प्रेरणा - Revision history

Mani: added the category

2024-11-22T06:19:17Z

added the category

← Older revision		Revision as of 11:49, 22 November 2024
Line 26:		Line 26:

	यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही <math>n</math> के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।		यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही <math>n</math> के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।
			[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]]
			[[Category:गणित]]
			[[Category:कक्षा-11]]

Mani: added content

2024-11-11T01:43:22Z

added content

← Older revision		Revision as of 07:13, 11 November 2024
Line 21:		Line 21:

	गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि <math>P(1) </math>सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है" <math>k=1 </math> के लिए और तब हम पाते हैं कि <math>P(2) </math> भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि <math>P(3) </math> सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि <math>P(n) </math> सभी <math>n\geq 1 </math> के लिए सत्य है। लेकिन यदि <math>P(1) </math> सत्य नहीं है, तो <math>P(n) </math> भी किसी भी <math>n\geq 2 </math> के लिए सत्य नहीं हो सकता है।		गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि <math>P(1) </math>सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है" <math>k=1 </math> के लिए और तब हम पाते हैं कि <math>P(2) </math> भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि <math>P(3) </math> सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि <math>P(n) </math> सभी <math>n\geq 1 </math> के लिए सत्य है। लेकिन यदि <math>P(1) </math> सत्य नहीं है, तो <math>P(n) </math> भी किसी भी <math>n\geq 2 </math> के लिए सत्य नहीं हो सकता है।

			== दृष्टांत ==
			मान लेते हैं कि हम [[प्राकृत संख्याएँ\|प्राकृत संख्याओं]] <math>1,2,3,.....,n</math>, के योग के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं अर्थात् एक सूत्र जो कि <math>n=3</math> के लिए <math>1+2+3</math> का मान देता है, <math>n=4 </math> के लिए <math> 1+2+3+4</math> का मान देता है इत्यादि। और मान लीजिए कि हम किसी प्रकार से यह विश्वास करने के लिए प्रेरित होते हैं कि सूत्र <math>1+2+3+.....+n=\frac{n(n+1)}{2}</math> ।

			यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही <math>n</math> के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।

Mani: /* परिचय */

2024-11-10T17:21:55Z

परिचय

← Older revision		Revision as of 22:51, 10 November 2024
Line 21:		Line 21:

	गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि <math>P(1) </math>सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है" <math>k=1 </math> के लिए और तब हम पाते हैं कि <math>P(2) </math> भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि <math>P(3) </math> सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि <math>P(n) </math> सभी <math>n\geq 1 </math> के लिए सत्य है। लेकिन यदि <math>P(1) </math> सत्य नहीं है, तो <math>P(n) </math> भी किसी भी <math>n\geq 2 </math> के लिए सत्य नहीं हो सकता है।		गणितीय शब्दावली में यह कथन वैसा ही है जैसे "किसी भी <math>k\geq 0 </math> के लिए, यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है।" इसके लिए पहले हमें पहले चरण तक पहुंचना होगा, इसलिए गणितीय शब्दावली में, यदि <math>P(1) </math>सत्य है, तभी हम कह सकते हैं कि "यदि <math>P(k) </math> सत्य है तो <math>P(k+1) </math> भी सत्य है" <math>k=1 </math> के लिए और तब हम पाते हैं कि <math>P(2) </math> भी सत्य है, जो तब इंगित करता है कि <math>P(3) </math> सत्य है, और इसी तरह, जो दर्शाता है कि <math>P(n) </math> सभी <math>n\geq 1 </math> के लिए सत्य है। लेकिन यदि <math>P(1) </math> सत्य नहीं है, तो <math>P(n) </math> भी किसी भी <math>n\geq 2 </math> के लिए सत्य नहीं हो सकता है।

	~~== परिचय ==~~
	गणितीय चिंतन का एक आधारभूत सिद्धांत निगमनिक तर्क है। तर्कशास्त्र के अध्ययन से उद्धृत एक अनौपचारिक और निगमनिक तर्क का उदाहरण तीन कथनों में व्यक्त तर्क है:-

	~~(a) सुकरात एक मनुष्य है।~~

	~~(b) सभी मनुष्य मरणशील हैं, इसलिए,~~

	~~(c) सुकरात मरणशील है।~~

	यदि कथन (a) और (b) सत्य हैं, तो (c) की सत्यता स्थापित है। इस सरल उदाहरण को गणितीय बनाने के लिए हम लिख सकते हैं।

	~~(i) आठ दो से भाज्य है।~~

	~~(ii) दो से भाज्य कोई संख्या सम संख्या है, इसलिए,~~

	~~(iii) आठ एक सम संख्या है।~~

	गणित में, हम सम्पूर्ण आगमन का एक रूप जिसे गणितीय आगमन कहते हैं, प्रयुक्त करते हैं। गणितीय आगमन सिद्धांत के मूल को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक पतली आयताकार टाइलों का समूह एक सिरे पर रखा है, जैसे चित्र-1 में प्रदर्शित है।

	जब प्रथम टाइल को निर्दिष्ट दिशा में धक्का दिया जाता है तो सभी टाइलें गिर जाएँगी । पूर्णत: सुनिश्चित होने के लिए कि सभी टाइलें गिर जाएँगी, इतना जानना पर्याप्त है कि

	~~(a) प्रथम टाइल गिरती है, और~~

	(b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।





	~~[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]~~

Mani: added content

2024-11-10T17:20:35Z

added content

Show changes

Mani: added content

2024-11-10T15:49:13Z

added content

← Older revision		Revision as of 21:19, 10 November 2024
Line 1:		Line 1:
	~~Motivation~~		== भूमिका ==
			गणितीय चिंतन का एक आधारभूत सिद्धांत निगमनिक तर्क है। तर्कशास्त्र के अध्ययन से उद्धृत एक अनौपचारिक और निगमनिक तर्क का उदाहरण तीन कथनों में व्यक्त तर्क है:-

			(a) सुकरात एक मनुष्य

			है

			(b) सभी मनुष्य मरणशील हैं, इसलिए, (c) सुकरात मरणशील है।

			यदि कथन (a) और (b) सत्य हैं, तो (c) की सत्यता स्थापित है। इस सरल उदाहरण को गणितीय बनाने के लिए हम लिख सकते हैं।

			(i) आठ दो से भाज्य है।

			(ii) दो से भाज्य कोई संख्या सम संख्या है, इसलिए,

			(iii) आठ एक सम संख्या है।

			इस प्रकार संक्षेप में निगमन एक प्रक्रिया है जिसमें एक कथन सिद्ध करने को दिया जाता है, जिसे गणित में प्राय: एक अनुमानित कथन ( conjecture) अथवा प्रमेय कहते हैं, तर्क संगत निगमन के चरण प्राप्त किए जाते हैं और एक उपपत्ति स्थापित की जा सकती है, अथवा नहीं की जा सकती है, अर्थात् निगमन व्यापक स्थिति से विशेष स्थिति प्राप्त करने का अनुप्रयोग है।

			निगमन के विपरीत, आगमन तर्क प्रत्येक स्थिति के अध्ययन पर आधारित होता है तथा इसमें प्रत्येक एवं हर संभव स्थिति को ध्यान में रखते हुए घटनाओं के निरीक्षण द्वारा एक अनुमानित कथन विकसित किया जाता है। इसको गणित में प्रायः प्रयोग किया जाता है तथा वैज्ञानिक चिंतन, जहाँ आँकड़ों का संग्रह तथा विशलेषण मानक होता है, का यह मुख्य आधार है। इस प्रकार, सरल भाषा में हम कह सकते हैं कि आगमन शब्द का अर्थ विशिष्ट स्थितियों या तथ्यों से व्यापकीकरण करने से है।

			n

			बीजगणित में या गणित की अन्य शाखाओं में, कुछ ऐसे परिणाम या कथन होते हैं जिन्हें एक धन पूर्णांक ” के पदों में व्यक्त किया जाता है। ऐसे कथनों को सिद्ध करने के लिए विशिष्ट तकनीक पर आधारित समुचित सिद्धांत है जो गणितीय आगमन का सिद्धांत (Principle of Mathematical Induction) कहलाता है।

			प्रेरणा

			गणित में, हम सम्पूर्ण आगमन का एक रूप जिसे गणितीय आगमन कहते हैं, प्रयुक्त करते हैं। गणितीय आगमन सिद्धांत के मूल को समझने के लिए, कल्पना कीजिए कि एक पतली आयताकार टाइलों का समूह एक सिरे पर रखा है, जैसे आकृति 4.1 में प्रदर्शित है।

			Qublished

			आकृति 4. 1

			जब प्रथम टाइल को निर्दिष्ट दिशा में धक्का दिया जाता है तो सभी टाइलें गिर जाएँगी । पूर्णत: सुनिश्चित होने के लिए कि सभी टाइलें गिर जाएँगी, इतना जानना पर्याप्त है कि

			(a) प्रथम टाइल गिरती है, और

			(b) उस घटना में जब कोई टाइल गिरती है, उसकी उत्तरवर्ती अनिवार्यतः गिरती है। यही गणितीय आगमन सिद्धांत का आधार है।

			हम जानते हैं कि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय N वास्तविक संख्याओं का विशेष क्रमित उपसमुच्चय है। वास्तव में, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय N है, जिसमें निम्नलिखित गुण हैं:

			एक समुच्चय S आगमनिक समुच्चय (Inductive set) कहलाता है यदि 1E S और x + 1 ∈ S जब कभी.x E S. क्योंकि N, जो कि एक आगमनिक समुच्चय है, R का सबसे छोटा उपसमुच्चय है, परिणामत: R के किसी भी ऐसे उपसमुच्चय में जो आगमनिक है, N अनिवार्य रूप से समाहित होता है।

			दृष्टांत

			मान लीजिए कि हम प्राकृत संख्याओं 1, 2, 3, 1, के योग के लिए सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं अर्थात् एक सूत्र जो कि " = 3 के लिए 1 + 2 + 3 का मान देता है, " = 4 के लिए 1+2+3+4 का मान देता है इत्यादि। और मान लीजिए कि हम किसी प्रकार से यह विश्वास करने के लिए प्रेरित होते n (n+1)

			हैं कि सूत्र 1+2+3+...+ n =

			- सही है।

			2

			n

			यह सूत्र वास्तव में कैसे सिद्ध किया जा सकता है? हम निश्चित ही 1 के इच्छानुसार चाहे गए, धन पूर्णांक मानों के लिए कथन को सत्यापित कर सकते हैं, किंतु इस प्रक्रिया का मान के सभी मानों के लिए सूत्र को सिद्ध नहीं कर सकती है। इसके लिए एक ऐसी क्रिया श्रृंखला की आवश्यकता है, जिसका प्रभाव इस प्रकार का हो कि एक बार किसी धन पूर्णांक के लिए सूत्र के सिद्ध हो जाने के बाद आगामी धन पूर्णांकों के लिए सूत्र निरंतर अपने आप सिद्ध हो जाता है। इस प्रकार की क्रिया श्रृंखला को गणितीय आगमन विधि द्वारा उत्पन्न समझा जा सकता है।

	[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]		[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 06:12, 4 August 2023

2023-08-04T06:12:50Z

← Older revision		Revision as of 11:42, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Motivation		Motivation
	[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]]		[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:40, 4 August 2023

2023-08-04T05:40:08Z

← Older revision		Revision as of 11:10, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Motivation		Motivation
	[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]]		[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]][[Category:कक्षा-11]]

Mani: added category

2023-04-24T10:46:14Z

added category

← Older revision		Revision as of 16:16, 24 April 2023
Line 1:		Line 1:
	Motivation		Motivation
			[[Category:गणितीय आगमन का सिद्धांत]]

Sarika at 11:59, 18 April 2023

2023-04-18T11:59:51Z

← Older revision		Revision as of 17:29, 18 April 2023
Line 1:		Line 1:
	Motivation		Motivation
	~~[[Category:गणित]][[Category: कक्षा-11]]~~

Sarika at 07:58, 20 March 2023

2023-03-20T07:58:08Z

← Older revision		Revision as of 13:28, 20 March 2023
Line 1:		Line 1:
	Motivation		Motivation
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]][[Category: कक्षा-11]]