गुणोत्तर माध्य - Revision history

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2024-11-19T09:52:27Z

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	गुणोत्तर माध्य (GM) औसत मान या माध्य है जो संख्याओं के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को उनके मानों का गुणनफल ज्ञात करके दर्शाता है। गणित और सांख्यिकी में, केंद्रीय प्रवृत्तियों के माप पूरे आंकड़ों के समुच्चय मानों के सारांश का वर्णन करते हैं। केंद्रीय प्रवृत्तियों के सबसे महत्वपूर्ण माप माध्य, माध्यिका, बहुलक और श्रेणी हैं। इनमें से, आंकड़ों के समुच्चय का माध्य आंकड़ों का समग्र विचार प्रदान करता है। माध्य आंकड़ों के समुच्चय में संख्याओं के औसत को परिभाषित करता है। माध्य के विभिन्न प्रकार समांतर माध्य (AM), गुणोत्तर माध्य (GM) और हरात्मक(हार्मोनिक) माध्य (HM) हैं।		गुणोत्तर माध्य (GM) औसत मान या माध्य है जो संख्याओं के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को उनके मानों का गुणनफल ज्ञात करके दर्शाता है। गणित और सांख्यिकी में, केंद्रीय प्रवृत्तियों के माप पूरे [[आंकड़े\|आंकड़ों]] के समुच्चय मानों के सारांश का वर्णन करते हैं। केंद्रीय प्रवृत्तियों के सबसे महत्वपूर्ण माप माध्य, माध्यिका, बहुलक और श्रेणी हैं। इनमें से, आंकड़ों के [[समुच्चय और उनका निरूपण\|समुच्चय]] का माध्य आंकड़ों का समग्र विचार प्रदान करता है। माध्य आंकड़ों के समुच्चय में संख्याओं के औसत को परिभाषित करता है। माध्य के विभिन्न प्रकार [[समांतर माध्य]] (AM), गुणोत्तर माध्य (GM) और हरात्मक(हार्मोनिक) माध्य (HM) हैं।

	इस लेख में, आइए गुणोत्तर माध्य की परिभाषा, सूत्र, गुण और अनुप्रयोगों पर चर्चा करें और अंत में हल किए गए उदाहरणों के साथ AM, GM और HM के बीच संबंध पर भी चर्चा करें।		इस लेख में, आइए गुणोत्तर माध्य की परिभाषा, सूत्र, गुण और अनुप्रयोगों पर चर्चा करें और अंत में हल किए गए उदाहरणों के साथ AM, GM और HM के बीच संबंध पर भी चर्चा करें।

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2024-11-19T09:51:08Z

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	== गुणोत्तर माध्य का अनुप्रयोग ==		== गुणोत्तर माध्य का अनुप्रयोग ==
	~~अंकगणित~~ माध्य की तुलना में गुणोत्तर माध्य के कई लाभ हैं और इसका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है। इसके कुछ अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:		समांतर माध्य की तुलना में गुणोत्तर माध्य के कई लाभ हैं और इसका उपयोग कई क्षेत्रों में किया जाता है। इसके कुछ अनुप्रयोग इस प्रकार हैं:

	इसका उपयोग स्टॉक इंडेक्स में किया जाता है क्योंकि वित्तीय विभागों द्वारा उपयोग किए जाने वाले कई मूल्य रेखा सूचकांक ~~जी.एम.~~ का उपयोग करते हैं।		* इसका उपयोग स्टॉक इंडेक्स( शेयर सूची में उपस्थित करना) में किया जाता है क्योंकि वित्तीय विभागों द्वारा उपयोग किए जाने वाले कई मूल्य रेखा सूचकांक GM का उपयोग करते हैं।
			* निवेश संविभाग(पोर्टफोलियो) पर वार्षिक प्रतिफल की गणना करने के लिए।
			* वित्त में गुणोत्तर माध्य का उपयोग औसत वृद्धि दर का पता लगाने के लिए किया जाता है जिसे चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर (CAGR-सीएजीआर) के रूप में भी जाना जाता है।
			* गुणोत्तर माध्य का उपयोग कोशिका विभाजन और जीवाणु वृद्धि दर आदि जैसे जैविक अध्ययनों में भी किया जाता है।

	~~निवेश पोर्टफोलियो पर वार्षिक रिटर्न की गणना करने के लिए।~~

	वित्त में गुणोत्तर माध्य का उपयोग औसत वृद्धि दर का पता लगाने के लिए किया जाता है जिसे चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर (सीएजीआर) के रूप में भी जाना जाता है।

	गुणोत्तर माध्य का उपयोग कोशिका विभाजन और जीवाणु वृद्धि दर आदि जैसे जैविक अध्ययनों में भी किया जाता है।
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
	[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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 यह दर्शाता है कि <math>A \geq G</math>
 [[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
 [[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	<math>\Rightarrow \frac{1}{AM}= \frac{2}{(a+b)}...(i)</math>		<math>\Rightarrow \frac{1}{AM}= \frac{2}{(a+b)}...(i)</math>

	GM = √(ab)		<math>GM = \sqrt{(ab)}</math>

	~~⇒GM2~~ = ab ……. (II)		<math>\Rightarrow GM^2 = ab...(ii)</math>

	HM= 2/[(1/a) + (1/b)]		<math>HM= \frac{2}{[\left ( \frac{1}{a} \right )+\left ( \frac{1}{b} \right )]} </math>

	~~⇒HM~~ = 2/[(a+b)/ab		<math>\Rightarrow HM = \frac{2}{[\frac{(a+b)}{ab}]}</math>

	⇒ HM = 2ab/(a+b) ….. (~~III~~)		<math>\Rightarrow HM = \frac{2ab}{(a+b)}... (iii)</math>

	अब, (~~III~~) में (I) और (II) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है		अब, (iii) में (i) और (ii) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

	HM = ~~GM2~~ /AM		<math>HM = GM^2 /AM</math>

	~~⇒GM2~~ = AM × HM		<math>\Rightarrow GM^2= AM\times HM</math>

	या फिर,		या फिर,

	GM = √[ AM × HM]		<math>GM = \sqrt{[ AM \times HM]}</math>

	इसलिए, AM, GM और HM के बीच संबंध ~~GM2~~ = AM × HM है। इसलिए ~~ज्यामितीय~~ माध्य का वर्ग ~~अंकगणितीय~~ माध्य और हरात्मक माध्य के गुणनफल के बराबर होता है।		इसलिए, AM, GM और HM के बीच संबंध <math> GM^2= AM\times HM</math> है। इसलिए गुणोत्तर माध्य का वर्ग समांतर माध्य और हरात्मक माध्य के गुणनफल के बराबर होता है।

	आइए यह भी देखें कि दिए गए ~~डेटा सेट~~ के लिए ~~G.M हमेशा डेटा सेट~~ के ~~अंकगणितीय~~ माध्य से कम क्यों होता है। मान लें कि A और G, ~~A.M.~~ और ~~G.M.~~ हैं।		आइए यह भी देखें कि दिए गए आंकड़ों के समुच्चय के लिए GM सदैव आंकड़ों के समुच्चय के समांतर माध्य से कम क्यों होता है। मान लें कि <math>A</math> और <math>G</math>, AM और GM हैं।

	तो,		तो,

	A = (a+b)/2 और G=~~√ab~~		<math>A = \frac{(a+b)}{2}</math> और <math>G= \sqrt{ab}</math>

	अब आइए दोनों समीकरणों को घटाएँ		अब आइए दोनों समीकरणों को घटाएँ

	~~A−G~~ = (a+b)/2 ~~− √ab~~ = (a+~~b−2√ab~~)/2 = (~~√a−√b~~)2/2 ≥ 0		<math>A-G = \frac{(a+b)}{2}- \sqrt{ab} = \frac{(a+b-2\sqrt{ab})}{2} = \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} \geq 0</math>

	~~A−G ≥~~ 0		<math>A-G \geq 0</math>

	यह दर्शाता है कि A ≥ G		यह दर्शाता है कि <math>A \geq G</math>
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
	[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T09:15:23Z

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Line 9:		Line 9:

	== गुणोत्तर माध्य सूत्र ==		== गुणोत्तर माध्य सूत्र ==
	<math>n</math> प्रेक्षणों वाले आंकड़ों के समुच्चय का गुणोत्तर माध्य (~~G.M~~) मानों के गुणनफल का <math>n</math>वाँ मूल होता है। मान लीजिए, यदि <math>x_1, x_2,.., x_n</math>वे प्रेक्षण हैं, जिनके लिए हम गुणोत्तर माध्य की गणना करना चाहते हैं। गुणोत्तर माध्य की गणना करने का सूत्र नीचे दिया गया है:		<math>n</math> प्रेक्षणों वाले आंकड़ों के समुच्चय का गुणोत्तर माध्य (GM) मानों के गुणनफल का <math>n</math>वाँ मूल होता है। मान लीजिए, यदि <math>x_1, x_2,.., x_n</math>वे प्रेक्षण हैं, जिनके लिए हम गुणोत्तर माध्य की गणना करना चाहते हैं। गुणोत्तर माध्य की गणना करने का सूत्र नीचे दिया गया है:

	<math>~~G.M~~=\sqrt{ x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n}</math>		<math>GM=\sqrt{ x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n}</math>

	या		या

	<math>~~G.M~~ = (x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n)^\frac{1}{n}</math>		<math>GM = (x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n)^\frac{1}{n}</math>

	इसे इस प्रकार भी दर्शाया जाता है:		इसे इस प्रकार भी दर्शाया जाता है:

	<math>~~G.M~~ = \sqrt{\prod_{i=1}}^n X_i</math>		<math>GM = \sqrt{\prod_{i=1}}^n X_i</math>

	दोनों तरफ़ से लघुगणक लेते हुए,		दोनों तरफ़ से लघुगणक लेते हुए,

	<math>\log ~~G.M~~ = \log (x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n)^\frac{1}{n}</math>		<math>\log GM = \log (x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n)^\frac{1}{n}</math>

	<math>= \left ( \frac{1}{n} \right )\log(x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n)</math>		<math>= \left ( \frac{1}{n} \right )\log(x_1\cdot x_2\cdot..\cdot x_n)</math>
Line 31:		Line 31:
	<math>= \frac{ \Bigl(\sum \log x_i\Bigr)}{n}</math>		<math>= \frac{ \Bigl(\sum \log x_i\Bigr)}{n}</math>

	इसलिए, ज्यामितीय माध्य, <math>~~G.M~~= Antilog \frac{ \Bigl(\sum \log x_i\Bigr)}{n}</math>		इसलिए, ज्यामितीय माध्य, <math>GM= Antilog \frac{ \Bigl(\sum \log x_i\Bigr)}{n}</math>

	यह GM का एक वैकल्पिक सूत्र है (जो छवि में दिए गए सूत्र के समान है)।		यह GM का एक वैकल्पिक सूत्र है (जो छवि में दिए गए सूत्र के समान है)।

	टिप्पणी : किसी भी समूहीकृत आंकड़ों के लिए, ~~G.M~~ की गणना निम्न का उपयोग करके की जा सकती है:		टिप्पणी : किसी भी समूहीकृत आंकड़ों के लिए, GM की गणना निम्न का उपयोग करके की जा सकती है:

	<math>~~G.M~~= Antilog \frac{ \Bigl(\sum \ f log x_i\Bigr)}{n}</math>, जहाँ <math>n = f_1 + f_2 + ... + f_n</math>।		<math>GM= Antilog \frac{ \Bigl(\sum \ f log x_i\Bigr)}{n}</math>, जहाँ <math>n = f_1 + f_2 + ... + f_n</math>।

			== AM, GM और HM के बीच संबंध ==
			AM, GM और HM के बीच संबंध जानने से पहले, हमें इन तीनों प्रकार के माध्य के सूत्रों को जानना होगा। मान लें कि “<math>a</math>” और “<math>b</math>” दो संख्याएँ हैं और मानों की संख्या <math>= 2</math> है, तो

			<math>AM = \frac{(a+b)}{2}</math>

			<math>\Rightarrow \frac{1}{AM}= \frac{2}{(a+b)}...(i)</math>

			GM = √(ab)

			⇒GM2 = ab ……. (II)

			HM= 2/[(1/a) + (1/b)]

			⇒HM = 2/[(a+b)/ab

			⇒ HM = 2ab/(a+b) ….. (III)

			अब, (III) में (I) और (II) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

			HM = GM2 /AM

			⇒GM2 = AM × HM

			या फिर,

			GM = √[ AM × HM]

			इसलिए, AM, GM और HM के बीच संबंध GM2 = AM × HM है। इसलिए ज्यामितीय माध्य का वर्ग अंकगणितीय माध्य और हरात्मक माध्य के गुणनफल के बराबर होता है।

			आइए यह भी देखें कि दिए गए डेटा सेट के लिए G.M हमेशा डेटा सेट के अंकगणितीय माध्य से कम क्यों होता है। मान लें कि A और G, A.M. और G.M. हैं।

			तो,

			A = (a+b)/2 और G=√ab

			अब आइए दोनों समीकरणों को घटाएँ

			A−G = (a+b)/2 − √ab = (a+b−2√ab)/2 = (√a−√b)2/2 ≥ 0

			A−G ≥ 0

			यह दर्शाता है कि A ≥ G
	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
	[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T09:08:40Z

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 <math>G.M = \sqrt{\prod_{i=1}}^n X_i</math>
 [[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
 [[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T08:54:18Z

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	इसे इस प्रकार भी दर्शाया जाता है:		इसे इस प्रकार भी दर्शाया जाता है:

	G.M. = ~~√∏ᵢ₌₁ⁿ xᵢ~~		<math>G.M = \sqrt{\prod_{i=1}}^n X_i</math>

	[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]		[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
	[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-19T08:50:49Z

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-Geometric Mean
+गुणोत्तर माध्य (GM) औसत मान या माध्य है जो संख्याओं के समूह की केंद्रीय प्रवृत्ति को उनके मानों का गुणनफल ज्ञात करके दर्शाता है। गणित और सांख्यिकी में, केंद्रीय प्रवृत्तियों के माप पूरे आंकड़ों के समुच्चय मानों के सारांश का वर्णन करते हैं। केंद्रीय प्रवृत्तियों के सबसे महत्वपूर्ण माप माध्य, माध्यिका, बहुलक और श्रेणी हैं। इनमें से, आंकड़ों के समुच्चय का माध्य आंकड़ों का समग्र विचार प्रदान करता है। माध्य आंकड़ों के समुच्चय में संख्याओं के औसत को परिभाषित करता है। माध्य के विभिन्न प्रकार समांतर माध्य (AM), गुणोत्तर माध्य (GM) और  हरात्मक(हार्मोनिक) माध्य (HM) हैं।
 [[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
 [[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Ramamurthy: Category updated

2023-08-07T06:04:15Z

Category updated

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	Geometric Mean		Geometric Mean
			[[Category:अनुक्रम तथा श्रेणी]]
	[[Category:~~अंकगणित~~]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:13, 4 August 2023

2023-08-04T06:13:34Z

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	Geometric Mean		Geometric Mean

	[[Category:अंकगणित]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:अंकगणित]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]