द्वितीय कोटि का अवकलज - Revision history

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	== द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण ==		== द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण ==
	'''प्रश्न 1)''' यदि <math>f(x) = sin3x \ cos4x</math> है, तो <math>f''(x)</math> ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, <math>f''(\frac{\pi}{2}) = 25</math>		'''प्रश्न''' यदि <math>f(x) = sin3x \ cos4x</math> है, तो <math>f''(x)</math> ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, <math>f''(\frac{\pi}{2}) = 25</math>

	'''समाधान 1)''' हमारे पास है,		'''समाधान''' हमारे पास है,

	<math>f(x) = sin3x\ cos4x\ or, f(x) =\frac{1}{2}\cdot 2sin3x\ cos4x =\frac{1}{2} (sin7x-sinx)</math>		<math>f(x) = sin3x\ cos4x\ or, f(x) =\frac{1}{2}\cdot 2sin3x\ cos4x =\frac{1}{2} (sin7x-sinx)</math>
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	<math>x </math> के सापेक्ष दो बार क्रमिक रूप से अवकलन करने पर, हम पाते हैं,		<math>x </math> के सापेक्ष दो बार क्रमिक रूप से अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

	f’(x) =7x-cosx] =~~And f’’(x) ==~~		<math>f'(x) =\frac{1}{2} cos7x\cdot [{d \over dx }7x-cosx] =\frac{1}{2} 7cos7x-cosx</math>

	~~Therefore,f’’~~(π/2) ~~== =x 50 = 25~~(~~Proved~~)		और <math>f''(x)=\frac{1}{2}[7(-sin7x){d \over dx}7x-(-sinx)]=\frac{1}{2}-49sin7x+sinx</math>

			इसलिए, <math>f''({\pi \over 2})= \frac{1}{2}[-49sin(7.{\pi \over 2}+ sin{\pi \over 2}= \frac{1}{2}-49\cdot (-1)+1</math>

			<math>sin7\cdot \frac{\pi}{2}=sin(7.\frac{\pi}{2}+0)=-cos0=-1</math>

	~~'''प्रश्न~~ 2~~)''' If y~~ =		<math>\frac{1}{2} \times50=25 </math> (सिद्ध हुआ)

	(

	)~~, find y₂.~~

	== पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न ==		== पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न ==
	हम पैरामीट्रिक रूप में फ़ंक्शन के द्वितीय व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, <math>t </math> के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न ज्ञात करें, फिर <math>t </math> के संबंध में <math>x </math> के व्युत्पन्न से भाग दें। यदि <math>x = x(t)</math> और <math>y = y(t),</math> तो द्वितीय-क्रम पैरामीट्रिक रूप है:		हम पैरामीट्रिक रूप में फ़ंक्शन के द्वितीय व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, <math>t </math> के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न ज्ञात करें, फिर <math>t </math> के संबंध में <math>x </math> के व्युत्पन्न से भाग दें। यदि <math>x = x(t)</math> और <math>y = y(t),</math> तो द्वितीय-क्रम पैरामीट्रिक रूप है:

	=		<math>{dy \over dx}={(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!t) \over (\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t)}</math> प्रथम व्युत्पन्न है।

	~~is the first derivative.~~

	=

	~~is the second derivative.~~

	=

	~~'''Note:''' The formula~~		<math>{d^2y \over dx^2}={d \over dx(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x)}</math> दूसरा व्युत्पन्न है।

	=		<math>{(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!t) \over (\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t)}={d \over dt}\ {\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x \over \operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t}</math>

	~~is completely incorrect.~~		'''टिप्पणी''': सूत्र <math>{d^2y \over dx^2}= {(\operatorname{d}^2\!y/\operatorname{d}\!t^2)\over(\operatorname{d}^2\!x/\operatorname{d}\!t^2)}</math> पूर्णतः गलत है।

	स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।		स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

	== इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है: ==		== इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है ==
	* फ़ंक्शन <math>f(x)</math> का <math>x </math> पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि <math>f''(x) < 0</math> है।		* फ़ंक्शन <math>f(x)</math> का <math>x </math> पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि <math>f''(x) < 0</math> है।
	* फ़ंक्शन <math>f(x)</math>का <math>x </math> पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि <math>f''(x) > 0</math> है।		* फ़ंक्शन <math>f(x)</math>का <math>x </math> पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि <math>f''(x) > 0</math> है।

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Line 12:		Line 12:
	अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को <math>f'(x)</math> या <math>{dy \over dx}</math> के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को <math>f''(x)</math> या <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> के रूप में लिखा जा सकता है		अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को <math>f'(x)</math> या <math>{dy \over dx}</math> के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को <math>f''(x)</math> या <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> के रूप में लिखा जा सकता है

	==~~= '''Second-Order Derivative Examples''' =~~==		== द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण ==
	'''~~Question~~ 1)''' यदि <math>f(x) = sin3x \ cos4x</math> है, तो <math>f''(x)</math> ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, <math>f''(\frac{\pi}{2}) = 25</math>		'''प्रश्न 1)''' यदि <math>f(x) = sin3x \ cos4x</math> है, तो <math>f''(x)</math> ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, <math>f''(\frac{\pi}{2}) = 25</math>

	'''~~Solution~~ 1)''' हमारे पास है,		'''समाधान 1)''' हमारे पास है,

	f(x) = sin3x cos4x or, f(x) =. 2sin3x cos4x =(sin7x-sinx)		<math>f(x) = sin3x\ cos4x\ or, f(x) =\frac{1}{2}\cdot 2sin3x\ cos4x =\frac{1}{2} (sin7x-sinx)</math>

	~~Differentiating two times successively w.r.t.~~ x ~~we get~~,		<math>x </math> के सापेक्ष दो बार क्रमिक रूप से अवकलन करने पर, हम पाते हैं,

	f’(x) =7x-cosx] =And f’’(x) ==		f’(x) =7x-cosx] =And f’’(x) ==
Line 27:		Line 27:


	'''~~Question~~ 2)''' If y =		'''प्रश्न 2)''' If y =

	(		(
Line 34:		Line 34:

	== पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न ==		== पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न ==
	हम पैरामीट्रिक रूप में फ़ंक्शन के द्वितीय व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, t के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न ज्ञात करें, फिर t के संबंध में x के व्युत्पन्न से भाग दें। यदि x = x(t) और y = y(t), तो द्वितीय-क्रम पैरामीट्रिक रूप है:		हम पैरामीट्रिक रूप में फ़ंक्शन के द्वितीय व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, <math>t </math> के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न ज्ञात करें, फिर <math>t </math> के संबंध में <math>x </math> के व्युत्पन्न से भाग दें। यदि <math>x = x(t)</math> और <math>y = y(t),</math> तो द्वितीय-क्रम पैरामीट्रिक रूप है:

	=		=
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	== इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है: ==		== इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है: ==
	* फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि f"(x) < 0 है।		* फ़ंक्शन <math>f(x)</math> का <math>x </math> पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि <math>f''(x) < 0</math> है।
	* फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि f"(x) > 0 है।		* फ़ंक्शन <math>f(x)</math>का <math>x </math> पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि <math>f''(x) > 0</math> है।
	* यदि f"(x) = 0 है, तो बिंदु x के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।		* यदि <math>f''(x) = 0</math> है, तो बिंदु <math>x </math> के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।

	== द्वितीय क्रम व्युत्पन्न उदाहरण: ==		== द्वितीय क्रम व्युत्पन्न उदाहरण: ==
Line 66:		Line 66:
	समाधान: दिया गया है कि, y = e(x³)–3x⁴		समाधान: दिया गया है कि, y = e(x³)–3x⁴

	जब हम इस समीकरण को x के सापेक्ष विभेदित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:		जब हम इस समीकरण को <math>x </math> के सापेक्ष विभेदित करते हैं, तो हमें निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:

	dy/dx = e(x³) x 3x² –12x³		dy/dx = e(x³) x 3x² –12x³

	फिर, दिए गए फ़ंक्शन के द्वितीय क्रम व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए, हम x के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम व्युत्पन्न को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।		फिर, दिए गए फ़ंक्शन के द्वितीय क्रम व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए, हम <math>x </math> के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम व्युत्पन्न को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।

	d²y/dx² = e(x³) x 3x² x 3x² + e(x³) x 6x – 36x²		d²y/dx² = e(x³) x 3x² x 3x² + e(x³) x 6x – 36x²
Line 79:		Line 79:

	== निष्कर्ष ==		== निष्कर्ष ==
	हम किसी वास्तविक चर के फ़ंक्शन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को लेकर लगा सकते हैं। व्युत्पन्न को प्रतीक dy/dx द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात dy/dx x के दिए गए मान के संबंध में y में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फ़ंक्शन के पहले क्रम के व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह ग्राफ़ के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।		हम किसी वास्तविक चर के फ़ंक्शन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को लेकर लगा सकते हैं। व्युत्पन्न को प्रतीक <math>{dy \over dx}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात <math>{dy \over dx}</math>, <math>x </math> के दिए गए मान के संबंध में <math>y </math> में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फ़ंक्शन के पहले क्रम के व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह ग्राफ़ के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।
	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	व्युत्पन्न आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की ढलान प्रदान करता है। किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार की समझ प्रदान करता है। फ़ंक्शन f(x) के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर f" (x) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि y = f, तो इसे कभी-कभी ~~D2y~~ या y2 या y" (x) के रूप में व्यक्त किया जाता है।		व्युत्पन्न आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की ढलान प्रदान करता है। किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार की समझ प्रदान करता है। फ़ंक्शन <math>f(x)</math> के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर <math>f''(x)</math> के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि <math>y = f,</math>तो इसे कभी-कभी <math>d^2y</math> या <math>y^2</math> या <math>y''(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	किसी फ़ंक्शन का दूसरा-क्रम व्युत्पन्न विचाराधीन फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न से ज़्यादा कुछ नहीं है। नतीजतन, दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा व्युत्पन्न) निर्धारित करना संभव है।		किसी फ़ंक्शन का दूसरा-क्रम व्युत्पन्न विचाराधीन फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न से ज़्यादा कुछ नहीं है। नतीजतन, दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा व्युत्पन्न) निर्धारित करना संभव है।

	~~Let's say~~ y = f. (x)		चलिए मान लेते हैं <math>y = f\cdot (x)</math>

	dy/dx = f' ~~then~~ (x)		<math>{dy \over dx} = f'</math> तब <math>(x)</math>

	यदि f'(x) अवकलनीय है, तो हम इसे 'x' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग d/dx(dy/dx) बन जाता है, जिसे अक्सर x के संबंध में y का द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है।		यदि <math>f'(x)</math> अवकलनीय है, तो हम इसे '<math>x </math>' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग <math>{d \over dx}\left ( \frac{dy}{dx} \right )</math> बन जाता है, जिसे अक्सर <math>x </math> के संबंध में <math>y </math> का द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है।

	अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को f’(x) या dy/dx के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को ~~f’’~~(x) या ~~d²y~~/~~dx²~~ के रूप में लिखा जा सकता है		अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को <math>f'(x)</math> या <math>{dy \over dx}</math> के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को <math>f''(x)</math> या <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> के रूप में लिखा जा सकता है

	=== '''Second-Order Derivative Examples''' ===		=== '''Second-Order Derivative Examples''' ===
	'''Question 1)''' If f(x) = sin3x cos4x, ~~find f’’~~(x)~~. Hence~~, ~~show that, f’’~~(π/2) = 25.		'''Question 1)''' यदि <math>f(x) = sin3x \ cos4x</math> है, तो <math>f''(x)</math> ज्ञात कीजिए। अतः दर्शाइए कि, <math>f''(\frac{\pi}{2}) = 25</math>

	'''Solution 1)''' ~~We have~~,		'''Solution 1)''' हमारे पास है,

	f(x) = sin3x cos4x or, f(x) =		f(x) = sin3x cos4x or, f(x) =. 2sin3x cos4x =(sin7x-sinx)

	. 2sin3x cos4x =

	(sin7x-sinx)

	Differentiating two times successively w.r.t. x we get,		Differentiating two times successively w.r.t. x we get,

	f’(x) =		f’(x) =7x-cosx] =And f’’(x) ==

	7x-cosx] =

	And f’’(x) =

	=

	~~Therefore,f’’(π/2)~~ =

	=		Therefore,f’’(π/2) == =x 50 = 25(Proved)

	=

	~~x 50 = 25(Proved)~~

	'''Question 2)''' If y =		'''Question 2)''' If y =

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 व्युत्पन्न आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की ढलान प्रदान करता है। किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार की समझ प्रदान करता है। फ़ंक्शन f(x) के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर f" (x) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि y = f, तो इसे कभी-कभी D2y या y2 या y" (x) के रूप में व्यक्त किया जाता है।
 Let's say y = f. (x)
@@ Line 63: / Line 66: @@
   is completely incorrect.
-स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है:
+स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।
 * फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि f"(x) < 0 है।
 * फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि f"(x) > 0 है।
 * यदि f"(x) = 0 है, तो बिंदु x के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।
 [[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	Second Order Derivative		व्युत्पन्न आपको किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन की ढलान प्रदान करता है। किसी फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न के व्युत्पन्न को दूसरे क्रम के व्युत्पन्न के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फ़ंक्शन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले क्रम के व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न हमें फ़ंक्शन के ग्राफ़ के आकार की समझ प्रदान करता है। फ़ंक्शन f(x) के दूसरे व्युत्पन्न को आमतौर पर f" (x) के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि y = f, तो इसे कभी-कभी D2y या y2 या y" (x) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

			Let's say y = f. (x)

			dy/dx = f' then (x)

			यदि f'(x) अवकलनीय है, तो हम इसे 'x' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग d/dx(dy/dx) बन जाता है, जिसे अक्सर x के संबंध में y का द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है।

			अब, द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न क्या है? द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न होता है। इसे प्रथम-क्रम व्युत्पन्न से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फ़ंक्शन का व्युत्पन्न ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न निकालते हैं। प्रथम-क्रम व्युत्पन्न को f’(x) या dy/dx के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न को f’’(x) या d²y/dx² के रूप में लिखा जा सकता है

			=== '''Second-Order Derivative Examples''' ===
			'''Question 1)''' If f(x) = sin3x cos4x, find f’’(x). Hence, show that, f’’(π/2) = 25.

			'''Solution 1)''' We have,

			f(x) = sin3x cos4x or, f(x) =

			. 2sin3x cos4x =

			(sin7x-sinx)

			Differentiating two times successively w.r.t. x we get,

			f’(x) =

			7x-cosx] =

			And f’’(x) =

			=

			Therefore,f’’(π/2) =

			=

			=

			x 50 = 25(Proved)

			'''Question 2)''' If y =

			(

			), find y₂.

			== पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के द्वितीय-क्रम व्युत्पन्न ==
			हम पैरामीट्रिक रूप में फ़ंक्शन के द्वितीय व्युत्पन्न को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, t के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न का व्युत्पन्न ज्ञात करें, फिर t के संबंध में x के व्युत्पन्न से भाग दें। यदि x = x(t) और y = y(t), तो द्वितीय-क्रम पैरामीट्रिक रूप है:

			=

			is the first derivative.

			=

			is the second derivative.

			=

			'''Note:''' The formula

			=

			is completely incorrect.

			स्थानीय अधिकतम या निम्नतम विभक्ति बिंदु मान फ़ंक्शन के दूसरे व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इन्हें निम्नलिखित मानदंडों का उपयोग करके पहचाना जा सकता है:

			* फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय अधिकतम मान होता है यदि f"(x) < 0 है।
			* फ़ंक्शन f(x) का x पर स्थानीय न्यूनतम मान होता है यदि f"(x) > 0 है।
			* यदि f"(x) = 0 है, तो बिंदु x के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।

	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:24, 4 August 2023

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	Second Order Derivative		Second Order Derivative
	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:20, 4 August 2023

2023-08-04T06:20:12Z

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	Second Order Derivative		Second Order Derivative
	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]]

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2023-04-21T14:33:30Z

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	Second Order Derivative		Second Order Derivative
			[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]]

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	अवकलज आपको किसी भी बिंदु पर फलन की ढलान प्रदान करता है। किसी फलन के पहले अवकलज के अवकलन को दूसरे ~~क्रम~~ के अवकलज के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले ~~क्रम~~ के अवकलज द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-~~क्रम~~ अवकलज हमें फलन के आलेख के आकार की समझ प्रदान करता है। फलन <math>f(x)</math> के दूसरे [[अवकलज]] को साधारणतः <math>f''(x)</math> के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि <math>y = f,</math>तो इसे कभी-कभी <math>d^2y</math> या <math>y^2</math> या <math>y''(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है।		अवकलज आपको किसी भी बिंदु पर फलन की ढलान प्रदान करता है। किसी फलन के पहले अवकलज के अवकलन को दूसरे कोटि के अवकलज के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए स्थान पर स्पर्शरेखा की ढलान, या उस स्थिति पर फलन के परिवर्तन की तात्कालिक दर, उस बिंदु पर पहले कोटि के अवकलज द्वारा निर्धारित की जाती है। द्वितीय-कोटि अवकलज हमें फलन के आलेख के आकार की समझ प्रदान करता है। फलन <math>f(x)</math> के दूसरे [[अवकलज]] को साधारणतः <math>f''(x)</math> के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। यदि <math>y = f,</math>तो इसे कभी-कभी <math>d^2y</math> या <math>y^2</math> या <math>y''(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जाता है।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	किसी फलन का दूसरा-~~क्रम~~ अवकलज विचाराधीन फलन के पहले अवकलज के अवकलज से अधिक कुछ नहीं है। परिणाम स्वरूप , दूसरे अवकलज की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा अवकलज ) निर्धारित करना संभव है।		किसी फलन का दूसरा-कोटि अवकलज विचाराधीन फलन के पहले अवकलज के अवकलज से अधिक कुछ नहीं है। परिणाम स्वरूप , दूसरे अवकलज की गणना करके, जो समय के संबंध में गति में परिवर्तन की दर है, कार की गति में बदलाव (समय के संबंध में यात्रा की गई दूरी का दूसरा अवकलज ) निर्धारित करना संभव है।

	चलिए मान लेते हैं <math>y = f\cdot (x)</math>		चलिए मान लेते हैं <math>y = f\cdot (x)</math>
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	<math>{dy \over dx} = f'</math> तब <math>(x)</math>		<math>{dy \over dx} = f'</math> तब <math>(x)</math>

	यदि <math>f'(x)</math> [[अवकलनीयता\|अवकलनीय]] है, तो हम इसे '<math>x </math>' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग <math>{d \over dx}\left ( \frac{dy}{dx} \right )</math> बन जाता है, जिसे सदैव <math>x </math> के संबंध में <math>y </math> का द्वितीय-~~क्रम~~ अवकलज कहा जाता है।		यदि <math>f'(x)</math> [[अवकलनीयता\|अवकलनीय]] है, तो हम इसे '<math>x </math>' के सापेक्ष एक बार फिर अवकलित कर सकते हैं। इस प्रकार बायाँ भाग <math>{d \over dx}\left ( \frac{dy}{dx} \right )</math> बन जाता है, जिसे सदैव <math>x </math> के संबंध में <math>y </math> का द्वितीय-कोटि अवकलज कहा जाता है।

	अब, द्वितीय-~~क्रम~~ अवकलज क्या है? द्वितीय-~~क्रम~~ अवकलज किसी फलन के अवकलज का अवकलज होता है। इसे प्रथम-~~क्रम~~ अवकलज से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फलन का अवकलज ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम अवकलज का अवकलन निकालते हैं। प्रथम-~~क्रम~~ अवकलज को <math>f'(x)</math> या <math>{dy \over dx}</math> के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-~~क्रम~~ अवकलज को <math>f''(x)</math> या <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> के रूप में लिखा जा सकता है		अब, द्वितीय-कोटि अवकलज क्या है? द्वितीय-कोटि अवकलज किसी फलन के अवकलज का अवकलज होता है। इसे प्रथम-कोटि अवकलज से निकाला जाता है। इसलिए हम पहले फलन का अवकलज ढूँढ़ते हैं और फिर प्रथम अवकलज का अवकलन निकालते हैं। प्रथम-कोटि अवकलज को <math>f'(x)</math> या <math>{dy \over dx}</math> के रूप में लिखा जा सकता है जबकि द्वितीय-कोटि अवकलज को <math>f''(x)</math> या <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> के रूप में लिखा जा सकता है

	== द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण ==		== द्वितीय कोटि के अवकलज उदाहरण ==
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	<math>\frac{1}{2} \times50=25 </math> (सिद्ध हुआ)		<math>\frac{1}{2} \times50=25 </math> (सिद्ध हुआ)
	== प्राचलिक फलन के द्वितीय-~~क्रम~~ अवकलज ==		== प्राचलिक फलन के द्वितीय-कोटि अवकलज ==
	हम [[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज\|प्राचलिक]] रूप में फलन के द्वितीय अवकलज को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय अवकलज निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, <math>t </math> के संबंध में प्रथम अवकलज का अवकलन ज्ञात करें, फिर <math>t </math> के संबंध में <math>x </math> के अवकलज से भाग दें। यदि <math>x = x(t)</math> और <math>y = y(t),</math> तो द्वितीय-~~क्रम~~ प्राचलिक रूप है:		हम [[फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज\|प्राचलिक]] रूप में फलन के द्वितीय अवकलज को निर्धारित करने के लिए दो बार चेन नियम का उपयोग करते हैं। द्वितीय अवकलज निर्धारित करने के लिए, सबसे पहले, <math>t </math> के संबंध में प्रथम अवकलज का अवकलन ज्ञात करें, फिर <math>t </math> के संबंध में <math>x </math> के अवकलज से भाग दें। यदि <math>x = x(t)</math> और <math>y = y(t),</math> तो द्वितीय-कोटि प्राचलिक रूप है:

	<math>{dy \over dx}={(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!t) \over (\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t)}</math> प्रथम अवकलज है।		<math>{dy \over dx}={(\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!t) \over (\operatorname{d}\!x/\operatorname{d}\!t)}</math> प्रथम अवकलज है।
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	* यदि <math>f''(x) = 0</math> है, तो बिंदु <math>x </math> के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।		* यदि <math>f''(x) = 0</math> है, तो बिंदु <math>x </math> के बारे में कोई निष्कर्ष निकालना असंभव है।

	== द्वितीय ~~क्रम~~ अवकलज उदाहरण: ==		== द्वितीय कोटि अवकलज उदाहरण: ==
	द्वितीय ~~क्रम~~ अवकलजों की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।		द्वितीय कोटि अवकलजों की श्रेष्ठ समझ प्राप्त करने के लिए आइए एक उदाहरण देखें।

	'''उदाहरण''' : यदि <math>y = e^{(x^3)}-3x^4</math> है, तो <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> का मान ज्ञात करें।		'''उदाहरण''' : यदि <math>y = e^{(x^3)}-3x^4</math> है, तो <math>\frac{d^2y}{dx^2}</math> का मान ज्ञात करें।
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	<math>\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x=e^{(x^3)}\times 3x^2-12x^3</math>		<math>\operatorname{d}\!y/\operatorname{d}\!x=e^{(x^3)}\times 3x^2-12x^3</math>

	फिर, दिए गए फलन के द्वितीय ~~क्रम~~ अवकलज को निर्धारित करने के लिए, हम <math>x </math> के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम अवकलज को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।		फिर, दिए गए फलन के द्वितीय कोटि अवकलज को निर्धारित करने के लिए, हम <math>x </math> के सापेक्ष एक बार फिर प्रथम अवकलज को विभेदित करते हैं, और इसी तरह आगे बढ़ते हैं।

	<math>\frac{d^2y}{dx^2}= e(x^3) \times 3x^2 \times 3x^2 + e(x^3) \times 6x - 36x^2</math>		<math>\frac{d^2y}{dx^2}= e(x^3) \times 3x^2 \times 3x^2 + e(x^3) \times 6x - 36x^2</math>
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	== निष्कर्ष ==		== निष्कर्ष ==
	हम किसी वास्तविक चर के फलन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फलन के अवकलज को लेकर लगा सकते हैं। अवकलज को प्रतीक <math>{dy \over dx}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात <math>{dy \over dx}</math>, <math>x </math> के दिए गए मान के संबंध में <math>y </math> में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फलन के आलेख पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फलन के अवकलज को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फलन के पहले ~~क्रम~~ के अवकलज के अवकलज को दूसरे ~~क्रम~~ के अवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह आलेख के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।		हम किसी वास्तविक चर के फलन में परिवर्तन की दर का पता उसके तर्क के संबंध में फलन के अवकलज को लेकर लगा सकते हैं। अवकलज को प्रतीक <math>{dy \over dx}</math> द्वारा दर्शाया जाता है। अनुपात <math>{dy \over dx}</math>, <math>x </math> के दिए गए मान के संबंध में <math>y </math> में परिवर्तन की दर को इंगित करता है। फलन के आलेख पर स्पर्शरेखा रेखा के ढलान का उपयोग फलन के अवकलज को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। दिए गए फलन के पहले कोटि के अवकलज के अवकलज को दूसरे कोटि के अवकलज के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह आलेख के आकार के साथ-साथ इसकी अवतलता के बारे में जानकारी प्रदान करता है।
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