द्विघात समीकरण - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-10-10T07:51:55Z

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	[[Category:द्विघात समीकरण]]		[[Category:द्विघात समीकरण]]
	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	ऐसा समीकरण, जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।		ऐसा समीकरण, जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

Mani at 09:50, 29 September 2023

2023-09-29T09:50:02Z

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	[[Category:द्विघात समीकरण]]		[[Category:द्विघात समीकरण]]
	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	ऐसा समीकरण, जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।		ऐसा समीकरण, जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

	== द्विघात समीकरण का मानक रूप ==		== द्विघात समीकरण का मानक रूप ==
	जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।		जब हम <math>p(x)</math> (एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं, तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।

	मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math><ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS (NCERT) \|edition=Revised \|pages=38-41}}</ref> , <math>a\neq0</math> [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]		मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math><ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS (NCERT) \|edition=Revised \|pages=38-41}}</ref> , <math>a\neq0</math> [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]
Line 18:		Line 18:

	=== उदाहरण 2 ===		=== उदाहरण 2 ===
	एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई, चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
	[[File:आयत.jpg\|thumb\|282x282px\|आयत]]		[[File:आयत.jpg\|thumb\|282x282px\|आयत]]
	हल		हल
Line 71:		Line 71:
	<math>x^2-6x+8=0</math>		<math>x^2-6x+8=0</math>

	उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।		उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

	2) <math>x(4x+8)=x^2+4</math>		2) <math>x(4x+8)=x^2+4</math>
Line 85:		Line 85:
	<math>3x^2+8x-4=0</math>		<math>3x^2+8x-4=0</math>

	उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।		उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

	3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>		3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>
Line 124:		Line 124:

	# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल <math>400</math> है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल <math>400</math> है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
	# रोहन की माँ उससे <math>40</math> वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से <math>4</math> वर्ष बाद <math>410</math> ~~होगा ।~~ इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		# रोहन की माँ उससे <math>40</math> वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से <math>4</math> वर्ष बाद <math>410</math> होगा। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==

Mani at 04:19, 29 September 2023

2023-09-29T04:19:50Z

← Older revision		Revision as of 09:49, 29 September 2023
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	[[Category:द्विघात समीकरण]]		[[Category:द्विघात समीकरण]]
	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~ऐसी~~ समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।		ऐसा समीकरण, जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

	== द्विघात समीकरण का मानक रूप ==		== द्विघात समीकरण का मानक रूप ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-28T06:31:04Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 12:01, 28 September 2023
Line 19:		Line 19:
	=== उदाहरण 2 ===		=== उदाहरण 2 ===
	एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
	[[File:आयत 1 .jpg\|thumb\|282x282px\|आयत]]		[[File:आयत.jpg\|thumb\|282x282px\|आयत]]
	हल		हल

Ramamurthy: formatting changes done

2023-09-27T09:27:56Z

formatting changes done

← Older revision		Revision as of 14:57, 27 September 2023
Line 4:		Line 4:
	ऐसी समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।		ऐसी समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

	=== द्विघात समीकरण का मानक रूप ===		== द्विघात समीकरण का मानक रूप ==
	जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।		जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।

Ramamurthy: /* उदाहरण 3 */

2023-09-27T09:25:46Z

उदाहरण 3

← Older revision		Revision as of 14:55, 27 September 2023
Line 109:		Line 109:
	उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,		उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

	<math>x^2+3x+2x+6=x^2-x+x-1</math>		<math>x^2+3x+2x+6=x^2+x-x-1</math>

	<math>x^2+5x+6=x^2-1</math>		<math>x^2+5x+6=x^2-1</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-26T10:16:27Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 15:46, 26 September 2023
Line 19:		Line 19:
	=== उदाहरण 2 ===		=== उदाहरण 2 ===
	एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
			[[File:आयत 1 .jpg\|thumb\|282x282px\|आयत]]
	हल		हल

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-26T09:57:36Z

उदाहरण 2

← Older revision		Revision as of 15:27, 26 September 2023
Line 34:		Line 34:
	मान रखने पर ,		मान रखने पर ,

	<math>545=(x+1)\times x</math>		<math>545=(2x+1)\times x</math>

	<math>x^2+x=545</math>		<math>2x^2+x=545</math>

	<math>x^2+x-545=0</math>		<math>2x^2+x-545=0</math>

	अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण <math>x^2+x-545=0</math> है ।		अतः , उपर्युक्त कथन का द्विघात समीकरण <math>2x^2+x-545=0</math> है ।

	=== उदाहरण 3 ===		=== उदाहरण 3 ===
Line 50:		Line 50:

	3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>		3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>

			4) <math>(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1) </math>

	हल		हल
Line 57:		Line 59:
	उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,		उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,

	<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math> सूत्र: <math>[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]</math>		<math>[x^2+(2)^2-2 \times x \times 2] +1=2x-3</math> सूत्र: <math>[(a-b)^2=a^2+b^2-2ab]</math>

	<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>		<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>
Line 102:		Line 104:

	उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।		उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

			4) <math>(x+2)(x+3)=(x+1)(x-1) </math>

			उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

			<math>x^2+3x+2x+6=x^2-x+x-1</math>

			<math>x^2+5x+6=x^2-1</math>

			सभी पदों को दाएं पक्ष में स्थानांतरित करने पर ,

			<math>x^2-x^2+5x+6+1=0</math>

			<math>5x+7=0</math>

			उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> नही प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण नही है ।

	== अभ्यास प्रश्न ==		== अभ्यास प्रश्न ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण 3 */

2023-09-26T05:32:48Z

उदाहरण 3

← Older revision		Revision as of 11:02, 26 September 2023
Line 7:		Line 7:
	जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।		जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।

	मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]		मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math><ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS (NCERT) \|edition=Revised \|pages=38-41}}</ref> , <math>a\neq0</math> [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]

	=== उदाहरण 1 ===		=== उदाहरण 1 ===
Line 18:		Line 18:

	=== उदाहरण 2 ===		=== उदाहरण 2 ===
	एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		एक आयत का क्षेत्रफल <math>545</math> है। आयत की लंबाई चौड़ाई के दोगुने से एक अधिक है । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

	हल		हल
Line 57:		Line 57:
	उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,		उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,

	<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math> <math>[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]</math>		<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math> सूत्र: <math>[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]</math>

	<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>		<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>
Line 89:		Line 89:
	उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,		उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

	<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math> <math>[(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)]</math>		<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math> सूत्र : <math>[(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)]</math>

	<math>x^3+8+6x(x+2)=x^3-6</math>		<math>x^3+8+6x(x+2)=x^3-6</math>
Line 107:		Line 107:
	# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल <math>400</math> है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल <math>400</math> है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
	# रोहन की माँ उससे <math>40</math> वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से <math>4</math> वर्ष बाद <math>410</math> होगा । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।		# रोहन की माँ उससे <math>40</math> वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से <math>4</math> वर्ष बाद <math>410</math> होगा । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।

			== संदर्भ ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण 3 */

2023-09-26T05:28:51Z

उदाहरण 3

← Older revision		Revision as of 10:58, 26 September 2023
Line 2:		Line 2:
	[[Category:द्विघात समीकरण]]		[[Category:द्विघात समीकरण]]
	[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	ऐसी समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते ~~हैं~~ सरल शब्दों में ~~कहे तो~~ , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है		ऐसी समीकरण जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं। सरल शब्दों में हम कह सकते हैं कि , <math>p(x)=0</math> के रूप का कोई भी समीकरण, जहाँ <math>p(x)</math> द्विघात वाला एक बहुपद है , द्विघात समीकरण कहलाता है ।

	=== द्विघात समीकरण का मानक रूप ===		=== द्विघात समीकरण का मानक रूप ===
	जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है		जब हम <math>p(x)</math> ( एक द्विघात बहुपद) के सभी पदों को उनके घात के अनुसार अवरोही क्रम में लिखते हैं , तो यह द्विघात समीकरण का मानक रूप कहलाता है ।

	मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]		मानक रूप : <math>ax^2+bx+c=0</math> , <math>a\neq0</math> [ <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं ]
Line 45:		Line 45:
	स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?		स्पष्ट करें कि क्या निम्नलिखित समीकरण द्विघात समीकरण हैं ?

	1. <math>(x-2)^2+1=2x-3</math> 2. <math>x(4x+8)=x^2+4</math> 3. <math>(x+2)^3=x^3-6</math>		1) <math>(x-2)^2+1=2x-3</math>

			2) <math>x(4x+8)=x^2+4</math>

			3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>

	हल		हल
Line 53:		Line 57:
	उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,		उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर,

	<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math>		<math>{x^2+(2)^2-2 \times x \times 4} +1=2x-3</math> <math>[(a+b)^2=a^2+b^2+2ab]</math>

	<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>		<math>(x^2+4-4x)+1=2x-3</math>
Line 81:		Line 85:
	उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।		उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

	3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>		3) <math>(x+2)^3=x^3-6</math>

	उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,		उपर्युक्त समीकरण का विस्तृत रूप लिखने पर ,

	<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math>		<math>x^3+(2)^3+3\times x\times 2(x+2)=x^3-6</math> <math>[(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)]</math>

	<math>x^3+8+6x(x+2)=x^3-6</math>		<math>x^3+8+6x(x+2)=x^3-6</math>
Line 97:		Line 101:
	<math>6x^2+12x+14=0</math>		<math>6x^2+12x+14=0</math>

	उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।		उपर्युक्त समीकरण द्विघात समीकरण का मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> प्रदर्शित करता है , अतः यह एक द्विघात समीकरण है ।

			== अभ्यास प्रश्न ==

			# दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल <math>400</math> है। इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।
			# रोहन की माँ उससे <math>40</math> वर्ष बड़ी है। उनकी आयु का गुणनफल (वर्षों में) अब से <math>4</math> वर्ष बाद <math>410</math> होगा । इस कथन को द्विघात समीकरण रूप में निरूपित करें ।