पूर्णांक - Revision history

Ramamurthy at 14:24, 26 September 2024

2024-09-26T14:24:13Z

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	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==
	[[Category:संख्या पद्धति]][[Category:~~कक्षा-9~~]][[Category:~~गणित~~]][[Category:गणित]]		[[Category:संख्या पद्धति]]
			[[Category:गणित]]
			[[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
	[[Category:Vidyalaya Completed]]		[[Category:Vidyalaya Completed]]

Shikha: added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

2023-10-10T07:50:28Z

added Category:Vidyalaya Completed using HotCat

← Older revision		Revision as of 13:20, 10 October 2023
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	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==
	[[Category:संख्या पद्धति]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]		[[Category:संख्या पद्धति]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]

Mani at 15:31, 3 October 2023

2023-10-03T15:31:21Z

← Older revision		Revision as of 21:01, 3 October 2023
Line 14:		Line 14:
	पूर्णांकों पर चार संक्रियाए- जोड़, घटाव, गुणा और भाग हम कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप पूर्णांकों की चार मुख्य विशेषताएँ <ref>{{Cite web\|url=https://www-vedantu-com.translate.goog/maths/properties-of-integers?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=hi&_x_tr_hl=hi&_x_tr_pto=tc&_x_tr_hist=true\|title=पूर्णांकों के गुण}}</ref>प्राप्त होती हैं, जिन्हें नीचे दर्शाया गया है ;		पूर्णांकों पर चार संक्रियाए- जोड़, घटाव, गुणा और भाग हम कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप पूर्णांकों की चार मुख्य विशेषताएँ <ref>{{Cite web\|url=https://www-vedantu-com.translate.goog/maths/properties-of-integers?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=hi&_x_tr_hl=hi&_x_tr_pto=tc&_x_tr_hist=true\|title=पूर्णांकों के गुण}}</ref>प्राप्त होती हैं, जिन्हें नीचे दर्शाया गया है ;

	# ~~समापन~~ गुण		# संवृत गुण
	# क्रमचयी गुण		# क्रमचयी गुण
	# साहचर्य गुण		# साहचर्य गुण
	# वितरणात्मक गुण		# वितरणात्मक गुण
	# ~~पहचान~~ गुण		# तत्समक गुण

	=== ~~समापन~~ गुण ===		=== संवृत गुण ===
	जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का ~~समापन~~ गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।		जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का संवृत गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।

	'''उदाहरण'''		'''उदाहरण'''
Line 108:		Line 108:
	<math>48=48</math>		<math>48=48</math>

	=== ~~पहचान~~ गुण ===		=== तत्समक गुण ===
	जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।		जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।

Line 115:		Line 115:
	<math>999+0=999</math>		<math>999+0=999</math>

	पूर्णांकों के लिए गुणक ~~पहचान~~ गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या <math>1</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , <math>1</math> को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 1 = p </math> होगा ।		पूर्णांकों के लिए गुणक तत्समक गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या <math>1</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , <math>1</math> को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 1 = p </math> होगा ।

	'''उदाहरण'''		'''उदाहरण'''

Mani at 14:29, 3 October 2023

2023-10-03T14:29:59Z

← Older revision		Revision as of 19:59, 3 October 2023
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	पूर्णांक पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक मानों का संग्रह हैं । पूर्णांकों में भिन्न संख्याएँ ~~शामिल~~ नहीं होती हैं अर्थात उन्हें <math>\frac{a}{b}</math> रूप में नहीं लिखा जा सकता है । पूर्णांकों की सीमा ऋणात्मक सिरे पर <math>\infty</math> से लेकर धनात्मक सिरे पर <math>\infty</math> तक होती है, जिसमें शून्य <math>(0)</math> भी ~~शामिल~~ है। पूर्णांकों को प्रतीक <math>Z</math> द्वारा दर्शाया जाता है ।		पूर्णांक पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक मानों का संग्रह हैं । पूर्णांकों में भिन्न संख्याएँ सम्मिलित नहीं होती हैं, अर्थात उन्हें <math>\frac{a}{b}</math> रूप में नहीं लिखा जा सकता है । पूर्णांकों की सीमा ऋणात्मक सिरे पर <math>\infty</math> से लेकर धनात्मक सिरे पर <math>\infty</math> तक होती है, जिसमें शून्य <math>(0)</math> भी सम्मिलित है। पूर्णांकों को प्रतीक <math>Z</math> द्वारा दर्शाया जाता है ।

	उदाहरण : <math>-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 </math> आदि सभी पूर्णांकों के उदाहरण हैं ।		उदाहरण : <math>-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 </math> आदि सभी पूर्णांकों के उदाहरण हैं ।
Line 14:		Line 14:
	पूर्णांकों पर चार संक्रियाए- जोड़, घटाव, गुणा और भाग हम कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप पूर्णांकों की चार मुख्य विशेषताएँ <ref>{{Cite web\|url=https://www-vedantu-com.translate.goog/maths/properties-of-integers?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=hi&_x_tr_hl=hi&_x_tr_pto=tc&_x_tr_hist=true\|title=पूर्णांकों के गुण}}</ref>प्राप्त होती हैं, जिन्हें नीचे दर्शाया गया है ;		पूर्णांकों पर चार संक्रियाए- जोड़, घटाव, गुणा और भाग हम कर सकते हैं , जिसके परिणामस्वरूप पूर्णांकों की चार मुख्य विशेषताएँ <ref>{{Cite web\|url=https://www-vedantu-com.translate.goog/maths/properties-of-integers?_x_tr_sl=en&_x_tr_tl=hi&_x_tr_hl=hi&_x_tr_pto=tc&_x_tr_hist=true\|title=पूर्णांकों के गुण}}</ref>प्राप्त होती हैं, जिन्हें नीचे दर्शाया गया है ;

	# समापन ~~संपत्ति~~		# समापन गुण
	# क्रमचयी ~~संपत्ति~~		# क्रमचयी गुण
	# साहचर्य ~~संपत्ति~~		# साहचर्य गुण
	# वितरणात्मक ~~संपत्ति~~		# वितरणात्मक गुण
	# पहचान ~~संपत्ति~~		# पहचान गुण

	=== समापन ~~संपत्ति~~ ===		=== समापन गुण ===
	जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।		जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।

Line 43:		Line 43:
	<math>\frac{6}{4}=\frac{3}{2}</math> जो एक पूर्णांक नहीं है ।		<math>\frac{6}{4}=\frac{3}{2}</math> जो एक पूर्णांक नहीं है ।

	=== क्रमचयी ~~संपत्ति~~ ===		=== क्रमचयी गुण ===
	यदि संख्याओं का क्रम बदल दिया जाए, तो भी दो पूर्णांकों का योग या गुणनफल वही रहता है । लेकिन यह पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के लिए मान्य नहीं है ।		यदि संख्याओं का क्रम बदल दिया जाए, तो भी दो पूर्णांकों का योग या गुणनफल वही रहता है । लेकिन यह पूर्णांकों के घटाव और विभाजन के लिए मान्य नहीं है ।

	जोड़ की क्रमचयी ~~संपत्ति~~ <math>a + b = b + a</math>		जोड़ की क्रमचयी गुण <math>a + b = b + a</math>

	'''उदाहरण'''		'''उदाहरण'''
Line 54:		Line 54:
	<math>29 =29</math>		<math>29 =29</math>

	गुणन की क्रमचयी ~~संपत्ति~~ <math>a \times b = b \times a</math>		गुणन की क्रमचयी गुण <math>a \times b = b \times a</math>

	'''उदाहरण'''		'''उदाहरण'''
Line 62:		Line 62:
	<math>8 = 8</math>		<math>8 = 8</math>

	=== वितरणात्मक ~~संपत्ति~~ ===		=== वितरणात्मक गुण ===
	पूर्णांकों के लिए वितरणात्मक गुण दो प्रकार के होते हैं , जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक नियम ।		पूर्णांकों के लिए वितरणात्मक गुण दो प्रकार के होते हैं , जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम और घटाव पर गुणन का वितरणात्मक नियम ।

Line 85:		Line 85:
	<math>6=6</math>		<math>6=6</math>

	=== साहचर्य ~~संपत्ति~~ ===		=== साहचर्य गुण ===
	पूर्णांकों को जोड़ते और गुणा करते समय , साहचर्य स्थिति सत्य होती है । हम जोड़ और गुणा के लिए साहचर्य नियम लागू कर सकते हैं लेकिन यह घटाव और विभाजन के लिए लागू नहीं होता है ।		पूर्णांकों को जोड़ते और गुणा करते समय , साहचर्य स्थिति सत्य होती है । हम जोड़ और गुणा के लिए साहचर्य नियम लागू कर सकते हैं लेकिन यह घटाव और विभाजन के लिए लागू नहीं होता है ।

Line 108:		Line 108:
	<math>48=48</math>		<math>48=48</math>

	=== पहचान ~~संपत्ति~~ ===		=== पहचान गुण ===
	जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।		जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-10-03T12:39:08Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 18:09, 3 October 2023
Line 23:		Line 23:
	जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।		जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>7+3=10</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>7+3=10</math> जो एक पूर्णांक है ।

Line 30:		Line 31:
	गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होगा जिसका अर्थ है कि यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p\times q</math> भी एक पूर्णांक होगा ।		गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होगा जिसका अर्थ है कि यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p\times q</math> भी एक पूर्णांक होगा ।

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>17\times 3=51</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>17\times 3=51</math> जो एक पूर्णांक है ।

	पूर्णांकों का विभाजन समापन गुण के लिए मान्य नहीं है , अर्थात किन्हीं दो पूर्णांकों <math>p</math> और <math>q</math> का भागफल पूर्णांक हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है ।		पूर्णांकों का विभाजन समापन गुण के लिए मान्य नहीं है , अर्थात किन्हीं दो पूर्णांकों <math>p</math> और <math>q</math> का भागफल पूर्णांक हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है ।

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>\frac{-18}{-2}=9</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>\frac{-18}{-2}=9</math> जो एक पूर्णांक है ।

Line 45:		Line 48:
	जोड़ की क्रमचयी संपत्ति <math>a + b = b + a</math>		जोड़ की क्रमचयी संपत्ति <math>a + b = b + a</math>

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>14 + 15 =15+14</math>		<math>14 + 15 =15+14</math>

Line 52:		Line 56:
	गुणन की क्रमचयी संपत्ति <math>a \times b = b \times a</math>		गुणन की क्रमचयी संपत्ति <math>a \times b = b \times a</math>

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>4 \times 2 = 2 \times 4</math>		<math>4 \times 2 = 2 \times 4</math>

Line 62:		Line 67:
	जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम: <math>a(b + c) = ab + ac</math>		जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम: <math>a(b + c) = ab + ac</math>

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>2(3+4)</math> <math>=2\times3+2\times4</math>		<math>2(3+4)</math> <math>=2\times3+2\times4</math>

Line 71:		Line 77:
	घटाव पर गुणन की वितरणात्मक नियम: <math>a(b-c) = ab-ac</math>		घटाव पर गुणन की वितरणात्मक नियम: <math>a(b-c) = ab-ac</math>

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>3(8-6)= 3\times8-3\times6</math>		<math>3(8-6)= 3\times8-3\times6</math>

Line 83:		Line 90:
	जोड़ का साहचर्य गुण: <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>		जोड़ का साहचर्य गुण: <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math> 1+(4+3)=(1+4)+3 </math>		<math> 1+(4+3)=(1+4)+3 </math>

Line 92:		Line 100:
	गुणन का साहचर्य गुण: <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math>		गुणन का साहचर्य गुण: <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math>

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>3 \times(8\times2)= (3\times8) \times2</math>		<math>3 \times(8\times2)= (3\times8) \times2</math>

Line 102:		Line 111:
	जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।		जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>999+0=999</math>		<math>999+0=999</math>

	पूर्णांकों के लिए गुणक पहचान गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या <math>1</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , <math>1</math> को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 1 = p </math> होगा ।		पूर्णांकों के लिए गुणक पहचान गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या <math>1</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , <math>1</math> को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 1 = p </math> होगा ।

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>23\times 1=23</math>		<math>23\times 1=23</math>

	यदि किसी पूर्णांक को <math>0</math> से गुणा किया जाए, तो परिणाम शून्य होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 0 = 0 </math> होगा ।		यदि किसी पूर्णांक को <math>0</math> से गुणा किया जाए, तो परिणाम शून्य होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 0 = 0 </math> होगा ।

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>10 \times 0=0</math>		<math>10 \times 0=0</math>

	यदि किसी पूर्णांक को <math>-1</math> से गुणा किया जाता है , तो परिणाम संख्या के विपरीत होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times(- 1) =- p </math> होगा ।		यदि किसी पूर्णांक को <math>-1</math> से गुणा किया जाता है , तो परिणाम संख्या के विपरीत होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times(- 1) =- p </math> होगा ।

	~~====~~ उदाहरण ~~====~~		'''उदाहरण'''

	<math>11 \times (-1) =-11</math>		<math>11 \times (-1) =-11</math>

	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==



	#

	[[Category:संख्या पद्धति]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]		[[Category:संख्या पद्धति]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-10-03T12:36:47Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 18:06, 3 October 2023
Line 118:		Line 118:

	==== उदाहरण ====		==== उदाहरण ====
			<math>11 \times (-1) =-11</math>
	~~====~~ <math>11 \times (-1) =-11</math> ~~====~~

	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==

Ramamurthy: /* उदाहरण */

2023-10-03T12:35:41Z

उदाहरण

← Older revision		Revision as of 18:05, 3 October 2023
Line 26:		Line 26:
	<math>7+3=10</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>7+3=10</math> जो एक पूर्णांक है ।

	~~==== उदाहरण ====~~
	<math>8-2=6</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>8-2=6</math> जो एक पूर्णांक है ।

Line 39:		Line 38:
	<math>\frac{-18}{-2}=9</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>\frac{-18}{-2}=9</math> जो एक पूर्णांक है ।

	~~==== उदाहरण ====~~
	<math>\frac{6}{4}=\frac{3}{2}</math> जो एक पूर्णांक नहीं है ।		<math>\frac{6}{4}=\frac{3}{2}</math> जो एक पूर्णांक नहीं है ।

Ramamurthy: formatting changes done

2023-10-03T12:20:55Z

formatting changes done

← Older revision		Revision as of 17:50, 3 October 2023
Line 23:		Line 23:
	जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।		जोड़ और घटाव के तहत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है , कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग या अंतर हमेशा एक पूर्णांक होगा । यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p+q</math> और <math>p-q</math> भी एक पूर्णांक होंगे ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>7+3=10</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>7+3=10</math> जो एक पूर्णांक है ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>8-2=6</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>8-2=6</math> जो एक पूर्णांक है ।

	गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होगा जिसका अर्थ है कि यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p\times q</math> भी एक पूर्णांक होगा ।		गुणन के अंतर्गत पूर्णांकों का समापन गुण बताता है कि किन्हीं दो पूर्णांकों का गुणनफल एक पूर्णांक होगा जिसका अर्थ है कि यदि <math>p</math> और <math>q</math> कोई दो पूर्णांक हैं, तो <math>p\times q</math> भी एक पूर्णांक होगा ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>17\times 3=51</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>17\times 3=51</math> जो एक पूर्णांक है ।

	पूर्णांकों का विभाजन समापन गुण के लिए मान्य नहीं है , अर्थात किन्हीं दो पूर्णांकों <math>p</math> और <math>q</math> का भागफल पूर्णांक हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है ।		पूर्णांकों का विभाजन समापन गुण के लिए मान्य नहीं है , अर्थात किन्हीं दो पूर्णांकों <math>p</math> और <math>q</math> का भागफल पूर्णांक हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>\frac{-18}{-2}=9</math> जो एक पूर्णांक है ।		<math>\frac{-18}{-2}=9</math> जो एक पूर्णांक है ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>\frac{6}{4}=\frac{3}{2}</math> जो एक पूर्णांक नहीं है ।		<math>\frac{6}{4}=\frac{3}{2}</math> जो एक पूर्णांक नहीं है ।

Line 52:		Line 47:
	जोड़ की क्रमचयी संपत्ति <math>a + b = b + a</math>		जोड़ की क्रमचयी संपत्ति <math>a + b = b + a</math>

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>14 + 15 =15+14</math>		<math>14 + 15 =15+14</math>

Line 60:		Line 54:
	गुणन की क्रमचयी संपत्ति <math>a \times b = b \times a</math>		गुणन की क्रमचयी संपत्ति <math>a \times b = b \times a</math>

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>4 \times 2 = 2 \times 4</math>		<math>4 \times 2 = 2 \times 4</math>

Line 71:		Line 64:
	जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम: <math>a(b + c) = ab + ac</math>		जोड़ पर गुणन का वितरणात्मक नियम: <math>a(b + c) = ab + ac</math>

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>2(3+4)</math> <math>=2\times3+2\times4</math>		<math>2(3+4)</math> <math>=2\times3+2\times4</math>

Line 81:		Line 73:
	घटाव पर गुणन की वितरणात्मक नियम: <math>a(b-c) = ab-ac</math>		घटाव पर गुणन की वितरणात्मक नियम: <math>a(b-c) = ab-ac</math>

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>3(8-6)= 3\times8-3\times6</math>		<math>3(8-6)= 3\times8-3\times6</math>

Line 94:		Line 85:
	जोड़ का साहचर्य गुण: <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>		जोड़ का साहचर्य गुण: <math>a + (b + c) = (a + b) + c</math>

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math> 1+(4+3)=(1+4)+3 </math>		<math> 1+(4+3)=(1+4)+3 </math>

Line 104:		Line 94:
	गुणन का साहचर्य गुण: <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math>		गुणन का साहचर्य गुण: <math>a \times (b \times c) = (a \times b) \times c</math>

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>3 \times(8\times2)= (3\times8) \times2</math>		<math>3 \times(8\times2)= (3\times8) \times2</math>

Line 115:		Line 104:
	जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।		जब किसी पूर्णांक में कोई शून्य जोड़ा जाता है , तो वह वही संख्या देगा । शून्य को योगात्मक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए , <math>p+0=p</math> होगा ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>999+0=999</math>		<math>999+0=999</math>

	पूर्णांकों के लिए गुणक पहचान गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या <math>1</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , <math>1</math> को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 1 = p </math> होगा ।		पूर्णांकों के लिए गुणक पहचान गुण कहता है कि जब भी किसी पूर्णांक को संख्या <math>1</math> से गुणा किया जाता है, तो परिणाम के रूप में पूर्णांक ही प्राप्त होगा । अतः , <math>1</math> को किसी संख्या का गुणक तत्समक कहा जाता है । किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 1 = p </math> होगा ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>23\times 1=23</math>		<math>23\times 1=23</math>

	यदि किसी पूर्णांक को <math>0</math> से गुणा किया जाए, तो परिणाम शून्य होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 0 = 0 </math> होगा ।		यदि किसी पूर्णांक को <math>0</math> से गुणा किया जाए, तो परिणाम शून्य होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times 0 = 0 </math> होगा ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>10 \times 0=0</math>		<math>10 \times 0=0</math>

	यदि किसी पूर्णांक को <math>-1</math> से गुणा किया जाता है , तो परिणाम संख्या के विपरीत होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times(- 1) =- p </math> होगा ।		यदि किसी पूर्णांक को <math>-1</math> से गुणा किया जाता है , तो परिणाम संख्या के विपरीत होगा किसी पूर्णांक <math>p</math> के लिए <math>p \times(- 1) =- p </math> होगा ।

	उदाहरण		==== उदाहरण ====

	<math>11 \times (-1) =-11</math>		==== <math>11 \times (-1) =-11</math> ====

	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==

Jaya agarwal at 04:35, 2 October 2023

2023-10-02T04:35:10Z

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Jaya agarwal at 17:13, 1 October 2023

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	~~Integers~~		पूर्णांक पूर्ण संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के ऋणात्मक मानों का संग्रह हैं । पूर्णांकों में भिन्न संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं अर्थात उन्हें <math>\frac{a}{b}</math> रूप में नहीं लिखा जा सकता है । पूर्णांकों की सीमा ऋणात्मक सिरे पर <math>\infty</math> से लेकर धनात्मक सिरे पर <math>\infty</math> तक होती है, जिसमें शून्य <math>(0)</math> भी शामिल है। पूर्णांकों को प्रतीक <math>Z</math> द्वारा दर्शाया जाता है ।

	~~My state is Karnataka~~<~~ref~~>~~{{Cite book \|title=mathematics \|pages=~~2-~~5}}~~</~~ref~~>		उदाहरण : <math>-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4 </math> आदि सभी पूर्णांकों के उदाहरण हैं ।

	~~मेरा राज्य कर्णाटक~~ है ।		== पूर्णांक के प्रकार ==
			पूर्णांकों को तीन प्रकार में विभाजित किया जा सकता है । पूर्णांकों के ये तीन प्रकार हैं: धनात्मक पूर्णांक, ऋणात्मक पूर्णांक तथा शून्य ।

	~~Introduction~~ ~~to the article~~		# धनात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं , जो धनात्मक हैं , धनात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं । एक पूर्णांक संख्यां जिसके आगे कोई चिन्ह (धनात्मक या ऋणात्मक) नहीं लगा हो, धनात्मक पूर्णांक हैं। उदाहरण : <math>1,2,3,4,5,6,.... </math> आदि सभी धनात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
			# ऋणात्मक पूर्णांक : ऐसी पूर्णांक संख्याएं जिनके पूर्व ऋणात्मक चिन्ह लगा हो , ऋणात्मक पूर्णांक संख्याएं कहलाती हैं । उदाहरण : <math>-1,-2,-3,-4,-5,-6,.... </math> आदि ऋणात्मक पूर्णांक के उदाहरण हैं ।
			# शून्य <math>(0)</math> : शून्य एक पूर्णांक है, परंतु शून्य न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक होता है ।

	== ~~Heading 1~~ ==		== पूर्णाकों का गुणा ==
	~~integer is a number.<ref>{{Cite web\|title=integers\|url=http://google.com}}</ref>~~

	~~=== sub heading ===~~		# दो असमान चिन्ह वाले पूर्णांकों का गुणनफल निकालने के लिए , हम सर्वप्रथम बिना उनके चिन्हों को ध्यान में रखे साधारण तरीके से गुणनफल निकालते है , फिर गुणनफल में ऋणात्मक चिन्ह लगाते है , अर्थात दो असमान चिन्ह वाले पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा ऋणात्मक होता है ।
			# दो समान चिन्ह वाले पूर्णांको का गुणनफल निकालने के लिए , हम सर्वप्रथम बिना उनके चिन्हों ध्यान में रखे साधारण तरीके से गुणनफल निकालते है , फिर गुणनफल में धनात्मक चिन्ह लगाते है , अर्थात दो समान चिन्ह वाले पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा धनात्मक होता है ।
	~~==== sub sub heading ====~~

	~~== References~~ ~~संदर्भ ==~~

			=== संक्षेप में दो पूर्णांकों के गुणनफल का नियम ===

			# <math>(+)\times (+)= (+)</math>
			# <math>(+)\times (-)= (-)</math>
			# <math>(-)\times (+)= (-)</math>
			# <math>(-)\times (-)= (+)</math>

	[[Category:संख्या पद्धति]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]		[[Category:संख्या पद्धति]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]