निश्चित समकलनों के कुछ गुणधर्म - Revision history

Mani: formulas

2024-12-07T03:13:46Z

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← Older revision		Revision as of 08:43, 7 December 2024
Line 132:		Line 132:
	<math>L_2= \int_{k}^{2k} f(x)dx= \int_{k}^{0} f(2k-y)dy,</math> और		<math>L_2= \int_{k}^{2k} f(x)dx= \int_{k}^{0} f(2k-y)dy,</math> और

	~~गुण~~ 2 से हम जानते हैं कि		गुणधर्म 2 से हम जानते हैं कि

	<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=-\int_{j}^{k} f(x)g(x) </math>		<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=-\int_{j}^{k} f(x)g(x) </math>

	~~Using this property to the equation of L~~<~~sub~~>2</~~sub~~>, ~~we get~~		<math>L_2</math> के समीकरण में इस गुणधर्म का उपयोग करने पर, हमें

	L<~~sub~~>2</~~sub~~> ~~= -~~		<math>L_2=- \int_{0}^{k} f(2k-y)dy</math> प्राप्त होता है

	~~f(2k - y)dy~~		अब, गुणधर्म 1 का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है

	~~Now~~, ~~by using Property~~ 1~~, we get~~		<math>L_2= \int_{0}^{k} f(2k-x)dx,</math> समीकरण (1) में <math>L_2</math> के इस मान का उपयोग करके

	L<~~sub~~>2</~~sub~~> =		<math>\int_{k}^{2k} f(x)dx=L_1 +L_2 = \int_{0}^{k} f(x)dx+ \int_{0}^{k} f(2k-x)dx=</math>

	~~f(2k - x)dx~~ , ~~using this value of L<sub>2</sub> in the equation (1)~~		अतः, निश्चित समाकलनों के गुणधर्म 6 को इस प्रकार सिद्ध करते हैं।

	~~f(x)dx = L<sub>1</sub> + L<sub>2</sub> =~~

	~~f(x)dx +~~

	~~f(2k - x)dx~~

	~~Hence, proving the property~~ 6 ~~of the definite Integrals~~

	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: formulas

2024-12-07T03:06:06Z

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← Older revision		Revision as of 08:36, 7 December 2024
Line 112:		Line 112:

	=== गुणधर्म 6: ===		=== गुणधर्म 6: ===
	f(x)dx =		<math>\int_{0}^{2k} f(x)dx=\int_{0}^{k} f(x)dx+\int_{0}^{k} f(2k-x)dx...</math> यदि <math>f(2k-x)=f(x)</math>

	f(x)dx +

	f(2k - x)dx...~~..If~~ f(2k - x) = f(x)

	गुणधर्म 3 से हम जानते हैं कि		गुणधर्म 3 से हम जानते हैं कि

	f(x)g(x) = -		<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=-\int_{j}^{l} f(x)g(x),</math> साथ ही <math>\int_{j}^{l} f(x)g(x)=0</math>

	f(x)g(x), ~~also ,~~

	f(x)g(x) = 0

	~~इसलिए, इस गुणधर्म को लागू करके~~

	~~f(x)dx , we got~~

	~~f(x)dx =~~

	~~f(x)dx +~~

	~~f(x)dx , and after assuming~~

	~~f(x)dx = L<sub>1</sub> and~~

	~~f(x)dx = L<sub>2~~</~~sub~~>

	f(x)dx ~~= L<sub>1 +~~</~~sub~~> ~~L<sub>2</sub> …(1)~~		इसलिए, इस गुणधर्म <math>\int_{0}^{2k} f(x)dx,</math> को लागू करके हमें

	~~Now, letting, y~~ = (~~2k –~~ x) or x ~~= (2p – y~~), ~~so that dy = -dx~~		<math>\int_{0}^{2k} f(x)dx=\int_{0}^{k} f(x)dx+\int_{0}^{2k} f(x)dx,</math> प्राप्त हुआ , और मान लेने के बाद

	~~Also, note that when~~ x = p, ~~then y = p, but when~~ x = ~~2k, y = 0. Hence, L<sub>2~~</~~sub~~> ~~can be written as~~		<math>\int_{0}^{k} f(x)dx=L_1, </math> और <math>\int_{k}^{2k} f(x)dx=L_2</math>

	L<~~sub~~>2</~~sub~~> =		<math>\int_{0}^{2k} f(x)dx=L_1 + L_2...(1)</math>

	f(x)dx =		अब, चलो मानते हुए <math>y = (2k - x)</math> या <math>x = (2p - y),</math> इसलिए कि <math>dy = -dx</math>

	f(2k - y~~)dy~~ , ~~and~~		यह भी ध्यान रखें कि जब <math>x = p,</math> तो <math>y = p,</math> लेकिन जब <math>x = 2k, y = 0</math>। इसलिए, <math>L_2</math> को इस प्रकार लिखा जा सकता है

	~~From the Property 2~~, ~~we know that~~		<math>L_2= \int_{k}^{2k} f(x)dx= \int_{k}^{0} f(2k-y)dy,</math> और

	~~f(x)g(x) = -~~		गुण 2 से हम जानते हैं कि

	f(x)g(x)		<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=-\int_{j}^{k} f(x)g(x) </math>

	Using this property to the equation of L<sub>2</sub>, we get		Using this property to the equation of L<sub>2</sub>, we get

Mani: formulas

2024-12-07T02:39:37Z

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← Older revision		Revision as of 08:09, 7 December 2024
Line 42:		Line 42:
	\|}		\|}

	=== निश्चित समाकलन के ~~प्रमाण~~ प्रमाण ===		=== निश्चित समाकलन के प्रमाण ===

	=== गुणधर्म 1: ===		=== गुणधर्म 1: ===
Line 59:		Line 59:

	=== गुणधर्म 3 : ===		=== गुणधर्म 3 : ===
	f(x)dx =		<math>\int_{j}^{k} f(x)dx=\int_{j}^{l} f(x)dx+\int_{l}^{k} f(x)dx</math>

	f~~(x)dx +~~		यदि <math>f </math> का प्रतिअवकलज <math>f' </math> है, तो इसे प्राप्त करने के लिए कलन का दूसरा मूलभूत प्रमेय लागू किया जाता है

	f(x)dx		<math>\int_{j}^{k} f(x)dx=f'(k)-f'(j)....(1) </math>

	~~यदि~~ f का प्रतिअवकलज f’ है, तो इसे प्राप्त करने के लिए कलन का दूसरा मूलभूत प्रमेय लागू किया जाता है		<math>\int_{j}^{l} f(x)dx=f'(l)-f'(j)....(2) </math>

	f(x)dx = f’ ( k ) - f’ ( j ) . . . . . ( 1 )		<math>\int_{l}^{k} f(x)dx=f'(k)-f'(l)....(3) </math>

	f(~~x)dx = f’ ( l ) - f’ ( j~~ ) ~~. . . . .~~ ( 2 )		समीकरण <math>(2) </math> और <math>(3) </math>को जोड़ने पर , हमें प्राप्त होता है :

	~~f(x)dx = f’ ( k ) - f’ (~~ l ~~) . . . . . ( 3 )~~		<math>\int_{j}^{l} f(x)dx+ \int_{l}^{k} f(x)dx=f'(l)-f'(j)+f'(k)-f'(l)=f'(k)-f'(k)=\int_{j}^{k} f(x)dx </math>

	~~समीकरण ( 2) और ( 3 ) को जोड़ने पर , हमें प्राप्त होता है :~~

	f(x)dx +

	f(x)dx = f’ ( l ) - f’ ( j ) + f’ ( k ) - f’ ( l ) = f’ ( k ) - f’ ( k ) =

	f(x)dx

	=== गुणधर्म 4: ===		=== गुणधर्म 4: ===
	f(x)g(x) =f(j + k - x)g(x)		<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=\int_{j}^{k} f(j+k-x)g(x)</math>

	मान लीजिए , m = ( j + k - x ), or x = ( j + k – m), ताकि dt = – dx … (4)		मान लीजिए ,<math>m = ( j + k - x ), </math> या <math>x = ( j + k - m), </math> ताकि <math>dt = -dx...(4) </math>

	साथ ही, ध्यान दें कि जब x = j, m = k और जब x = k, m = j. इसलिए, जब हम x को m से प्रतिस्थापित करेंगे तो इसे से प्रतिस्थापित कर दिया जाएगा।		साथ ही, ध्यान दें कि जब <math>x = j, m = k </math> और जब <math>x = k, m = j </math> । इसलिए, जब हम <math>x</math> को <math>m </math> से प्रतिस्थापित करेंगे तो इसे <math>\int_{k}^{j} </math>से प्रतिस्थापित कर दिया जाएगा। अतः, <math>\int_{j}^{k} f(x)dx= -\int_{j}^{k} f(j+k-m)dm </math> समीकरण (4) से

	~~अतः,~~		गुणधर्म 2 से हम जानते हैं कि <math>\int_{j}^{k} f(x)dx=-\int_{j}^{k} f(x)dx </math> ।

	~~f(x)dx = -~~		इस गुणधर्म का उपयोग करें, <math>\int_{j}^{k} f(x)dx=-\int_{j}^{k} f(j+k-x)dx</math> प्राप्त करने के लिए

	~~f ( j + k - m ) dm …समीकरण (4) से~~

	~~गुणधर्म 2 से हम जानते हैं कि~~

	~~f ( x ) dx = -~~

	~~f ( x ) dx.~~ इस गुणधर्म का उपयोग करें, ~~प्राप्त करने के लिए~~

	f ( x ) dx = -

	f ( j + k - m ) dx

	अब गुणधर्म 1 का उपयोग करें		अब गुणधर्म 1 का उपयोग करें

	f ( x ) dx =		<math>\int_{j}^{k} f(x)dx=\int_{j}^{k} f(j+k-x)dx</math>

	f ( j + k – x ) dx

	=== गुणधर्म 5: ===		=== गुणधर्म 5: ===
	f(x)g(x) =		<math>\int_{o}^{k} f(x)g(x)=\int_{j}^{k} f(k-x)g(x)</math>

	f(k - x)g(x)

	~~मान लीजिए, m = ( j - m ) or x = ( k – m ), ताकि dm = – dx…(5)~~

	~~साथ ही यह भी देखें कि जब x = 0, m = j और जब x = j, m = 0.~~

	So, ~~will be replaced by when we replace~~ x by m.		मान लीजिए, <math>m = ( j - m)</math> या <math>x = ( k - m ),</math> ताकि <math>dm = - dx...(5)</math>

	~~अतः~~,		साथ ही यह भी देखें कि जब <math>x = 0, m = j</math> और जब <math>x = j, m = 0</math>

	~~f (~~ x ~~) dx = -~~		अतः जब हम <math>x</math> के स्थान पर <math>m </math> रखेंगे तो <math>\int_{0}^{j} </math> के स्थान पर <math>\int_{0}^{j} </math> आ जाएगा।

	f ( j - m ) dx समीकरण ( 5 ) से		अतः, <math>\int_{0}^{j}f(x)dx=-\int_{0}^{j}f(j-m)dx </math> समीकरण ( 5 ) से

	गुणधर्म 2 से हम जानते हैं कि		गुणधर्म 2 से हम जानते हैं कि

	f ( x ) dx = -		<math>\int_{j}^{k} f(x)dx=-\int_{j}^{k} f(x)dx </math>

	f ( x ) dx~~. इस गुणधर्म का उपयोग करें, प्राप्त करने के लिए~~

	~~f(x)dx =~~

	~~f ( j - m ) dm~~		इस गुणधर्म का उपयोग करें, प्राप्त करने के लिए

	~~अब गुणधर्म 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है,~~		<math>\int_{0}^{j}f(x)dx=\int_{0}^{j}f(j-m)dx </math>

	~~f ( x ) dx =~~		अब गुणधर्म 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है,

	f( j - x ) dx		<math>\int_{0}^{j}f(x)dx=\int_{0}^{j}f(j-x)dx </math>

	=== गुणधर्म 6: ===		=== गुणधर्म 6: ===

Mani: formulas

2024-12-07T01:58:08Z

formulas

← Older revision		Revision as of 07:28, 7 December 2024
Line 2:		Line 2:

	== निश्चित समाकलन परिभाषा ==		== निश्चित समाकलन परिभाषा ==
	एक समाकलन को निश्चित समाकलन तभी कहा जाता है जब इसकी ऊपरी और निचली सीमाएँ हों। गणित में, कई निश्चित समाकलन सूत्र और ~~गुण~~ हैं जिनका प्रायः उपयोग किया जाता है। एक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, आपको स्वतंत्र चर की निर्दिष्ट ऊपरी और निचली सीमा पर समाकलन के मानों के बीच अंतर ज्ञात करना होगा और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:		एक समाकलन को निश्चित समाकलन तभी कहा जाता है जब इसकी ऊपरी और निचली सीमाएँ हों। गणित में, कई निश्चित समाकलन सूत्र और गुणधर्म हैं जिनका प्रायः उपयोग किया जाता है। एक निश्चित समाकलन का मान ज्ञात करने के लिए, आपको स्वतंत्र चर की निर्दिष्ट ऊपरी और निचली सीमा पर समाकलन के मानों के बीच अंतर ज्ञात करना होगा और इसे इस प्रकार दर्शाया जाता है:

	<math>{\int_{a}^{b} }dx</math>		<math>{\int_{a}^{b} }dx</math>
Line 8:		Line 8:
	नीचे निश्चित समाकल के सभी मूल गुणों की सूची दी गई है। यह आपको उदाहरणों के साथ निश्चित समाकल के कुछ गुणों को आसानी से संशोधित करने में सहायता करता है।		नीचे निश्चित समाकल के सभी मूल गुणों की सूची दी गई है। यह आपको उदाहरणों के साथ निश्चित समाकल के कुछ गुणों को आसानी से संशोधित करने में सहायता करता है।

	यहाँ सम और विषम के लिए निश्चित समाकल के ~~गुण~~ दिए गए हैं। इन गुणों के साथ, आप निश्चित समाकल ~~गुण~~ समस्याओं को हल कर सकते हैं।		यहाँ सम और विषम के लिए निश्चित समाकल के गुणधर्म दिए गए हैं। इन गुणों के साथ, आप निश्चित समाकल गुणधर्म समस्याओं को हल कर सकते हैं।

	== निश्चित समाकल के गुणधर्म ==		== निश्चित समाकल के गुणधर्म ==
Line 38:		Line 38:
	\|-		\|-
	\|गुणधर्म 8		\|गुणधर्म 8
	\|		\|<math>\int_{-k}^{k} f(x)dx=2\int_{0}^{x} f(x)dx...</math>यदि <math>(-x)=f(x)</math> या यह एक सम फलन है
			<math>\int_{-k}^{k} f(x)dx==0...</math>यदि <math>f(2k-x)=f(x)</math> या यह एक विषम फलन है
	\|}		\|}

	=== निश्चित समाकलन के प्रमाण प्रमाण ===		=== निश्चित समाकलन के प्रमाण प्रमाण ===

	=== ~~गुण~~ 1: ===		=== गुणधर्म 1: ===
			<math>\int_{j}^{k} f(x)dx=\int_{j}^{k} f(t)dt</math>

	~~f(x)dx =~~		एक सरल गुणधर्म जिसमें आपको केवल अक्षर <math>x</math> को <math>t</math> से बदलना होगा।

	~~f(t)dt~~

	एक सरल ~~गुण~~ जिसमें आपको केवल अक्षर x को t से बदलना होगा।

	~~=== गुण 2 : ===~~
	~~f(x)g(x) = -~~

	~~f(x)g(x) , also~~

	f(x)g(x) = 0		=== गुणधर्म 2 : ===
			<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=-\int_{j}^{k}f(x)g(x),</math> और <math>\int_{k}^{j} f(x)g(x)=0</math>

	विचार कीजिये, m =		विचार कीजिये, <math>m=\int_{j}^{k} f(x)g(x)</math>

	~~f(x)g(x)~~		यदि <math>f </math> का प्रतिअवकलज <math>f' </math> है, तो <math>m= f'( k ) - f'( j ) = -f'( j ) -f'( k ) =\int_{j}^{k} xdx </math> प्राप्त करने के लिए कलन का दूसरा मूलभूत प्रमेय लागू किया जाता है

	यदि f का प्रतिअवकलज f’ है, तो m= f’ ( k ) - f’ ( j ) = - f′( j ) - f′( k ) =xdx प्राप्त करने के लिए कलन का दूसरा मूलभूत प्रमेय लागू किया जाता है

	~~इसके अलावा, यदि j = k, तो m = f’ ( k ) - f’ ( j ) = - f′( j ) - f′( j ) = 0.~~

	~~अतः,~~

	f(x)g(x) = 0		इसके अलावा, यदि <math>j = k, </math> तो <math>m= f'( k ) - f'( j ) = -f'( j ) -f'( j ) =0 </math> अतः, <math>\int_{k}^{j} f(x)g(x)=0</math>

	=== ~~गुण~~ 3 : ===		=== गुणधर्म 3 : ===
	f(x)dx =		f(x)dx =

Line 93:		Line 81:
	f(x)dx		f(x)dx

	=== ~~'''गुण~~ 4:~~'''~~ ===		=== गुणधर्म 4: ===
	f(x)g(x) =f(j + k - x)g(x)		f(x)g(x) =f(j + k - x)g(x)

Line 116:		Line 104:
	f ( j + k - m ) dx		f ( j + k - m ) dx

	अब ~~गुण~~ 1 का उपयोग करें		अब गुणधर्म 1 का उपयोग करें

	f ( x ) dx =		f ( x ) dx =
Line 122:		Line 110:
	f ( j + k – x ) dx		f ( j + k – x ) dx

	=== ~~'''गुण~~ 5:~~'''~~ ===		=== गुणधर्म 5: ===
	f(x)g(x) =		f(x)g(x) =

Line 149:		Line 137:
	f ( j - m ) dm		f ( j - m ) dm

	अब ~~गुण~~ 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है,		अब गुणधर्म 1 का उपयोग करने पर, हमें प्राप्त होता है,

	f ( x ) dx =		f ( x ) dx =
Line 155:		Line 143:
	f( j - x ) dx		f( j - x ) dx

	=== ~~'''गुण~~ 6:~~'''~~ ===		=== गुणधर्म 6: ===
	f(x)dx =		f(x)dx =

Line 170:		Line 158:
	f(x)g(x) = 0		f(x)g(x) = 0

	इसलिए, इस ~~गुण~~ को लागू करके		इसलिए, इस गुणधर्म को लागू करके

	f(x)dx , we got		f(x)dx , we got

Mani: formulas

2024-12-07T01:39:33Z

formulas

← Older revision		Revision as of 07:09, 7 December 2024
Line 12:		Line 12:
	== निश्चित समाकल के गुणधर्म ==		== निश्चित समाकल के गुणधर्म ==
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	!		!गुणधर्म
	!		!विवरण
	\|-		\|-
	\|		\|गुणधर्म 1
	\|		\|<math>\int_{j}^{k} f(x)dx=\int_{j}^{k} f(t)dt</math>
	\|-		\|-
	\|		\|गुणधर्म 2
	\|		\|<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=-\int_{j}^{k}f(x)g(x),</math> और <math>\int_{k}^{j} f(x)g(x)=0</math>
	\|-		\|-
	\|		\|गुणधर्म 3
	\|		\|<math>\int_{j}^{k} f(x)dx=\int_{j}^{l} f(x)dx+\int_{l}^{k} f(x)dx</math>
	\|-		\|-
	\|		\|गुणधर्म 4
	\|		\|<math>\int_{j}^{k} f(x)g(x)=\int_{j}^{k} f(j+k-x)g(x)</math>
	\|-		\|-
	\|		\|गुणधर्म 5
	\|		\|<math>\int_{o}^{k} f(x)g(x)=\int_{j}^{k} f(k-x)g(x)</math>
	\|-		\|-
	\|		\|गुणधर्म 6
	\|		\|<math>\int_{0}^{2k} f(x)dx=\int_{0}^{k} f(x)dx+\int_{0}^{k} f(2k-x)dx...</math>यदि <math>f(2k-x)=f(x)</math>
	\|-		\|-
	\|		\|गुणधर्म 7
			\|<math>\int_{0}^{2} dx=2\int_{0}^{x} f(x)dx...</math> यदि <math>f(2k-x)=f(x)</math>
			<math>\int_{0}^{2} f(x)dx=0...</math> यदि <math>f(2k-x)=f(x)</math>
			\|-
			\|गुणधर्म 8
	\|		\|
	\|}		\|}

Mani at 01:03, 7 December 2024

2024-12-07T01:03:21Z

← Older revision		Revision as of 06:33, 7 December 2024
Line 47:		Line 47:
	एक सरल गुण जिसमें आपको केवल अक्षर x को t से बदलना होगा।		एक सरल गुण जिसमें आपको केवल अक्षर x को t से बदलना होगा।

	== गुण 2 : ==		=== गुण 2 : ===
	f(x)g(x) = -		f(x)g(x) = -

Mani: added content

2024-12-07T01:03:01Z

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2024-12-06T12:01:49Z

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Mani: Updated Category

2023-08-07T08:11:51Z

Updated Category

← Older revision		Revision as of 13:41, 7 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Some Properties Definite Integrals		Some Properties Definite Integrals

	~~[[Category:कलन]]~~
	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:24, 4 August 2023

2023-08-04T06:24:30Z

← Older revision		Revision as of 11:54, 4 August 2023
Line 2:		Line 2:

	[[Category:कलन]]		[[Category:कलन]]
	[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]]		[[Category:समाकलन]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]