गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण का हल - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-10-10T07:51:45Z

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	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]
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	द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS(NCERT) \|edition=REVISED \|pages=42-44}}</ref> <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है। हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math> द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।		द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS(NCERT) \|edition=REVISED \|pages=42-44}}</ref> <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है। हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math> द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।

Mani at 13:23, 2 October 2023

2023-10-02T13:23:05Z

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	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]
	द्विघात समीकरण का हल ~~निकालने~~ की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । ~~आईए~~ इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना ~~सीखते हैं ।~~ एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS(NCERT) \|edition=REVISED \|pages=42-44}}</ref> <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है। हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math> द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> का मूल समान होता ~~हैं ।~~ किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।		द्विघात समीकरण का हल ज्ञात करने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखेंगे। एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS(NCERT) \|edition=REVISED \|pages=42-44}}</ref> <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है। हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math> द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> का मूल समान होता हैं। किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।

	== द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि ==		== द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि ==
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	<math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math>		<math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math>

	हम मध्य पद <math>-2\sqrt{6}x</math> का गुणनखंड <math>-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(-\sqrt{6}x) \times (-\sqrt{6}x)= 6x^2 = 2 \times 3x^2 </math>		हम मध्य पद <math>-2\sqrt{6}x</math> का गुणनखंड <math>-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(-\sqrt{6}x) \times (-\sqrt{6}x)= 6x^2 = 2 \times 3x^2 </math>

	<math>3x^2-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0</math>		<math>3x^2-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0</math>

Jaya agarwal at 10:56, 1 October 2023

2023-10-01T10:56:41Z

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	<math>6x^2-x-2=0</math>		<math>6x^2-x-2=0</math>

	मध्य पद का गुणनखंड ~~करने पर~~ ,		हम मध्य पद <math>-x</math> का गुणनखंड <math>+3x-4x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(3x)\times(-4x) = -12x^2 = (-2)\times 6x^2</math>

	<math>6x^2+3x-4x-2=0</math>		<math>6x^2+3x-4x-2=0</math>
Line 47:		Line 47:

	== उदाहरण 2 ==		== उदाहरण 2 ==
	द्विघात समीकरण <math>x^2-~~3x-10~~=0</math> के मूल ज्ञात करें ।		द्विघात समीकरण <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> के मूल ज्ञात करें ।

	हल		हल

	<math>x^2-~~3x-10~~=0</math>		<math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math>

	मध्य पद गुणनखंड ~~करने पर~~ ,		हम मध्य पद <math>-2\sqrt{6}x</math> का गुणनखंड <math>-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x</math> रूप में करेंगे , क्योंकि <math>(-\sqrt{6}x) \times (-\sqrt{6}x)= 6x^2 = 2 \times 3x^2 </math>

	<math>x^2-5x+~~2x-10~~=0</math>		<math>3x^2-\sqrt{6}x-\sqrt{6}x+2=0</math>

	<math>x(x-5)+2(x-5)=0</math>		<math>\sqrt{3}x(\sqrt{3}x-\sqrt{2})-\sqrt{2}(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>

	<math>(x-5)(x+2)=0</math>		<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>

	प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर ,		प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर ,

	<math>(x-5)=0</math>		<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>

			<math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math>

			<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math>

	<math>x=5</math>		<math>(\sqrt{3}x-\sqrt{2})=0</math>

	<math>(x+2~~)=0~~</math>		<math>\sqrt{3}x=\sqrt{2}</math>

	<math>x=-2</math>		<math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}</math>

	अतः , द्विघात समीकरण <math>x^2-~~3x-10~~=0</math> के मूल <math>x=5,-2</math> हैं ।		अतः , द्विघात समीकरण <math>3x^2-2\sqrt{6}x+2=0</math> के मूल <math>x=\sqrt{\frac{2}{3}}, \sqrt{\frac{2}{3}}</math> हैं ।

	== उदाहरण 3 ==		== उदाहरण 3 ==
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	# द्विघात समीकरण <math>2x^2-x+\frac{1}{8}=0</math> के मूल ज्ञात करें ।		# द्विघात समीकरण <math>2x^2-x+\frac{1}{8}=0</math> के मूल ज्ञात करें ।
			# द्विघात समीकरण <math>x^2-3x-10=0</math> के मूल ज्ञात करें ।
	# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग <math>365</math> है ।		# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग <math>365</math> है ।

	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==

Jaya agarwal: /* द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि */

2023-09-29T05:06:52Z

द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि

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	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]
	द्विघात समीकरण का हल निकालने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । आईए इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखते हैं । एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है। हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math> द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> का मूल समान होता हैं । किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।		द्विघात समीकरण का हल निकालने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । आईए इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखते हैं । एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS(NCERT) \|edition=REVISED \|pages=42-44}}</ref> <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है। हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math> द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> का मूल समान होता हैं । किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।

	== द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि ==		== द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि ==
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	== उदाहरण 3 ==		== उदाहरण 3 ==
	दो क्रमागत ~~पूर्णांक~~ ज्ञात कीजिए , ~~जिनके वर्गों का योग~~ <math>~~365~~</math> है ।		दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं ज्ञात कीजिए , जिनका गुणनफल <math>483</math> है ।

	हल		हल

	मान लीजिए , दो क्रमागत ~~पूर्णांक~~ <math>x,x+1</math> है ।		मान लीजिए , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं <math>x,x+2</math> है ।

	प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , ~~पूर्णांक के वर्गों का योग <math>365</math>~~ है ।		प्रश्न में दिए गए कथन के अनुसार , उनका गुणनफल 483 है

	<math>(x~~)^2+~~(x+1)^2=~~365~~</math>		<math>x(x+2)=483</math>

	उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,		उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

	<math>x~~^2+[ (x)^2+(1)^2+2\times1 \times x]=365</math>~~		<math>x^2+2x=483</math>

	~~<math>x^2+x^2+1+2x=365</math>~~

	~~<math>2x~~^2+2x+1=~~365~~</math>

	सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,		सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

	<math>2x^2+2x+1-~~365~~=0</math>		<math>x^2+2x-483=0</math>

	~~<math>2x^2+2x-364=0</math>~~		मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,

	~~दोनों पक्षों में से भाग देने पर ,~~		<math>x^2+23x-21x-483=0</math>

	<math>x^2+x~~-182~~=0</math>		<math>x(x+23)-21(x+23)=0</math>

	~~मध्य पद का गुणनखंड करने पर ,~~		<math>(x+23)(x-21)=0</math>

	<math>~~x^2+14x-13x-182=~~0</math>		प्रत्येक गुणनखंड को <math>0</math> के बराबर करने पर ,

	<math>~~x(x+14)-13~~(x+14)=0</math>		<math>(x+23)=0</math>

	<math>~~(x+14)(~~x-~~13)=0~~</math>		<math>x=-23</math> [ नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ]

	~~प्रत्येक गुणनखंड को~~ <math>0</math> ~~के बराबर करने पर ,~~		<math>(x-21)=0</math>

	<math>(x~~+14)~~=0</math>		<math>x=21</math>

	<math>~~x=-14~~</math>		अतः , दो क्रमागत धनात्मक विषम संख्याएं <math>21,23</math> है , (नकारात्मक चिन्ह को छोड़ने पर क्योंकि प्रश्न में धनात्मक संख्याएं दी गई है ) जिनका गुणनफल <math>483</math> है ।

	~~<math>(x-13)~~=~~0</math>~~		== अभ्यास प्रश्न ==

	<math>x=13</math>		# द्विघात समीकरण <math>2x^2-x+\frac{1}{8}=0</math> के मूल ज्ञात करें ।
			# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए जिनका वर्ग <math>365</math> है ।

	~~अतः ,~~		== संदर्भ ==

Jaya agarwal at 07:54, 28 September 2023

2023-09-28T07:54:34Z

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 [[Category:गणित]]
 [[Category:कक्षा-10]]
-द्विघात समीकरण का हल निकालने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ;  गुणनखंड विधि । आईए  इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखते हैं ।
+द्विघात समीकरण का हल निकालने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ;  गुणनखंड विधि । आईए  इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखते हैं । एक वास्तविक संख्या  <math>\alpha</math>  को द्विघात समीकरण  <math>ax^2+bx+c=0</math>  ,  <math>a\neq0</math>  का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math> होता है।  हम यह भी कहते हैं कि <math>x=\alpha</math>  द्विघात समीकरण का हल है , अर्थात वह द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> को संतुष्ट करता है । द्विघात बहुपद <math>ax^2+bx+c</math> के शून्यक और द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math>  का मूल समान होता हैं ।  किसी भी द्विघात समीकरण के अधिकतम दो मूल हो सकते हैं ।
-एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण  <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math>
+== द्विघात समीकरणों को गुणनखण्डों द्वारा हल करने की विधि ==

Jaya agarwal at 06:42, 28 September 2023

2023-09-28T06:42:33Z

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	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]
	~~Solution of~~ a ~~Quadratic Equation by Factorisation~~		द्विघात समीकरण का हल निकालने की अनेक विधियां हैं , उनमें से एक विधि है ; गुणनखंड विधि । आईए इस इकाई में हम गुणनखण्डों द्वारा द्विघात समीकरण को हल करना सीखते हैं ।

			एक वास्तविक संख्या <math>\alpha</math> को द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> का मूल कहा जाता है , यदि <math>\alpha^2+b\alpha+c=0</math>

Mani at 04:37, 20 August 2023

2023-08-20T04:37:01Z

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	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]
			Solution of a Quadratic Equation by Factorisation

Mani: Updated Category

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Updated Category

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	~~[[Category:बीजगणित]]~~
	~~[[Category:समीकरण]]~~
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Sarika at 10:58, 18 April 2023

2023-04-18T10:58:05Z

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Sarika at 06:41, 21 March 2023

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	[[Category:द्विघात समीकरण]]		[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category: कक्षा-10]]