त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएं - Revision history

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2024-11-24T07:41:58Z

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	<blockquote>जैसा कि हम जानते हैं कि हमारे पास छह त्रिकोणमितीय फलन हैं, अर्थात्,		<blockquote>जैसा कि हम जानते हैं कि हमारे पास छह त्रिकोणमितीय फलन हैं, अर्थात्,

	# '''साइन'''		# '''साइन'''
	# '''कोसाइन'''		# '''कोसाइन'''
	# '''स्पर्शरेखा'''		# '''स्पर्शरेखा'''
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	नीचे दिए गए लेख में प्रत्येक फलन की सीमा पर विस्तार से चर्चा की गई है।</blockquote>		नीचे दिए गए लेख में प्रत्येक फलन की सीमा पर विस्तार से चर्चा की गई है।</blockquote>

	=== साइन फलन की सीमा ===		=== ज्या(साइन) फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = sin(x)</math> अपने पूरे प्रांत पर एक सतत फलन है, जिसका प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है। इस फलन की सीमा <math>[-1, 1]</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है		<blockquote>फलन <math>f(x) = sin(x)</math> अपने पूरे प्रांत पर एक सतत फलन है, जिसका प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है। इस फलन की सीमा <math>[-1, 1]</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है

Line 114:		Line 114:
	<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = sin(a)</math>, (जहाँ <math>a </math> एक वास्तविक संख्या है)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = sin(a)</math>, (जहाँ <math>a </math> एक वास्तविक संख्या है)</blockquote>

	=== कोसाइन फलन की सीमा ===		=== कोज्या(कोसाइन) फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = cos(x)</math> अपने पूरे प्रांत पर एक सतत फलन है, जिसका प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cos(x)</math> अपने पूरे प्रांत पर एक सतत फलन है, जिसका प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है।

Line 127:		Line 127:
	<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle g (x) = cos(a)</math>, (जहाँ <math>a </math> एक वास्तविक संख्या है)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle g (x) = cos(a)</math>, (जहाँ <math>a </math> एक वास्तविक संख्या है)</blockquote>

	=== ~~स्पर्शरेखा~~ फलन की सीमा ===		=== स्पर्शज्या(टैन) फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) =tan(x)</math>सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) =tan(x)</math>सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

Line 140:		Line 140:
	<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = tan(a)</math> (जहाँ <math>a </math> वास्तविक संख्या से संबंधित है सिवाय <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math>)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = tan(a)</math> (जहाँ <math>a </math> वास्तविक संख्या से संबंधित है सिवाय <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math>)</blockquote>

	=== कोसेक फलन की सीमा ===		=== व्युज्या(कोसेक) फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = cosec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>sin(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cosec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>sin(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

Line 153:		Line 153:
	<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = cosec(a)</math> (जहाँ <math>a\in R -n\pi: n \in Z</math>)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = cosec(a)</math> (जहाँ <math>a\in R -n\pi: n \in Z</math>)</blockquote>

	=== सेकेंट फलन की सीमा ===		=== व्युकोज्या(सेकेंट) फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = sec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos (x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = sec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos (x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

Line 166:		Line 166:
	<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = sec(a)</math> (जहाँ <math>a\in R - \Bigl({n\pi + \frac{\pi}{2}}\Bigr): n \in Z</math>)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = sec(a)</math> (जहाँ <math>a\in R - \Bigl({n\pi + \frac{\pi}{2}}\Bigr): n \in Z</math>)</blockquote>

	=== कॉट फलन की सीमा ===		=== व्युस्पर्शज्या(कॉट) फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = cot(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>tan(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\pi n</math> , <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cot(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>tan(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\pi n</math> , <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

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	त्रिकोणमितीय फलनों की परिमित सीमा, अर्थात् <math>x</math> के परिमित मान के लिए त्रिकोणमितीय फलन की सीमा पर नीचे दी गई तालिका में चर्चा की गई है:		त्रिकोणमितीय फलनों की परिमित सीमा, अर्थात् <math>x</math> के परिमित मान के लिए त्रिकोणमितीय फलन की सीमा पर नीचे दी गई तालिका में चर्चा की गई है:
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	!फलन		\|+
			!फलन
	!फलनों की सीमाएँ		!फलनों की सीमाएँ
	\|-		\|-
	\|sin x		\|sin x
	\|~~limx⇢asin~~ x = ~~sin a~~		\|<math>\textstyle \lim_{x \to a}sinx=sina</math>
	\|-		\|-
	\|cos x		\|cos x
	\|~~limx⇢acos~~ x = ~~cos a~~		\|<math>\textstyle \lim_{x \to a}cosx=cosa</math>
	\|-		\|-
	\|tan x		\|tan x
	\|~~limx⇢atan~~ x = ~~tan a~~		\|<math>\textstyle \lim_{x \to a}tanx=tana</math>
	\|-		\|-
	\|cosec x		\|cosec x
	\|~~limx⇢acosec~~ x = ~~cosec a~~		\|<math>\textstyle \lim_{x \to a}cosecx=coseca</math>
	\|-		\|-
	\|sec x		\|sec x
	\|~~limx⇢asec~~ x = ~~sec a~~		\|<math>\textstyle \lim_{x \to a}secx=seca</math>
	\|-		\|-
	\|cot x		\|cot x
	\|~~limx⇢acot~~ x = ~~cot a~~		\|<math>\textstyle \lim_{x \to a}cotx=cota</math>
	\|}		\|}
	जैसा कि ऊपर दी गई तालिका से देखा जा सकता है, यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय फलन की परिमित सीमा कुछ अपवादों को छोड़कर परिमित मान में परिणत होती है। हम जानते हैं कि <math>sin x</math> और <math>cos x</math> के लिए उनकी सीमा <math>-1</math> और <math>1</math> के बीच होती है और इसलिए अनंत सीमा के लिए उनका मान <math>-1</math> और <math>1</math> के बीच दोलन करता है, उनका सटीक मान पाना संभव नहीं है और इस प्रकार अनंत पर उनका लिंट अपरिभाषित है। <math>x</math> के धनात्मक या ऋणात्मक अनंत तक पहुँचने के लिए, त्रिकोणमितीय फलन की सीमा पर नीचे चर्चा की गई है।		जैसा कि ऊपर दी गई तालिका से देखा जा सकता है, यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय फलन की परिमित सीमा कुछ अपवादों को छोड़कर परिमित मान में परिणत होती है। हम जानते हैं कि <math>sin x</math> और <math>cos x</math> के लिए उनकी सीमा <math>-1</math> और <math>1</math> के बीच होती है और इसलिए अनंत सीमा के लिए उनका मान <math>-1</math> और <math>1</math> के बीच दोलन करता है, उनका सटीक मान पाना संभव नहीं है और इस प्रकार अनंत पर उनका लिंट अपरिभाषित है। <math>x</math> के धनात्मक या ऋणात्मक अनंत तक पहुँचने के लिए, त्रिकोणमितीय फलन की सीमा पर नीचे चर्चा की गई है।
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	</blockquote>		</blockquote>


	== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों का आलेख ==		== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों का आलेख ==
	विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:[[File:विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख.jpg\|thumb\|476x476px\|चित्र- विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख\|left]]		विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:[[File:विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख.jpg\|thumb\|476x476px\|चित्र- विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख\|left]]
	[[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	# '''कोसेकेंट'''		# '''कोसेकेंट'''
	# '''कोटेंजेंट'''		# '''कोटेंजेंट'''



Line 154:		Line 153:

	=== सेकेंट फलन की सीमा ===		=== सेकेंट फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन f(x) = sec(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ cos(x) 0 के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक n के लिए π/2 + πn के मान। इस प्रकार, इसका डोमेन π/2 + πn, n € Z को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = sec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos (x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका डोमेन<math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा (-∞, -1] U [1, +∞) है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा <math>(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि सेक फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।		इसलिए, यदि सेक फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।

	मान लेते हैं कि, f(x) = sec(x)		मान लेते हैं कि,<math>f(x) = sec(x)</math>

	~~limx→a~~ f(x) = ~~limx→a~~ sec(x)		<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = \textstyle \lim_{x \to a}sec(x)</math>

	~~⇒ lim~~<~~sub>x→a</sub~~> f(x) = sec(a) (~~where a∈ '''~~R ~~–'''~~ {nπ + π/2}: n € Z)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = sec(a)</math> (जहाँ <math>a\in R - \Bigl({n\pi + \frac{\pi}{2}}\Bigr): n \in Z</math>)</blockquote>

	=== कॉट फलन की सीमा ===		=== कॉट फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन f(x) = cot(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ tan(x) 0 के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक n के लिए πn का मान। इस प्रकार, इसका डोमेन πn, n € Z को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cot(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>tan(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका डोमेन <math>\pi n</math> , <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा (-∞, +∞) है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा<math>(-\infty, +\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि कॉट फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।		इसलिए, यदि कॉट फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।

	मान लेते हैं कि, f(x) = cot(x)		मान लेते हैं कि, <math>f(x) = cot(x)</math>

	~~limx→a~~ f(x) = ~~limx→a~~ cot(x)		<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = \textstyle \lim_{x \to a}cot(x)</math>

	~~⇒ lim~~<~~sub>x→a</sub~~> f(x) = cot(a) (~~where a∈ '''~~R ~~–''' nπ~~: n € Z)		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = cot(a)</math> (जहाँ <math>a\in R -n\pi: n \in Z</math>)

	</blockquote>		</blockquote>

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2024-11-24T05:57:24Z

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	=== स्पर्शरेखा फलन की सीमा ===		=== स्पर्शरेखा फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन f(x) = tan(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ cos(x) 0 के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक n के लिए π/2 + πn के मान। इस प्रकार, इसका डोमेन π/2 + πn, n € Z को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) =tan(x)</math>सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका डोमेन <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा (-∞, +c) है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा <math>(-\infty, +c)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि स्पर्शरेखा फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और (-∞, +∞) के बीच होती है।		इसलिए, यदि स्पर्शरेखा फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और (-∞, +∞) के बीच होती है।

	f(x) = tan(x)		<math>f(x) =tan(x)</math>

	~~limx→a~~ f(x) = ~~limx→a tan~~(x)		<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = \textstyle \lim_{x \to a}tan(x)</math>

	~~⇒ lim~~<~~sub>x→a</sub~~> f(x) = tan(a) (~~where~~ a ~~belongs to real no. except π~~/2 + πn, n € Z)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = tan(a)</math> (जहाँ <math>a </math> वास्तविक संख्या से संबंधित है सिवाय <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math>)</blockquote>

	=== कोसेक फलन की सीमा ===		=== कोसेक फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन f(x) = cosec(x) सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ sin(x) 0 के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक n के लिए πn का मान। इस प्रकार, इसका डोमेन πn, n € Z को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cosec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>sin(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका डोमेन <math>\pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा (-∞,-1] U [1,+∞) है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा<math>(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि कोसाइन फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।		इसलिए, यदि कोसाइन फलन की सीमा की गणना उसके डोमेन में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।

	मान लेते हैं कि, f(x) = cosec(x)		मान लेते हैं कि, <math>f(x) = cosec(x)</math>

	~~limx→a~~ f(x) = ~~limx→a~~ cosec(x)		<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = \textstyle \lim_{x \to a}cosec(x)</math>

	~~⇒ limx→a~~ f(x) = cosec(a) (~~where a∈ '''~~R ~~–''' nπ~~: n € Z)</blockquote>		<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = cosec(a)</math> (जहाँ <math>a\in R -n\pi: n \in Z</math>)</blockquote>

	=== सेकेंट फलन की सीमा ===		=== सेकेंट फलन की सीमा ===

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2024-11-24T04:20:34Z

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@@ Line 106: / Line 106: @@
 नीचे दिए गए लेख में प्रत्येक फलन की सीमा पर विस्तार से चर्चा की गई है।</blockquote>
-[[File:विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख.jpg|thumb|325x325px|चित्र- विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख]]
+इसलिए, यदि साइन फ़ंक्शन की सीमा किसी भी दी गई वास्तविक संख्या पर गणना की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और [-1, 1] के बीच होती है।
-== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख ==
+Let, f(x) = sin(x)
 [[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-11-24T04:13:34Z

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Line 1:		Line 1:
	[[त्रिकोणमिति]], गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है। हम जानते हैं कि छह त्रिकोणमितीय फलन हैं और त्रिकोणमितीय की सीमा प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन की सीमा है। हम आसानी से त्रिकोणमितीय फलन की सीमा ज्ञात कर सकते हैं और विचार के बिंदु के साथ दिए गए फलन के आधार पर त्रिकोणमितीय फलन की सीमा उपस्थित हो भी सकती है और नहीं भी।		[[त्रिकोणमिति]], गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है। हम जानते हैं कि छह त्रिकोणमितीय फलन हैं और त्रिकोणमितीय की सीमा प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन की सीमा है। हम आसानी से त्रिकोणमितीय फलन की सीमा ज्ञात कर सकते हैं और विचार के बिंदु के साथ दिए गए फलन के आधार पर त्रिकोणमितीय फलन की सीमा उपस्थित हो भी सकती है और नहीं भी।

	त्रिकोणमितीय फलन के लिए, हम फलन चर को सीमा मान से बदलकर सभी छह त्रिकोणमितीय फलन की सीमा आसानी से ले सकते हैं। त्रिकोणमितीय फलन की सीमा फलन के प्रांत(डोमेन) और परिसर(रेंज) पर निर्भर करती है। इस लेख में, हम सभी छह त्रिकोणमितीय फलन की सीमा, उनके उदाहरण और अन्य के बारे में विस्तार से जानेंगे।		त्रिकोणमितीय फलन के लिए, हम फलन चर को सीमा मान से बदलकर सभी छह [[त्रिकोणमितीय फलन]] की सीमा आसानी से ले सकते हैं। त्रिकोणमितीय फलन की सीमा फलन के प्रांत(डोमेन) और परिसर(रेंज) पर निर्भर करती है। इस लेख में, हम सभी छह त्रिकोणमितीय फलन की सीमा, उनके उदाहरण और अन्य के बारे में विस्तार से जानेंगे।
	==परिभाषा==		==परिभाषा==
	त्रिकोणमितीय फलन वह फलन है जो त्रिभुज के कोणों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाता है। इन्हें वृत्ताकार फलन भी कहा जाता है क्योंकि ये कुछ समय बाद अपने मान को वृत्ताकार तरीके से दोहराते हैं।		त्रिकोणमितीय फलन वह फलन है जो त्रिभुज के कोणों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाता है। इन्हें वृत्ताकार फलन भी कहा जाता है क्योंकि ये कुछ समय बाद अपने मान को वृत्ताकार तरीके से दोहराते हैं।
Line 69:		Line 69:
	<math>x^2</math> से गुणा करना		<math>x^2</math> से गुणा करना

	-~~x2 ≤~~ x2sin(1/x) ~~≤ x2~~		<math>-x^2 \leq x2sin\left ( \frac{1}{x} \right ) \leq x^2</math>

	फिर मान लें कि f(x) = -x2 और h(x) = x2		फिर मान लें कि <math>f(x) = -x^2</math>और <math>h(x) = x^2</math>

	f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)		'''<math> \displaystyle f (x) \leq g (x ) \leq h(x)</math>'''

	सैंडविच प्रमेय का उपयोग करते हुए,		सैंडविच प्रमेय का उपयोग करते हुए,

	चूँकि ~~limx→a~~ h(x) = ~~limx→a~~ f(x) = L		चूँकि <math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle h (x) = \textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f(x)= L</math>

	इसलिए,		इसलिए,

	~~limx→a~~ g(x) = L		'''<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle g (x) = L</math>'''

	~~⇒ limx→0~~ f(x) = ~~limx→0~~ -x2 = 0 और		'''<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to 0} \displaystyle f(x) = \textstyle \lim_{x \to 0} \displaystyle -x^2=0</math>''' और

	~~⇒ limx→0~~ h(x) = ~~limx→0 x2~~ = 0		'''<math>\Rightarrow \textstyle \lim_{x \to 0} \displaystyle h(x) = \textstyle \lim_{x \to 0} \displaystyle x^2=0</math>'''

	इस प्रकार, ~~limx→0~~ g(x) = 0</blockquote>		इस प्रकार, '''<math>\textstyle \lim_{x \to 0} \displaystyle g (x) = 0</math>'''</blockquote>

	== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएँ ==		== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलनों की सीमाएँ ==
Line 107:		Line 107:


	== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का ~~ग्राफ~~ ==		[[File:विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख.jpg\|thumb\|325x325px\|चित्र- विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख]]

			== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख ==
	विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:		विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:

	~~IMAGE~~
	[[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: formulas

2024-11-24T03:47:16Z

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	== उदाहरण: ==		== उदाहरण: ==
	दिया गया: g(x) = ~~x2sin~~(1/x), ज्ञात करें: ~~limx→0~~ g(x)<blockquote>समाधान:		दिया गया: <math>g(x) = x^2sin\Bigl(\frac{1}{x}\Bigr)</math>, ज्ञात करें: <math>\textstyle \lim_{x \to 0} \displaystyle g(x)</math><blockquote>'''समाधान''':

	हम जानते हैं,		हम जानते हैं,

	-1≤ sin(1/x) ≤ 1 इसके प्रांतके अंतर्गत		<math>-1\leq sin\left ( \frac{1}{x} \right ) \leq 1</math> इसके प्रांतके अंतर्गत

	x2 से गुणा करना		<math>x^2</math> से गुणा करना

	-x2 ≤ x2sin(1/x) ≤ x2		-x2 ≤ x2sin(1/x) ≤ x2

Mani: formulas

2024-11-24T03:41:27Z

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Line 1:		Line 1:
	त्रिकोणमिति गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है। हम जानते हैं कि छह त्रिकोणमितीय फलन हैं और त्रिकोणमितीय की सीमा प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन की सीमा है। हम आसानी से त्रिकोणमितीय फलन की सीमा ज्ञात कर सकते हैं और विचार के बिंदु के साथ दिए गए फलन के आधार पर त्रिकोणमितीय फलन की सीमा ~~मौजूद~~ हो भी सकती है और नहीं भी।		[[त्रिकोणमिति]], गणित की सबसे महत्वपूर्ण शाखाओं में से एक है। हम जानते हैं कि छह त्रिकोणमितीय फलन हैं और त्रिकोणमितीय की सीमा प्रत्येक त्रिकोणमितीय फलन की सीमा है। हम आसानी से त्रिकोणमितीय फलन की सीमा ज्ञात कर सकते हैं और विचार के बिंदु के साथ दिए गए फलन के आधार पर त्रिकोणमितीय फलन की सीमा उपस्थित हो भी सकती है और नहीं भी।

	त्रिकोणमितीय ~~कार्यों~~ के लिए, हम ~~फ़ंक्शन~~ चर को सीमा मान से बदलकर सभी छह त्रिकोणमितीय ~~कार्यों~~ की सीमा आसानी से ले सकते हैं। त्रिकोणमितीय ~~फ़ंक्शन~~ की सीमा ~~फ़ंक्शन~~ के डोमेन और रेंज पर निर्भर करती है। इस लेख में, हम सभी छह त्रिकोणमितीय ~~फ़ंक्शन~~ की सीमा, उनके उदाहरण और अन्य के बारे में विस्तार से जानेंगे।		त्रिकोणमितीय फलन के लिए, हम फलन चर को सीमा मान से बदलकर सभी छह त्रिकोणमितीय फलन की सीमा आसानी से ले सकते हैं। त्रिकोणमितीय फलन की सीमा फलन के प्रांत(डोमेन) और परिसर(रेंज) पर निर्भर करती है। इस लेख में, हम सभी छह त्रिकोणमितीय फलन की सीमा, उनके उदाहरण और अन्य के बारे में विस्तार से जानेंगे।
	==परिभाषा==		==परिभाषा==
	त्रिकोणमितीय फलन वह फलन है जो त्रिभुज के कोणों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाता है। इन्हें वृत्ताकार फलन भी कहा जाता है क्योंकि ये कुछ समय बाद अपने मान को वृत्ताकार तरीके से दोहराते हैं।		त्रिकोणमितीय फलन वह फलन है जो त्रिभुज के कोणों और त्रिभुज की भुजाओं के बीच के संबंध को दर्शाता है। इन्हें वृत्ताकार फलन भी कहा जाता है क्योंकि ये कुछ समय बाद अपने मान को वृत्ताकार तरीके से दोहराते हैं।
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	\|limx⇢acot x = cot a		\|limx⇢acot x = cot a
	\|}		\|}
	जैसा कि ऊपर दी गई तालिका से देखा जा सकता है, यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय ~~फ़ंक्शन~~ की परिमित सीमा कुछ अपवादों को छोड़कर परिमित मान में परिणत होती है। हम जानते हैं कि sin x और cos x के लिए उनकी सीमा -1 और 1 के बीच होती है और इसलिए अनंत सीमा के लिए उनका मान -1 और 1 के बीच दोलन करता है, उनका सटीक मान पाना संभव नहीं है और इस प्रकार अनंत पर उनका लिंट अपरिभाषित है। x के धनात्मक या ऋणात्मक अनंत तक पहुँचने के लिए, त्रिकोणमितीय ~~फ़ंक्शन~~ की सीमा पर नीचे चर्चा की गई है।		जैसा कि ऊपर दी गई तालिका से देखा जा सकता है, यह स्पष्ट है कि त्रिकोणमितीय फलन की परिमित सीमा कुछ अपवादों को छोड़कर परिमित मान में परिणत होती है। हम जानते हैं कि <math>sin x</math> और <math>cos x</math> के लिए उनकी सीमा <math>-1</math> और <math>1</math> के बीच होती है और इसलिए अनंत सीमा के लिए उनका मान <math>-1</math> और <math>1</math> के बीच दोलन करता है, उनका सटीक मान पाना संभव नहीं है और इस प्रकार अनंत पर उनका लिंट अपरिभाषित है। <math>x</math> के धनात्मक या ऋणात्मक अनंत तक पहुँचने के लिए, त्रिकोणमितीय फलन की सीमा पर नीचे चर्चा की गई है।

	== त्रिकोणमितीय ~~कार्यों~~ की सीमाओं के प्रमेय ==		== त्रिकोणमितीय फलन की सीमाओं के प्रमेय ==
	हमारे पास दो प्रमेय हैं जिनका उपयोग त्रिकोणमितीय ~~कार्यों~~ की सीमा को परिभाषित करने में किया जाता है, जो हैं,		हमारे पास दो प्रमेय हैं जिनका उपयोग त्रिकोणमितीय फलन की सीमा को परिभाषित करने में किया जाता है, जो हैं,

	प्रमेय 1		=== प्रमेय 1 ===
			किसी भी दो वास्तविक-मूल्यवान फलन <math>f(x)</math> और<math>g(x)</math> के लिए जो एक ही प्रांत में परिभाषित हैं और उनके बीच संबंध <math>f(x) \leq g(x)</math> है। हम इन फलन की सीमा को <math>x</math> पर ले सकते हैं जो a के करीब है, फिर,

	~~किसी भी दो वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन~~ f(x) ~~और g~~(x) ~~के लिए जो एक ही डोमेन में परिभाषित हैं~~ और ~~उनके बीच संबंध f~~(x) ≤ g(x) ~~है। हम इन फ़ंक्शन की सीमा को x पर ले सकते हैं जो a के करीब है, फिर,~~		<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) = f(a)</math> और, <math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle g (x) = g(a)</math>

	~~limx⇢af(x) = f(a) और~~, ~~limx⇢ag(x) = g(a)~~		यदि दोनों सीमाएँ उपस्थित हैं तो हम आसानी से कह सकते हैं कि,

	~~यदि दोनों सीमाएँ मौजूद हैं तो हम आसानी से कह सकते हैं कि,~~		'''<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f (x) \leq g (x )</math>'''

	~~'''limx⇢af~~(x) ~~≤ limx⇢ag~~(x)~~'''~~		=== प्रमेय 2 (सैंडविच प्रमेय) ===
			इस प्रमेय का उपयोग उन फलन की सीमा की गणना करने के लिए किया जाता है जिनकी सीमा की गणना आसानी से नहीं की जा सकती है जैसे <math>(x = 0 )</math> पर <math>\frac{sin x}{x }</math>। फलन <math>g(x)</math> को दो फलन <math>h(x)</math> और <math>g(x)</math> के बीच इस तरह से दबाया या सैंडविच किया जाता है कि

	~~प्रमेय 2~~ (~~सैंडविच प्रमेय~~)		'''<math> \displaystyle f (x) \leq g (x ) \leq h(x)</math>'''

	~~इस प्रमेय~~ का ~~उपयोग उन कार्यों की सीमा की गणना करने के लिए किया जाता~~ है ~~जिनकी~~ सीमा ~~की गणना आसानी से नहीं की जा सकती है जैसे (x = 0 पर sin x/x)। फ़ंक्शन g(x)~~ को ~~दो फ़ंक्शन h(x) और g(x) के बीच इस तरह से निचोड़ा या सैंडविच किया जाता है कि~~		उपरोक्त स्थिति का आलेख नीचे दिखाया गया है जो सैंडविच प्रमेय सीमा को दर्शाता है।

	~~'''f~~(x) ≤ g(x) ≤ h(x)~~'''~~		हम कह सकते हैं कि <math>h(x)</math>, <math>g(x)</math> की ऊपरी सीमा है और <math>h(x)</math> बिंदु <math>a </math> पर इसकी निचली सीमा है जैसा कि ऊपर दिए गए आलेख में देखा जा सकता है:

	उपरोक्त स्थिति का ग्राफ नीचे दिखाया गया है जो सैंडविच प्रमेय सीमा को दर्शाता है।		<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle h (x) = L</math> and '''<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle f(x) = L</math>'''

	~~हम कह सकते हैं कि h(x) g(x)~~ की ~~ऊपरी सीमा~~ है और ~~f(x) बिंदु a पर इसकी निचली~~ सीमा ~~है जैसा कि ऊपर दिए गए ग्राफ में देखा जा सकता है:~~		जहाँ, <math>a </math> वह बिंदु है जिस पर सीमा की गणना की जाती है, और <math>L</math> सीमा का मान है।

	~~'''lim~~<~~sub~~>~~x→a</sub> h(x) = L''' and~~ '''~~lim~~<~~sub~~>~~x→a</sub> f(~~x~~) = L'''~~		तब,<blockquote>'''<math>\textstyle \lim_{x \to a} \displaystyle g (x) = L</math>'''</blockquote>

	~~जहाँ,~~

	a ~~वह बिंदु है जिस पर सीमा की गणना की जाती है, और~~

	~~L सीमा का मान है।~~

	~~Then,<blockquote>'''limx→a~~ g(x) = L'''</blockquote>

	== उदाहरण: ==		== उदाहरण: ==
Line 71:		Line 65:
	हम जानते हैं,		हम जानते हैं,

	-1≤ sin(1/x) ≤ 1 इसके ~~डोमेन के~~ अंतर्गत		-1≤ sin(1/x) ≤ 1 इसके प्रांतके अंतर्गत

	x2 से गुणा करना		x2 से गुणा करना
Line 113:		Line 107:


	== विभिन्न त्रिकोणमितीय ~~कार्यों~~ का ग्राफ ==		== विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का ग्राफ ==
	विभिन्न त्रिकोणमितीय ~~कार्यों~~ का ~~ग्राफ~~ निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:		विभिन्न त्रिकोणमितीय फलन का आलेख निम्नलिखित छवि में जोड़ा गया है:

	IMAGE		IMAGE
	[[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:सीमा और अवकलज]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	=== प्रमेय 2 (सैंडविच प्रमेय) ===		=== प्रमेय 2 (सैंडविच प्रमेय) ===
	इस प्रमेय का उपयोग उन फलन की सीमा की गणना करने के लिए किया जाता है जिनकी सीमा की गणना आसानी से नहीं की जा सकती है जैसे <math>(x = 0 )</math> पर <math>\frac{sin x}{x }</math>। फलन <math>g(x)</math> को दो फलन <math>h(x)</math> और <math>g(x)</math> के बीच इस तरह से दबाया या सैंडविच किया जाता है कि		इस प्रमेय का उपयोग उन फलन की सीमा की गणना करने के लिए किया जाता है जिनकी सीमा की गणना आसानी से नहीं की जा सकती है जैसे <math>(x = 0 )</math> पर <math>\frac{sin x}{x }</math> । फलन <math>g(x)</math> को दो फलन <math>h(x)</math> और <math>g(x)</math> के बीच इस तरह से दबाया या सैंडविच किया जाता है कि

	'''<math> \displaystyle f (x) \leq g (x ) \leq h(x)</math>'''		'''<math> \displaystyle f (x) \leq g (x ) \leq h(x)</math>'''
Line 104:		Line 104:

	=== साइन फलन की सीमा ===		=== साइन फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = sin(x)</math> अपने पूरे ~~डोमेन~~ पर एक सतत फलन है, जिसका ~~डोमेन~~ सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है। इस फलन की सीमा <math>[-1, 1]</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है		<blockquote>फलन <math>f(x) = sin(x)</math> अपने पूरे प्रांत पर एक सतत फलन है, जिसका प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है। इस फलन की सीमा <math>[-1, 1]</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है

	इसलिए, यदि साइन फलन की सीमा किसी भी दी गई वास्तविक संख्या पर गणना की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और <math>[-1, 1]</math> के बीच होती है।		इसलिए, यदि साइन फलन की सीमा किसी भी दी गई वास्तविक संख्या पर गणना की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और <math>[-1, 1]</math> के बीच होती है।
Line 115:		Line 115:

	=== कोसाइन फलन की सीमा ===		=== कोसाइन फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = cos(x)</math> अपने पूरे ~~डोमेन~~ पर एक सतत फलन है, जिसका ~~डोमेन~~ सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cos(x)</math> अपने पूरे प्रांत पर एक सतत फलन है, जिसका प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं से मिलकर बना है।

	इस फलन की सीमा <math>[-1, 1]</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा <math>[-1, 1]</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।
Line 128:		Line 128:

	=== स्पर्शरेखा फलन की सीमा ===		=== स्पर्शरेखा फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) =tan(x)</math>सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका ~~डोमेन~~ <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) =tan(x)</math>सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा <math>(-\infty, +c)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा <math>(-\infty, +c)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि स्पर्शरेखा फलन की सीमा की गणना उसके ~~डोमेन~~ में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और (-∞, +∞) के बीच होती है।		इसलिए, यदि स्पर्शरेखा फलन की सीमा की गणना उसके प्रांत में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और (-∞, +∞) के बीच होती है।

	<math>f(x) =tan(x)</math>		<math>f(x) =tan(x)</math>
Line 141:		Line 141:

	=== कोसेक फलन की सीमा ===		=== कोसेक फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = cosec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>sin(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका ~~डोमेन~~ <math>\pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cosec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>sin(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा<math>(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा<math>(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि कोसाइन फलन की सीमा की गणना उसके ~~डोमेन~~ में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।		इसलिए, यदि कोसाइन फलन की सीमा की गणना उसके प्रांत में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।

	मान लेते हैं कि, <math>f(x) = cosec(x)</math>		मान लेते हैं कि, <math>f(x) = cosec(x)</math>
Line 154:		Line 154:

	=== सेकेंट फलन की सीमा ===		=== सेकेंट फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = sec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos (x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका ~~डोमेन~~<math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = sec(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>cos (x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math> के मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\frac{\pi}{2} + \pi n</math>, <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा <math>(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा <math>(-\infty,-1] \cup [1,+\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि सेक फलन की सीमा की गणना उसके ~~डोमेन~~ में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।		इसलिए, यदि सेक फलन की सीमा की गणना उसके प्रांत में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।

	मान लेते हैं कि,<math>f(x) = sec(x)</math>		मान लेते हैं कि,<math>f(x) = sec(x)</math>
Line 167:		Line 167:

	=== कॉट फलन की सीमा ===		=== कॉट फलन की सीमा ===
	<blockquote>फलन <math>f(x) = cot(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>tan(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका ~~डोमेन~~ <math>\pi n</math> , <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।		<blockquote>फलन <math>f(x) = cot(x)</math> सभी वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित है, सिवाय उन मानों के जहाँ <math>tan(x),0</math> के बराबर है, अर्थात सभी पूर्णांक <math>n </math> के लिए <math>\pi n</math> का मान। इस प्रकार, इसका प्रांत <math>\pi n</math> , <math>n \in Z</math> को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

	इस फलन की सीमा<math>(-\infty, +\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।		इस फलन की सीमा<math>(-\infty, +\infty)</math> है जैसा कि नीचे दिए गए ग्राफ़ में देखा जा सकता है।

	इसलिए, यदि कॉट फलन की सीमा की गणना उसके ~~डोमेन~~ में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।		इसलिए, यदि कॉट फलन की सीमा की गणना उसके प्रांत में की जाती है तो यह हमेशा परिभाषित होती है और इसकी सीमा के बीच होती है।

	मान लेते हैं कि, <math>f(x) = cot(x)</math>		मान लेते हैं कि, <math>f(x) = cot(x)</math>