परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ - Revision history

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-09-18T07:21:30Z

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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित अर्थात सीमित पद होते हैं, उन्हें हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद सदैव होता है ।		जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित अर्थात सीमित पद होते हैं, उन्हें हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद सदैव होता है ।

Mani at 08:43, 16 September 2023

2023-09-16T08:43:42Z

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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित अर्थात सीमित पद होते हैं, उन्हें हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय ~~श्रेढ़ीयो~~ के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय ~~श्रेढ़ीयो~~ के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद सदैव होता है ।		जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित अर्थात सीमित पद होते हैं, उन्हें हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय श्रेढ़ीयों के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद सदैव होता है ।

	=== उदाहरण ===		=== उदाहरण ===
Line 8:		Line 8:
	# <math>6,12,18,24,30,36</math>		# <math>6,12,18,24,30,36</math>

	उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर ~~श्रेढ़ीयो~~ का प्रथम पद क्रमशः <math>5</math> तथा <math>6</math> एवं सार्व अंतर <math>2 </math> तथा <math>6</math> है ,तथा इन ~~श्रेढ़ीयो~~ में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इन ~~श्रेढ़ीयो~~ को हम परिमित समांतर ~~श्रेढियां~~ कहेंगे ।		उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयों का प्रथम पद क्रमशः <math>5</math> तथा <math>6</math> एवं सार्व अंतर <math>2 </math> तथा <math>6</math> है ,तथा इन श्रेढ़ीयों में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयों को हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहेंगे ।

	== परिमित समांतर ~~श्रेढ़ीयो~~ के योग के लिए सूत्र ==		== परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के योग के लिए सूत्र ==
	परिमित समांतर ~~श्रेढ़ीयो~~ के योग के लिए सूत्र निम्नवत है		परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के योग के लिए सूत्र निम्नवत है

	<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>		<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>
Line 26:		Line 26:
	परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग ज्ञात करें <math>5,18, 31, 44, 57, 70</math>		परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग ज्ञात करें <math>5,18, 31, 44, 57, 70</math>

	हल		'''हल'''

	पहला पद <math>a=5</math>		पहला पद <math>a=5</math>
Line 34:		Line 34:
	पदों की संख्या <math>n=6</math>		पदों की संख्या <math>n=6</math>

	परिमित समांतर ~~श्रेढ़ीयो~~ के सूत्र द्वारा ,		परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के सूत्र द्वारा ,

	<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>		<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>
Line 51:		Line 51:
	प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।		प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।

	हल		'''हल'''

	प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांक है <math>1,2,3,4,5,6,7,......., 500</math>		प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांक है <math>1,2,3,4,5,6,7,......., 500</math>
Line 63:		Line 63:
	पदों की संख्या <math>n=500</math>		पदों की संख्या <math>n=500</math>

	परिमित समांतर ~~श्रेढ़ीयो~~ के सूत्र द्वारा ,		परिमित समांतर श्रेढ़ीयों के सूत्र द्वारा ,

	<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>		<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>

Jaya agarwal: /* उदाहरण 1 */

2023-09-16T07:17:45Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 12:47, 16 September 2023
Line 34:		Line 34:
	पदों की संख्या <math>n=6</math>		पदों की संख्या <math>n=6</math>

	सूत्र ,		परिमित समांतर श्रेढ़ीयो के सूत्र द्वारा ,

	<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>		<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>
Line 63:		Line 63:
	पदों की संख्या <math>n=500</math>		पदों की संख्या <math>n=500</math>

	सूत्र ,		परिमित समांतर श्रेढ़ीयो के सूत्र द्वारा ,

	<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>		<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>

Ramamurthy: /* उदाहरण 1 */

2023-09-16T07:15:53Z

उदाहरण 1

← Older revision		Revision as of 12:45, 16 September 2023
Line 34:		Line 34:
	पदों की संख्या <math>n=6</math>		पदों की संख्या <math>n=6</math>

	सूत्र , <math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>		सूत्र ,

			<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>

	<math>S_n=\frac{6}{2}(5+70)</math>		<math>S_n=\frac{6}{2}(5+70)</math>
Line 61:		Line 63:
	पदों की संख्या <math>n=500</math>		पदों की संख्या <math>n=500</math>

	सूत्र , <math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>		सूत्र ,

			<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>

	<math>S_n=\frac{500}{2}(1+500)</math>		<math>S_n=\frac{500}{2}(1+500)</math>

Jaya agarwal at 06:12, 16 September 2023

2023-09-16T06:12:57Z

← Older revision		Revision as of 11:42, 16 September 2023
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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित पद होते हैं, उन्हें हम समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय ~~श्रेढ़ीयाँ~~ के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय ~~श्रेणियो~~ के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर ~~श्रेणी~~ में अंतिम पद सदैव होता है ।		जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित अर्थात सीमित पद होते हैं, उन्हें हम परिमित समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय श्रेढ़ीयो के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय श्रेढ़ीयो के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेढ़ी में अंतिम पद सदैव होता है ।

	=== उदाहरण- ===		=== उदाहरण ===
	1). 5,7,9,11,13,15 ( इस उदाहरण में समांतर श्रेणी का प्रथम पद 5 तथा सार्व अंतर 2( 7-5=2) है ,तथा इस श्रेणी में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इस श्रेणी को हम परिमित समांतर श्रेणी कहेंगे । )

	~~2).~~ 6,12,18,24,30 ~~( इस उदाहरण में समांतर श्रेणी का प्रथम पद 6 तथा सार्व अंतर 6( 12-6=6) है~~ ,तथा इस श्रेणी में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इस श्रेणी को हम परिमित समांतर श्रेणी कहेंगे । )		# <math>5,7,9,11,13,15</math>
			# <math>6,12,18,24,30,36</math>

	== परिमित ~~समांतर श्रेणियो~~ ~~के योग के लिए सूत्र ==~~		उपर्युक्त उदाहरणो में समांतर श्रेढ़ीयो का प्रथम पद क्रमशः <math>5</math> तथा <math>6</math> एवं सार्व अंतर <math>2 </math> तथा <math>6</math> है ,तथा इन श्रेढ़ीयो में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इन श्रेढ़ीयो को हम परिमित समांतर श्रेढियां कहेंगे ।
	परिमित समांतर ~~श्रेणियो~~ ~~के योग के लिए सूत्र निम्नवत है-~~

	~~S<sub>n</sub>~~= ~~n/2[ a + l ]~~		== परिमित समांतर श्रेढ़ीयो के योग के लिए सूत्र ==
			परिमित समांतर श्रेढ़ीयो के योग के लिए सूत्र निम्नवत है

	Sn = ~~परिमित समांतर श्रेणी के पदों का योग~~		<math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>

	a = ~~पहला पद ( first term)~~		<math>S_n=</math> परिमित समांतर श्रेढ़ी के पदों का योग

	l = ~~अंतिम~~ पद ~~( last term)~~		<math>a=</math> पहला पद

	n = ~~पदों की संख्या (number of terms)~~		<math>l=</math> अंतिम पद

	=~~== उदाहरण – ===~~		<math>n=</math> पदों की संख्या
	~~1).~~ ~~परिमित समांतर श्रेणी का योग ज्ञात करें- 5,18, 31, 44, 57, 70.~~

	~~हल- a~~ = ~~पहला पद ( first term)~~ = 5		=== उदाहरण 1 ===
			परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग ज्ञात करें <math>5,18, 31, 44, 57, 70</math>

	~~l = अंतिम पद ( last term) = 70~~		हल

	n = ~~पदों की संख्या~~ ~~(number of terms) = 6~~		पहला पद <math>a=5</math>

	~~सूत्र -: S~~<~~sub~~>n</~~sub~~>~~= n/2[ a + l ]~~		अंतिम पद <math>l=70</math>

	~~मान रखने पर ,~~		पदों की संख्या <math>n=6</math>

	= 6/2 ~~[ 5~~+~~70]~~		सूत्र , <math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>

	= ~~3 × 75~~		<math>S_n=\frac{6}{2}(5+70)</math>

	= ~~225~~		<math>S_n=3(5+70)</math>

	अतः , उपर्युक्त परिमित समांतर ~~श्रेणी~~ का योग 225 है ।		<math>S_n=3(75)</math>

			<math>S_n=225</math>

			अतः , उपर्युक्त परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग <math>225</math> है ।

			=== उदाहरण 2 ===
			प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।

			हल

			प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांक है <math>1,2,3,4,5,6,7,......., 500</math>

			प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग होगा <math>1+2+3+4+5+6+7+.......+ 500</math>

			पहला पद <math>a=1</math>

			अंतिम पद <math>l=500</math>

			पदों की संख्या <math>n=500</math>

			सूत्र , <math>S_n=\frac{n}{2}(a+l)</math>

			<math>S_n=\frac{500}{2}(1+500)</math>

			<math>S_n=250(1+500)</math>

			<math>S_n=250(501)</math>

			<math>S_n=125250</math>

			अतः , प्रथम <math>500</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग <math>125250</math> है ।

	== अभ्यास प्रश्न ==		== अभ्यास प्रश्न ==

	# किसी परिमित समांतर ~~श्रेणी~~ का योग 220 है , तथा उसका पहला पद 5 और अंतिम पद 105 है, ~~तो उसे~~ परिमित समांतर ~~श्रेणी~~ में पदों की संख्या ज्ञात करें ?		# किसी परिमित समांतर श्रेढ़ी का योग <math>220</math> है , तथा उसका पहला पद <math>5</math> और अंतिम पद <math>105</math> है, उस परिमित समांतर श्रेढ़ी में पदों की संख्या ज्ञात करें ?
			# प्रथम <math>n</math> धनात्मक पूर्णांकों का योग ज्ञात कीजिए ।

Jaya agarwal at 07:17, 15 September 2023

2023-09-15T07:17:18Z

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 [[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
-परिमित समांतर श्रेणियो की इकाई शुरू करने के पूर्व, आईए हम जानते हैं समांतर  श्रेणियो के बारे में-
+जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेढ़ीयाँ जिसमे परिमित पद होते हैं, उन्हें हम समांतर श्रेढ़ीयाँ कहते हैं । अंकगणितीय श्रेढ़ीयाँ के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय श्रेणियो के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेणी में अंतिम पद सदैव होता है ।
 === उदाहरण- ===

Jaya agarwal at 08:58, 10 September 2023

2023-09-10T08:58:47Z

← Older revision		Revision as of 14:28, 10 September 2023
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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~Finite Arithmetic Progressions~~		परिमित समांतर श्रेणियो की इकाई शुरू करने के पूर्व, आईए हम जानते हैं समांतर श्रेणियो के बारे में-

			संख्याओं का एक क्रम या श्रृंखला , जिसमें दो क्रमागत संख्याओं ( consecutive terms) के बीच का सामान्य अंतर (common difference) स्थिर ( constant) रहता है,ऐसी क्रम या श्रृंखला को हम अर्थमैटिक प्रोग्रेशन ( arithmetic progression) कहते हैं ।

			=== उदाहरण – ===
			1. 1 ,3, 5, 7 ,9, 11 …….

			2. 2, 4, 6, 8, 10, 12 …….

			उपर्युक्त उदाहरणों में, प्रत्येक अगला पद पूर्ववर्ती पद में एक निश्चित संख्या जोड़कर प्राप्त किया गया है। उपर्युक्त उदाहरणों में दो क्रमागत पदों का अंतर नियत (constant) है ,अतः यह समांतर श्रेणी ( arithmetic progression) का उदाहरण है।

			सामान्यतः, हमने समांतर श्रेणियो को दो भाग में विभाजित किया है,- 1). परिमित समांतर श्रेणियां

			2). अपरिमित समांतर श्रेणियां

			== परिभाषा ==
			जैसा कि हमें नाम से ही स्पष्ट है, ऐसी समांतर श्रेणियां जिसमे परिमित पद होते हैं, उन्हें हम समांतर श्रेणियां कहते हैं । अंकगणितीय श्रेणियो के एक सीमित भाग को परिमित अंकगणितीय श्रेणियो के अंतर्गत रखा जाता है । एक परिमित समांतर श्रेणी में अंतिम पद सदैव होता है ।

			=== उदाहरण- ===
			1). 5,7,9,11,13,15 ( इस उदाहरण में समांतर श्रेणी का प्रथम पद 5 तथा सार्व अंतर 2( 7-5=2) है ,तथा इस श्रेणी में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इस श्रेणी को हम परिमित समांतर श्रेणी कहेंगे । )

			2). 6,12,18,24,30 ( इस उदाहरण में समांतर श्रेणी का प्रथम पद 6 तथा सार्व अंतर 6( 12-6=6) है ,तथा इस श्रेणी में सीमित अर्थात परिमित पद है, इसलिए इस श्रेणी को हम परिमित समांतर श्रेणी कहेंगे । )

			== परिमित समांतर श्रेणियो के योग के लिए सूत्र ==
			परिमित समांतर श्रेणियो के योग के लिए सूत्र निम्नवत है-

			S<sub>n</sub>= n/2[ a + l ]

			Sn = परिमित समांतर श्रेणी के पदों का योग

			a = पहला पद ( first term)

			l = अंतिम पद ( last term)

			n = पदों की संख्या (number of terms)

			=== उदाहरण – ===
			1). परिमित समांतर श्रेणी का योग ज्ञात करें- 5,18, 31, 44, 57, 70.

			हल- a = पहला पद ( first term) = 5

			l = अंतिम पद ( last term) = 70

			n = पदों की संख्या (number of terms) = 6

			सूत्र -: S<sub>n</sub>= n/2[ a + l ]

			मान रखने पर ,

			= 6/2 [ 5+70]

			= 3 × 75

			= 225

			अतः , उपर्युक्त परिमित समांतर श्रेणी का योग 225 है ।

			== अभ्यास प्रश्न ==

			# किसी परिमित समांतर श्रेणी का योग 220 है , तथा उसका पहला पद 5 और अंतिम पद 105 है, तो उसे परिमित समांतर श्रेणी में पदों की संख्या ज्ञात करें ?

Mani at 05:48, 21 August 2023

2023-08-21T05:48:25Z

← Older revision		Revision as of 11:18, 21 August 2023
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	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			Finite Arithmetic Progressions

Mani: Updated Category

2023-08-04T12:26:31Z

Updated Category

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	~~[[Category:अंकगणित]]~~
	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Sarika at 05:35, 4 August 2023

2023-08-04T05:35:13Z

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	[[Category:अंकगणित]]		[[Category:अंकगणित]]
	[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]]		[[Category:समांतर श्रेढ़ीयाँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]