नाभिलंब जीवा - Revision history

Mani at 15:08, 22 November 2024

2024-11-22T15:08:06Z

← Older revision		Revision as of 20:38, 22 November 2024
Line 1:		Line 1:
	गणित में, शंकु के परिच्छेद को एक वक्र के रूप में दर्शाया जाता है जो हमें शंकु की सतह के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होता है। [[शंकु के परिच्छेद]] के विभिन्न प्रकार हैं। ये परवलय, [[दीर्घवृत्त]] और [[अतिपरवलय]] हैं। इन वक्रों को दर्शाने के लिए, कई महत्वपूर्ण शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि नाभि(फोकस), नियता(डायरेक्ट्रिक्स), नाभिलंब जीवा(लैटस रेक्टम ),बिन्दुपथ(लोकस), अनंतस्पर्शी(एसिम्टोटे), आदि। इस लेख में, हम नाभिलंब जीवा, परिभाषाएँ, नाभिलंब जीवा उदाहरण ~~और शंकु के परिच्छेद के नाभिलंब जीवा~~ के बारे में अध्ययन करेंगे।		गणित में, शंकु के परिच्छेद को एक वक्र के रूप में दर्शाया जाता है जो हमें शंकु की सतह के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होता है। [[शंकु के परिच्छेद]] के विभिन्न प्रकार हैं। ये परवलय, [[दीर्घवृत्त]] और [[अतिपरवलय]] हैं। इन वक्रों को दर्शाने के लिए, कई महत्वपूर्ण शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि नाभि(फोकस), नियता(डायरेक्ट्रिक्स), नाभिलंब जीवा(लैटस रेक्टम ),बिन्दुपथ(लोकस), अनंतस्पर्शी(एसिम्टोटे), आदि। इस लेख में, हम नाभिलंब जीवा, परिभाषाएँ, और नाभिलंब जीवा उदाहरण के बारे में अध्ययन करेंगे।

	शंकु के परिच्छेद के नाभिलंब जीवा को जीवा के रूप में बताया गया है जो फोकस से होकर गुजरती है और प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है और इसमें वक्र पर दोनों अंत बिंदु उपस्थित होते हैं।		शंकु के परिच्छेद के नाभिलंब जीवा को जीवा के रूप में बताया गया है जो फोकस से होकर गुजरती है और प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है और इसमें वक्र पर दोनों अंत बिंदु उपस्थित होते हैं।

Mani: added table

2024-11-22T15:05:26Z

added table

← Older revision		Revision as of 20:35, 22 November 2024
Line 41:		Line 41:
	\|<math>L = (a, 2a)</math>, <math>L' (a, -2a)</math>		\|<math>L = (a, 2a)</math>, <math>L' (a, -2a)</math>
	\|-		\|-
	\|		\|<math> \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
	\|		\|यदि <math>a>b,\frac{2b^2}{a}</math>
	\|		\|<math>L=(ae,b^2a)L'(ae-b^2a)</math>
	\|-		\|-
	\|		\|<math> \frac{x^2}{a^2}+ \frac{y^2}{b^2} = 1</math>
	\|		\|यदि <math>b>a,\frac{2a^2}{b}</math>
	\|		\|<math>L=(ae,b^2a)L'(ae-b^2a)</math>
			\|-
			\|<math>\frac{x^2}{ a^2}-\frac{y^2 }{ b^2}=1</math>
			\|<math>\frac{2b^2}{a}</math>
			\|<math>L=(ae,b^2a)L'(ae-b^2a)</math>
	\|}		\|}

Mani: added content

2024-11-22T14:57:31Z

added content

← Older revision		Revision as of 20:27, 22 November 2024
Line 31:		Line 31:

	परवलय के नाभिलंब जीवा के अंत को <math>(ae, \pm \frac{b^2}{a^2}) </math> कहा जाता है और नाभिलंब जीवा की लंबाई को <math>\frac{2b^2}{a}</math> कहा जाता है।		परवलय के नाभिलंब जीवा के अंत को <math>(ae, \pm \frac{b^2}{a^2}) </math> कहा जाता है और नाभिलंब जीवा की लंबाई को <math>\frac{2b^2}{a}</math> कहा जाता है।
			{\| class="wikitable"
			\|+
			!शंकु परिच्छेद
			!नाभिलंब जीवा की लंबाई
			!नाभिलंब जीवा का अंतिम छोर
			\|-
			\|<math>y^2= 4ax</math>
			\|<math>4a</math>
			\|<math>L = (a, 2a)</math>, <math>L' (a, -2a)</math>
			\|-
			\|
			\|
			\|
			\|-
			\|
			\|
			\|
			\|}

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==

Mani: added content

2024-11-22T14:54:13Z

added content

← Older revision		Revision as of 20:24, 22 November 2024
Line 17:		Line 17:
	आइए हम मान लें <math>L = (a, b)</math>		आइए हम मान लें <math>L = (a, b)</math>

	जैसा कि हम जानते हैं, L परवलय का बिंदु है। तदनुसार, हमारे पास है		जैसा कि हम जानते हैं, <math>L</math> परवलय का बिंदु है। तदनुसार, हमारे पास है

	<math>b^2 = 4a (a) = 4a^2</math>		<math>b^2 = 4a (a) = 4a^2</math>

	बाएं और दाएं दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर, हमें b बराबर ~~± 2a~~ मिलता है		बाएं और दाएं दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर, हमें <math>b</math> बराबर <math>\pm2a</math> मिलता है

	इसलिए, परवलय के नाभिलंब जीवा के सिरे L = (a, 2a) और L’ (a, -2a) हैं		इसलिए, परवलय के नाभिलंब जीवा के सिरे <math>L = (a, 2a)</math> और <math>L' (a, -2a)</math>हैं

	इस प्रकार, परवलय <math>L</math> <math>L''</math> के नाभिलंब जीवा की लंबाई <math>4a</math> है।		इस प्रकार, परवलय <math>L</math> <math>L''</math> के नाभिलंब जीवा की लंबाई <math>4a</math> है।

	== ~~हाइपरबोला~~ के नाभिलंब जीवा की लंबाई ==		== अतिपरवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई ==
	~~हाइपरबोला~~ के नाभिलंब जीवा को दीर्घवृत्त और परवलय के ~~मामले~~ में सममित रूप से परिभाषित किया जाता है।		अतिपरवलय के नाभिलंब जीवा को दीर्घवृत्त और परवलय के स्थिति में सममित रूप से परिभाषित किया जाता है।

	परवलय के ~~नाभि-रेक्टम~~ के अंत को (ae, ~~± b2~~/ ~~a2)~~ कहा जाता है और ~~नाभि-रेक्टम~~ की लंबाई को ~~2b2~~/a कहा जाता है।		परवलय के नाभिलंब जीवा के अंत को <math>(ae, \pm \frac{b^2}{a^2}) </math> कहा जाता है और नाभिलंब जीवा की लंबाई को <math>\frac{2b^2}{a}</math> कहा जाता है।

	~~table~~		== उदाहरण ==
			1. नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी जिसका परवलय समीकरण <math>y^2= 12x</math> है
	~~नाभिलंब जीवा हल किए गए~~ उदाहरण

	1. नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी जिसका परवलय समीकरण y2= 12x है

	समाधान:		समाधान:

	y2 = 2x		<math>y^2 = 2x</math>

	y2 = 4 (3) x		<math>y^2 = 4(3)x</math>

	चूँकि y2 = 4ax परवलय का समीकरण है, इसलिए हमें a का मान प्राप्त होता है।		चूँकि <math>y^2= 4ax</math> परवलय का समीकरण है, इसलिए हमें <math>a</math> का मान प्राप्त होता है।

	इसलिए, a=3 का मान		इसलिए, <math>a=3</math> का मान

	इस प्रकार, परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 4a= 4(3) = 12 है।		इस प्रकार, परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई <math>4a= 4(3) = 12</math> है।

	2. निम्नलिखित परवलय x2 = - 4y के नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी।		2. निम्नलिखित परवलय <math>x^2 = - 4y</math> के नाभिलंब जीवा की लंबाई क्या होगी।

	समाधान: ऊपर दिए गए समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परवलय Y-अक्ष के बारे में सममित है और यह नीचे की ओर खुला है।		समाधान: ऊपर दिए गए समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परवलय <math>y</math>-अक्ष के बारे में सममित है और यह नीचे की ओर खुला है।

	x2 = - 4y		<math>x^2 = - 4y</math>

	x2 = - 4ay		<math>x^2 = - 4ay</math>

	4a = 4		<math>4a = 4</math>

	इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 4 इकाई है।		इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई <math>4</math> इकाई है।

	3. निम्नलिखित परवलय x2- 2x + 8y + 17= 0 के नाभिलंब जीवा की लंबाई की गणना करें।		3. निम्नलिखित परवलय <math>x^2- 2x + 8y + 17= 0</math> के नाभिलंब जीवा की लंबाई की गणना करें।

	समाधान: a का मान निकालने के लिए, हम पहले उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में बदलेंगे।		समाधान: <math>a</math> का मान निकालने के लिए, हम पहले उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में बदलेंगे।

	x2 - 2x = - 8y -17= 0		<math>x^2- 2x =-8y-17= 0</math>

	x2 - 2x (1) + 12 -12= - 8y -17		<math>x^2- 2x(1)+1^2-1^2 =-8y-17</math>

	(x - 1)2 = - 8y - 17 + 1		<math>(x-1)^2 = - 8y - 17 + 1</math>

	(x - 1)2 = - 8y - 16		<math>(x - 1)^2 = - 8y - 16</math>

	(x - 1)2 = - 8 (y + 2)		<math>(x - 1)^2 = - 8 (y + 2)</math>

	इस समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दिया गया परवलय y-अक्ष के बारे में सममित है और यह ऊपर की ओर खुला है।		इस समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दिया गया परवलय <math>y</math>-अक्ष के बारे में सममित है और यह ऊपर की ओर खुला है।

	नाभिलंब जीवा की लंबाई = 4a		नाभिलंब जीवा की लंबाई <math>= 4a</math>

	4a = 8		<math>4a = 8</math>

	इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई 8 इकाई है।		इस प्रकार, दिए गए परवलय के नाभिलंब जीवा की लंबाई <math>8</math> इकाई है।
	[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Mani: added content

2024-11-22T14:25:08Z

added content

Show changes

Mani: added content

2024-11-22T13:47:34Z

added content

← Older revision		Revision as of 19:17, 22 November 2024
Line 1:		Line 1:
	~~Latus rectum~~		गणित में, शंकु खंड को एक वक्र के रूप में दर्शाया जाता है जो हमें शंकु की सतह के प्रतिच्छेदन से प्राप्त होता है। शंकु खंड के विभिन्न प्रकार हैं। ये परवलय, दीर्घवृत्त और अतिपरवलय हैं। इन वक्रों को दर्शाने के लिए, कई महत्वपूर्ण शब्दों का उपयोग किया जाता है जैसे कि फोकस, डायरेक्ट्रिक्स, लैटस रेक्टम, लोकस, एसिम्टोटे, आदि। इस लेख में, हम लैटस रेक्टम, लैटस रेक्टम परिभाषाएँ, लैटस रेक्टम उदाहरण और शंकु खंडों के लैटस रेक्टम के बारे में अध्ययन करेंगे।

			शंकु खंड के लैटस रेक्टम को जीवा के रूप में बताया गया है जो फोकस से होकर गुजरती है और प्रमुख अक्ष के लंबवत होती है और इसमें वक्र पर दोनों अंत बिंदु शामिल होते हैं।

			प्रत्येक शंकु खंड के लिए लैटस रेक्टम की लंबाई अलग-अलग निर्दिष्ट की जाती है:

			एक वृत्त में लैटस रेक्टम की लंबाई हमेशा एक वृत्त में व्यास की लंबाई के बराबर होती है।

			एक परवलय में लैटस रेक्टम की लंबाई फोकल लंबाई के चार गुना के बराबर होती है।

			हाइपरबोला में लैटस रेक्टम की लंबाई अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई के वर्ग के दोगुने और संयुग्मी अक्ष की लंबाई के बराबर होती है।

			== परिभाषा ==
			शंकु खंड में, लेटस रेक्टम फोकस के माध्यम से खींचा गया कॉर्ड है और डायरेक्ट्रिक्स के समानांतर है। लेटस शब्द लैटिन शब्द "लेटस" से लिया गया है जिसका अर्थ है पक्ष और "रेक्टम" शब्द का अर्थ है सीधा। लेटस रेक्टम का आधा हिस्सा सेमी-लेटस रेक्टम के रूप में जाना जाता है। नीचे दिया गया आरेख एक परवलय के लेटस रेक्टम को दर्शाता है।

			== परवलय के लैटस रेक्टम की लंबाई ==
			आइए हम परवलय y2= 4ax के लेटस रेक्टम की लंबाई को L और L’ के रूप में लें। L और L’ के x निर्देशांक “a” के बराबर हैं क्योंकि S = (a, 0)

			आइए हम मान लें L = (a, b)

			जैसा कि हम जानते हैं, L परवलय का बिंदु है। तदनुसार, हमारे पास है

			b2 = 4a (a) = 4a2

			बाएं और दाएं दोनों तरफ वर्गमूल लेने पर, हमें b बराबर ± 2a मिलता है

			इसलिए, परवलय के लेटस रेक्टम के सिरे L = (a, 2a) और L’ (a, -2a) हैं

			इस प्रकार, परवलय L L’’ के लेटस रेक्टम की लंबाई 4a है।

			== हाइपरबोला के लेटस रेक्टम की लंबाई ==
			हाइपरबोला के लेटस रेक्टम को दीर्घवृत्त और परवलय के मामले में सममित रूप से परिभाषित किया जाता है।

			परवलय के नाभि-रेक्टम के अंत को (ae, ± b2/ a2) कहा जाता है और नाभि-रेक्टम की लंबाई को 2b2/a कहा जाता है।

			table

			लेटस रेक्टम हल किए गए उदाहरण

			1. लेटस रेक्टम की लंबाई क्या होगी जिसका परवलय समीकरण y2= 12x है

			समाधान:

			y2 = 2x

			y2 = 4 (3) x

			चूँकि y2 = 4ax परवलय का समीकरण है, इसलिए हमें a का मान प्राप्त होता है।

			इसलिए, a=3 का मान

			इस प्रकार, परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 4a= 4(3) = 12 है।

			2. निम्नलिखित परवलय x2 = - 4y के लेटस रेक्टम की लंबाई क्या होगी।

			समाधान: ऊपर दिए गए समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि परवलय Y-अक्ष के बारे में सममित है और यह नीचे की ओर खुला है।

			x2 = - 4y

			x2 = - 4ay

			4a = 4

			इस प्रकार, दिए गए परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 4 इकाई है।

			3. निम्नलिखित परवलय x2- 2x + 8y + 17= 0 के लेटस रेक्टम की लंबाई की गणना करें।

			समाधान: a का मान निकालने के लिए, हम पहले उपरोक्त समीकरण को मानक रूप में बदलेंगे।

			x2 - 2x = - 8y -17= 0

			x2 - 2x (1) + 12 -12= - 8y -17

			(x - 1)2 = - 8y - 17 + 1

			(x - 1)2 = - 8y - 16

			(x - 1)2 = - 8 (y + 2)

			इस समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दिया गया परवलय y-अक्ष के बारे में सममित है और यह ऊपर की ओर खुला है।

			लेटस रेक्टम की लंबाई = 4a

			4a = 8

			इस प्रकार, दिए गए परवलय के लेटस रेक्टम की लंबाई 8 इकाई है।
	[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Ramamurthy: Category updated

2023-08-07T06:14:30Z

Category updated

← Older revision		Revision as of 11:44, 7 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Latus rectum		Latus rectum

	~~[[Category:ज्यामिति]]~~
	[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:13, 4 August 2023

2023-08-04T06:13:45Z

← Older revision		Revision as of 11:43, 4 August 2023
Line 2:		Line 2:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:41, 4 August 2023

2023-08-04T05:41:02Z

← Older revision		Revision as of 11:11, 4 August 2023
Line 2:		Line 2:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
	[[Category:शंकु परिच्छेद]]		[[Category:शंकु परिच्छेद]][[Category:कक्षा-11]]

Mani: added category

2023-04-24T11:09:18Z

added category

← Older revision		Revision as of 16:39, 24 April 2023
Line 2:		Line 2:

	[[Category:ज्यामिति]]		[[Category:ज्यामिति]]
			[[Category:शंकु परिच्छेद]]