दो सदिशों का गुणनफल - Revision history

Mani: images added

2024-12-15T03:22:57Z

images added

← Older revision		Revision as of 08:52, 15 December 2024
Line 4:		Line 4:

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	एक सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। हम दो या अधिक सदिशों को डॉट गुणनफल और वज्र गुणनफल से गुणा कर सकते हैं। आइए सदिशों के प्रत्येक गुणनफल के बारे में अधिक समझें।		एक सदिश में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। हम दो या अधिक [[सदिशों के प्रकार\|सदिशों]] को डॉट गुणनफल और वज्र गुणनफल से गुणा कर सकते हैं। आइए सदिशों के प्रत्येक गुणनफल के बारे में अधिक समझें।
			[[File:डॉट गुणनफल.jpg\|thumb\|डॉट गुणनफल]]

	=== डॉट गुणनफल ===		=== डॉट गुणनफल ===
	सदिशों के डॉट गुणनफल को सदिशों का अदिश गुणनफल भी कहा जाता है। सदिशों के डॉट गुणनफल का परिणाम एक अदिश मान होता है। सदिशों का डॉट गुणनफल दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल और दो सदिशों के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर होता है। दो सदिशों के डॉट गुणनफल का परिणाम दो सदिशों के एक ही तल में होता है। डॉट गुणनफल एक सकारात्मक वास्तविक संख्या या एक नकारात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है।		सदिशों के डॉट गुणनफल को सदिशों का अदिश गुणनफल भी कहा जाता है। सदिशों के डॉट गुणनफल का परिणाम एक अदिश मान होता है। सदिशों का डॉट गुणनफल दो सदिशों के परिमाणों के गुणनफल और दो सदिशों के बीच के कोण के कोसाइन के बराबर होता है। दो सदिशों के डॉट गुणनफल का परिणाम दो सदिशों के एक ही तल में होता है। डॉट गुणनफल एक सकारात्मक वास्तविक संख्या या एक नकारात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है।



	मान लीजिए कि <math>a </math> और <math>b </math> दो शून्येतर सदिश हैं, और <math>\theta</math> सदिशों का सम्मिलित कोण है। तब अदिश गुणनफल या डॉट गुणनफल को <math>a\cdot b</math> द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:		मान लीजिए कि <math>a </math> और <math>b </math> दो शून्येतर सदिश हैं, और <math>\theta</math> सदिशों का सम्मिलित कोण है। तब अदिश गुणनफल या डॉट गुणनफल को <math>a\cdot b</math> द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
Line 16:		Line 15:

	यहाँ, <math>\left\vert \overrightarrow{a} \right\vert, \overrightarrow{a }</math> का परिमाण है, <math>\left\vert \overrightarrow{b } \right\vert, \overrightarrow{b }</math> का परिमाण है, तथा <math>\theta</math> उनके बीच का कोण है।		यहाँ, <math>\left\vert \overrightarrow{a} \right\vert, \overrightarrow{a }</math> का परिमाण है, <math>\left\vert \overrightarrow{b } \right\vert, \overrightarrow{b }</math> का परिमाण है, तथा <math>\theta</math> उनके बीच का कोण है।
			[[File:वज्र गुणनफल.jpg\|thumb\|वज्र गुणनफल]]

	=== वज्र गुणनफल ===		=== वज्र गुणनफल ===
Line 62:		Line 62:

	* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}={\overrightarrow{k}}\times \overrightarrow{k}=0</math>		* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}={\overrightarrow{k}}\times \overrightarrow{k}=0</math>
			[[File:सदिशों के गुणनफल के गुणधर्म.jpg\|thumb\|280x280px\|सदिशों के गुणनफल के गुणधर्म]]
	दो सदिशों का वज्र गुणनफल एक चक्रीय क्रम का अनुसरण करता है जैसा कि नीचे दी गई छवि में है। चक्रीय अनुक्रम में दो सदिशों का वज्र गुणनफल अनुक्रम में तीसरा सदिश देता है।		दो सदिशों का वज्र गुणनफल एक चक्रीय क्रम का अनुसरण करता है जैसा कि नीचे दी गई छवि में है। चक्रीय अनुक्रम में दो सदिशों का वज्र गुणनफल अनुक्रम में तीसरा सदिश देता है।



	* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k};\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}</math>		* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k};\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}</math>
	* <math>\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{-k};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{-i};\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{-j}</math>		* <math>\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{-k};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{-i};\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{-j}</math>

Mani: formulas

2024-12-15T03:03:34Z

formulas

← Older revision		Revision as of 08:33, 15 December 2024
Line 72:		Line 72:
	सदिशों के गुणनफल के गुण सदिश गुणन की विस्तृत समझ प्राप्त करने और सदिशों से संबंधित अनेक गणनाएं करने में सहायक होते हैं। सदिशों के गुणनफल के कुछ महत्वपूर्ण गुण यहां सूचीबद्ध हैं।		सदिशों के गुणनफल के गुण सदिश गुणन की विस्तृत समझ प्राप्त करने और सदिशों से संबंधित अनेक गणनाएं करने में सहायक होते हैं। सदिशों के गुणनफल के कुछ महत्वपूर्ण गुण यहां सूचीबद्ध हैं।

	~~# The cross product of two vectors is given by the formula →a×→b~~=\|a\|\|b\|sin(θ).		* दो सदिशों का वज्र गुणनफल सूत्र द्वारा दिया जाता है <math>\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\|a\|\|b\|sin(\theta)</math>
	~~# The dot product of two vectors is given by the formula →a.→b~~=\|a\|\|b\|cos(θ).		* दो सदिशों का डॉट गुणनफल सूत्र द्वारा दिया जाता है <math>\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\|a\|\|b\|cos(\theta)</math>
	~~# The dot product of two vectors follows the commutative property. →a.→b~~=~~→b.→a~~		* दो सदिशों का डॉट गुणनफल क्रमविनिमेय गुण का अनुसरण करता है। <math>\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{a}</math>
	~~# The cross~~-~~product of two vectors do no follow the commutative property. →a×→b≠→b×→a~~		* दो सदिशों का वज्र -गुणनफल न क्रमविनिमेय गुण का पालन नहीं करता है। <math>\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}\neq \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{a}</math>
	~~# Anti~~-~~commutative property~~: ~~→a×→b~~=~~−→b×→a~~		* प्रति-विनिमेय गुण: <math>\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}= \overrightarrow{-b} \times \overrightarrow{a}</math>
	~~# Distributive property~~: ~~→a×~~(→b+→c)=(~~→a×→b~~)+(~~→a×→c~~)		* वितरणात्मक गुण: <math>\overrightarrow{a}\times ( \overrightarrow{b}+ \overrightarrow{c}) = (\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}) +(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c})</math>
	~~# Cross product of the zero vector~~: ~~→a×→0~~=→0		* शून्य सदिश का वज्र गुणनफल : <math>{\overrightarrow{a}}\times \overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}</math>
	~~# Cross product of the vector with itself~~: ~~→a×→a~~=→0		* सदिश का स्वयं सदिश के साथ वज्र गुणनफल : <math>{\overrightarrow{a}}\times \overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}</math>
	~~# Multiplied by a scalar quantity~~:c(~~→a×→b~~)=~~c→a×→b~~=~~→a×c→b~~		* एक अदिश राशि से गुणा: <math>c(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})=c\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times c\overrightarrow{b}</math>
	# दो सदिशों का डॉट गुणनफल एक अदिश राशि है और दो सदिशों के तल में स्थित होता है।		* दो सदिशों का डॉट गुणनफल एक अदिश राशि है और दो सदिशों के तल में स्थित होता है।
	# दो सदिशों का वज्र गुणनफल एक सदिश है, जो इन दो सदिशों वाले तल के लंबवत होता है।		* दो सदिशों का वज्र गुणनफल एक सदिश है, जो इन दो सदिशों वाले तल के लंबवत होता है।

	== ट्रिपल वज्र गुणनफल ==		== ट्रिपल वज्र गुणनफल ==

Mani: formulas

2024-12-14T14:50:24Z

formulas

← Older revision		Revision as of 20:20, 14 December 2024
Line 67:		Line 67:


	* ~~→i×→j~~=→k;~~→j×→k~~=→i;~~→k×→i~~=→j		* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{k};\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{i};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}</math>
	* ~~→j×→i~~=~~−→−k~~;~~→k×→j~~=~~−→−i~~;~~→i×→k~~=~~−→−j~~		* <math>\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{-k};\overrightarrow{k}\times \overrightarrow{j}=\overrightarrow{-i};\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{k}=\overrightarrow{-j}</math>

	सदिशों के गुणनफल के गुण सदिश गुणन की विस्तृत समझ प्राप्त करने और सदिशों से संबंधित अनेक गणनाएं करने में सहायक होते हैं। सदिशों के गुणनफल के कुछ महत्वपूर्ण गुण यहां सूचीबद्ध हैं।		सदिशों के गुणनफल के गुण सदिश गुणन की विस्तृत समझ प्राप्त करने और सदिशों से संबंधित अनेक गणनाएं करने में सहायक होते हैं। सदिशों के गुणनफल के कुछ महत्वपूर्ण गुण यहां सूचीबद्ध हैं।
Line 85:		Line 85:

	== ट्रिपल वज्र गुणनफल ==		== ट्रिपल वज्र गुणनफल ==
	किसी सदिश का अन्य दो सदिश के वज्र गुणनफल के साथ वज्र गुणनफल सदिश का ट्रिपल वज्र गुणनफल है। ट्रिपल वज्र गुणनफल का परिणाम एक सदिश है। ट्रिपल वज्र सदिश का परिणाम दिए गए तीन सदिश के तल में स्थित है। यदि a, b, और c सदिश हैं, तो इन सदिश का सदिश ट्रिपल गुणनफल इस रूप का होगा:		किसी सदिश का अन्य दो सदिश के वज्र गुणनफल के साथ वज्र गुणनफल सदिश का ट्रिपल वज्र गुणनफल है। ट्रिपल वज्र गुणनफल का परिणाम एक सदिश है। ट्रिपल वज्र सदिश का परिणाम दिए गए तीन सदिश के तल में स्थित है। यदि <math>a, b,</math>और <math>c</math> सदिश हैं, तो इन सदिश का सदिश ट्रिपल गुणनफल इस रूप का होगा:

	(~~→a×→b~~)~~×→c~~=(~~→a⋅→c~~)~~→b−~~(~~→b⋅→c~~)→a		<math>(\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b})\times \overrightarrow{c}=(\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{b}-(\overrightarrow{b}\cdot \overrightarrow{c})\overrightarrow{a}</math>

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
	'''उदाहरण:''' दो सदिशों →a = (3,4,5) ~~and →b~~ = (7,8,9) का ~~क्रॉस~~ गुणनफल ज्ञात कीजिए		'''उदाहरण:''' दो सदिशों <math>\overrightarrow{a}=(3,4,5)</math> और <math>\overrightarrow{b}=(7,8,9)</math> का वज्र गुणनफल ज्ञात कीजिए

	'''समाधान''': ~~क्रॉस~~ गुणनफल इस प्रकार दिया गया है,		'''समाधान''': वज्र गुणनफल इस प्रकार दिया गया है,

	~~a×b~~=~~^i^j^k345789~~		<math>\overrightarrow{a}=(3,4,5)</math> <math>\times</math> <math>\overrightarrow{b}=(7,8,9)</math>

	= ~~[(4×9)−(5×8)] ^~~i ~~−[(3×9)−(5×7)]^~~j~~+[(3×8)−(4×7)] ^~~k		<math>a \times b= \begin{matrix} \overset{\frown}{i} & \overset{\frown}{j} & \overset{\frown}{k} \\ 3 & 4 & 5 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix}</math>

	= (~~36−40~~)^i −(~~27−35~~)^j +(~~24−28~~) ^k		<math>= [(4\times 9)-(5\times 8)] \overset{\frown}{i} -[(3\times 9)-(5\times 7)]\overset{\frown}{j}+[(3\times 8)-(4\times 7)] \overset{\frown}{k}</math>

	= ~~−4^~~i + ~~8^j −4^~~k		<math>= (36-40)\overset{\frown}{i} -(27-35)\overset{\frown}{\overset{\frown}{j}} +(24-28) \overset{\frown}{k}</math>

	'''उत्तर''': अतः, ~~→a×→b~~ = ~~−4^~~i + 8^j ~~−4^~~k		<math>= -4\overset{\frown}{i} + 8\overset{\frown}{j} -4\overset{\frown}{k}</math>

			'''उत्तर''': अतः, <math>a \times b=-4\overset{\frown}{i}+8\overset{\frown}{j}-4\overset{\frown}{k}</math>
	[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: formulas

2024-12-14T14:21:20Z

formulas

@@ Line 49: / Line 49: @@
 <math>\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b}=\overset{\frown}{i}(b_1c_2- b_2c_1)-\overset{\frown}{j}(a_1c_2-a_2c_1)+\overset{\frown}{k}(a_1b_2-a_2b_1)</math>
-ध्यान दे : <math>{\overset{\frown}{j}},{\overset{\frown}{k}}</math> और <math>{\overset{\frown}{k}}</math> क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, और  <math>z</math>-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश हैं।
+ध्यान दे : <math>{\overset{\frown}{i }},{\overset{\frown}{j}}</math> और <math>{\overset{\frown}{k}}</math> क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, और  <math>z</math>-अक्ष की दिशा में इकाई सदिश हैं।
 == सदिशों के गुणनफल के गुणधर्म ==
-इकाई सदिश के डॉट गुणनफल  का अध्ययन इकाई सदिशों
+इकाई सदिश के डॉट गुणनफल  का अध्ययन इकाई सदिशों  <math>\overset{\frown}{i}</math> को <math>x</math>-अक्ष के साथ,  <math>\overset{\frown}{j}</math> को <math>y</math>-अक्ष के साथ, और <math>\overset{\frown}{k}</math> को <math>z</math>-अक्ष के साथ क्रमशः लेकर किया जाता है। इकाई सदिशों <math>\overset{\frown}{i},\overset{\frown}{j},\overset{\frown}{k}</math> का डॉट गुणनफल  सदिशों के डॉट गुणनफल  के समान नियमों का पालन करता है। समान सदिशों के बीच का कोण <math>0^\circ</math> के बराबर है, और इसलिए उनका डॉट गुणनफल  <math>0</math> के बराबर है। और दो लंबवत सदिशों के बीच का कोण <math>90^\circ</math> है, और उनका डॉट गुणनफल  <math>0</math> के बराबर है।
+* <math>\overset{\frown}{i}.\overset{\frown}{i} = \overset{\frown}{j}.{\overset{\frown}{j}} = \overset{\frown}{k}.\overset{\frown}{k}= 1</math>
+* <math>\overset{\frown}{i}.\overset{\frown}{j} = \overset{\frown}{j}.\overset{\frown}{k} = \overset{\frown}{k}.{\overset{\frown}{i}}= 0</math>
 इकाई सदिशों का वज्र गुणनफल
+<math>\overset{\frown}{i},\overset{\frown}{j},\overset{\frown}{k}</math>  सदिशों के वज्र गुणनफल  के समान नियमों का पालन करता है। समान सदिशों के बीच का कोण <math>0^\circ</math> के बराबर है, और इसलिए उनका वज्र गुणनफल <math>0</math> के बराबर है। और दो लंबवत सदिशों के बीच का कोण <math>90^\circ</math> है, और उनका वज्र गुणनफल  एक सदिश देता है, जो दो दिए गए सदिशों के लंबवत है।
-* →i×→i=→j×→j=→k×→k=0
+* <math>\overrightarrow{i}\times \overrightarrow{i}=\overrightarrow{j}\times \overrightarrow{j}={\overrightarrow{k}}\times \overrightarrow{k}=0</math>
 दो सदिशों का वज्र गुणनफल  एक चक्रीय क्रम का अनुसरण करता है जैसा कि नीचे दी गई छवि में है। चक्रीय अनुक्रम में दो सदिशों का वज्र गुणनफल  अनुक्रम में तीसरा सदिश देता है।

Mani: formulas

2024-12-14T14:08:55Z

formulas

Show changes

Mani: added content

2024-12-13T05:30:02Z

added content

Show changes

Mani: Updated Category

2023-08-07T11:53:32Z

Updated Category

← Older revision		Revision as of 17:23, 7 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Product of Two Vectors		Product of Two Vectors

	~~[[Category:बीजगणित]]~~
	[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:24, 4 August 2023

2023-08-04T06:24:43Z

← Older revision		Revision as of 11:54, 4 August 2023
Line 2:		Line 2:

	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
	[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]]		[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:20, 4 August 2023

2023-08-04T06:20:39Z

← Older revision		Revision as of 11:50, 4 August 2023
Line 2:		Line 2:

	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
	[[Category:सदिश बीजगणित]]		[[Category:सदिश बीजगणित]][[Category:गणित]]

Mani: added category

2023-04-21T14:52:11Z

added category

← Older revision		Revision as of 20:22, 21 April 2023
Line 2:		Line 2:

	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
			[[Category:सदिश बीजगणित]]