कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन - Revision history

Mani at 12:29, 5 December 2024

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	== समाकलन फलनों का प्रमाण ==		== समाकलन फलनों का प्रमाण ==
	अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।		अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।

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	समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट [[फलनों के प्रकार\|फलनों]] के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।		समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट [[फलनों के प्रकार\|फलनों]] के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।

	कई महत्वपूर्ण [[समाकलन की विधियाँ\|समाकलन]] सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।		कई महत्वपूर्ण [[समाकलन की विधियाँ\|समाकलन]] सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।[[File:कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन.jpg\|thumb\|कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]

	== समाकलन फलनों का प्रमाण ==		== समाकलन फलनों का प्रमाण ==
	अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।		अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।
	~~[[File:कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन.jpg\|thumb\|कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]~~

Mani at 12:28, 5 December 2024

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	अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।		अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।
	[[File:कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन.jpg\|thumb\|कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]		[[File:कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन.jpg\|thumb\|कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन]]

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	=== फलन 4 का समाकलन ===		=== फलन 4 का समाकलन ===
	∫ dy / √ (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = log \|y + √ (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2</~~sup~~>~~)\| + C~~		<math>\int dy / \sqrt{(y^2 - a^2)} = \log \left\vert y + \sqrt{ (y^2 - a^2)} \right\vert + C</math>

	प्रतिस्थापित y = a sec t		प्रतिस्थापित <math>y = a\ sec\ t</math>

	इसलिए, dy = a sec t tan t dt.		इसलिए, <math>dy = a\ sec\ t\ tan\ t \ dt</math>

	इसलिए,		इसलिए,

	∫ dy / √ (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = ∫ a sec t tan t dt / √ (a~~<sup>~~2~~</sup>~~ sec~~<sup>~~2~~</sup>~~ t – a~~<sup>~~2</~~sup~~>)		<math>\int dy / \sqrt{(y^2 -a^2)} = \int a\ sec\ t\ tan \ t\ dt / \sqrt{(a^2 sec^2 t - a^2)}</math>

	इसका समाधान करते हुए,		इसका समाधान करते हुए,

	∫ dy / √ (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = ∫ sec t dt = log \|sec t + tan t\| + ~~C<sub>1~~</~~sub~~>		<math>\int dy / \sqrt{(y^2 - a^2)} = \int sec\ t\ dt = \log \left\vert sec\ t + tan\ t \right\vert + C_1</math>

	t का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर,		<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करने पर,

	∫ dy / √ (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = log \|(y/a) + √ [(y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) / a~~<sup>~~2~~</sup>~~]\| + ~~C<sub>1~~</~~sub~~>		<math>\int dy / \sqrt{(y^2 -a^2)} = \log \left\vert (y/a) + \sqrt{[(y^2 -a^2) / a^2]} \right\vert + C_1</math>

	इसका समाधान करते हुए,		इसका समाधान करते हुए,

	= log \|y + √(y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~)~~\| –~~ log \|a\| + ~~C<sub>1~~</~~sub~~>		<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y^2 - a^2)} \right\vert - \log \left\vert a \right\vert + C_1</math>

	अत:,		अत:,

	= log \|y + √(y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2</~~sup~~>~~)\| + C~~		<math>= \log \left\vert y + \sqrt{(y^2-a^2)} \right\vert + C</math>

	जहाँ, C = ~~C<sub>1~~</~~sub~~> ~~– log \|a\|~~		जहाँ, <math>C = C_1 - \log \left\vert a \right\vert</math>

	=== फलन 5 का समाकलन ===		=== फलन 5 का समाकलन ===
Line 123:		Line 123:
	∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = ∫ t dt = t + C		∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = ∫ t dt = t + C

	t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,		<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,

	∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C		∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C
Line 142:		Line 142:
	∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ sec t dt = log \|sec t + tan t\| + C<sub>1</sub>		∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = ∫ sec t dt = log \|sec t + tan t\| + C<sub>1</sub>

	t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,		<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,

	∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log \|(y/a) + √ [(y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) / a<sup>2</sup>]\| + C<sub>1</sub>		∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log \|(y/a) + √ [(y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) / a<sup>2</sup>]\| + C<sub>1</sub>

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	अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।		अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।

	=== फलन 1 का ~~इंटीग्रल~~ ===		=== फलन 1 का समाकलन ===
	<math>\int dy / (y^2- a^2) = 1/2a \log \left\vert (y- a) / (y + a) \right\vert + C</math>		<math>\int dy / (y^2- a^2) = 1/2a \log \left\vert (y- a) / (y + a) \right\vert + C</math>

Line 62:		Line 62:
	<math>= 1/2a \log \left\vert (a + y) / (a - y) \right\vert + C</math>		<math>= 1/2a \log \left\vert (a + y) / (a - y) \right\vert + C</math>

	=== फलन 3 का ~~इंटीग्रल~~ ===		=== फलन 3 का समाकलन ===
	∫ dy / (y~~<sup>~~2~~</sup>~~ + a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1/a tan~~<sup>–1</sup>~~ (y/a) + C		<math>\int dy / (y^2 + a^2) = 1/a\ tan^{-1} (y/a) + C</math>

	y = a tan t रखने पर, आपको dy = a ~~sec2~~ t dt प्राप्त होगा।		<math>y = a \ tan\ t</math> रखने पर, आपको <math>dy = a sec^2\ t\ dt</math> प्राप्त होगा।

	इसलिए,		इसलिए,

	∫ dy / (y~~<sup>~~2~~</sup>~~ + a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = ∫ [(a sec~~<sup>~~2~~</sup>~~ t dt) / (a~~<sup>~~2~~</sup>~~ tan~~<sup>~~2~~</sup>~~ t + a~~<sup>~~2</~~sup~~>)]		<math>\int dy / (y^2 + a^2) = \int [(a \ sec^2\ t \ dt) / (a^2\ tan^2\ t + a^2)]</math>

	इसका समाधान करते हुए,		इसका समाधान करते हुए,

	∫ dy / (y~~<sup>~~2~~</sup>~~ + a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1/a ∫ dt = t/a + C		<math>\int dy / (y^2 + a^2) = 1/a \int dt = t/a + C</math>

	t का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,		<math>t</math> का मान पुनः प्रतिस्थापित करें,

	∫ dy / (y~~<sup>~~2~~</sup>~~ + a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1/a tan~~<sup>–1</sup>~~ (y/a) + C		<math>\int dy / (y^2 + a^2) = 1/a\ tan^{-1} (y/a) + C</math>

	=== फलन 4 का ~~इंटीग्रल~~ ===		=== फलन 4 का समाकलन ===
	∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)\| + C		∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)\| + C

Line 108:		Line 108:
	जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|		जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|

	=== फलन 5 का ~~इंटीग्रल~~ ===		=== फलन 5 का समाकलन ===
	∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C		∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C

Line 127:		Line 127:
	∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C		∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C

	=== फलन 6 का ~~इंटीग्रल~~ ===		=== फलन 6 का समाकलन ===
	∫ dy / √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)\| + C		∫ dy / √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)\| + C

Line 156:		Line 156:
	जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|		जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|

	=== फलन 7 का ~~इंटीग्रल~~ ===		=== फलन 7 का समाकलन ===
	∫ dy / (ay<sup>2</sup> + by + c)		∫ dy / (ay<sup>2</sup> + by + c)

Line 183:		Line 183:
	आप ऊपर दिखाए गए siy एकीकरण सूत्रों में से एक या अधिक का उपयोग करके इस समीकरण का मूल्यांकन कर सकते हैं। याद रखें कि आप इसी तरह से समीकरण ∫ dy / √ (ay2 + by + c) को भी हल कर सकते हैं।		आप ऊपर दिखाए गए siy एकीकरण सूत्रों में से एक या अधिक का उपयोग करके इस समीकरण का मूल्यांकन कर सकते हैं। याद रखें कि आप इसी तरह से समीकरण ∫ dy / √ (ay2 + by + c) को भी हल कर सकते हैं।

	=== फलन 8 का ~~इंटीग्रल~~ ===		=== फलन 8 का समाकलन ===
	∫ [(py + q) / (ay<sup>2</sup> + by + c)] dy,		∫ [(py + q) / (ay<sup>2</sup> + by + c)] dy,

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	अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।		अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।

	=== ~~फंक्शन~~ 1 का इंटीग्रल ===		=== फलन 1 का इंटीग्रल ===
	∫ dy / (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1/2a log \|(y – a) / (y + a)\| + C		<math>\int dy / (y^2- a^2) = 1/2a \log \left\vert (y- a) / (y + a) \right\vert + C</math>

	जैसा कि आप जानते हैं,		जैसा कि आप जानते हैं,

	1 / (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1 / (y – a) (y + a)		<math>1 / (y^2 - a^2) = 1 / (y - a) (y + a)</math>

	इसका समाधान करते हुए,		इसका समाधान करते हुए,

	= 1/2a		<math>= 1/2a(y+a)-(y-a)/(y-a)(y+a)</math>

	इसे और कम करते हुए,		इसे और कम करते हुए,

	= 1/2a		<math>= 1/2a\ 1/(y-a)-1/(y+a)</math>

	अतः, ∫ dy / (y~~<sup>~~2~~</sup> –~~ a~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1/2a		अतः, <math>\int dy / (y^2-a^2) = 1/2a\int dy/(y-a)-\int dy/(y+a)</math>

	इसका समाधान करते हुए,		इसका समाधान करते हुए,

	= 1/2a + C		<math>= 1/2a\log \left\vert (y-a)-\log \right\vert (y+a) + C</math>

	अत:,		अत:,

	= 1/2a log \|(y – a) / (y + a)\| + C		<math>= 1/2a \log \left\vert (y - a) / (y + a) \right\vert + C</math>

	=== ~~फंक्शन~~ 2 का समाकलन ===		=== फलन 2 का समाकलन ===
	∫ dy / (a~~<sup>~~2~~</sup> –~~ y~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1/2a log \|(a + y) / (a – y)\| + C		<math>\int dy / (a^2 -y^2) = 1/2a \log \left\vert (a + y) / (a- y) \right\vert + C</math>

	जैसा कि आप जानते हैं,		जैसा कि आप जानते हैं,

	1 / (a~~<sup>~~2~~</sup> –~~ y~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1 / (a – y) (a + y)		<math>1 / (a^2- y^2) = 1 / (a - y) (a + y)</math>

	इसका समाधान करते हुए,		इसका समाधान करते हुए,

	= 1/2a		<math>= 1/2a\ (a+y)+(a-y)/(a-y)(a+y)</math>

	अत:,		अत:,

	= 1/2a		<math>= 1/2a\ 1/(a-y)+1/(a+y)</math>

	इसलिए, ∫ dy / (a~~<sup>~~2~~</sup> –~~ y~~<sup>~~2~~</sup>~~) = 1/2a		इसलिए, <math>\int dy / (a^2 -y^2) = 1/2a\int dy/(a-y)+\int dy/(a+y)</math>

	जब आप हल करते हैं,		जब आप हल करते हैं,

	= 1/2a + C		<math>= 1/2a-\log \left\vert (a-y)+\log \right\vert (a+y) + C</math>

	अत:,		अत:,

	= 1/2a log \|(a + y) / (a – y)\| + C		<math>= 1/2a \log \left\vert (a + y) / (a - y) \right\vert + C</math>

	=== ~~फंक्शन~~ 3 का इंटीग्रल ===		=== फलन 3 का इंटीग्रल ===
	∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = 1/a tan<sup>–1</sup> (y/a) + C		∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = 1/a tan<sup>–1</sup> (y/a) + C

Line 79:		Line 79:
	∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = 1/a tan<sup>–1</sup> (y/a) + C		∫ dy / (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = 1/a tan<sup>–1</sup> (y/a) + C

	=== ~~फंक्शन~~ 4 का इंटीग्रल ===		=== फलन 4 का इंटीग्रल ===
	∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)\| + C		∫ dy / √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>)\| + C

Line 108:		Line 108:
	जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|		जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|

	=== ~~फंक्शन~~ 5 का इंटीग्रल ===		=== फलन 5 का इंटीग्रल ===
	∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C		∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C

Line 127:		Line 127:
	∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C		∫ dy / √ (a<sup>2</sup> – y<sup>2</sup>) = sin<sup>–1</sup> (y/a) + C

	=== ~~फंक्शन~~ 6 का इंटीग्रल ===		=== फलन 6 का इंटीग्रल ===
	∫ dy / √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)\| + C		∫ dy / √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>) = log \|y + √ (y<sup>2</sup> + a<sup>2</sup>)\| + C

Line 156:		Line 156:
	जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|		जहाँ, C = C<sub>1</sub> – log \|a\|

	=== ~~फंक्शन~~ 7 का इंटीग्रल ===		=== फलन 7 का इंटीग्रल ===
	∫ dy / (ay<sup>2</sup> + by + c)		∫ dy / (ay<sup>2</sup> + by + c)

Line 183:		Line 183:
	आप ऊपर दिखाए गए siy एकीकरण सूत्रों में से एक या अधिक का उपयोग करके इस समीकरण का मूल्यांकन कर सकते हैं। याद रखें कि आप इसी तरह से समीकरण ∫ dy / √ (ay2 + by + c) को भी हल कर सकते हैं।		आप ऊपर दिखाए गए siy एकीकरण सूत्रों में से एक या अधिक का उपयोग करके इस समीकरण का मूल्यांकन कर सकते हैं। याद रखें कि आप इसी तरह से समीकरण ∫ dy / √ (ay2 + by + c) को भी हल कर सकते हैं।

	=== ~~फंक्शन~~ 8 का इंटीग्रल ===		=== फलन 8 का इंटीग्रल ===
	∫ [(py + q) / (ay<sup>2</sup> + by + c)] dy,		∫ [(py + q) / (ay<sup>2</sup> + by + c)] dy,

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Line 1:		Line 1:
	~~इंटीग्रल~~ एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर ~~कार्यों~~ को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ ~~विशेष कार्यों~~ के ~~इंटीग्रल~~ पर चर्चा करें जो ~~आम तौर पर~~ गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन ~~इंटीग्रल~~ के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी ~~फ़ंक्शन~~ का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।		समाकलन एक विधि है, जो बड़े पैमाने पर फलनों को संक्षेप में प्रस्तुत करती है। इस लेख में, आइए कुछ विशिष्ट फलनों के समाकलन पर चर्चा करें जो साधारणतः गणना के लिए उपयोग किए जाते हैं। इन समाकलन के वास्तविक जीवन में भी कई तरह के अनुप्रयोग हैं, जैसे कि वक्रों के बीच का क्षेत्र ज्ञात करना, आयतन ज्ञात करना, किसी फलन का औसत मान ज्ञात करना, द्रव्यमान का केंद्र, गतिज ऊर्जा, किए गए कार्य की मात्रा, और बहुत कुछ।

	कई महत्वपूर्ण ~~एकीकरण~~ सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन ~~विशेष कार्यों~~ के समाकलनों पर एक ~~नज़र~~ डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।		कई महत्वपूर्ण समाकलन सूत्र हैं जो कई अन्य मानक समाकलनों को एकीकृत करने के लिए लागू किए जाते हैं। इस लेख में, हम इन विशिष्ट फलनों के समाकलनों पर एक दृष्टि डालेंगे और देखेंगे कि उनका उपयोग कई अन्य मानक समाकलनों में कैसे किया जाता है।

	~~विशेष कार्यों~~ के समाकलन		विशिष्ट फलनों के समाकलन




	~~समाकलन कार्यों का प्रमाण~~

	अब जब आप इन समाकलन ~~कार्यों~~ और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक ~~फ़ंक्शन~~ के प्रमाण पर एक ~~नज़र~~ डालें।		समाकलन फलनों का प्रमाण

			अब जब आप इन समाकलन फलनों और उनके मूल्यों के बारे में जानते हैं, तो आइए इनमें से प्रत्येक फलन के प्रमाण पर एक दृष्टि डालें।

	∫ dy / (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = 1/2a log \|(y – a) / (y + a)\| + C		∫ dy / (y<sup>2</sup> – a<sup>2</sup>) = 1/2a log \|(y – a) / (y + a)\| + C