> एक वास्तविक संख्या होगी । बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम उस बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं और उसमें चर का मान ज्ञात करते हैं। चर का मान बहुपद का शून्यक या मूल कहलाता हैं, जो बहुपद की घात पर निर्भर करता है। यदि बहुपद की घात <math>1</math> है, तो एक शून्यक होगा और यदि घात <math>2</math> है, तो दो शून्यक होंगे । किसी बहुपद में चर से गुणा की जाने वाली वास्तविक संख्या को उसका गुणांक कहा जाता है ।

	== रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध ==		== रैखिक बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध ==
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	हल		हल

	उपर्युक्त बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद <math>p(x)=x^2+7x+10</math> को शून्य के ~~बराबर~~ रखते हैं ,		उपर्युक्त बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद <math>p(x)=x^2+7x+10</math> को शून्य के समान रखते हैं ,

	<math>p(x)=0</math>		<math>p(x)=0</math>
Line 120:		Line 120:
	हल		हल

	उपर्युक्त बहुपद <math>p(x)=x^3-6x^2+11x-6</math> का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद को शून्य के ~~बराबर~~ रखते हैं ,		उपर्युक्त बहुपद <math>p(x)=x^3-6x^2+11x-6</math> का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद को शून्य के समान रखते हैं ,

	<math>p(x)=0</math>		<math>p(x)=0</math>

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-09-25T13:18:40Z

उदाहरण

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Line 69:		Line 69:

	<math>p(x)=0</math>		<math>p(x)=0</math>

			<math>x^2+7x+10=0</math>

			गुणनखंड करने पर ,

	<math>x^2+2x+5x+10=0</math>		<math>x^2+2x+5x+10=0</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण */

2023-09-25T13:09:44Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 18:39, 25 September 2023
Line 66:		Line 66:
	हल		हल

	हम बहुपद <math>x^2+7x+10</math> को <math> (x~~+2)(x+5~~)</math> ~~रूप में निरूपित कर सकते हैं ।~~		उपर्युक्त बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद <math>p(x)=x^2+7x+10</math> को शून्य के बराबर रखते हैं ,

			<math>p(x)=0</math>

	<~~nowiki~~>~~----~~</~~nowiki~~>		<math>x^2+2x+5x+10=0</math>

	<math>x^2+2x+~~5x+10~~</math>		<math>x(x+2)+5(x+2)=0</math>

	<math>x(x+2)+5(x+2)</math>		<math> (x+2)(x+5)=0</math>

	<math> (x+2)(x+5)</math>		हम बहुपद <math>x^2+7x+10</math> को <math> (x+2)(x+5)</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं ।

	इस प्रकार उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>-2,-5</math> होंगे । ( <math>\alpha=-2 , \beta=-5</math> )		इस प्रकार उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>-2,-5</math> होंगे । ( <math>\alpha=-2 , \beta=-5</math> )
Line 80:		Line 82:
	बहुपद <math>x^2+7x+10</math> को <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से तुलना करने पर <math>a= 1, b=7,c=10</math>		बहुपद <math>x^2+7x+10</math> को <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से तुलना करने पर <math>a= 1, b=7,c=10</math>

	<math>\alpha+\beta=</math>(<math>-x</math> का गुणांक / <math>x^2</math> का गुणांक )		शून्यकों का योग ,

			<math>\alpha+\beta= \frac{-b}{a}</math> <math>=</math> (<math>-x</math> का गुणांक/ <math>x^2</math> का गुणांक )

	<math>-2+(-5)</math>= <math>\frac{-7}{1}</math>		<math>-2+(-5)</math>= <math>\frac{-7}{1}</math>

	<math>-7=-7</math>		<math>-7=-7</math>

	~~<nowiki>----</nowiki>~~

	~~इस प्रकार उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>-2,-5</math> होंगे । ( <math>\alpha=-2 , \beta=-5</math> )~~

	~~शून्यकों का योग~~

	~~<math>\alpha+\beta=</math><math>-2+(-5)</math>~~

	~~<math>\alpha+\beta=</math><math>-7</math>~~

	<math>\alpha+\beta=</math>(<math>-x</math> का गुणांक / <math>x^2</math> का गुणांक ) [ बहुपद <math>x^2+7x+10</math> को <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से तुलना करने पर ]

	शून्यकों का गुणनफल ,		शून्यकों का गुणनफल ,

	<math>\alpha\beta=~~</math><math>(-2)\times (-5)</math>~~		<math>\alpha\beta=\frac{c}{a}</math> <math>=</math> ( अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक )

	~~<math>\alpha\beta=</math><math>10</math>~~

	~~<math>\alpha~~\~~beta=</math>(अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक ) [ बहुपद <math>x^2+7x+10</math> को <math>p(x)=ax^2+bx+~~c</math> ~~से तुलना करने पर ]~~

	~~<nowiki>----</nowiki>~~

	<math>~~\alpha\beta~~=</math>(अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक )

	<math>(-2)\times (-5)</math>=<math>\frac{10}{1}</math>		<math>(-2)\times (-5)</math>=<math>\frac{10}{1}</math>

	<math>10=10</math>		<math>10=10</math>

	~~---~~

	अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2+7x+10</math> के शून्यक <math>-2,-5</math> होंगे ।		अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2+7x+10</math> के शून्यक <math>-2,-5</math> होंगे ।

Jaya agarwal: /* घन बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध */

2023-09-25T13:04:51Z

घन बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध

← Older revision		Revision as of 18:34, 25 September 2023
Line 134:		Line 134:
	हल		हल

	उपर्युक्त बहुपद <math>p(x)=x^3-6x^2+11x-6</math> का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं ,		उपर्युक्त बहुपद <math>p(x)=x^3-6x^2+11x-6</math> का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं ,

	<math>p(x)=0</math>		<math>p(x)=0</math>

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-09-25T13:02:18Z

उदाहरण

@@ Line 67: / Line 67: @@
 हम  बहुपद  <math>x^2+7x+10</math>  को  <math> (x+2)(x+5)</math>  रूप में  निरूपित कर सकते हैं ।
 इस प्रकार  उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>-2,-5</math> होंगे । ( <math>\alpha=-2 , \beta=-5</math> )
@@ Line 85: / Line 105: @@
 <math>\alpha\beta=</math>(अचर पद  /  <math>x^2</math> का गुणांक )         [ बहुपद  <math>x^2+7x+10</math> को  <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से  तुलना करने पर ]
 अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2+7x+10</math> के शून्यक <math>-2,-5</math>  होंगे ।

Jaya agarwal: /* उदाहरण */

2023-09-25T12:24:35Z

उदाहरण

@@ Line 133: / Line 133: @@
 इस प्रकार  उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>1,2,3</math> होंगे । ( <math>\alpha=1 , \beta=2 , \gamma=3</math> )
 शून्यकों का योग ,
 <math>\alpha+\beta+\gamma= \frac {-b}{a}</math> =  ( <math> -</math> <math>x^2</math> का गुणांक/  <math>x^3</math> का गुणांक )
@@ Line 153: / Line 143: @@
 <math>6 = 6</math>
 एक समय पर दो शून्यको के गुणनफल का योग लेने पर ,
 <math>\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac{c}{a}</math>= (  <math>x</math> का गुणांक/  <math>x^3</math> का गुणांक )
@@ Line 177: / Line 153: @@
 <math>11=11</math>
 शून्यकों का गुणनफल ,
 <math>\alpha\beta\gamma= \frac{-d}{a}=</math>( <math> -</math>अचर पद/  <math>x^3</math> का गुणांक )
@@ Line 197: / Line 161: @@
 <math>6=6</math>
 अतः , उपर्युक्त बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math> के शून्यक <math>1,2,3</math>  होंगे ।

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-09-25T09:09:21Z

उदाहरण

@@ Line 143: / Line 143: @@
 <math>\alpha+\beta+\gamma= </math>  ( <math> -</math> <math>x^2</math> का गुणांक/  <math>x^3</math> का गुणांक )      [ बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math>  को  <math>p(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> से  तुलना करने पर ]
 एक समय पर दो शून्यको के गुणनफल का योग लेने पर ,
@@ Line 155: / Line 167: @@
 <math>\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=</math> (  <math>x</math> का गुणांक/  <math>x^3</math> का गुणांक )          [ बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math>  को  <math>p(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> से  तुलना करने पर ]
 शून्यकों का गुणनफल ,
@@ Line 165: / Line 189: @@
 <math>\alpha\beta\gamma= </math> ( <math> -</math>अचर पद/  <math>x^3</math> का गुणांक )                             [ बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math>  को  <math>p(x)=ax^3+bx^2+cx+d</math> से  तुलना करने पर ]
 अतः , उपर्युक्त बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math> के शून्यक <math>1,2,3</math>  होंगे ।

Jaya agarwal: /* उदाहरण */

2023-09-25T07:55:20Z

उदाहरण

@@ Line 100: / Line 100: @@
 === उदाहरण ===
-घन बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math> के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांक के बीच संबंध सत्यापित करें ।
+घन बहुपद <math>p(x)=x^3-6x^2+11x-6</math> के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांक के बीच संबंध सत्यापित करें ।
 हल
-हम  बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math>  को  <math> (x-1)(x-2)(x-3)</math>  रूप में  निरूपित कर सकते हैं ।
+उपर्युक्त बहुपद <math>p(x)=x^3-6x^2+11x-6</math>  का शून्यक ज्ञात करने के लिए हम बहुपद को शून्य के बराबर रखते हैं ,
 इस प्रकार  उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>1,2,3</math> होंगे । ( <math>\alpha=1 , \beta=2 , \gamma=3</math> )

Jaya agarwal: /* घन बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध */

2023-09-25T07:18:33Z

घन बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध

← Older revision		Revision as of 12:48, 25 September 2023
Line 101:		Line 101:
	=== उदाहरण ===		=== उदाहरण ===
	घन बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math> के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांक के बीच संबंध सत्यापित करें ।		घन बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math> के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांक के बीच संबंध सत्यापित करें ।

			हल

	हम बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math> को <math> (x-1)(x-2)(x-3)</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं ।		हम बहुपद <math>x^3-6x^2+11x-6</math> को <math> (x-1)(x-2)(x-3)</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं ।