द्विघातीय समीकरण - Revision history

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	द्विघातीय समीकरण को द्वितीय घात के बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें कम से कम एक पद वर्गाकार होता है। इसे द्विघातीय [[समीकरण]] भी कहा जाता है। द्विघातीय समीकरण का सामान्य रूप है:		द्विघातीय समीकरण को द्वितीय घात के [[बहुपद]] समीकरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें कम से कम एक पद वर्गाकार होता है। इसे द्विघातीय समीकरण भी कहा जाता है। द्विघातीय समीकरण का सामान्य रूप है:

	<math>ax^2+bx+c=0</math>		<math>ax^2+bx+c=0</math>
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	मान लीजिए कि <math>b^2-4ac<0</math>		मान लीजिए कि <math>b^2-4ac<0</math>

	हम जानते हैं कि हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल निकाल सकते हैं। इसलिए उपर्युक्त समीकरण के हल सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में हैं जोकि		हम जानते हैं कि हम [[सम्मिश्र संख्याएँ\|सम्मिश्र संख्याओं]] के समुच्चय में ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल निकाल सकते हैं। इसलिए उपर्युक्त समीकरण के हल सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में हैं जोकि

	<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}</math> द्वारा प्राप्त होते हैं।		<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}</math> द्वारा प्राप्त होते हैं।

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2024-10-26T09:29:06Z

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	द्विघातीय समीकरण को द्वितीय घात के बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें कम से कम एक पद वर्गाकार होता है। इसे द्विघातीय समीकरण भी कहा जाता है। द्विघातीय समीकरण का सामान्य रूप है:		द्विघातीय समीकरण को द्वितीय घात के बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें कम से कम एक पद वर्गाकार होता है। इसे द्विघातीय [[समीकरण]] भी कहा जाता है। द्विघातीय समीकरण का सामान्य रूप है:

	<math>ax^2+bx+c=0</math>		<math>ax^2+bx+c=0</math>

	जहाँ <math>x</math> एक अज्ञात चर है और <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> वास्तविक गुणांक हैं। उदाहरण के लिए, <math>x^2+2x+1</math> एक द्विघात या द्विघातीय समीकरण है। यहाँ, <math>a\neq0</math> क्योंकि यदि यह शून्य के समान है तो समीकरण अब द्विघातीय नहीं रहेगा और यह एक रैखिक समीकरण बन जाएगा, जैसे:		जहाँ <math>x</math> एक अज्ञात चर है और <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> वास्तविक गुणांक हैं। उदाहरण के लिए, <math>x^2+2x+1</math> एक द्विघात या द्विघातीय समीकरण है। यहाँ, <math>a\neq0</math> क्योंकि यदि यह शून्य के समान है तो समीकरण अब द्विघातीय नहीं रहेगा और यह एक [[रैखिक समीकरण]] बन जाएगा, जैसे:

	<math>bx+c=0</math>		<math>bx+c=0</math>

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2024-10-26T09:16:48Z

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	<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}</math> द्वारा प्राप्त होते हैं।		<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}</math> द्वारा प्राप्त होते हैं।

	-टिप्पणी यहाँ पर, कुछ लोग यह जानने के लिए उत्सुक होंगे, कि किसी समीकरण में कितने मूल होंगे? इस संदर्भ में निम्नलिखित प्रमेय को उल्लेख (बिना उपपत्ति) के किया गया है जिसे 'बीजगणित की मूल प्रमेय' के रूप में जाना जाता है।

	“एक बहुपद समीकरण का कम से कम एक मूल होता है" ।		“एक बहुपद समीकरण का कम से कम एक मूल होता है" ।
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	इस प्रमेय के फलस्वरूप हम निम्नलिखित महत्त्वपूर्ण परिणाम पर पहँचते हैं।		इस प्रमेय के फलस्वरूप हम निम्नलिखित महत्त्वपूर्ण परिणाम पर पहँचते हैं।

	44		"<math>n</math> घात की एक बहुपद समीकरण में <math>n</math> मूल होते हैं।"

	"" घात की एक बहुपद समीकरण में मूल होते हैं। '

	n

	""
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]
	[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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2024-10-26T08:41:33Z

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	~~द्विघात~~ समीकरण को द्वितीय घात के बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें कम से कम एक पद वर्गाकार होता है। इसे ~~द्विघात~~ समीकरण भी कहा जाता है। ~~द्विघात~~ समीकरण का सामान्य रूप है:		द्विघातीय समीकरण को द्वितीय घात के बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें कम से कम एक पद वर्गाकार होता है। इसे द्विघातीय समीकरण भी कहा जाता है। द्विघातीय समीकरण का सामान्य रूप है:

	हमें पहले ही द्विघातीय समीकरणों के बारे में जानकारी है और हमने उनको वास्तविक संख्याओं के		<math>ax^2+bx+c=0</math>

	~~समुच्चय में उन स्थितियों में हल किया~~ है ~~जहाँ विविक्तकर 20~~ है। अब		जहाँ <math>x</math> एक अज्ञात चर है और <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> वास्तविक गुणांक हैं। उदाहरण के लिए, <math>x^2+2x+1</math> एक द्विघात या द्विघातीय समीकरण है। यहाँ, <math>a\neq0</math> क्योंकि यदि यह शून्य के समान है तो समीकरण अब द्विघातीय नहीं रहेगा और यह एक रैखिक समीकरण बन जाएगा, जैसे:

	~~समीकरण के बारे में विचार करते हैं:~~		<math>bx+c=0</math>

	~~ax2 + bx + c = 0 जिसमें a, b, c वास्तविक गुणांक हैं और~~		अत: इस समीकरण को द्विघात समीकरण नहीं कहा जा सकता।

	~~मान लीजिए कि b2 - 4ac~~ < 0		पदों <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> को द्विघात गुणांक भी कहा जाता है।

	a		हमें पहले ही द्विघातीय समीकरणों के बारे में जानकारी है और हमने उनको वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में उन स्थितियों में हल किया है जहाँ विविक्तकर <math>\geq0 </math> है। अब

	~~निम्नलिखित द्विघातीय~~		समीकरण के बारे में विचार करते हैं:

	हम जानते हैं कि हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल निकाल सकते हैं। इसलिए उपर्युक्त समीकरण के ~~हल सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय~~ में हैं ~~जोकि~~

	x=		<math>ax^2+bx+c=0</math> जिसमें <math>a</math>, <math>b</math>, और <math>c</math> वास्तविक गुणांक हैं और <math>a\neq0</math>

	~~–b °√b~~ 2 – 4ac		मान लीजिए कि <math>b^2-4ac<0</math>

	2a		हम जानते हैं कि हम सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के वर्गमूल निकाल सकते हैं। इसलिए उपर्युक्त समीकरण के हल सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में हैं जोकि

	~~-b°√4ac-b2i 2a~~

	द्वारा प्राप्त होते हैं।		<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{4ac-b^2}i}{2a}</math> द्वारा प्राप्त होते हैं।

	-टिप्पणी यहाँ पर, कुछ लोग यह जानने के लिए उत्सुक होंगे, कि किसी समीकरण में कितने मूल होंगे? इस संदर्भ में निम्नलिखित प्रमेय को उल्लेख (बिना उपपत्ति) के किया गया है जिसे 'बीजगणित की मूल प्रमेय' के रूप में जाना जाता है।		-टिप्पणी यहाँ पर, कुछ लोग यह जानने के लिए उत्सुक होंगे, कि किसी समीकरण में कितने मूल होंगे? इस संदर्भ में निम्नलिखित प्रमेय को उल्लेख (बिना उपपत्ति) के किया गया है जिसे 'बीजगणित की मूल प्रमेय' के रूप में जाना जाता है।

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2024-10-25T16:31:43Z

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-Quadratic Equations
+द्विघात समीकरण को द्वितीय घात के बहुपद समीकरण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि इसमें कम से कम एक पद वर्गाकार होता है। इसे द्विघात समीकरण भी कहा जाता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप है:
 [[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]
 [[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	Quadratic Equations		Quadratic Equations

	~~[[Category:बीजगणित]]~~
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]
	~~[[Category:समीकरण]]~~[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]
	[[Category:समीकरण]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:समीकरण]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

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	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]
	[[Category:समीकरण]]		[[Category:समीकरण]][[Category:कक्षा-11]]

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	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
	[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]		[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]
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	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
			[[Category:सम्मिश्र संख्याएँ और द्विघातीय समीकरण]]