फलन - Revision history

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			[[Category:संबंध और फलन]]
			[[Category:गणित]]
			[[Category:कक्षा-11]]

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	== परिचय ==		== परिचय ==
	इस अनुच्छेद में, हम एक विशेष प्रकार के संबंध का अध्ययन करेंगे, जिसे '''फलन''' कहते हैं। हम फलन को एक नियम के रूप में देख सकते हैं, जिससे कुछ दिए हुए अवयवों से नए अवयव उत्पन्न होते हैं। फलन को सूचित करने के लिए अनेक पद प्रयुक्त किए जाते हैं, जैसे 'प्रतिचित्र' अथवा 'प्रतिचित्रण'		इस अनुच्छेद में, हम एक विशेष प्रकार के [[संबंध]] का अध्ययन करेंगे, जिसे '''फलन''' कहते हैं। हम फलन को एक नियम के रूप में देख सकते हैं, जिससे कुछ दिए हुए अवयवों से नए अवयव उत्पन्न होते हैं। फलन को सूचित करने के लिए अनेक पद प्रयुक्त किए जाते हैं, जैसे 'प्रतिचित्र' अथवा 'प्रतिचित्रण'

	== परिभाषा-1 ==		== परिभाषा-1 ==
	एक समुच्चय <math>A</math> से समुच्चय <math>B</math> का संबंध, एक फलन कहलाता है, यदि समुच्चय <math>A</math> के प्रत्येक अवयव का समुच्चय <math>B</math> में एक और केवल एक प्रतिबिंब होता है।		एक समुच्चय <math>A</math> से [[समुच्चय और उनका निरूपण\|समुच्चय]] <math>B</math> का संबंध, एक फलन कहलाता है, यदि समुच्चय <math>A</math> के प्रत्येक अवयव का समुच्चय <math>B</math> में एक और केवल एक प्रतिबिंब होता है।

	दूसरे शब्दों में, फलन <math>f</math>, किसी अरिक्त समुच्चय <math>A</math> से एक अरिक्त समुच्चय <math>B</math> का है , इस प्रकार का संबंध कि <math>f</math> का प्रांत <math>A</math> है तथा <math>f</math> के किसी भी दो भिन्न क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समान नहीं हैं।		दूसरे शब्दों में, फलन <math>f</math>, किसी अरिक्त समुच्चय <math>A</math> से एक अरिक्त समुच्चय <math>B</math> का है , इस प्रकार का संबंध कि <math>f</math> का प्रांत <math>A</math> है तथा <math>f</math> के किसी भी दो भिन्न क्रमित युग्मों के प्रथम घटक समान नहीं हैं।
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	<math>R</math> के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर क्या हैं? क्या यह संबंध, एक फलन है हम यह ज्ञात करने का प्रयास करेंगे।		<math>R</math> के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर क्या हैं? क्या यह संबंध, एक फलन है हम यह ज्ञात करने का प्रयास करेंगे।

	'''हल''' <math>R</math> का प्रांत, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय <math>N</math> है । इसका सहप्रांत भी <math>N</math> है। इसका परिसर सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।		'''हल''' <math>R</math> का प्रांत, [[प्राकृत संख्याएँ\|प्राकृत संख्याओं]] का समुच्चय <math>N</math> है । इसका सहप्रांत भी <math>N</math> है। इसका परिसर सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।

	क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या ”<math>n</math>" का एक और केवल एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।		क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या ”<math>n</math>" का एक और केवल एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।

Mani: /* फलन और कुछ आलेख */

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फलन और कुछ आलेख

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	~~== फलन और कुछ आलेख ==~~
	~~[[File:चित्र-1 f(x)=x.jpg\|thumb\|चित्र-1 f(x)=x]]~~
	(i) '''तत्समक फलन:''' मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।
	~~[[File:फलन f(x)=3.jpg\|thumb\|चित्र-2 f(x)=3]]~~
	(ii) '''अचर फलन:''' <math>y=f(x)=c</math> जहाँ <math>c</math> एक अचर है और प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। यहाँ पर <math>f</math> का प्रांत <math>R</math> है और उसका परिसर <math>\{c\}</math> है। <math>f</math> का आलेख <math>x</math>- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि <math>f(x)=3</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।



	(iii) '''बहुपद फलन या बहुपदीय फलन:''' फलन <math>f:R\rightarrow R</math>, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि <math>R</math> के प्रत्येक <math>x</math> के लिए, <math>y=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n</math>, जहाँ ”<math>n</math>" एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n\in R</math> ।

	<math>f(x)=x^3-x^2+2 </math>, और <math> g(x)=x^4+\sqrt{2}x</math>, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि <math>h(x)=x^\frac{2}{3}+2x</math> द्वारा परिभाषित फलन <math>h</math>, बहुपदीय फलन नहीं है।

	~~(iv) '''परिमेय फलन:''' <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> के प्रकार के फलन जहाँ <math>f(x)</math> तथा <math>g(x)</math>~~

	एक प्रांत में, <math>x</math> के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें <math>g(x)\neq 0</math> परिमेय फलन कहलाते हैं।

	'''उदाहरण''' एक वास्तविक मान फलन <math>f:R-\{0\}\rightarrow R</math> की परिभाषा <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, <math>x\in R-\{0\}</math> द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।
	~~[[File:F(x)=1byx.jpg\|thumb\|चित्र-3 f(x)=1/x]]~~
	~~'''हल''' पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:~~
	~~{\| class="wikitable"~~
	\|+
	~~!<math>x</math>~~
	~~!<math>-2</math>~~
	~~!<math>-1.5</math>~~
	~~!<math>-1</math>~~
	~~!<math>-0.5</math>~~
	~~!<math>0.25</math>~~
	~~!<math>0.5</math>~~
	~~!<math>1</math>~~
	~~!<math>1.5</math>~~
	~~!<math>2</math>~~
	\|-
	~~\|<math>y=\frac{1}{x}</math>~~
	~~\|<math>-0.5</math>~~
	~~\|<math>-0.67</math>~~
	~~\|<math>-1</math>~~
	~~\|<math>-2</math>~~
	~~\|<math>4</math>~~
	~~\|<math>2</math>~~
	~~\|<math>1</math>~~
	~~\|<math>0.67</math>~~
	~~\|<math>0.5</math>~~
	\|}

	इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। <math>f</math> का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।


	(v) मापांक फलन (Modulus functions) f (x) = bxl प्रत्येक X ER द्वारा परिभाषित फलन fRR, मापांक फलन कहलाता है। x के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए f(x), x के बराबर होता है। परंतु x के ऋण मानों के लिए, f(x) का मान x के मान के ऋण के बराबर होता है,

	~~[xx 20 f(x)=- -x, x < 0~~

	~~अर्थात्~~

	मापांक फलन का आलेख आकृति 2.13 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।

	~~(vi)~~

	~~चिह्न फलन (Signum functions) प्रत्येक xER, के लिए~~

	~~1, यदि x > 0~~

	~~f (x) = 0, यदि x = 0~~

	~~- 1, यदि x<0~~

	द्वारा परिभाषित फलन f: RR चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत R है। परिसर समुच्चय (-1, 0, 1] है। आकृति 2.14 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है। (vii) महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest integer functions) f(x) = [x], xER द्वारा परिभाषित फलन

	~~x'←~~

	~~J=-1←~~

	~~f(x) = \| यदि x~~

	x

	~~आकृ~~

	f R→ R, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।

	~~[x], की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि~~

	~~[x] = 1 यदि - 1 [x] =~~

	~~0 यदि 05 x<1~~

	~~[x] =~~

	~~1 यदि 1 ≤ x<2~~

	~~[x] =~~

	~~2 यदि 2≤ x < 3 इत्यदि~~

	~~इस फलन का आलेख आकृति 2.15 में दर्शाया गया है।~~
	~~[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]~~

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	इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। <math>f</math> का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।		इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। <math>f</math> का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।


			(v) मापांक फलन (Modulus functions) f (x) = bxl प्रत्येक X ER द्वारा परिभाषित फलन fRR, मापांक फलन कहलाता है। x के प्रत्येक ऋणेत्तर मान के लिए f(x), x के बराबर होता है। परंतु x के ऋण मानों के लिए, f(x) का मान x के मान के ऋण के बराबर होता है,

			[xx 20 f(x)=- -x, x < 0

			अर्थात्

			मापांक फलन का आलेख आकृति 2.13 में दिया है । मापांक फलन को निरपेक्ष मान फलन भी कहते हैं।

			(vi)

			चिह्न फलन (Signum functions) प्रत्येक xER, के लिए

			1, यदि x > 0

			f (x) = 0, यदि x = 0

			- 1, यदि x<0

			द्वारा परिभाषित फलन f: RR चिह्न फलन कहलाता है। चिह्न फलन का प्रांत R है। परिसर समुच्चय (-1, 0, 1] है। आकृति 2.14 में चिह्न फलन का आलेख दर्शाया गया है। (vii) महत्तम पूर्णांक फलन (Greatest integer functions) f(x) = [x], xER द्वारा परिभाषित फलन

			x'←

			J=-1←

			f(x) = \| यदि x

			x

			आकृ

			f R→ R, x से कम या x के बराबर महत्तम पूर्णांक का मान ग्रहण (धारण) करता है ऐसा फलन महत्तम पूर्णांक फलन कहलाता है।

			[x], की परिभाषा से हम देख सकते हैं कि

			[x] = 1 यदि - 1 [x] =

			0 यदि 05 x<1

			[x] =

			1 यदि 1 ≤ x<2

			[x] =

			2 यदि 2≤ x < 3 इत्यदि

			इस फलन का आलेख आकृति 2.15 में दर्शाया गया है।
	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]

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	'''उदाहरण 1:''' मान लेते हैं कि <math>N</math> प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है और <math>N</math> पर परिभाषित एक संबंध <math>R</math> इस प्रकार है कि <math>R=\{(x,y):y=2x,x,y\in N\}</math>।		'''उदाहरण 1:''' मान लेते हैं कि <math>N</math> प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है और <math>N</math> पर परिभाषित एक संबंध <math>R</math> इस प्रकार है कि <math>R=\{(x,y):y=2x,x,y\in N\}</math>।

	<math>R</math> के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर क्या हैं? क्या यह संबंध, एक फलन है ?		<math>R</math> के प्रांत, सहप्रांत तथा परिसर क्या हैं? क्या यह संबंध, एक फलन है हम यह ज्ञात करने का प्रयास करेंगे।

	'''हल''' <math>R</math> का प्रांत, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय <math>N</math> है । इसका सहप्रांत भी <math>N</math> है। इसका परिसर सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।		'''हल''' <math>R</math> का प्रांत, प्राकृत संख्याओं का समुच्चय <math>N</math> है । इसका सहप्रांत भी <math>N</math> है। इसका परिसर सम प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।

	क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या ” का एक और केवल एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।		क्योंकि प्रत्येक प्राकृत संख्या ”<math>n</math>" का एक और केवल एक ही प्रतिबिंब है, इसलिए यह संबंध एक फलन है।

	== परिभाषा-2 ==		== परिभाषा-2 ==

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	== फलन और कुछ आलेख ==		== फलन और कुछ आलेख ==
	[[File:F(x)=x.jpg\|thumb\|चित्र-1 f(x)=x]]		[[File:चित्र-1 f(x)=x.jpg\|thumb\|चित्र-1 f(x)=x]]
	(i) '''तत्समक फलन:''' मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।		(i) '''तत्समक फलन:''' मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।
	[[File:फलन f(x)=3.jpg\|thumb\|चित्र-2 f(x)=3]]		[[File:फलन f(x)=3.jpg\|thumb\|चित्र-2 f(x)=3]]

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2024-11-07T16:05:03Z

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	'''उदाहरण''' एक वास्तविक मान फलन <math>f:R-\{0\}\rightarrow R</math> की परिभाषा <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, <math>x\in R-\{0\}</math> द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।		'''उदाहरण''' एक वास्तविक मान फलन <math>f:R-\{0\}\rightarrow R</math> की परिभाषा <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, <math>x\in R-\{0\}</math> द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।
			[[File:F(x)=1byx.jpg\|thumb\|चित्र-3 f(x)=1/x]]
	'''हल''' पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:		'''हल''' पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
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	इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। <math>f</math> का आलेख चित्र-३ में प्रदर्शित है।		इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। <math>f</math> का आलेख चित्र-3 में प्रदर्शित है।


	[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]		[[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]

Mani at 15:55, 7 November 2024

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	!<math>x</math>		!<math>x</math>
	!-2		!<math>-2</math>
	!-1.5		!<math>-1.5</math>
	!-1		!<math>-1</math>
	!-0.5		!<math>-0.5</math>
	!0.25		!<math>0.25</math>
	!0.5		!<math>0.5</math>
	!1		!<math>1</math>
	!1.5		!<math>1.5</math>
	!2		!<math>2</math>
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2024-11-07T15:13:18Z

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 [[File:F(x)=x.jpg|thumb|चित्र-1 f(x)=x]]
 (i) '''तत्समक फलन:'''  मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math>  है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।
+[[File:फलन f(x)=3.jpg|thumb|चित्र-2 f(x)=3]]
 (ii) '''अचर फलन:''' <math>y=f(x)=c</math>  जहाँ <math>c</math> एक अचर है और प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। यहाँ पर <math>f</math> का प्रांत <math>R</math> है और उसका परिसर <math>\{c\}</math> है। <math>f</math> का आलेख <math>x</math>- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि <math>f(x)=3</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।
-(iii) बहुपद फलन या बहुपदीय फलन (Polynomial function ) फलन : RR, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि R के प्रत्येक x के लिए, y = f(x)=a+ax+at + ...+ a, x", जहाँ ” एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा aayaa,ER.
+(iii) '''बहुपद फलन या बहुपदीय फलन:'''  फलन <math>f:R\rightarrow R</math>, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि <math>R</math> के प्रत्येक <math>x</math> के लिए, <math>y=f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+....+a_nx^n</math>, जहाँ ”<math>n</math>" एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा <math>a_0,a_1,a_2,.....a_n\in R</math> ।
+<math>f(x)=x^3-x^2+2  </math>, और <math> g(x)=x^4+\sqrt{2}x</math>, द्वारा परिभाषित फलन एक बहुपदीय फलन है जब कि <math>h(x)=x^\frac{2}{3}+2x</math> द्वारा परिभाषित फलन <math>h</math>, बहुपदीय फलन नहीं है।
-.5 -0.67 -1 -2 4
+(iv) '''परिमेय फलन:'''  <math>\frac{f(x)}{g(x)}</math> के प्रकार के फलन जहाँ <math>f(x)</math> तथा <math>g(x)</math>
+एक प्रांत में, <math>x</math> के परिभाषित बहुपदीय फलन हैं, जिसमें <math>g(x)\neq 0</math> परिमेय फलन कहलाते हैं।
-0.67
+'''उदाहरण'''  एक वास्तविक मान फलन <math>f:R-\{0\}\rightarrow R</math> की परिभाषा  <math>f(x)=\frac{1}{x}</math>, <math>x\in R-\{0\}</math> द्वारा कीजिए। इस परिभाषा का प्रयोग करके निम्नलिखित तालिका को पूर्ण करेंगे। इस फलन का प्रांत तथा परिसर क्या हैं,इसका भी ज्ञात करेंगे।
-.5
+'''हल'''  पूर्ण की गई तालिका इस प्रकार है:
-इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। f का आलेख आकृति 2.12 में प्रदर्शित है।
+इसका प्रांत, शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं तथा इसका परिसर भी शून्य के अतिरिक्त समस्त वास्तविक संख्याएँ हैं। <math>f</math> का आलेख चित्र-३ में प्रदर्शित है।
 [[Category:संबंध और फलन]][[Category:कक्षा-11]][[Category:गणित]][[Category:गणित]]

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2024-11-07T13:26:26Z

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	== फलन और कुछ आलेख ==		== फलन और कुछ आलेख ==
	[[File:F(x)=x.jpg\|thumb\|चित्र-1 f(x)=x]]		[[File:F(x)=x.jpg\|thumb\|चित्र-1 f(x)=x]]
	(i) '''तत्समक फलन:''' मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।		(i) '''तत्समक फलन:''' मान लीजिए <math>R</math> वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। <math>y=f(x)</math>, प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। इस प्रकार के फलन को तत्समक फलन कहते हैं। यहाँ पर <math>f</math> के प्रांत तथा परिसर <math>R</math> हैं। इसका आलेख एक सरल रेखा होता है(चित्र-1)। यह रेखा मूल बिंदु से हो कर जाती है।

	X'		[[File:F(x)=3.jpg\|thumb\|चित्र-2- f(x)=3]]
			(ii) '''अचर फलन:''' <math>y=f(x)=c</math> जहाँ <math>c</math> एक अचर है और प्रत्येक <math>x\in R</math> द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन <math>f:R\rightarrow R</math> है। यहाँ पर <math>f</math> का प्रांत <math>R</math> है और उसका परिसर <math>\{c\}</math> है। <math>f</math> का आलेख <math>x</math>- अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि <math>f(x)=3</math> प्रत्येक <math>x\in R</math> है, तो इसका आलेख (चित्र- 2) में दर्शाई रेखा है।

	~~(ii) अचर फलन (Constant function ) y = f (x) = c जहाँ c एक अचर है और प्रत्येक~~

	~~x∈ R द्वारा परिभाषित एक वास्तविक मान फलन : RR है। यहाँ पर ∫ का प्रांत R है और उसका~~		(iii) बहुपद फलन या बहुपदीय फलन (Polynomial function ) फलन : RR, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि R के प्रत्येक x के लिए, y = f(x)=a+ax+at + ...+ a, x", जहाँ ” एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा aayaa,ER.

	f

	~~परिसर {c} है। f का आलेख - अक्ष के समांतर एक रेखा है, उदाहरण के लिए यदि f~~(~~x)=3 प्रत्येक XER है, तो इसका आलेख आकृति 2.9 में दर्शाई रेखा है।~~

	Y

	iii) बहुपद फलन या बहुपदीय फलन (Polynomial function ) फलन : RR, एक बहुपदीय फलन कहलाता है, यदि R के प्रत्येक x के लिए, y = f(x)=a+ax+at + ...+ a, x", जहाँ ” एक ऋणेतर पूर्णांक है तथा aayaa,ER.

	n		n