द्विघाती बहुपद - Revision history

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2024-10-16T11:45:08Z

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	=== परिभाषा ===		=== परिभाषा ===
	द्विघाती बहुपद एक द्वितीय-घात बहुपद है जहां उच्चतम घात पद का मान <math>2</math> के समान होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में दिया जाता है। यहां, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, <math>x</math> अज्ञात चर है और <math>c</math> है स्थिर पद. चूँकि इस समीकरण में एक द्विघाती बहुपद है, अतः इसे हल करने पर दो समाधान मिलेंगे। इसका तात्पर्य यह है कि <math>x</math> के दो मान हो सकते हैं।		द्विघाती बहुपद एक द्वितीय-घात बहुपद है जहां उच्चतम घात पद का मान <math>2</math> के समान होता है। [[द्विघात समीकरण]] का सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में दिया जाता है। यहां, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, <math>x</math> अज्ञात चर है और <math>c</math> है स्थिर पद. चूँकि इस समीकरण में एक द्विघाती बहुपद है, अतः इसे हल करने पर दो समाधान मिलेंगे। इसका तात्पर्य यह है कि <math>x</math> के दो मान हो सकते हैं।

	=== उदाहरण ===		=== उदाहरण ===
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	इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे		इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे
	== द्विघात बहुपद सूत्र ==		== द्विघात बहुपद सूत्र ==
	एकल चर द्विघात बहुपद का सामान्य सूत्र <math>ax^2+bx+c</math> के रूप में दिया गया है। जब इस द्विघात बहुपद का प्रयोग समीकरण में किया जाता है तो इसे <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है। ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग द्विघात बहुपद वाले समीकरण का हल खोजने के लिए किया जा सकता है। ये विधियाँ द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करना, वर्गों को पूरा करना, ग्राफ़ का उपयोग करना और द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग करना हैं। इन सभी तकनीकों में से, किसी द्विघात बहुपद के मूल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका सूत्र का उपयोग करना है। इस पद्धति का एक अतिरिक्त लाभ यह है कि विवेचक का विश्लेषण करके कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। द्विघात बहुपद सूत्र नीचे दिया गया है:		एकल चर द्विघात बहुपद का सामान्य सूत्र <math>ax^2+bx+c</math> के रूप में दिया गया है। जब इस द्विघात बहुपद का प्रयोग [[समीकरण]] में किया जाता है तो इसे <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है। ऐसी कई विधियाँ हैं जिनका उपयोग द्विघात बहुपद वाले समीकरण का हल खोजने के लिए किया जा सकता है। ये विधियाँ द्विघात समीकरण का गुणनखंडन करना, वर्गों को पूरा करना, ग्राफ़ का उपयोग करना और द्विघात बहुपद सूत्र का उपयोग करना हैं। इन सभी तकनीकों में से, किसी द्विघात बहुपद के मूल ज्ञात करने का सबसे सरल तरीका सूत्र का उपयोग करना है। इस पद्धति का एक अतिरिक्त लाभ यह है कि विवेचक का विश्लेषण करके कई महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाले जा सकते हैं। द्विघात बहुपद सूत्र नीचे दिया गया है:

	<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>		<math>x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

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2024-10-11T17:18:35Z

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	'''उदाहरण'''		'''उदाहरण'''

	~~Find the solution of~~ '''<math>(5+x)(5-x)</math>''' ~~using the sum of the difference method.~~		अंतर विधि का योग का उपयोग करके '''<math>(5+x)(5-x)</math>''' का हल ज्ञात करें।

	'''हल'''		'''हल'''

	~~Apply the sum of the difference method for solving the terms.~~		पदों को हल करने के लिए अंतर विधि का योग का प्रयोग करें।

	'''<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>'''		'''<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>'''
Line 107:		Line 107:

	=== समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन ===		=== समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन ===
	~~Factor by grouping means that we have to group all the terms with common factors before factoring.~~		समूहीकरण द्वारा गुणनखंड का अर्थ है कि गुणनखंड करने से पहले हमें सभी पदों को समान गुणनखंडों के साथ समूहीकृत करना होगा।

	~~The following steps are used in the factor by grouping method.~~		समूहीकरण द्वारा गुणनखंड विधि में निम्नलिखित चरणों का उपयोग किया जाता है।

	* ~~From the given quadratic polynomial~~, ~~take out a factor from each group.~~		* दिए गए द्विघात बहुपद से, प्रत्येक समूह से एक गुणनखंड ज्ञात कीजिए।
	* ~~Factorize each group of the expression.~~		* व्यंजक के प्रत्येक समूह को गुणनखंडित करें।
	* ~~Now take out the factor common to the group formed.~~		* अब गठित समूह में उभयनिष्ठ गुणनखंड ज्ञात कीजिए ।

	~~Let’s take a look at an example.~~		आइए एक उदाहरण देखें।

	'''उदाहरण'''		'''उदाहरण'''

	~~How can you factorize the quadratic polynomial~~ '''<math>a^2-ac+ab-bc</math>''' ~~by the grouping method~~?		आप समूहीकरण विधि द्वारा द्विघात बहुपद '''<math>a^2-ac+ab-bc</math>''' का गुणनखंडन कैसे कर सकते हैं?

	'''हल :'''		'''हल :'''
Line 125:		Line 125:
	'''<math>a^2-ac+ab-bc</math>'''		'''<math>a^2-ac+ab-bc</math>'''

	~~Take the common factor from the quadratic polynomial.~~		द्विघाती बहुपद से सार्व गुणनखंड लीजिए।

	'''<math>=a(a-c)+b(a-c)</math>'''		'''<math>=a(a-c)+b(a-c)</math>'''
Line 131:		Line 131:
	'''<math>=(a-c)(a+b)</math>'''		'''<math>=(a-c)(a+b)</math>'''

	~~Thus~~, ~~by factoring expressions we get~~ '''<math>(a-c)(a+b)</math>'''		इस प्रकार, गुणनखंडन से हमें व्यंजक प्राप्त होते हैं '''<math>(a-c)(a+b)</math>'''

	=== पूर्ण वर्ग त्रिपद विधि ===		=== पूर्ण वर्ग त्रिपद विधि ===
	~~The method of converting any quadratic polynomial into a perfect square is known as the perfect square trinomial method.~~		किसी भी द्विघात बहुपद को पूर्ण वर्ग में बदलने की विधि को पूर्ण वर्ग त्रिपद विधि के रूप में जाना जाता है।

	~~The following equations are the perfect square trinomial formulas~~:		निम्नलिखित समीकरण पूर्ण वर्ग त्रिपद सूत्र हैं:

	'''<math>a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2</math>'''		'''<math>a^2+2ab+b^2 =(a+b)^2</math>'''
Line 146:		Line 146:
	'''उदाहरण'''		'''उदाहरण'''

	~~Is the given quadratic polynomial~~ '''<math>x^2-8x+16</math>''' ~~a perfect square~~?		क्या दिया गया द्विघात बहुपद '''<math>x^2-8x+16</math>''' एक पूर्ण वर्ग है?

	~~'''हल'''~~		सूत्र का प्रयोग करने पर हमें प्राप्त होता है

	~~On using the formula, we get~~

	'''<math>x^2-8x+16=x^2-2(1)(4)x+4^2=(x-4)^2</math>'''		'''<math>x^2-8x+16=x^2-2(1)(4)x+4^2=(x-4)^2</math>'''

	~~Thus, the given quadratic polynomial is a perfect square.~~		अत: दिया गया द्विघात बहुपद एक पूर्ण वर्ग है।

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2024-10-11T16:34:37Z

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← Older revision		Revision as of 22:04, 11 October 2024
Line 18:		Line 18:

	इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे		इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे
	== ~~Quadratic Polynomial Formula~~ ==		== द्विघात बहुपद सूत्र ==
	The general formula of a single variable quadratic polynomial is given as <math>ax^2+bx+c</math>. When this quadratic polynomial is used in an equation it is expressed as <math>ax^2+bx+c=0</math>. There are many methods that can be used to find the solutions of an equation containing a quadratic polynomial. These methods are factorizing a quadratic equation, completing the squares, using graphs, and using the quadratic polynomial formula. Out of all these techniques, the simplest way to find the roots of a quadratic polynomial is by using the formula. An added benefit of this method is that several important conclusions can be made by analyzing the discriminant. The quadratic polynomial formula is given below:		The general formula of a single variable quadratic polynomial is given as <math>ax^2+bx+c</math>. When this quadratic polynomial is used in an equation it is expressed as <math>ax^2+bx+c=0</math>. There are many methods that can be used to find the solutions of an equation containing a quadratic polynomial. These methods are factorizing a quadratic equation, completing the squares, using graphs, and using the quadratic polynomial formula. Out of all these techniques, the simplest way to find the roots of a quadratic polynomial is by using the formula. An added benefit of this method is that several important conclusions can be made by analyzing the discriminant. The quadratic polynomial formula is given below:

Line 27:		Line 27:
	The value <math>b^2-4ac</math> is called the discriminant. It is denoted by <math>D</math>.The nature of the roots can be determined by using the discriminant.		The value <math>b^2-4ac</math> is called the discriminant. It is denoted by <math>D</math>.The nature of the roots can be determined by using the discriminant.

	== ~~Quadratic Polynomial Roots~~ ==		== द्विघात बहुपद मूल ==
	The method of factorization is only applicable to certain quadratic polynomials. However, the quadratic polynomial formula can be used for any type of quadratic equation. Furthermore, the value of the discriminant can be used to analyze the nature of the roots of a quadratic polynomial. Given below are the various conditions that can help to predict the nature of the roots:		The method of factorization is only applicable to certain quadratic polynomials. However, the quadratic polynomial formula can be used for any type of quadratic equation. Furthermore, the value of the discriminant can be used to analyze the nature of the roots of a quadratic polynomial. Given below are the various conditions that can help to predict the nature of the roots:

Line 34:		Line 34:
	* <math>D <0</math>: Both the roots are imaginary numbers if the discriminant is negative.		* <math>D <0</math>: Both the roots are imaginary numbers if the discriminant is negative.

	=== ~~Quadratic Polynomial Sum and Product of Roots~~ ===		=== द्विघात बहुपद मूलों का योग और गुणनफल ===
	Using the roots of the equation containing the quadratic polynomial, a relationship can be established between the roots and the coefficients. The sum and the product of the roots of a quadratic polynomial can be determined using the coefficients and the constant term. Suppose one root is given by <math>\alpha</math> and the other root is given by <math>\beta</math>		Using the roots of the equation containing the quadratic polynomial, a relationship can be established between the roots and the coefficients. The sum and the product of the roots of a quadratic polynomial can be determined using the coefficients and the constant term. Suppose one root is given by <math>\alpha</math> and the other root is given by <math>\beta</math>

Line 48:		Line 48:
	This can also be used to factor qudratic polynomials. Other methods for factorizing a quadratic polynomial will be listed in sections below.		This can also be used to factor qudratic polynomials. Other methods for factorizing a quadratic polynomial will be listed in sections below.

	== ~~How to Find Quadratic Polynomial~~? ==		== द्विघात बहुपद कैसे ज्ञात करें? ==
	A quadratic polynomial can be obtained by using the zeros or roots of the equation. Suppose the two roots are given as<math>-4</math> and <math>2</math>. The steps to find the quadratic polynomial are as follows:		A quadratic polynomial can be obtained by using the zeros or roots of the equation. Suppose the two roots are given as<math>-4</math> and <math>2</math>. The steps to find the quadratic polynomial are as follows:

Line 55:		Line 55:
	* Step 3: Substitute these values in the expression <math>x^2-</math> (sum of the roots)<math>x+</math>(product of the roots). Thus, the quadratic polynomial is <math>x^2+2x-8</math>		* Step 3: Substitute these values in the expression <math>x^2-</math> (sum of the roots)<math>x+</math>(product of the roots). Thus, the quadratic polynomial is <math>x^2+2x-8</math>

	== ~~How to Factorize Quadratic Polynomials~~? ==		== द्विघात बहुपदों का गुणनखंडन कैसे करें? ==
	Generally, factorization can be considered as the reverse of multiplying two expressions. Few methods for factorization of quadratic polynomials are listed below:		Generally, factorization can be considered as the reverse of multiplying two expressions. Few methods for factorization of quadratic polynomials are listed below:

	=== ~~Common Factor Method~~ ===		=== महत्तम समापवर्तक ===
	In this method, we have to look at all the terms and determine the common terms.		In this method, we have to look at all the terms and determine the common terms.

Line 71:		Line 71:
	<math>xa+xb=x(a+b)</math>		<math>xa+xb=x(a+b)</math>

	'''~~Example~~'''		'''उदाहरण'''

	What are the common factors of the terms in the quadratic polynomial equation <math>8x^2-4x=0 ?</math>		What are the common factors of the terms in the quadratic polynomial equation <math>8x^2-4x=0 ?</math>

	'''~~Solution~~'''		'''हल'''

	Let's apply the distributive law in reverse.		Let's apply the distributive law in reverse.
Line 83:		Line 83:
	Thus, '''<math>4x(2x-1)</math>'''are the factors of<math>8x^2-4x=0</math>		Thus, '''<math>4x(2x-1)</math>'''are the factors of<math>8x^2-4x=0</math>

	=== ~~Sum of Difference Method~~ ===		=== अंतर विधि का योग ===
	The sum and the difference of two terms are most likely used when the two factors match exactly, except one term involves addition and the other is a difference.		The sum and the difference of two terms are most likely used when the two factors match exactly, except one term involves addition and the other is a difference.

Line 94:		Line 94:
	Thus, the formula becomes '''<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>'''		Thus, the formula becomes '''<math>(a+b)(a-b)=a^2-b^2</math>'''

	'''~~Example~~'''		'''उदाहरण'''

	Find the solution of '''<math>(5+x)(5-x)</math>''' using the sum of the difference method.		Find the solution of '''<math>(5+x)(5-x)</math>''' using the sum of the difference method.

	'''~~Solution~~'''		'''हल'''

	Apply the sum of the difference method for solving the terms.		Apply the sum of the difference method for solving the terms.
Line 106:		Line 106:
	'''<math>(5+x)(5-x)=(5^2-x^2)=25-x^2</math>'''		'''<math>(5+x)(5-x)=(5^2-x^2)=25-x^2</math>'''

	=== ~~Factor By Grouping Method~~ ===		=== समूहीकरण द्वारा गुणनखंडन ===
	Factor by grouping means that we have to group all the terms with common factors before factoring.		Factor by grouping means that we have to group all the terms with common factors before factoring.

Line 117:		Line 117:
	Let’s take a look at an example.		Let’s take a look at an example.

	'''~~Example~~'''		'''उदाहरण'''

	How can you factorize the quadratic polynomial '''<math>a^2-ac+ab-bc</math>''' by the grouping method?		How can you factorize the quadratic polynomial '''<math>a^2-ac+ab-bc</math>''' by the grouping method?

	'''~~Solution~~:'''		'''हल :'''

	'''<math>a^2-ac+ab-bc</math>'''		'''<math>a^2-ac+ab-bc</math>'''
Line 133:		Line 133:
	Thus, by factoring expressions we get '''<math>(a-c)(a+b)</math>'''		Thus, by factoring expressions we get '''<math>(a-c)(a+b)</math>'''

	=== ~~Perfect Square Trinomials Method~~ ===		=== पूर्ण वर्ग त्रिपद विधि ===
	The method of converting any quadratic polynomial into a perfect square is known as the perfect square trinomial method.		The method of converting any quadratic polynomial into a perfect square is known as the perfect square trinomial method.

Line 143:		Line 143:


	'''~~Example~~'''
			'''उदाहरण'''

	Is the given quadratic polynomial '''<math>x^2-8x+16</math>''' a perfect square?		Is the given quadratic polynomial '''<math>x^2-8x+16</math>''' a perfect square?

	'''~~Solution~~'''		'''हल'''

	On using the formula, we get		On using the formula, we get

Mani at 16:20, 11 October 2024

2024-10-11T16:20:09Z

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2024-10-11T16:16:57Z

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← Older revision		Revision as of 21:46, 11 October 2024
Line 1:		Line 1:
	द्विघाती बहुपद वह होता है जिसमें बहुपद व्यंजक में एक चर पद की उच्चतम घात <math>2</math> के ~~बराबर~~ होता है।		द्विघाती बहुपद वह होता है जिसमें बहुपद व्यंजक में एक चर पद की उच्चतम घात <math>2</math> के समान होता है। द्विघाती बहुपद को द्वितीय-क्रम बहुपद के रूप में भी जाना जाता है।

	=== परिभाषा ===		=== परिभाषा ===

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2024-09-26T15:20:50Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 20:50, 26 September 2024
Line 19:		Line 19:
	इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे		इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे

	[[Category:बहुपद]][[Category:~~कक्षा-9~~]][[Category:~~गणित~~]]		[[Category:बहुपद]]
			[[Category:गणित]]
			[[Category:कक्षा-9]]

Mani: content added

2024-05-11T05:04:21Z

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← Older revision		Revision as of 10:34, 11 May 2024
Line 1:		Line 1:
	~~A quadratic polynomial is one in which the highest power of a variable term in the polynomial expression is equal to~~ <math>2</math>.		द्विघाती बहुपद वह होता है जिसमें बहुपद व्यंजक में एक चर पद की उच्चतम घात <math>2</math> के बराबर होता है।

	=== ~~Definition~~ ===		=== परिभाषा ===
	~~A quadratic polynomial is a second~~-~~degree polynomial where the value of the highest degree term is equal to~~ <math>2</math>~~. The general form of a quadratic equation is given as~~ <math>ax^2+bx+c=0</math>~~. Here~~, <math>a</math> ~~and~~ <math>b</math> ~~are coefficients~~, <math>x</math> ~~is the unknown variable and~~ <math>c</math> ~~is the constant term~~. ~~As this equation contains a quadratic polynomial, hence~~, ~~solving it will give two solutions. This implies that there can be two values of~~ <math>x</math>.		द्विघाती बहुपद एक द्वितीय-घात बहुपद है जहां उच्चतम घात पद का मान <math>2</math> के समान होता है। द्विघात समीकरण का सामान्य रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> के रूप में दिया जाता है। यहां, <math>a</math> और <math>b</math> गुणांक हैं, <math>x</math> अज्ञात चर है और <math>c</math> है स्थिर पद. चूँकि इस समीकरण में एक द्विघाती बहुपद है, अतः इसे हल करने पर दो समाधान मिलेंगे। इसका तात्पर्य यह है कि <math>x</math> के दो मान हो सकते हैं।

	=== ~~Example~~ ===		=== उदाहरण ===
	<math>x^2+4x+4=0</math>		<math>x^2+4x+4=0</math>

	~~To find the solutions of this equation we factorize it as~~		इस समीकरण का हल खोजने के लिए हम इसका गुणनखंड इस प्रकार करते हैं

	<math>x^2+4x+4=0</math>		<math>x^2+4x+4=0</math>
Line 17:		Line 17:
	<math>(x+2)(x+2)=0</math>		<math>(x+2)(x+2)=0</math>

	~~Thus, the roots of this quadratic equation will be~~ <math>x=-2, x=-2</math>		इस प्रकार इस द्विघाती समीकरण के मूल <math>x=-2, x=-2</math> होंगे

	[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani at 04:53, 11 May 2024

2024-05-11T04:53:44Z

← Older revision		Revision as of 10:23, 11 May 2024
Line 1:		Line 1:
			A quadratic polynomial is one in which the highest power of a variable term in the polynomial expression is equal to <math>2</math>.

			=== Definition ===
			A quadratic polynomial is a second-degree polynomial where the value of the highest degree term is equal to <math>2</math>. The general form of a quadratic equation is given as <math>ax^2+bx+c=0</math>. Here, <math>a</math> and <math>b</math> are coefficients, <math>x</math> is the unknown variable and <math>c</math> is the constant term. As this equation contains a quadratic polynomial, hence, solving it will give two solutions. This implies that there can be two values of <math>x</math>.

			=== Example ===
			<math>x^2+4x+4=0</math>

			To find the solutions of this equation we factorize it as

			<math>x^2+4x+4=0</math>

			<math>x^2+2x+2x+4</math>

			<math>x(x+2)+2(x+2)</math>

			<math>(x+2)(x+2)=0</math>

			Thus, the roots of this quadratic equation will be <math>x=-2, x=-2</math>

	[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
	~~Quadratic Polynomial~~

Mani at 06:33, 16 August 2023

2023-08-16T06:33:48Z

← Older revision		Revision as of 12:03, 16 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
			Quadratic Polynomial