क्रमचय - Revision history

Mani: /* क्रमचय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ */

2024-11-12T08:48:41Z

क्रमचय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ

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	* उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math>, जहाँ एक समय में <math>n</math> अलग-अलग चीजें <math>r</math> ली जाती हैं।		* उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math>, जहाँ एक समय में <math>n</math> अलग-अलग चीजें <math>r</math> ली जाती हैं।
	* जब वस्तुओं को क्रमबद्ध या स्थितिबद्ध तरीके से व्यवस्थित करना होता है, तो हम क्रमचय पर विचार करते हैं।		* जब वस्तुओं को क्रमबद्ध या स्थितिबद्ध तरीके से व्यवस्थित करना होता है, तो हम क्रमचय पर विचार करते हैं।
	* ~~संयोजन~~ सूत्र को <math>^nC_r</math> सूत्र भी कहा जाता है।		* संचय सूत्र को <math>^nC_r</math> सूत्र भी कहा जाता है।

	[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani at 08:47, 12 November 2024

2024-11-12T08:47:40Z

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	* उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math>, जहाँ एक समय में <math>n</math> अलग-अलग चीजें <math>r</math> ली जाती हैं।		* उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math>, जहाँ एक समय में <math>n</math> अलग-अलग चीजें <math>r</math> ली जाती हैं।
	* जब वस्तुओं को क्रमबद्ध या स्थितिबद्ध तरीके से व्यवस्थित करना होता है, तो हम क्रमचय पर विचार करते हैं।		* जब वस्तुओं को क्रमबद्ध या स्थितिबद्ध तरीके से व्यवस्थित करना होता है, तो हम क्रमचय पर विचार करते हैं।
	* संयोजन सूत्र को <math>~~ncr~~</math> सूत्र भी कहा जाता है।		* संयोजन सूत्र को <math>^nC_r</math> सूत्र भी कहा जाता है।

	[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-12T08:42:16Z

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	इत्यादि		इत्यादि

	~~=== '''उदाहरण''' ===~~		'''उदाहरण-1''' मान निकालिए (i) <math>5!</math> (ii) <math>7!</math> (iii) <math>7!-5!</math>
	'''उदाहरण-1''' मान निकालिए (i) <math>5!</math> (ii) <math>7!</math> (iii) <math>7!-5!</math>

	'''हल''' (i) <math> 5!= 1\times2\times3\times4\times5 =120</math>		'''हल''' (i) <math> 5!= 1\times2\times3\times4\times5 =120</math>

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	'''क्रमचय के उदाहरण व्यवस्था के रूप में'''		'''क्रमचय के उदाहरण व्यवस्था के रूप में'''

	'''उदाहरण''': (a) <math>TRIANGLES</math> शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?		'''उदाहरण-3''' (a) <math>TRIANGLES</math> शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

	(b) इनमें से कितने शब्द <math>T</math> से शुरू होते हैं और <math>S</math> पर खत्म होते हैं?		(b) इनमें से कितने शब्द <math>T</math> से शुरू होते हैं और <math>S</math> पर खत्म होते हैं?
Line 100:		Line 100:

	(b) यदि हम शब्द के आरंभ में <math>T</math> और अंत में <math>S</math> लगाते हैं, तो हमें <math>7</math> स्थानों पर <math>7</math> अलग-अलग अक्षरों को क्रमचयित करना होगा। यह <math>^7P_7=7!</math> तरीकों से किया जा सकता है। इस प्रकार, ऐसे शब्दों की संख्या <math>7!</math> है।		(b) यदि हम शब्द के आरंभ में <math>T</math> और अंत में <math>S</math> लगाते हैं, तो हमें <math>7</math> स्थानों पर <math>7</math> अलग-अलग अक्षरों को क्रमचयित करना होगा। यह <math>^7P_7=7!</math> तरीकों से किया जा सकता है। इस प्रकार, ऐसे शब्दों की संख्या <math>7!</math> है।

			'''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं'''
	'''प्रमेय''' 3 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ p वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न
			'''प्रमेय 3''' <math>n</math> वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ <math>p</math> वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न की हैं <math>=\frac{n!}{p!}</math>
	की हैं

	n!

	p!

	वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है:		वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है:

	'''c)''' '''~~क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं~~'''		'''प्रमेय''' '''4''' <math>n</math> वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या <math>\frac{n!}{p_1!p_2!.....p_k!}</math> जहाँ <math>p_1</math> वस्तुएँ एक प्रकार की, <math>p_2</math> वस्तुएँ दूसरे प्रकार की, <math>......</math> <math>p_k</math> वस्तुएँ <math>k</math>वाँ प्रकार की और शेष (यदि कोई है) विभिन्न प्रकार की हैं।<math>9</math>

	~~'''प्रमेय''' 4~~ n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या

	~~वस्तुएँ दूसरे प्रकार की की हैं।~~

	<nowiki>*****<~~/nowiki~~>

	Pk

	n!

	P1! P2!... Pk!

	~~है।~~ जहाँ P वस्तुएँ एक प्रकार की, P2

	P

	वस्तुएँ वाँ प्रकार की और शेष (यदि कोई है) विभिन्न प्रकार

	~~उदाहरण 9 ALLAHABAD शब्द के अक्षरों से बनने वाले क्रमचयों~~ की ~~संख्या ज्ञात कीजिए ।~~

	हल यहाँ पर 9 अक्षर हैं, जिनमें A, 4 बार आया है, 2 बार L आया है तथा शेष विभिन्न प्रकार के हैं। ~~अतएव विन्यासों की अभीष्ट संख्या~~

	9!

	~~5×6x7x8x9~~

	~~= 7560~~

	~~4!2!~~

	2

	ed

	'''उदाहरण''' 10 1 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

	हल यहाँ पर अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए 1234 तथा 1324 दो भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं। अतः 4 - अंकीय संख्याओं की संख्या 9 विभिन्न अंकों में से एक समय में 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार 4 अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या

	=

	~~9P4~~

	=		'''उदाहरण-4''' <math>ALLAHABAD</math> शब्द के अक्षरों से बनने वाले क्रमचयों की संख्या ज्ञात कीजिए ।

	9!		'''हल''' यहाँ पर <math>9</math> अक्षर हैं, जिनमें <math>A</math>, <math>4</math> बार आया है, <math>2</math> बार <math>L</math> आया है तथा शेष विभिन्न प्रकार के हैं।

	=		अतएव विन्यासों की अभीष्ट संख्या <math>\frac{9!}{4!2!}= \frac{5\times6\times7\times8\times9}{2}=7560</math>

	9!		'''उदाहरण-5''' <math>1</math> से <math>9</math> तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी <math>4</math> अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

	(9-~~4)! 5!~~		'''हल''' यहाँ पर अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए <math>1234</math> तथा <math>1324</math> दो भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं। अतः <math>4</math> -अंकीय संख्याओं की संख्या 9 विभिन्न अंकों में से एक समय में <math>4</math> अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार <math>4</math>-अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या

	= 9 ~~× 8 × 7 × 6~~ = 3024.		<math>= ^9P_4=\frac{9!}{(9-4)!}=\frac{9!}{5!}=9\times8\times7\times6=3024</math>

	ep		== क्रमचय पर महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==

			* क्रमचय वस्तुओं के क्रमबद्ध संयोजन हैं जिन्हें दोहराव के साथ या बिना किया जा सकता है।
			* उनकी गणना सूत्र द्वारा की जाती है: <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math>, जहाँ एक समय में <math>n</math> अलग-अलग चीजें <math>r</math> ली जाती हैं।
			* जब वस्तुओं को क्रमबद्ध या स्थितिबद्ध तरीके से व्यवस्थित करना होता है, तो हम क्रमचय पर विचार करते हैं।
			* संयोजन सूत्र को <math>ncr</math> सूत्र भी कहा जाता है।

	[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-12T07:31:15Z

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← Older revision		Revision as of 13:01, 12 November 2024
Line 87:		Line 87:
	क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है।		क्रमचयों की गणना, केवल उन तरीकों की गणना है, जिनमें एक समय में कुछ या सभी वस्तुओं का विन्यास किया गया हो । एक भी वस्तु के बिना विन्यास की संख्या बराबर है उस संख्या के जिसमें सभी वस्तुओं को छोड़कर विन्यास किया गया हो और हमें ज्ञात है कि ऐसा करने का केवल एक तरीका है।

	'''प्रमेय 2''' n विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, r वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, ' होती है।		'''प्रमेय 2''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बने क्रमचयों की संख्या, जबकि वस्तुओं के पुनरावृत्ति की अनुमति हो, <math>n^r </math> होती है।

	~~जबकि~~		'''क्रमचय के उदाहरण व्यवस्था के रूप में'''

	~~इसकी उपपत्ति पिछले प्रमेय की उपपत्ति~~ के ~~समान है, अतः इसको पाठक के लिए छोड़ दिया गया है।~~		'''उदाहरण''': (a) <math>TRIANGLES</math> शब्द के अक्षरों का उपयोग करके कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?

	r		(b) इनमें से कितने शब्द <math>T</math> से शुरू होते हैं और <math>S</math> पर खत्म होते हैं?

	अब हम "P के सूत्र की उपयोगिता को स्पष्ट करने के लिए पिछले अनुच्छेद के कुछ प्रश्नों को इस सूत्र के प्रयोग द्वारा सरल कर रहे हैं।		'''समाधान''':

	~~'''उदाहरण''' 1~~ में ~~शब्दों की अभीष्ट संख्या = P = 4 ! = 24 जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं~~ हैं। ~~यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो~~, ~~तो शब्दों~~ की ~~अभीष्ट~~ संख्या 4 = ~~256 होगी।~~		(a) दिए गए शब्द में <math>9</math> अलग-अलग अक्षर हैं। इस प्रकार, इस शब्द के अक्षरों के विभिन्न क्रमपरिवर्तन (या व्यवस्था) की संख्या <math>^9P_9=9!</math> है।

	~~NUMBER~~ शब्द के अक्षरों ~~में~~ से ~~3 अक्षरों वाले चयनित~~ शब्दों की संख्या ~~= "P1~~		(b) यदि हम शब्द के आरंभ में <math>T</math> और अंत में <math>S</math> लगाते हैं, तो हमें <math>7</math> स्थानों पर <math>7</math> अलग-अलग अक्षरों को क्रमचयित करना होगा। यह <math>^7P_7=7!</math> तरीकों से किया जा सकता है। इस प्रकार, ऐसे शब्दों की संख्या <math>7!</math> है।

	=

	6!

	3!

	4 × 5 × 6 = 120, यहाँ इस प्रश्न में भी पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 6 = 216 होगी ।

	12 व्यक्तियों के एक समुदाय से एक अध्यक्ष और एक उपाध्यक्ष के चयन के तरीकों की संख्या, यह मानकर कि एक व्यक्ति एक से अधिक पद पर नहीं रह सकता है, स्पष्टतया

	~~12!~~

	~~12 P2~~

	~~===11×12 = 132.~~

	~~10!~~

	~~'''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं'''~~

	आईए हम शब्द INSTITUTE के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करें। इस दशा में 9 अक्षर हैं, जिनमें I दो बार तथा T तीन बार आता है।

	अस्थाई रूप से, हम इन समान अक्षरों को भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे I, I, T, T2, T,. 9 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेने से बने क्रमचयों की संख्या 91 है। इनमें से एक क्रमचय माना कि I, NT, SI, T, UET, पर विचार कीजिए। यदि I I. समान नहीं हों और T,, T,, T, एक जैसे न हों तो I, I, का 2! तरीकों से तथा T, T, T, का 3 ! तरीकों से विन्यास किया जा सकता है। यदि I,I, समान हों तथा T, T,, T, समान हो, तो 21 x 3 ! क्रमचय समान होगें। इस

	प्रकार पूछे गए विभिन्न क्रमचयों की कुल संख्या 2 ! है । हम निम्नलिखित प्रमेय का कथन ( बिना

	~~2!3!~~

	~~उपपत्ति) व्यक्त कर सकते हैं।~~

	'''प्रमेय''' 3 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ p वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न		'''प्रमेय''' 3 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ p वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न
Line 140:		Line 111:

	वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है:		वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है:

			'''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं'''

	'''प्रमेय''' 4 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या		'''प्रमेय''' 4 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या

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2024-11-12T07:09:58Z

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2024-11-12T06:34:48Z

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← Older revision		Revision as of 12:04, 12 November 2024
Line 22:		Line 22:
	नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है।		नीचे दिए उप-अनुच्छेद में हम उस सूत्र को निर्धारित करेंगे जिसकी आवश्यकता इस प्रकार प्रश्नों के उत्तर देने के लिए पड़ती है।

	a) '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं'''		'''a)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न हैं'''

	'''प्रमेय 1''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक <math>^nP_r</math> से निरूपित करते हैं, जहाँ <math>0<r\leq n</math> तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, <math>^nP_r=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)</math>		'''प्रमेय 1''' <math>n</math> विभिन्न वस्तुओं में से एक समय में <math>r</math> वस्तुओं को लेकर बनाए गए क्रमचयों की संख्या को प्रतीक <math>^nP_r</math> से निरूपित करते हैं, जहाँ <math>0<r\leq n</math> तथा किसी भी क्रमचय में वस्तुओं की पुनरावृतह की अनुमाथी नहीं है, <math>^nP_r=n(n-1)(n-2)(n-3).....(n-r+1)</math>

	'''उपपत्ति''' क्रमचयों की संख्या, <math>r</math> रिक्त स्थानों को <math>\Box \Box \Box \Box.... \Box</math> उत्तरोत्तर		'''उपपत्ति''' क्रमचयों की संख्या, <math>r</math> रिक्त स्थानों को

			<math>\Box \Box \Box \Box.... \Box</math> उत्तरोत्तर

	←<math>r</math> रिक्त स्थान →		←<math>r</math> रिक्त स्थान →
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	<math>^nP_r</math> के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक ! (जिसे " क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है। निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में ! का क्या अर्थ है? ~~7.3.2~~ क्रमगुणित संकेतन ~~(Factorial notation)~~ संकेतन n ! प्रथम ” प्राकृत संख्याओं के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1x2x3xx (n-1) xn को n! द्वारा निरूपित किया जाता है। हम इस प्रतीक को " क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार 1 x 2 x 3 x 4... x (n-1) xn = n ! तदनुसार		<math>^nP_r</math> के लिए यह एक बोझिल व्यंजक है और हमें एक ऐसे संकेतन की आवश्यकता है, जिसकी सहायता से इस व्यंजक के विस्तार को घटाया जा सके। प्रतीक <math>n!</math> (जिसे <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं) इसमें हमारी सहायता करता है।

			निम्नलिखित विवरण में हम सीखेंगे कि वास्तव में <math>n!</math> का क्या अर्थ है?

			'''b) क्रमगुणित संकेतन''' संकेतन <math>n!</math> प्रथम <math>n</math> [[प्राकृत संख्याएँ\|प्राकृत संख्याओं]] के गुणनफल को व्यक्त करता है अर्थात् 1x2x3xx (n-1) xn को n! द्वारा निरूपित किया जाता है। हम इस प्रतीक को <math>n</math> क्रमगुणित पढ़ते हैं। इस प्रकार 1 x 2 x 3 x 4... x (n-1) xn = n ! तदनुसार

	1=1!		1=1!
Line 69:		Line 75:
	(iii) 7!-5!		(iii) 7!-5!

	उदाहरण 5 मान निकालिए (i) 5 ! (ii)7 !		'''उदाहरण''' 5 मान निकालिए (i) 5 ! (ii)7 !

	हल		हल
Line 79:		Line 85:
	ublish		ublish

	उदहारण 6 परिकलन कीजिए (i)		'''उदहारण''' 6 परिकलन कीजिए (i)

	F15		F15
Line 121:		Line 127:
	n!		n!

	उदाहरण 7 मान निकालिए		'''उदाहरण''' 7 मान निकालिए

	r!(n-r)!		r!(n-r)!
Line 235:		Line 241:
	अब हम "P के सूत्र की उपयोगिता को स्पष्ट करने के लिए पिछले अनुच्छेद के कुछ प्रश्नों को इस सूत्र के प्रयोग द्वारा सरल कर रहे हैं।		अब हम "P के सूत्र की उपयोगिता को स्पष्ट करने के लिए पिछले अनुच्छेद के कुछ प्रश्नों को इस सूत्र के प्रयोग द्वारा सरल कर रहे हैं।

	उदाहरण 1 में शब्दों की अभीष्ट संख्या = P = 4 ! = 24 जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हैं। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 4 = 256 होगी।		'''उदाहरण''' 1 में शब्दों की अभीष्ट संख्या = P = 4 ! = 24 जब पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं हैं। यदि पुनरावृत्ति की अनुमति हो, तो शब्दों की अभीष्ट संख्या 4 = 256 होगी।

	NUMBER शब्द के अक्षरों में से 3 अक्षरों वाले चयनित शब्दों की संख्या = "P1		NUMBER शब्द के अक्षरों में से 3 अक्षरों वाले चयनित शब्दों की संख्या = "P1
Line 257:		Line 263:
	10!		10!

	~~7.3.4~~ क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं ~~(Permutations when all the objects are not distinct objects)~~ मान लीजिए कि हमें शब्द ROOT के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस दशा में, सभी अक्षर भिन्न-भिन्न नहीं है। यहाँ 20 हैं जो समान प्रकार के अक्षर हैं। हम इन दोनों को अस्थाई रूप से भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे O, और O, अब इस दशा में 4 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 4 ! है । इन क्रमचयों में से एक क्रमचय ROOT पर विचार कीजिए। इसके संगत, यहाँ पर 2! क्रमचय ROO T तथा ROOT ऐसे हैं जो कि समान क्रमचय होते यदि O, तथा O को भिन्न-भिन्न नहीं माना गया होता अर्थात् यदि O, तथा O, दोनों क्रमचय में O होते। अतएव, क्रमचयों की अभीष्ट संख्या		'''c)''' '''क्रमचय, जब सभी वस्तुएँ भिन्न-भिन्न नहीं हैं'''

			मान लीजिए कि हमें शब्द ROOT के अक्षरों के पुनर्विन्यास के तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है। इस दशा में, सभी अक्षर भिन्न-भिन्न नहीं है। यहाँ 20 हैं जो समान प्रकार के अक्षर हैं। हम इन दोनों को अस्थाई रूप से भिन्न-भिन्न मान लेते हैं जैसे O, और O, अब इस दशा में 4 विभिन्न अक्षरों में से एक समय में सभी को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या 4 ! है । इन क्रमचयों में से एक क्रमचय ROOT पर विचार कीजिए। इसके संगत, यहाँ पर 2! क्रमचय ROO T तथा ROOT ऐसे हैं जो कि समान क्रमचय होते यदि O, तथा O को भिन्न-भिन्न नहीं माना गया होता अर्थात् यदि O, तथा O, दोनों क्रमचय में O होते। अतएव, क्रमचयों की अभीष्ट संख्या

	4!		4!
Line 365:		Line 373:
	उपपत्ति) व्यक्त कर सकते हैं।		उपपत्ति) व्यक्त कर सकते हैं।

	प्रमेय 3 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ p वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न		'''प्रमेय''' 3 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या, जहाँ p वस्तुएँ समान प्रकार की और शेष भिन्न

	की हैं		की हैं
Line 375:		Line 383:
	वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है:		वस्तुतः इस संबंध में एक अधिक व्यापक प्रमेय है जो नीचे वर्णित है:

	प्रमेय 4 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या		'''प्रमेय''' 4 n वस्तुओं के क्रमचयों की संख्या

	वस्तुएँ दूसरे प्रकार की की हैं।		वस्तुएँ दूसरे प्रकार की की हैं।
Line 409:		Line 417:
	ed		ed

	उदाहरण 10 1 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?		'''उदाहरण''' 10 1 से 9 तक के अंकों का प्रयोग करके कितनी 4 अंकीय संख्याएँ बनाई जा सकती हैं, यदि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है?

	हल यहाँ पर अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए 1234 तथा 1324 दो भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं। अतः 4 - अंकीय संख्याओं की संख्या 9 विभिन्न अंकों में से एक समय में 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार 4 अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या		हल यहाँ पर अंकों का क्रम महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए 1234 तथा 1324 दो भिन्न-भिन्न संख्याएँ हैं। अतः 4 - अंकीय संख्याओं की संख्या 9 विभिन्न अंकों में से एक समय में 4 अंकों को लेकर बनने वाले क्रमचयों की संख्या के बराबर है। इस प्रकार 4 अंकीय संख्याओं की अभीष्ट संख्या

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2024-11-12T06:21:02Z

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2024-11-12T05:33:31Z

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← Older revision		Revision as of 11:03, 12 November 2024
Line 1:		Line 1:
	~~Permutations~~		'''क्रमचय''' वस्तुओं को एक निश्चित क्रम में व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीके हैं। इसे पहले से ही व्यवस्थित समुच्चय के रैखिक क्रम में वस्तुओं के पुनर्व्यवस्था के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। प्रतीक <math>^nP_r</math> का उपयोग <math>n</math> अलग-अलग वस्तुओं के क्रमचय की संख्या को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिन्हें एक बार में <math>r</math> लिया जाता है। यह बसों, ट्रेनों या उड़ानों के शेड्यूल, ज़िप कोड और फ़ोन नंबरों के आवंटन को लॉक करता है। ये कुछ स्थितियाँ हैं जहाँ क्रमचय का उपयोग किया जाता है।

			== परिभाषा ==
			क्रमचय परिणामों की एक क्रमबद्ध व्यवस्था और एक क्रमबद्ध संयोजन है। उदाहरण के लिए, <math>5</math> कुर्सियाँ हैं और <math>3</math> व्यक्तियों को बैठाना है। हमारे पास पहले व्यक्ति को बैठाने के <math>5</math> तरीके हैं; अगले व्यक्ति को बैठाने के <math>4</math> तरीके और तीसरे व्यक्ति को बैठाने के <math>3</math> तरीके हैं। इस प्रकार, <math>5</math> कुर्सियों में <math>3</math> व्यक्तियों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए, हम अपने पास उपलब्ध विकल्पों को गुणा करते हैं। हम इसे <math>5\times 4\times 3</math>तरीकों से करते हैं। यानी, इसे <math>60</math> तरीकों से किया जा सकता है। ध्यान दें कि <math>5\times 4\times 3</math> को <math> \frac{(5!)}{(2!)}</math> (या) <math> \frac{(5!)}{(5-3)!}</math> के रूप में लिखा जा सकता है!

			इसे सामान्यीकृत करते हुए, हमें पहली कुर्सी भरने के लिए <math>n</math> विकल्प, दूसरी को भरने के लिए <math>n-1</math> विकल्प और तीसरी कुर्सी को भरने के लिए <math>n-2</math> विकल्प मिलते हैं। इस प्रकार, <math>n</math> कुर्सियों में <math>r</math> लोगों के क्रमचय (व्यवस्था) की कुल संख्या <math>^nP_r=\frac{n!}{(n-r)!}</math> nPr = n! / (n - r)! के रूप में व्यक्त की जा सकती है।

			क्रमचय का अर्थ है स्थिति बनाना। आइए क्रमचय के बारे में कुछ हल किए गए उदाहरणों के साथ और जानें।
	[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:क्रमचय-संचय]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:13, 4 August 2023

2023-08-04T06:13:16Z

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	Permutations		Permutations

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