प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म - Revision history

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2024-11-27T13:54:13Z

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	== परिचय ==		== परिचय ==
	प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, सीखने के विषय के रूप में, मूल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिसर और प्रांत में परिवर्तित किया जाता है। त्रिकोणमिति में, हम समकोण त्रिभुज में कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों के बारे में सीखते हैं। इसी तरह, हमारे पास प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन हैं। मूल त्रिकोणमितीय फलन <math>sin, cos, tan, cosec, sec</math> और <math>cot</math> हैं। दूसरी ओर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को <math>sin^{-1}x, cos^{-1}x, cot^{-1} x, tan^{-1} x, cosec^{-1} x</math> और <math>sec^{-1} x</math> के रूप में दर्शाया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मूल त्रिकोणमितीय फलनों के सभी सूत्र होते हैं, जिसमें फलनों का योग, फलन का दुगुना और तिगुना उपस्थित होता है। यहाँ हम त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों में बदलने को समझने का प्रयास करेंगे।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, सीखने के विषय के रूप में, मूल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित हैं। [[त्रिकोणमितीय फलन\|त्रिकोणमितीय फलनों]] के प्रांत और परिसर को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिसर और प्रांत में परिवर्तित किया जाता है। त्रिकोणमिति में, हम समकोण त्रिभुज में कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों के बारे में सीखते हैं। इसी तरह, हमारे पास प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन हैं। मूल त्रिकोणमितीय फलन <math>sin, cos, tan, cosec, sec</math> और <math>cot</math> हैं। दूसरी ओर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को <math>sin^{-1}x, cos^{-1}x, cot^{-1} x, tan^{-1} x, cosec^{-1} x</math> और <math>sec^{-1} x</math> के रूप में दर्शाया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मूल त्रिकोणमितीय फलनों के सभी सूत्र होते हैं, जिसमें फलनों का योग, फलन का दुगुना और तिगुना उपस्थित होता है। यहाँ हम त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों में बदलने को समझने का प्रयास करेंगे।

	== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म ==		== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म ==
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	गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।		गणित की वह शाखा जो कोणों और भुजाओं से संबंधित है, उसे त्रिकोणमिति कहते हैं।

	प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रतिलोम फलनों से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।		प्रतिलोम त्रिकोणमिति की अवधारणा त्रिकोणमितीय कार्यों के प्रतिलोम [[फलनों के प्रकार\|फलनों]] से संबंधित है। इसलिए, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य प्रतिलोम कोटैंजेंट, प्रतिलोम कोसेकेंट, प्रतिलोम साइन, प्रतिलोम स्पर्शज्या, प्रतिलोम सेकेंट और प्रतिलोम कोसाइन हैं।

	जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग साधारणतः भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।		जब समकोण त्रिभुज की केवल दो भुजाएँ ज्ञात हों, तो प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन कोण माप निर्धारित करते हैं। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की अवधारणा का उपयोग साधारणतः भौतिकी, ज्यामिति, इंजीनियरिंग आदि में किया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को त्रिकोणमितीय-विरोधी फलन या आर्कस फलन के रूप में भी जाना जाता है।

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2024-11-27T13:47:06Z

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	=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण ===
	tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.		<math>tan^{-1} x + tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x+y}{1-xy},</math> यदि <math>xy<1</math>

	tan-1 x – tan-1 y = tan-1x-y1+xy, यदि xy > -1.		<math>tan^{-1} x - tan^{-1}y = tan^{-1}\frac{x-y}{1+xy},</math>यदि <math>xy>-1</math>

	tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.		<math>tan^{-1} x + tan^{-1}y = \pi + tan^{-1}\Bigl(\frac{x+y}{1-xy}\Bigr),xy>1,x>0,y>0</math>

	=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण ===
	2tan-1 x = sin-~~12x/~~1+x2, x 1.		<math>2tan^{-1}x = sin^{-1}\frac{2x}{1+x^2}, \left\vert x \right\vert \leq 1</math>

	<math>2tan^{-1} x = cos^{-1}1-x^21+ x^2, \~~times0~~</math>		<math>2tan^{-1} x = cos^{-1}\frac{1-x^2}{1+ x^2}, x\geq0</math>

	<math>2tan^{-1} x = tan^{-1}2\~~times1~~- x^2,</math>यदि <math>x </math> या तो <math>-1 </math> से बड़ा है या <math>1 </math> से छोटा है।		<math>2tan^{-1} x = tan^{-1} \frac{2x}{1- x^2},-1<x<1</math> यदि <math>x </math> या तो <math>-1 </math> से बड़ा है या <math>1 </math> से छोटा है।

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==

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2024-11-27T13:35:35Z

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← Older revision		Revision as of 19:05, 27 November 2024
Line 31:		Line 31:
	<math>cosec^{-1}(-x) = -cosec^{-1} x,\left\vert x \right\vert\geq 1</math>		<math>cosec^{-1}(-x) = -cosec^{-1} x,\left\vert x \right\vert\geq 1</math>

	अब, आइए एक उदाहरण की ~~मदद~~ से दूसरे गुण को सिद्ध करें।		अब, आइए एक उदाहरण की सहायता से दूसरे गुण को सिद्ध करें।

	मान लें <math>tan^{-1}(-x) = y... (1)</math>		मान लें <math>tan^{-1}(-x) = y... (1)</math>
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	=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण ===
	cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ <math>x </math>, <math>-1 </math> से 1 की सीमा में आता है।		<math>cos^{-1}(-x) = \pi -cos^{-1}x, x\in[-1,1]</math> जहाँ <math>x </math>, <math>-1 </math> से <math>1</math> की सीमा में आता है।

	sec-1(-x) = – sec-1 x, x 1.		<math>sec^{-1}(-x) = \pi-sec^{-1} x,\left\vert x \right\vert\geq 1 </math>

	cot-1(-x) = – cot-1 x, ~~जहाँ~~ x ∈ R.		<math>cot^{-1}(-x) =\pi -cot^{-1}x,x\in R </math>

	अब आइए तीसरा गुण सिद्ध करें।		अब आइए तीसरा गुण सिद्ध करें।

	मान लीजिए ~~cot–1~~ (–x) = y		मान लीजिए <math>cot^{-1} (-x) = y </math>

	– x = cot y		– x = cot y<math>- x = cot y </math>

	ताकि x = – cot y = cot (~~π –~~ y)		ताकि <math>x = -cot y = cot (\pi -y) </math>

	इसलिए, ~~cot–1~~ x = ~~π –~~ y = ~~π – cot–1~~ (–x)		इसलिए, <math>cot^{-1}x = \pi-y = \pi-cot^{-1}(-x) </math>

	इसलिए ~~cot–1~~ (–x) ~~= π – cot–1 x~~		इसलिए <math>cot^{-1}x = \pi-cot^{-1}(-x) </math>

	=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण ===
	sin-1 x + cos-1 x = 2, <math>-1 </math> से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी <math>x </math> के लिए।		<math>sin^{-1} x + cos^{-1}x = \frac{\pi}{2},x\in[-1,1] </math> <math>-1 </math> से <math>1</math> की सीमा के भीतर आने वाले सभी <math>x </math> के लिए।

	tan-1 x + cot-1 x = 2, जहाँ x ∈ R.		<math>tan^{-1} x + cot^{-1} x = \frac{\pi}{2}, </math> जहाँ <math>x \in R </math> ।

	cosec-1 x + sec-1 x = 2, x 1.		<math>cosec^{-1}(-x)+ sec^{-1} x= \frac{\pi}{2},\left\vert x \right\vert\geq 1 </math>

	अब, आइए चौथे गुण को सिद्ध करें।		अब, आइए चौथे गुण को सिद्ध करें।

	मान लीजिए tan-1 x = y.		मान लीजिए <math>tan^{-1} x = y </math>

	फिर, x = cot y		फिर, <math>x = cot y </math>

	X = cot (2 – y)		<math>x = cot (2 -y) </math>

	cot-1x = 2 – y = 2 – tan-1x		<math>cot^{-1}x = 2 - y = 2 -tan^{-1}x </math>

	इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2		इसलिए, <math>tan^{-1} x + cot^{-1} x = 2 </math>

	=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण ===

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2024-11-27T13:10:32Z

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← Older revision		Revision as of 18:40, 27 November 2024
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	=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण ===
	sin-1(-x) = – sin-1 x, <math>x </math> के सभी मानों के लिए जो <math>-1 </math> से 1 की सीमा में हैं।		<math>sin^{-1}(-x) = -sin^{-1} x, x\in[-1,1]</math> <math>x </math> के सभी मानों के लिए जो <math>-1 </math> से 1 की सीमा में हैं।

	tan-1(-x) = – tan-1 x, जहाँ x ∈ R.		<math>tan^{-1}(-x) = -tan^{-1} x,</math> जहाँ <math>x\in R</math>

	cosec-1(-x) = – cosec-1 x, x 1		<math>cosec^{-1}(-x) = -cosec^{-1} x,\left\vert x \right\vert\geq 1</math>

	अब, आइए एक उदाहरण की मदद से दूसरे गुण को सिद्ध करें।		अब, आइए एक उदाहरण की मदद से दूसरे गुण को सिद्ध करें।

	मान लें tan-1(-x) = y…. (1)		मान लें <math>tan^{-1}(-x) = y... (1)</math>

	फिर, (-x) = tan y		फिर, <math>(-x) = tan y</math>

	इसलिए, x = – tan y		इसलिए, <math>x = - tan y</math>

	x = tan (-y)		<math>x = tan (-y)</math>

	tan-1 x = (-y) = {y का मान समीकरण 1 से बदलें)		<math>tan^{-1}x = (-y) = (y</math> का मान समीकरण <math>1</math> से बदलें)

	tan-1 x = – tan-1(-x)		<math>tan^{-1}x = -tan^{-1}(-x)</math>

	=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण ===

Mani: formulas

2024-11-27T12:41:12Z

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← Older revision		Revision as of 18:11, 27 November 2024
Line 2:		Line 2:

	== परिचय ==		== परिचय ==
	~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन, सीखने के विषय के रूप में, मूल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के ~~डोमेन~~ और ~~रेंज~~ को ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों की ~~रेंज~~ और ~~डोमेन~~ में परिवर्तित किया जाता है। त्रिकोणमिति में, हम समकोण त्रिभुज में कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों के बारे में सीखते हैं। इसी तरह, हमारे पास ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलन हैं। मूल त्रिकोणमितीय फलन <math>sin, cos, tan, cosec, sec</math> और <math>cot</math> हैं। दूसरी ओर ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों को <math>sin^{-1}x, cos^{-1}x, cot^{-1} x, tan^{-1} x, cosec^{-1} x</math> और <math>sec^{-1} x</math> के रूप में दर्शाया जाता है। ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों में मूल त्रिकोणमितीय फलनों के सभी सूत्र होते हैं, जिसमें फलनों का योग, फलन का दुगुना और तिगुना ~~शामिल~~ होता है। यहाँ हम त्रिकोणमितीय सूत्रों को ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय सूत्रों में बदलने को समझने का प्रयास करेंगे।		प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन, सीखने के विषय के रूप में, मूल त्रिकोणमितीय फलनों से निकटता से संबंधित हैं। त्रिकोणमितीय फलनों के प्रांत और परिसर को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिसर और प्रांत में परिवर्तित किया जाता है। त्रिकोणमिति में, हम समकोण त्रिभुज में कोणों और भुजाओं के बीच संबंधों के बारे में सीखते हैं। इसी तरह, हमारे पास प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन हैं। मूल त्रिकोणमितीय फलन <math>sin, cos, tan, cosec, sec</math> और <math>cot</math> हैं। दूसरी ओर प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों को <math>sin^{-1}x, cos^{-1}x, cot^{-1} x, tan^{-1} x, cosec^{-1} x</math> और <math>sec^{-1} x</math> के रूप में दर्शाया जाता है। प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों में मूल त्रिकोणमितीय फलनों के सभी सूत्र होते हैं, जिसमें फलनों का योग, फलन का दुगुना और तिगुना उपस्थित होता है। यहाँ हम त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों में बदलने को समझने का प्रयास करेंगे।

	== ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म ==		== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के गुणधर्म ==
	निम्नलिखित ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय पहचानों और ~~व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।		निम्नलिखित प्रतिलोम त्रिकोणमितीय पहचानों और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।

	=== ~~1) व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण ===
	sin-1 1x = cosec-1 x, ~~बशर्ते~~ x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।		<math>sin^{-1} \frac{1}{x} = cosec^{-1} x,</math> सम्भवतः <math>x </math> या तो <math>-1 </math> से बड़ा या बराबर हो और <math>-1 </math> से छोटा या बराबर हो।

	cos-1 1x = sec-1 x, ~~बशर्ते~~ x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।		<math>cos^{-1} \frac{1}{x} = sec^{-1} x,</math> सम्भवतः <math>x </math> या तो <math>-1 </math> से बड़ा या बराबर हो और <math>-1 </math> से छोटा या बराबर हो।

	tan -1 ~~1x =~~ = cot-1 x, ~~बशर्ते~~ x या तो शून्य से बड़ा हो।		<math>tan^{-1} \frac{1}{x} = cot^{-1} x,</math> सम्भवतः <math>x </math> या तो शून्य से बड़ा हो।

	अब, आइए पहला गुण सिद्ध करें।		अब, आइए पहला गुण सिद्ध करें।

	माना sec-1 x = y.		माना <math>sec^{-1} x = y</math> ।

	इसलिए, x = sec y,		इसलिए, <math>x = sec y,</math>

	1x = cos y		<math>\frac{1}{x} = cos y</math>

	इसलिए, cos-1 1x = y		इसलिए, <math>cos^{-1} \frac{1}{x} = y</math> या, <math>cos^{-1} \frac{1}{x} = sec^{-1}x</math>

	~~या, cos-1 1x = sec-1 x~~		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण ===
			sin-1(-x) = – sin-1 x, <math>x </math> के सभी मानों के लिए जो <math>-1 </math> से 1 की सीमा में हैं।
	=== ~~2) उलटा~~ त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण ===
	sin-1(-x) = – sin-1 x, x के सभी मानों के लिए जो -1 से 1 की सीमा में हैं।

	tan-1(-x) = – tan-1 x, जहाँ x ∈ R.		tan-1(-x) = – tan-1 x, जहाँ x ∈ R.
Line 47:		Line 45:
	tan-1 x = – tan-1(-x)		tan-1 x = – tan-1(-x)

	=== ~~3) व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण ===
	cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ x -1 से 1 की सीमा में आता है।		cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ <math>x </math>, <math>-1 </math> से 1 की सीमा में आता है।

	sec-1(-x) = – sec-1 x, x 1.		sec-1(-x) = – sec-1 x, x 1.
Line 66:		Line 64:
	इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x		इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x

	=== ~~4) उलटा~~ त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण ===
	sin-1 x + cos-1 x = 2, -1 से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी x के लिए।		sin-1 x + cos-1 x = 2, <math>-1 </math> से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी <math>x </math> के लिए।

	tan-1 x + cot-1 x = 2, जहाँ x ∈ R.		tan-1 x + cot-1 x = 2, जहाँ x ∈ R.
Line 85:		Line 83:
	इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2		इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2

	=== ~~5) उलटा~~ त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण ===
	tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.		tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.

Line 92:		Line 90:
	tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.		tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.

	=== ~~6) व्युत्क्रम~~ त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण ===		=== प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण ===
	2tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.		2tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.

	2tan-1 x = cos-11-~~x21~~+ x2, ~~x 0.~~		<math>2tan^{-1} x = cos^{-1}1-x^21+ x^2, \times0</math>

	2tan-1 x = tan-1 ~~2×1~~- x2, यदि <math>x </math> या तो <math>-1 </math> से बड़ा है या <math>1 </math> से छोटा है।		<math>2tan^{-1} x = tan^{-1}2\times1- x^2,</math>यदि <math>x </math> या तो <math>-1 </math> से बड़ा है या <math>1 </math> से छोटा है।

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==

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2024-11-27T12:19:05Z

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← Older revision		Revision as of 17:49, 27 November 2024
Line 7:		Line 7:
	निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचानों और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।		निम्नलिखित व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय पहचानों और व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय सूत्रों की सूची है।

	1) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण-		=== 1) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का पहला गुण ===

	sin-1 1x = cosec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।		sin-1 1x = cosec-1 x, बशर्ते x या तो -1 से बड़ा या बराबर हो और -1 से छोटा या बराबर हो।

Line 27:		Line 26:
	या, cos-1 1x = sec-1 x		या, cos-1 1x = sec-1 x

	2) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण		=== 2) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का दूसरा गुण ===

	sin-1(-x) = – sin-1 x, x के सभी मानों के लिए जो -1 से 1 की सीमा में हैं।		sin-1(-x) = – sin-1 x, x के सभी मानों के लिए जो -1 से 1 की सीमा में हैं।

Line 49:		Line 47:
	tan-1 x = – tan-1(-x)		tan-1 x = – tan-1(-x)

	3) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण		=== 3) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का तीसरा गुण ===

	cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ x -1 से 1 की सीमा में आता है।		cos-1(-x) = – cos-1 x, जहाँ x -1 से 1 की सीमा में आता है।

Line 69:		Line 66:
	इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x		इसलिए cot–1 (–x) = π – cot–1 x

	4) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण		=== 4) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का चौथा गुण ===

	sin-1 x + cos-1 x = 2, -1 से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी x के लिए।		sin-1 x + cos-1 x = 2, -1 से 1 की सीमा के भीतर आने वाले सभी x के लिए।

Line 89:		Line 85:
	इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2		इसलिए, tan-1 x + cot-1 x = 2

	5) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण		=== 5) उलटा त्रिकोणमितीय फलनों का पाँचवाँ गुण ===

	tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.		tan-1 x + tan-1 y = tan-1x+y1-xy, यदि xy < 1.

Line 97:		Line 92:
	tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.		tan-1 x + tan-1 y = + tan-1x+y1-xy, xy > 1; x, y>0.

	6) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण		=== 6) व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों का छठा गुण ===

	2tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.		2tan-1 x = sin-12x/1+x2, x 1.

	2tan-1 x = cos-11-x21+ x2, x 0.		2tan-1 x = cos-11-x21+ x2, x 0.

	2tan-1 x = tan-1 2×1- x2, यदि x या तो -1 से बड़ा है या 1 से छोटा है।		2tan-1 x = tan-1 2×1- x2, यदि <math>x </math> या तो <math>-1 </math> से बड़ा है या <math>1 </math> से छोटा है।

	== उदाहरण ==		== उदाहरण ==
Line 118:		Line 112:
	<math>x =sin(-y)</math>		<math>x =sin(-y)</math>

			<math>sin^{-1}x= arc sin(sin(-y))</math>

			<math>sin^{-1}(x) = y </math>

			<math>sin^{-1}(x) = -sin^{-1}(-x) </math>अत:

	~~अत:~~		<math>sin^{-1}(-x) = -sin^{-1}(x),x\in [-1,1] </math>

	== निष्कर्ष ==		== निष्कर्ष ==

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	Properties of Inverse Trigonometric Functions		Properties of Inverse Trigonometric Functions

	~~[[Category:त्रिकोणमिति]]~~
	[[Category:प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन]]		[[Category:प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन]]
			[[Category:गणित]]
			[[Category:कक्षा-12]]

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	[[Category:त्रिकोणमिति]]		[[Category:त्रिकोणमिति]]
			[[Category:प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन]]