द्विघात बहुपद - Revision history

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2023-10-10T07:52:17Z

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← Older revision		Revision as of 13:22, 10 October 2023
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	[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	द्विघात बहुपद ऐसे बहुपद होते हैं जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात दो होती हैं । हम द्विघात बहुपद को <math>ax^2+bx+c</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं ।		द्विघात बहुपद ऐसे बहुपद होते हैं जिसमें चर की उच्चतम घात अर्थात बहुपद की घात दो होती हैं । हम द्विघात बहुपद को <math>ax^2+bx+c</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहाँ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं ।

Ramamurthy: /* अभ्यास प्रश्न */

2023-09-28T14:14:25Z

अभ्यास प्रश्न

← Older revision		Revision as of 19:44, 28 September 2023
Line 116:		Line 116:
	<math>\alpha\beta=\frac{c}{a}</math> <math>=</math> ( अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक )		<math>\alpha\beta=\frac{c}{a}</math> <math>=</math> ( अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक )

	<math>(4)\times (-2)</math> <math>=</math> <math>-8</math>		<math>(4)\times (-2)</math> <math>=</math> <math>\frac{-8}{1}</math>

	<math>-8=</math><math>-8</math>		<math>-8=</math><math>-8</math>

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-09-28T14:12:36Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 19:42, 28 September 2023
Line 108:		Line 108:
	<math>\alpha+\beta= \frac{-b}{a}</math><math>=</math> (<math>-x</math> का गुणांक / <math>x^2</math> का गुणांक )		<math>\alpha+\beta= \frac{-b}{a}</math><math>=</math> (<math>-x</math> का गुणांक / <math>x^2</math> का गुणांक )

	<math>4+(-2)</math><math>=</math> <math>2</math>		<math>4+(-2)</math><math>=</math> <math>\frac{-(-2)}{1}</math>

	<math>2=2</math>		<math>2=2</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-09-25T13:47:45Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 19:17, 25 September 2023
Line 120:		Line 120:
	<math>-8=</math><math>-8</math>		<math>-8=</math><math>-8</math>

	अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2-2x-8</math> के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे ।		अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2-2x-8</math> के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे ।

	== अभ्यास प्रश्न ==		== अभ्यास प्रश्न ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण */

2023-09-25T12:47:48Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 18:17, 25 September 2023
Line 102:		Line 102:
	इस प्रकार उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे । ( <math>\alpha=4 , \beta=-2</math> )		इस प्रकार उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे । ( <math>\alpha=4 , \beta=-2</math> )

	~~शून्यकों का योग~~		बहुपद <math>p(x)=x^2-2x-8</math> को <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से तुलना करने पर <math>a=1,b=-2,c=-8</math>

	~~<math>\alpha+\beta=</math><math>4+(-2)</math>~~		शून्यकों का योग ,

	<math>\alpha+\beta=</math><math>2</math>		<math>\alpha+\beta= \frac{-b}{a}</math><math>=</math> (<math>-x</math> का गुणांक / <math>x^2</math> का गुणांक )

	<math>~~\alpha~~+~~\beta=</math>~~(~~<math>~~-x</math> ~~का गुणांक /~~ <math>~~x^2~~</math> ~~का गुणांक ) [ बहुपद~~ <math>x^2~~-2x-8~~</math> को <math>~~p(x)~~=~~ax^~~2~~+bx+c~~</math> ~~से तुलना करने पर ]~~		<math>4+(-2)</math><math>=</math> <math>2</math>

			<math>2=2</math>

	शून्यकों का गुणनफल ,		शून्यकों का गुणनफल ,

	<math>\alpha\beta=</math><math>(~~4)\times (-~~2)</math>		<math>\alpha\beta=\frac{c}{a}</math> <math>=</math> ( अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक )

	<math>\~~alpha\beta~~=</math><math>-8</math>		<math>(4)\times (-2)</math> <math>=</math> <math>-8</math>

	<math>~~\alpha\beta~~=</math>~~(अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक ) [ बहुपद~~ <math>~~x^2-2x~~-8</math> ~~को <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से तुलना करने पर ]~~		<math>-8=</math><math>-8</math>

	अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2-2x-8</math> के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे ।		अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2-2x-8</math> के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे ।

Jaya agarwal: /* उदाहरण */

2023-09-25T08:23:47Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 13:53, 25 September 2023
Line 119:		Line 119:

	अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2-2x-8</math> के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे ।		अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2-2x-8</math> के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे ।

			== अभ्यास प्रश्न ==

			# द्विघात बहुपद <math>p(x)=x^2-15</math> के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांक के बीच संबंध सत्यापित करें ।
			# ऐसा द्विघात बहुपद ज्ञात कीजिए जिनके शून्यको का योग एवं गुणनफल क्रमशः <math>4</math> एवं <math>1</math> है ।

			== संदर्भ ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण */

2023-09-25T08:18:19Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 13:48, 25 September 2023
Line 53:		Line 53:

	अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>-1,\frac{4}{3}</math> है ।		अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>-1,\frac{4}{3}</math> है ।
	==द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS (NCERT) \|isbn=81-7450-634-9 \|edition='REVISED' \|pages=18-22}}</ref>==		==द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS (NCERT) \|isbn=81-7450-634-9 \|edition='REVISED' \|pages=18-23}}</ref>==
	यदि <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> द्विघात बहुपद <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> के शून्यक हैं , जहाँ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं , और <math>(x-\alpha)</math> , <math>(x-\beta)</math> ; <math>p(x)</math> के गुणनखंड हैं ,		यदि <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> द्विघात बहुपद <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> के शून्यक हैं , जहाँ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं , और <math>(x-\alpha)</math> , <math>(x-\beta)</math> ; <math>p(x)</math> के गुणनखंड हैं ,

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-25T08:14:46Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 13:44, 25 September 2023
Line 53:		Line 53:

	अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>-1,\frac{4}{3}</math> है ।		अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>-1,\frac{4}{3}</math> है ।
			==द्विघात बहुपद के शून्यकों और गुणांको में संबंध<ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS (NCERT) \|isbn=81-7450-634-9 \|edition='REVISED' \|pages=18-22}}</ref>==
			यदि <math>\alpha</math> और <math>\beta</math> द्विघात बहुपद <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> के शून्यक हैं , जहाँ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं है एवं <math>a\neq0</math> हैं , और <math>(x-\alpha)</math> , <math>(x-\beta)</math> ; <math>p(x)</math> के गुणनखंड हैं ,

			<math>ax^2+bx+c= k(x-\alpha)(x-\beta)</math> , जहां <math>k</math> एक अचर पद हैं ,

			<math>=k[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta]</math>

			<math>=kx^2-k(\alpha+\beta)x+k\alpha\beta</math>

			<math>x^2,x </math> और अचर पद के गुणांकों की दोनों पक्षों पर तुलना करने पर ,

			<math>a=k</math> , <math>b=-k(\alpha+\beta)</math> , <math>c=k\alpha\beta</math>

			अतः हमें प्राप्त होता है कि ,

			<math>\alpha+\beta= \frac{-b}{a}</math>

			<math>\alpha\beta=\frac{c}{a}</math>

			शून्यकों का योग <math>=</math> <math>\alpha+\beta= \frac{-b}{a}</math> <math>=</math> (<math>-x</math> का गुणांक/ <math>x^2</math> का गुणांक )

			शून्यकों का गुणनफल <math>=</math> <math>\alpha\beta=\frac{c}{a}</math> <math>=</math> ( अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक )

			इस प्रकार, एक द्विघात बहुपद का शून्यक उसके गुणांकों से संबंधित होता है ।
			===उदाहरण===
			द्विघात बहुपद <math>p(x)=x^2-2x-8</math> के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों और गुणांक के बीच संबंध सत्यापित करें ।

			हल

			उपर्युक्त बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद <math>p(x)=x^2-2x-8</math> को शून्य के बराबर रखते हैं ,

			<math>p(x)=0</math>

			<math>x^2-2x-8=0</math>

			गुणनखंड करने पर ,

			<math>x^2-4x+2x-8=0</math>

			<math>x(x-4)+2(x-4)=0</math>

			<math>(x-4)(x+2)=0</math>

			<math>x=4,-2</math>

			हम बहुपद <math>p(x)=x^2-2x-8</math> को <math>(x-4)(x+2)</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं ।

			इस प्रकार उपर्युक्त बहुपद के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे । ( <math>\alpha=4 , \beta=-2</math> )

			शून्यकों का योग

			<math>\alpha+\beta=</math><math>4+(-2)</math>

			<math>\alpha+\beta=</math><math>2</math>

			<math>\alpha+\beta=</math>(<math>-x</math> का गुणांक / <math>x^2</math> का गुणांक ) [ बहुपद <math>x^2-2x-8</math> को <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से तुलना करने पर ]

			शून्यकों का गुणनफल ,

			<math>\alpha\beta=</math><math>(4)\times (-2)</math>

			<math>\alpha\beta=</math><math>-8</math>

			<math>\alpha\beta=</math>(अचर पद / <math>x^2</math> का गुणांक ) [ बहुपद <math>x^2-2x-8</math> को <math>p(x)=ax^2+bx+c</math> से तुलना करने पर ]

			अतः , द्विघात बहुपद <math>x^2-2x-8</math> के शून्यक <math>4,-2</math> होंगे ।

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-09-25T08:04:05Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 13:34, 25 September 2023
Line 31:		Line 31:

	अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>2,2</math> है ।		अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>2,2</math> है ।
			=== उदाहरण 2 ===
			द्विघात बहुपद <math>p(x)=3x^2-x-4</math> का शून्यक ज्ञात कीजिए ।

			हल

			उपर्युक्त बहुपद का शून्यक ज्ञात करने के लिए बहुपद <math>p(x)=3x^2-x - 4</math> को शून्य के बराबर रखते हैं ,

			<math>p(x)=0</math>

			<math>3x^2-x-4=0</math>

			गुणनखंड करने पर ,

			<math>3x^2-4x+3x-4=0</math>

			<math>x(3x-4)+1(3x-4)=0</math>

			<math>(x+1)(3x-4)=0</math>

			<math>x=-1,\frac{4}{3}</math>

			अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>-1,\frac{4}{3}</math> है ।

Jaya agarwal: /* द्विघात बहुपद के शून्यक */

2023-09-25T07:42:06Z

द्विघात बहुपद के शून्यक

← Older revision		Revision as of 13:12, 25 September 2023
Line 26:		Line 26:
	<math>x(x-2)-2(x-2)=0</math>		<math>x(x-2)-2(x-2)=0</math>

	<math>(x-2)(x-2)=0</math>		<math>(x-2)(x-2)=0</math>

	अतः , हम उपर्युक्त बहुपद को <math>~~(x-~~2~~)(x-~~2)</math> ~~रूप में निरूपित कर सकते~~ ~~हैं~~ ।		<math>x=2,2</math>

			अतः , उपर्युक्त बहुपद के दो शून्यक <math>2,2</math> है ।