केंद्र से जीवा पर लंब - Revision history

Ramamurthy: /* प्रमेय : */

2024-09-26T16:36:56Z

प्रमेय :

← Older revision		Revision as of 22:06, 26 September 2024
Line 52:		Line 52:
	<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)		<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)

	<math>AX=BX</math> (~~As,~~ <math>X</math> ~~is the midpoint of~~ AB)		<math>AX=BX</math> (क्योंकि <math>X</math> , <math>AB</math> का मध्यबिंदु है)

	अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.		अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.

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2024-09-18T06:30:52Z

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← Older revision		Revision as of 12:00, 18 September 2024
Line 38:		Line 38:
	चित्र-1 पर विचार करें		चित्र-1 पर विचार करें

	~~Assume that~~ <math>AB</math> ~~is the chord of a circle with centre~~ <math>O</math>.		मान लीजिए <math>AB</math> केंद्र <math>O</math> वाले वृत्त की जीवा है।

	~~The centre~~ <math>O</math> ~~is joined to the midpoint~~ <math>X</math> ~~of the chord~~ <math>AB</math>.		केंद्र <math>O</math> को जीवा <math>AB</math> के मध्यबिंदु <math>X</math> से जोड़ा गया है।

	~~Now~~, ~~we need to prove~~ <math>OX\perp AB</math>		अब, हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है <math>OX\perp AB</math>

	~~Join~~ <math>OA</math> ~~and~~ <math>OB</math> ~~and the two triangles formed are~~ <math>OAX</math> ~~and~~ <math>OBX</math>.		<math>OA</math> और <math>OB</math> को मिलाने पर दो त्रिभुज <math>OAX</math> और <math>OBX</math> बनते हैं

	~~Here~~,		यहाँ,

	<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)		<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)
Line 54:		Line 54:
	<math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)		<math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)

	~~Therefore, we can say that~~ <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.		अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.

	~~Thus~~, ~~by using the~~ RHS ~~rule~~, ~~we get~~		इस प्रकार, RHS नियम का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

	<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>		<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

	~~This proves that the line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.Hence, the converse of this theorem is proved.~~		इससे यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केंद्र से होकर जीवा को समद्विभाजित करने वाली रेखा जीवा पर लंबवत होती है। अत: इस प्रमेय का व्युत्क्रम सिद्ध होता है।

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

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2024-09-18T06:21:35Z

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← Older revision		Revision as of 11:51, 18 September 2024
Line 4:		Line 4:

	=== प्रमेय : ===		=== प्रमेय : ===
	~~The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.~~		एक वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब, जीवा को समद्विभाजित करता है।

	'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|150x150px\|~~Fig.~~ 1]]		'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|150x150px\|चित्र-1]]
	~~Consider a circle with centre~~ <math>O</math> ~~shown in Fig. 1~~		चित्र-1 में दिखाए गए केंद्र वाले <math>O</math> वाले एक वृत्त पर विचार करें

	<math>AB</math> ~~is a chord such that the line~~ <math>OX</math> ~~is perpendicular to the chord~~ <math>AB</math>~~. (~~<math>OX\perp AB</math>)		<math>AB</math> एक जीवा है जिससे रेखा <math>OX</math> जीवा <math>AB</math> पर लंबवत है। <math>OX\perp AB</math>

	~~We need to prove~~: <math>AX=BX</math>		हमें प्रमाणित करने की आवश्यकता है:<math>AX=BX</math>

	~~Consider two triangles~~ <math>OAX</math> ~~and~~ <math>OBX</math>		दो त्रिभुजों <math>OAX</math> और <math>OBX</math> पर विचार करें

	<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>		<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

	<math>OX=OX</math> (~~Common side~~)		<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)

	<math>OA=OB</math> (~~Radii~~)		<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)

	~~By using the~~ RHS ~~rule~~, ~~we can prove that the triangle~~ <math>OAX</math> ~~is congruent to~~ <math>OBX</math>.		RHS नियम का उपयोग करके, हम सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज <math>OAX</math>, <math>OBX</math> के सर्वांगसम है।

	~~Therefore~~,		अतः,

	<math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>		<math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>

	~~Hence, we can say that~~ <math>AX=BX</math> ( ~~Using~~ CPCT)		अत: हम ऐसा कह सकते हैं <math>AX=BX</math> (CPCT द्वारा)

	~~Thus~~, ~~the perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord, is proved.~~		इस प्रकार, यह सिद्ध होता है कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।

	=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===		=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
	~~The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord~~		किसी जीवा को समद्विभाजित करने के लिए वृत्त के केंद्र से होकर खींची गई रेखा जीवा पर लंबवत होती है

	'''प्रमाण:'''		'''प्रमाण:'''

	~~Consider the Fig.~~ 1		चित्र-1 पर विचार करें

	Assume that <math>AB</math> is the chord of a circle with centre <math>O</math>.		Assume that <math>AB</math> is the chord of a circle with centre <math>O</math>.
Line 48:		Line 48:
	Here,		Here,

	<math>OA=OB</math> (~~Radii~~)		<math>OA=OB</math> (त्रिज्या)

	<math>OX=OX</math> (~~Common side~~)		<math>OX=OX</math> (समान भुजाएँ)

	<math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)		<math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)

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2024-09-18T05:55:43Z

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← Older revision		Revision as of 11:25, 18 September 2024
Line 1:		Line 1:
	गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से ~~लम्ब~~ से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।		गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लंब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

	== ~~Perpendicular from the Centre to a Chord – Theorem and Proof~~ ==		== केंद्र से जीवा पर लंब– प्रमेय एवं प्रमाण ==

	=== ~~Theorem~~: ===		=== प्रमेय : ===
	The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.		The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.

	'''~~Proof~~:'''[[File:Circle-1.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|150x150px\|Fig. 1]]		'''प्रमाण:'''[[File:Circle-1.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|150x150px\|Fig. 1]]
	Consider a circle with centre <math>O</math> shown in Fig. 1		Consider a circle with centre <math>O</math> shown in Fig. 1

Line 31:		Line 31:
	Thus, the perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord, is proved.		Thus, the perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord, is proved.

	=== ~~The Converse of this Theorem~~: ===		=== इस प्रमेय का व्युत्क्रम: ===
	The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord		The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord

	'''~~Proof~~:'''		'''प्रमाण:'''

	Consider the Fig. 1		Consider the Fig. 1

Mani: added content

2024-09-18T05:53:20Z

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← Older revision		Revision as of 11:23, 18 September 2024
Line 1:		Line 1:
	~~In Mathematics~~, a chord is a line segment that joins two points on the circumference of a circle. We know that the longest chord of a circle is a diameter that passes through the centre of a circle. In this article, the theorem related to the perpendicular from the centre to a circle and its proof, and the converse of this theorem in detail.		गणित में, जीवा एक रेखा खंड है जो एक वृत्त की परिधि पर दो बिंदुओं को जोड़ती है। हम जानते हैं कि किसी वृत्त की सबसे लंबी जीवा वह व्यास होती है जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है। इस लेख में वृत्त के केन्द्र से लम्ब से सम्बंधित प्रमेय और उसके प्रमाण तथा इस प्रमेय के व्युत्क्रम पर विस्तार से चर्चा की गई है।

	== Perpendicular from the Centre to a Chord – Theorem and Proof ==		== Perpendicular from the Centre to a Chord – Theorem and Proof ==

Mani at 05:46, 18 September 2024

2024-09-18T05:46:31Z

← Older revision		Revision as of 11:16, 18 September 2024
Line 1:		Line 1:
			In Mathematics, a chord is a line segment that joins two points on the circumference of a circle. We know that the longest chord of a circle is a diameter that passes through the centre of a circle. In this article, the theorem related to the perpendicular from the centre to a circle and its proof, and the converse of this theorem in detail.

			== Perpendicular from the Centre to a Chord – Theorem and Proof ==

			=== Theorem: ===
			The perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord.

			'''Proof:'''[[File:Circle-1.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|150x150px\|Fig. 1]]
			Consider a circle with centre <math>O</math> shown in Fig. 1

			<math>AB</math> is a chord such that the line <math>OX</math> is perpendicular to the chord <math>AB</math>. (<math>OX\perp AB</math>)

			We need to prove: <math>AX=BX</math>

			Consider two triangles <math>OAX</math> and <math>OBX</math>

			<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

			<math>OX=OX</math> (Common side)

			<math>OA=OB</math> (Radii)

			By using the RHS rule, we can prove that the triangle <math>OAX</math> is congruent to <math>OBX</math>.

			Therefore,

			<math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>

			Hence, we can say that <math>AX=BX</math> ( Using CPCT)

			Thus, the perpendicular from the centre of a circle to a chord bisects the chord, is proved.

			=== The Converse of this Theorem: ===
			The line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord

			'''Proof:'''

			Consider the Fig. 1

			Assume that <math>AB</math> is the chord of a circle with centre <math>O</math>.

			The centre <math>O</math> is joined to the midpoint <math>X</math> of the chord <math>AB</math>.

			Now, we need to prove <math>OX\perp AB</math>

			Join <math>OA</math> and <math>OB</math> and the two triangles formed are <math>OAX</math> and <math>OBX</math>.

			Here,

			<math>OA=OB</math> (Radii)

			<math>OX=OX</math> (Common side)

			<math>AX=BX</math> (As, <math>X</math> is the midpoint of AB)

			Therefore, we can say that <math>\triangle OAX \cong \triangle OBX </math>.

			Thus, by using the RHS rule, we get

			<math>\angle OXA =\angle OXB=90^\circ </math>

			This proves that the line drawn through the centre of a circle to bisect a chord is perpendicular to the chord.Hence, the converse of this theorem is proved.

	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
	~~Perpendicular from the centre to a chord~~

Mani at 08:54, 16 August 2023

2023-08-16T08:54:43Z

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	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
			Perpendicular from the centre to a chord

Ramamurthy: Category updated

2023-08-06T07:45:01Z

Category updated

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	~~[[Category:ज्यामिति]]~~
	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:29, 4 August 2023

2023-08-04T05:29:09Z

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	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:22, 4 August 2023

2023-08-04T05:22:04Z

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	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:वृत्त]]		[[Category:वृत्त]][[Category:कक्षा-9]]