गणितीय आगमन का सिद्धांत - Revision history

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2024-11-11T04:50:15Z

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	यदि कथन (a) और (b) सत्य हैं, तो (c) की सत्यता स्थापित है। इस सरल उदाहरण को गणितीय बनाने के लिए हम लिख सकते हैं।		यदि कथन (a) और (b) सत्य हैं, तो (c) की सत्यता स्थापित है। इस सरल उदाहरण को गणितीय बनाने के लिए हम लिख सकते हैं।

	~~(i)~~ आठ दो से भाज्य है।		# आठ दो से भाज्य है।
			# दो से भाज्य कोई संख्या सम संख्या है, इसलिए,
	~~(ii)~~ दो से भाज्य कोई संख्या सम संख्या है, इसलिए,		# आठ एक सम संख्या है।

	~~(iii)~~ आठ एक सम संख्या है।

	इस प्रकार संक्षेप में निगमन एक प्रक्रिया है जिसमें एक कथन सिद्ध करने को दिया जाता है, जिसे गणित में प्राय: एक अनुमानित कथन (कंजेक्चर) अथवा प्रमेय कहते हैं, तर्क संगत निगमन के चरण प्राप्त किए जाते हैं और एक उपपत्ति स्थापित की जा सकती है, अथवा नहीं की जा सकती है, अर्थात् निगमन व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति प्राप्त करने का अनुप्रयोग है।		इस प्रकार संक्षेप में निगमन एक प्रक्रिया है जिसमें एक कथन सिद्ध करने को दिया जाता है, जिसे गणित में प्राय: एक अनुमानित कथन (कंजेक्चर) अथवा प्रमेय कहते हैं, तर्क संगत निगमन के चरण प्राप्त किए जाते हैं और एक उपपत्ति स्थापित की जा सकती है, अथवा नहीं की जा सकती है, अर्थात् निगमन व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति प्राप्त करने का अनुप्रयोग है।
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	'''चरण 6''' उपरोक्त चरणों ने प्रदर्शित किया कि किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>p(k)</math> सत्य है, तो <math>p(k+1) </math> भी सत्य है और <math>p(0)</math> भी आधार मामले के अनुसार सत्य है, इसलिए जब उपरोक्त दोनों चरण सिद्ध हो जाते हैं, तो यह दर्शाता है कि <math>n\geq 0</math> के लिए, <math>p(n)</math> सत्य है, जैसा कि आवश्यक है।		'''चरण 6''' उपरोक्त चरणों ने प्रदर्शित किया कि किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>p(k)</math> सत्य है, तो <math>p(k+1) </math> भी सत्य है और <math>p(0)</math> भी आधार मामले के अनुसार सत्य है, इसलिए जब उपरोक्त दोनों चरण सिद्ध हो जाते हैं, तो यह दर्शाता है कि <math>n\geq 0</math> के लिए, <math>p(n)</math> सत्य है, जैसा कि आवश्यक है।

	== हम गणितीय ~~आगमनका~~ उपयोग कब कर सकते हैं? ==		== गणितीय आगमन का उपयोग ==
			हम गणितीय आगमन का उपयोग कब कर सकते हैं?

	गणितीय आगमन का उपयोग इतने सारे कथनों के लिए किया जा सकता है जहाँ हम यह दिखाना चाहते हैं कि कथन सत्य है। इस नई तकनीक से हर कथन को सिद्ध नहीं किया जा सकता है।		गणितीय आगमन का उपयोग इतने सारे कथनों के लिए किया जा सकता है जहाँ हम यह दिखाना चाहते हैं कि कथन सत्य है। इस नई तकनीक से हर कथन को सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

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	<math>0^2+1^2+2^2+......+(k-1)^2+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} </math>		<math>0^2+1^2+2^2+......+(k-1)^2+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} </math>

	~~<math>=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} </math>~~


	'''चरण 4''' अब हम उपरोक्त धारणा कि <math>p(k)</math> सत्य है, का प्रयोग करके सिद्ध करेंगे कि <math>p(k+1) </math> सत्य है। तो हम सिद्ध करेंगे कि		'''चरण 4''' अब हम उपरोक्त धारणा कि <math>p(k)</math> सत्य है, का प्रयोग करके सिद्ध करेंगे कि <math>p(k+1) </math> सत्य है। तो हम सिद्ध करेंगे कि

	<math>0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} </math><math>~~0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2~~=\frac{(k+1)(k+2)(~~2(k+1)~~+1)}{6} </math>		<math>0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} </math>

			<math>=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} </math>

	'''चरण 5''' यह साबित करता है कि <math>p(k+1) </math> सत्य है यदि <math>p(k)</math> इस प्रकार सत्य है:		'''चरण 5''' यह साबित करता है कि <math>p(k+1) </math> सत्य है यदि <math>p(k)</math> इस प्रकार सत्य है:
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	बाएं हाथ की ओर		बाएं हाथ की ओर

	=02+12+~~22+~~		<math>= 0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2 </math>

	~~= (02 + 12 +22+~~

	~~+ k2 +(k+1)~~2

	+ ~~k2)~~ + (k ~~+ 1)~~2

	~~= k (k + 1) (2k + 1)~~+(k+1)2 ~~(आगमन परिकल्पना <math>p(k)~~</math> ~~द्वारा) 6~~

	~~= k (k + 1) (2k + 1) + 6(k + 1)2 (बीजगणित द्वारा)~~

	=

	6

	~~= (k + 1) (2k 2 + k) + (k + 1) (6k+6)~~

	6		<math>= (0^2+1^2+2^2+......+k^2)+(k+1)^2 </math>

	= (k+1) (2k 2 + 7k+6)		<math>= \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} +(k+1)^2 </math> (आगमन परिकल्पना <math>p(k)</math> द्वारा)

	6		<math>\frac{k(k+1)(2k+1)+6(k+1)^2}{6} </math>(बीजगणित द्वारा)

	= (k + 1) (k + 2) (2k + 3)		<math>=\frac{(k+1)(2k^2+k)+(k+1)(6k+6)}{6} </math>

	6		<math>=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} </math>

	= दायाँ पक्ष।		= दायाँ पक्ष।

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2024-11-11T04:14:02Z

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	'''चरण 4''' अब हम उपरोक्त धारणा कि <math>p(k)</math> सत्य है, का प्रयोग करके सिद्ध करेंगे कि <math>p(k+1) </math> सत्य है। तो हम ~~साबित~~ करेंगे कि		'''चरण 4''' अब हम उपरोक्त धारणा कि <math>p(k)</math> सत्य है, का प्रयोग करके सिद्ध करेंगे कि <math>p(k+1) </math> सत्य है। तो हम सिद्ध करेंगे कि

	<math>0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} </math><math>0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} </math>		<math>0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} </math><math>0^2+1^2+2^2+......+k^2+(k+1)^2=\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+1)}{6} </math>
Line 129:		Line 129:
	= दायाँ पक्ष।		= दायाँ पक्ष।

	अतः, यदि <math>p(k)</math> सत्य है, तो P (k+1) भी सत्य है, किसी भी k≥ 0 के लिए।		अतः, यदि <math>p(k)</math> सत्य है, तो <math>p(k+1) </math> भी सत्य है, किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए।

	'''चरण 6''' उपरोक्त चरणों ने प्रदर्शित किया कि किसी भी k ≥ 0 के लिए, यदि <math>p(k)</math> सत्य है, तो P(k + 1) भी सत्य है और <math>p(0)</math> भी आधार मामले के अनुसार सत्य है, इसलिए जब उपरोक्त दोनों चरण सिद्ध हो जाते हैं, तो यह दर्शाता है कि al > 0 के लिए, <math>p(n)</math> सत्य है, जैसा कि आवश्यक है।		'''चरण 6''' उपरोक्त चरणों ने प्रदर्शित किया कि किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>p(k)</math> सत्य है, तो <math>p(k+1) </math> भी सत्य है और <math>p(0)</math> भी आधार मामले के अनुसार सत्य है, इसलिए जब उपरोक्त दोनों चरण सिद्ध हो जाते हैं, तो यह दर्शाता है कि <math>n\geq 0</math> के लिए, <math>p(n)</math> सत्य है, जैसा कि आवश्यक है।

	== हम गणितीय आगमनका उपयोग कब कर सकते हैं? ==		== हम गणितीय आगमनका उपयोग कब कर सकते हैं? ==
	गणितीय आगमन का उपयोग इतने सारे कथनों के लिए किया जा सकता है जहाँ हम यह दिखाना चाहते हैं कि कथन सत्य है। इस नई तकनीक से हर कथन को सिद्ध नहीं किया जा सकता है।		गणितीय आगमन का उपयोग इतने सारे कथनों के लिए किया जा सकता है जहाँ हम यह दिखाना चाहते हैं कि कथन सत्य है। इस नई तकनीक से हर कथन को सिद्ध नहीं किया जा सकता है।

	• सबसे पहले, आगमन में हमें सभी पूर्णांकों <math>n\geq 0</math> के लिए अपना कथन <math>p(n)</math> ज्ञात करना होगा, इसलिए आगमन केवल पूर्ण संख्याओं वाले कथनों के साथ काम करता है। इसलिए, "सभी x e R के लिए, ~~x2 ≥~~ 0" जैसे कथन आगमन के साथ सिद्ध नहीं हो पाएंगे क्योंकि वास्तविक संख्याओं के सेट की गणना करना आसान नहीं है।		• सबसे पहले, आगमन में हमें सभी पूर्णांकों <math>n\geq 0</math> के लिए अपना कथन <math>p(n)</math> ज्ञात करना होगा, इसलिए आगमन केवल पूर्ण संख्याओं वाले कथनों के साथ काम करता है। इसलिए, "सभी <math>x\in R</math> के लिए, <math>x^2\geq 0</math>" जैसे कथन आगमन के साथ सिद्ध नहीं हो पाएंगे क्योंकि वास्तविक संख्याओं के सेट की गणना करना आसान नहीं है।

	• दूसरे, हमारे आगमन प्रमाण के लिए हमें प्रेरक चरण का पालन करना होगा, अर्थात, कथन जहाँ t P (k + 1) मामला सत्य है, यह मानते हुए कि <math>p(k)</math>मामला सत्य है, आगमन के लिए विशेष रूप से उपयुक्त हैं। उदाहरण के लिए, योगों से जुड़े कथन उपयुक्त हैं क्योंकि कथन P (k + 1) के बाएँ हाथ के हिस्से को कथन <math>p(k)</math> के बाएँ हाथ के हिस्से के संदर्भ में लिखना आसान है।		• दूसरे, हमारे आगमन प्रमाण के लिए हमें प्रेरक चरण का पालन करना होगा, अर्थात, कथन जहाँ t <math>p(k+1) </math> मामला सत्य है, यह मानते हुए कि <math>p(k)</math>मामला सत्य है, आगमन के लिए विशेष रूप से उपयुक्त हैं। उदाहरण के लिए, योगों से जुड़े कथन उपयुक्त हैं क्योंकि कथन <math>p(k+1) </math> के बाएँ हाथ के हिस्से को कथन <math>p(k)</math> के बाएँ हाथ के हिस्से के संदर्भ में लिखना आसान है।
	[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

	[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	== गणितीय आगमन ==		== गणितीय आगमन ==
	गणितीय आगमन एल्गोरिथ्म में दिए गए कथनों को सामान्यीकृत करने या विशेष स्थितियों से सामान्यीकृत करने की एक विशेष विधि या तकनीक है। यह निगमन विधि के विपरीत है। यहाँ हम हर स्थिति पर काम करते हैं और हर स्थितियों का अवलोकन करते हैं और फिर सिद्ध करते हैं कि दिया गया कथन सभी स्थितियों के लिए सत्य है। इन कथनों को सिद्ध करने के लिए हम कुछ सिद्धांतों का उपयोग करते हैं जिन्हें गणितीय आगमन का सिद्धांत कहा जाता है।		गणितीय आगमन एल्गोरिथ्म में दिए गए कथनों को सामान्यीकृत करने या विशेष स्थितियों से सामान्यीकृत करने की एक विशेष विधि या तकनीक है। यह निगमन विधि के विपरीत है। यहाँ हम हर स्थिति पर काम करते हैं और हर स्थितियों का अवलोकन करते हैं और फिर सिद्ध करते हैं कि दिया गया कथन सभी स्थितियों के लिए सत्य है। इन कथनों को सिद्ध करने के लिए हम कुछ सिद्धांतों का उपयोग करते हैं जिन्हें गणितीय आगमन का सिद्धांत कहा जाता है।
			[[File:गणितीय आगमन.jpg\|thumb\|चित्र -1 गणितीय आगमन]]
	गणित में, हम सम्पूर्ण आगमन का एक रूप जिसे गणितीय आगमन कहते हैं, प्रयुक्त करते हैं। गणितीय आगमन सिद्धांत के मूल को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक पतली आयताकार टाइलों का समूह एक सिरे पर रखा है, जैसे चित्र-1 में प्रदर्शित है।		गणित में, हम सम्पूर्ण आगमन का एक रूप जिसे गणितीय आगमन कहते हैं, प्रयुक्त करते हैं। गणितीय आगमन सिद्धांत के मूल को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक पतली आयताकार टाइलों का समूह एक सिरे पर रखा है, जैसे चित्र-1 में प्रदर्शित है।

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 <math>0^2+1^2+2^2+3^2=14</math>
- [[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]
 [[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	(b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।		(b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।

	~~हम जानते~~ हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N वास्तविक संख्याओं का विशेष क्रमित उपसमुच्चय है। वास्तव में, ~~R का सबसे छोटा उपसमुच्चय N~~ है, ~~जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:~~		इस प्रकार संक्षेप में निगमन एक प्रक्रिया है जिसमें एक कथन सिद्ध करने को दिया जाता है, जिसे गणित में प्राय: एक अनुमानित कथन (कंजेक्चर) अथवा प्रमेय कहते हैं, तर्क संगत निगमन के चरण प्राप्त किए जाते हैं और एक उपपत्ति स्थापित की जा सकती है, अथवा नहीं की जा सकती है, अर्थात् निगमन व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति प्राप्त करने का अनुप्रयोग है।

	एक ~~समुच्चय S आगमनिक समुच्चय (Inductive set) कहलाता~~ है ~~यदि 1E S और x + 1 ∈ S जब कभी.x E S. क्योंकि N~~, ~~जो कि एक आगमनिक समुच्चय~~ है, R का ~~सबसे छोटा उपसमुच्चय है~~, ~~परिणामत: R के किसी भी ऐसे उपसमुच्चय~~ में ~~जो आगमनिक है, N अनिवार्य रूप~~ से ~~समाहित होता~~ है।		निगमन के विपरीत, आगमन तर्क प्रत्येक स्थिति के अध्ययन पर आधारित होता है तथा इसमें प्रत्येक एवं हर संभव स्थिति को ध्यान में रखते हुए घटनाओं के निरीक्षण द्वारा एक अनुमानित कथन विकसित किया जाता है। इसको गणित में प्रायः प्रयोग किया जाता है तथा वैज्ञानिक चिंतन, जहाँ आँकड़ों का संग्रह तथा विशलेषण मानक होता है, का यह मुख्य आधार है। इस प्रकार, सरल भाषा में हम कह सकते हैं कि आगमन शब्द का अर्थ विशिष्ट स्थितियों या तथ्यों से व्यापकीकरण करने से है।

	~~दृष्टांत~~		बीजगणित में या गणित की अन्य शाखाओं में, कुछ ऐसे परिणाम या कथन होते हैं जिन्हें एक धन पूर्णांक <math>'n'</math> के पदों में व्यक्त किया जाता है। ऐसे कथनों को सिद्ध करने के लिए विशिष्ट तकनीक पर आधारित समुचित सिद्धांत है जो गणितीय आगमन का सिद्धांत (प्रिंसिपल ऑफ मैथमेटिकल इंडक्शन) कहलाता है।

	~~मान लीजिए~~ कि हम प्राकृत संख्याओं ~~1, 2, 3, 1~~, के योग के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं अर्थात् एक सूत्र जो कि " = 3 के लिए 1 + 2 + 3 का ~~मान देता~~ है, " = 4 के लिए 1+2+3+4 का मान देता है इत्यादि। और मान लीजिए कि हम किसी प्रकार से यह विश्वास करने के लिए प्रेरित होते n (n+1)		हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N वास्तविक संख्याओं का विशेष क्रमित उपसमुच्चय है। वास्तव में, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय N है, जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

	हैं ~~कि सूत्र 1+2+3+...+ n =~~

	~~- सही है।~~

	2

	n

	~~यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता~~ है~~? हम निश्चित ही~~ 1 ~~के इच्छानुसार चाहे गए~~, ~~धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं~~, ~~किंतु इस प्रक्रिया~~ का ~~मान~~ के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।		एक समुच्चय S आगमनिक समुच्चय (Inductive set) कहलाता है यदि 1E S और x + 1 ∈ S जब कभी.x E S. क्योंकि N, जो कि एक आगमनिक समुच्चय है, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय है, परिणामत: R के किसी भी ऐसे उपसमुच्चय में जो आगमनिक है, N अनिवार्य रूप से समाहित होता है।

	Induction		Induction

	गणित में आगमन का उपयोग प्रमाण और निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है जो गणितीय प्रमेयों और उदाहरणों को समझने में मदद करता है। इन NCERT समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 4 गणितीय आगमन के सिद्धांत में, गणितीय आगमन के विभिन्न गुणों और अवधारणाओं को विस्तार से समझाया गया है जो सैद्धांतिक गणित का आधार बनते हैं।		गणित में आगमन का उपयोग प्रमाण और निष्कर्ष निकालने के लिए किया जाता है जो गणितीय प्रमेयों और उदाहरणों को समझने में मदद करता है। इन NCERT समाधान कक्षा 11 गणित अध्याय 4 गणितीय आगमन के सिद्धांत में, गणितीय आगमन के विभिन्न गुणों और अवधारणाओं को विस्तार से समझाया गया है जो सैद्धांतिक गणित का आधार बनते हैं।

	इस प्रकार संक्षेप में निगमन एक प्रक्रिया है जिसमें एक कथन सिद्ध करने को दिया जाता है, जिसे गणित में प्राय: एक अनुमानित कथन (कंजेक्चर) अथवा प्रमेय कहते हैं, तर्क संगत निगमन के चरण प्राप्त किए जाते हैं और एक उपपत्ति स्थापित की जा सकती है, अथवा नहीं की जा सकती है, अर्थात् निगमन व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति प्राप्त करने का अनुप्रयोग है।

	निगमन के विपरीत, आगमन तर्क प्रत्येक स्थिति के अध्ययन पर आधारित होता है तथा इसमें प्रत्येक एवं हर संभव स्थिति को ध्यान में रखते हुए घटनाओं के निरीक्षण द्वारा एक अनुमानित कथन विकसित किया जाता है। इसको गणित में प्रायः प्रयोग किया जाता है तथा वैज्ञानिक चिंतन, जहाँ आँकड़ों का संग्रह तथा विशलेषण मानक होता है, का यह मुख्य आधार है। इस प्रकार, सरल भाषा में हम कह सकते हैं कि आगमन शब्द का अर्थ विशिष्ट स्थितियों या तथ्यों से व्यापकीकरण करने से है।

	हम जानते हैं कि [[प्राकृत संख्याएँ\|प्राकृत संख्याओं]] का समुच्चय		हम जानते हैं कि [[प्राकृत संख्याएँ\|प्राकृत संख्याओं]] का समुच्चय

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 (a) प्रथम टाइल गिरती है, और
 (b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।
+हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N वास्तविक संख्याओं का विशेष क्रमित उपसमुच्चय है। वास्तव में, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय N है, जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:
+एक समुच्चय S आगमनिक समुच्चय (Inductive set) कहलाता है यदि 1E S और x + 1 ∈ S जब कभी.x E S. क्योंकि N, जो कि एक आगमनिक समुच्चय है, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय है, परिणामत: R के किसी भी ऐसे उपसमुच्चय में जो आगमनिक है, N अनिवार्य रूप से समाहित होता है।
 [[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]
 [[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani at 17:21, 10 November 2024

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	~~The Principle of Mathematical Induction~~		== परिचय ==
			गणितीय चिंतन का एक आधारभूत सिद्धांत निगमनिक तर्क है। तर्कशास्त्र के अध्ययन से उद्धृत एक अनौपचारिक और निगमनिक तर्क का उदाहरण तीन कथनों में व्यक्त तर्क है:-

			(a) सुकरात एक मनुष्य है।

			(b) सभी मनुष्य मरणशील हैं, इसलिए,

			(c) सुकरात मरणशील है।

			यदि कथन (a) और (b) सत्य हैं, तो (c) की सत्यता स्थापित है। इस सरल उदाहरण को गणितीय बनाने के लिए हम लिख सकते हैं।

			(i) आठ दो से भाज्य है।

			(ii) दो से भाज्य कोई संख्या सम संख्या है, इसलिए,

			(iii) आठ एक सम संख्या है।

			गणित में, हम सम्पूर्ण आगमन का एक रूप जिसे गणितीय आगमन कहते हैं, प्रयुक्त करते हैं। गणितीय आगमन सिद्धांत के मूल को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक पतली आयताकार टाइलों का समूह एक सिरे पर रखा है, जैसे चित्र-1 में प्रदर्शित है।

			जब प्रथम टाइल को निर्दिष्ट दिशा में धक्का दिया जाता है तो सभी टाइलें गिर जाएँगी । पूर्णत: सुनिश्चित होने के लिए कि सभी टाइलें गिर जाएँगी, इतना जानना पर्याप्त है कि

			(a) प्रथम टाइल गिरती है, और

			(b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।





			[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

	[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]