फलनों के प्राचलिक रूपों के अवकलज - Revision history

Mani: added internal links

2024-12-02T08:36:43Z

added internal links

← Older revision		Revision as of 14:06, 2 December 2024
Line 1:		Line 1:
	समय-समय, दो चरों के बीच संबंध इतना जटिल हो जाता है कि हमें जटिलता को कम करने और इसे संभालना आसान बनाने के लिए एक तीसरा चर प्रस्तुत करना आवश्यक लगता है। इस तीसरे चर को गणित में प्राचल कहा जाता है और फलन को प्राचलिक रूप में कहा जाता है। इसलिए फलन <math>y(x)</math> को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के बजाय, <math>x</math> और <math>y</math> दोनों को तीसरे चर के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह एक परतंत्र चर का दूसरे परतंत्र चर के संदर्भ में अवकलज है, और दोनों परतंत्र चर एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। इसलिए, केवल एक समीकरण के बजाय दो समीकरण हैं। एक समीकरण <math>x</math> को प्राचल से जोड़ता है और एक समीकरण <math>y</math> को प्राचल से जोड़ता है।		समय-समय, दो चरों के बीच संबंध इतना जटिल हो जाता है कि हमें जटिलता को कम करने और इसे संभालना आसान बनाने के लिए एक तीसरा चर प्रस्तुत करना आवश्यक लगता है। इस तीसरे चर को गणित में प्राचल कहा जाता है और फलन को प्राचलिक रूप में कहा जाता है। इसलिए फलन <math>y(x)</math> को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के बजाय, <math>x</math> और <math>y</math> दोनों को तीसरे चर के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह एक परतंत्र चर का दूसरे परतंत्र चर के संदर्भ में [[अवकलज]] है, और दोनों परतंत्र चर एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। इसलिए, केवल एक समीकरण के बजाय दो समीकरण हैं। एक समीकरण <math>x</math> को प्राचल से जोड़ता है और एक समीकरण <math>y</math> को प्राचल से जोड़ता है।

	== फलन का प्राचलिक रूप में अवकलज ==		== फलन का प्राचलिक रूप में अवकलज ==
	किसी अन्य चर्चा में जाने से पहले प्राचलिक फलन के व्यवहार को समझना बेहद आवश्यक है। तो चलिए एक उदाहरण से प्रारंभ करते हैं:		किसी अन्य चर्चा में जाने से पहले प्राचलिक [[फलन]] के व्यवहार को समझना बेहद आवश्यक है। तो चलिए एक उदाहरण से प्रारंभ करते हैं:

	हम साधारणतः त्वरण को इस तरह परिभाषित करते हैं:		हम साधारणतः त्वरण को इस तरह परिभाषित करते हैं:
Line 12:		Line 12:
	<math>a =v {dy \over dt}</math>		<math>a =v {dy \over dt}</math>

	फलन <math>v </math> और <math>x</math> यानी वेग और स्थिति क्रमशः समय के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो यहाँ प्राचलहै। इसलिए हम कह सकते हैं कि वेग <math>v(t)</math> के बराबर है और स्थिति <math>x(t)</math> के बराबर है। तो हम ~~अवकलज~~ विधि का उपयोग करके अवकलज <math>{dv \over dx}</math> की गणना कैसे करेंगे? आइए पता लगाते हैं।		फलन <math>v </math> और <math>x</math> यानी वेग और स्थिति क्रमशः समय के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो यहाँ प्राचलहै। इसलिए हम कह सकते हैं कि वेग <math>v(t)</math> के बराबर है और स्थिति <math>x(t)</math> के बराबर है। तो हम [[अवकलन समीकरण का व्यापक एवं विशिष्ट हल\|अवकलन]] विधि का उपयोग करके अवकलज <math>{dv \over dx}</math> की गणना कैसे करेंगे? आइए पता लगाते हैं।

	यदि <math>x</math> बराबर <math>f(t)</math> है और <math>y</math> बराबर <math>g(t)</math> है और वे प्राचलt के दो अलग-अलग फलन हैं, तो <math>y</math> को <math>x</math> के फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तब:		यदि <math>x</math> बराबर <math>f(t)</math> है और <math>y</math> बराबर <math>g(t)</math> है और वे प्राचलt के दो अलग-अलग फलन हैं, तो <math>y</math> को <math>x</math> के फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तब:

Mani: formulas

2024-12-02T08:34:38Z

formulas

← Older revision		Revision as of 14:04, 2 December 2024
Line 1:		Line 1:
	~~कभी~~-~~कभी~~, दो चरों के बीच संबंध इतना जटिल हो जाता है कि हमें जटिलता को कम करने और इसे संभालना आसान बनाने के लिए एक तीसरा चर प्रस्तुत करना आवश्यक लगता है। इस तीसरे चर को गणित में प्राचल कहा जाता है और ~~फ़ंक्शन~~ को प्राचलिक रूप में कहा जाता है। इसलिए ~~फ़ंक्शन~~ y(x) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के बजाय, x और y दोनों को तीसरे चर के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह एक ~~आश्रित~~ चर का दूसरे ~~आश्रित~~ चर के संदर्भ में अवकलज है, और दोनों ~~आश्रित~~ चर एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। इसलिए, केवल एक समीकरण के बजाय दो समीकरण हैं। एक समीकरण x को ~~प्राचलसे~~ जोड़ता है और एक समीकरण y को प्राचल से जोड़ता है।		समय-समय, दो चरों के बीच संबंध इतना जटिल हो जाता है कि हमें जटिलता को कम करने और इसे संभालना आसान बनाने के लिए एक तीसरा चर प्रस्तुत करना आवश्यक लगता है। इस तीसरे चर को गणित में प्राचल कहा जाता है और फलन को प्राचलिक रूप में कहा जाता है। इसलिए फलन <math>y(x)</math> को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के बजाय, <math>x</math> और <math>y</math> दोनों को तीसरे चर के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह एक परतंत्र चर का दूसरे परतंत्र चर के संदर्भ में अवकलज है, और दोनों परतंत्र चर एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। इसलिए, केवल एक समीकरण के बजाय दो समीकरण हैं। एक समीकरण <math>x</math> को प्राचल से जोड़ता है और एक समीकरण <math>y</math> को प्राचल से जोड़ता है।

	== फलन का प्राचलिक रूप में अवकलज ==		== फलन का प्राचलिक रूप में अवकलज ==
	किसी अन्य चर्चा में जाने से पहले प्राचलिक ~~फ़ंक्शन~~ के व्यवहार को समझना बेहद ~~ज़रूरी~~ है। तो चलिए एक उदाहरण से ~~शुरू~~ करते हैं:		किसी अन्य चर्चा में जाने से पहले प्राचलिक फलन के व्यवहार को समझना बेहद आवश्यक है। तो चलिए एक उदाहरण से प्रारंभ करते हैं:

	हम ~~आमतौर पर~~ त्वरण को इस तरह परिभाषित करते हैं:		हम साधारणतः त्वरण को इस तरह परिभाषित करते हैं:

	a =		<math>a ={dy \over dt}</math>

			लेकिन त्वरण की एक वैकल्पिक परिभाषा भी है जो हमें यह बताती है:

			<math>a =v {dy \over dt}</math>

			फलन <math>v </math> और <math>x</math> यानी वेग और स्थिति क्रमशः समय के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो यहाँ प्राचलहै। इसलिए हम कह सकते हैं कि वेग <math>v(t)</math> के बराबर है और स्थिति <math>x(t)</math> के बराबर है। तो हम अवकलज विधि का उपयोग करके अवकलज <math>{dv \over dx}</math> की गणना कैसे करेंगे? आइए पता लगाते हैं।

			यदि <math>x</math> बराबर <math>f(t)</math> है और <math>y</math> बराबर <math>g(t)</math> है और वे प्राचलt के दो अलग-अलग फलन हैं, तो <math>y</math> को <math>x</math> के फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तब:

			<math>{dy \over dx}=\frac{ {dy \over dt}}{{dx \over dt}} ,</math> मान लें यह दिया गया है कि <math>{dx \over dt}\neq 0</math>

			या फिर,

			<math>{dy \over dx}=\frac{ {g'(t)}}{{f'(t)}} ,</math> बशर्ते कि <math>{f'(t)}\neq 0</math>

			यह बहुत स्पष्ट है कि यह <math>x</math> के संदर्भ में फलन <math>y</math> का पहला अवकलज है जब उन्हें प्राचलिक रूप में दर्शाया जाता है। इसलिए, हम दूसरे अवकलज की गणना इस प्रकार कर सकते हैं:

			<math>{d^2y \over dx^2}={d \over dx}\left ( \frac{dy}{dx} \right )</math>

			हम <math>{dy \over dx}</math> को प्राचलिक फलन <math>t</math> के रूप में मानते हुए, प्रथम-क्रम प्राचलिक अवकलन को पुनः लागू कर सकते हैं:

	~~लेकिन त्वरण~~ की एक ~~वैकल्पिक परिभाषा भी है~~ जो हमें यह ~~बताती~~ है:		<math>{d^2y \over dx^2}=\frac{{d \over dt}\left ( \frac{dy}{dx} \right )}{ {dx \over dt}}</math>

			हम इसी तरह उच्च-क्रम अवकलज की गणना कर सकते हैं। मात्र एक चीज जो हमें याद रखनी है वह यह है कि जब भी हम अवकलज की गणना करते हैं, तो यह <math>t</math> का फलन बन जाएगा।

			== उदाहरण ==
			'''प्रश्न 1)''' <math>x = t^2</math> और <math>y = t^2</math> को हल करें

			'''समाधान 1)''' <math>x_t' = (t^2)' = 2t, y_t'=(t^3)'=3t^2</math>

			अतः,

			<math>{dy \over dx}= y_x'=\frac{y_t'}{x_t'}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2}(t\neq0)</math> ।


			'''प्रश्न 2)''' <math>x = 2t + 1, y = 4t - 3</math>

	a = v		'''समाधान 2)''' <math>x_t'= (2t + 1) = 2, y_t'= (4t-3)' = 4</math>

			अतः,

	फ़ंक्शन v और x यानी वेग और स्थिति क्रमशः समय के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो यहाँ प्राचलहै। इसलिए हम कह सकते हैं कि वेग v(t) के बराबर है और स्थिति x(t) के बराबर है। तो हम अवकलज विधि का उपयोग करके अवकलज dvdx की गणना कैसे करेंगे? आइए पता लगाते हैं।		<math>{dy \over dx}= y_x'=\frac{y_t'}{x_t'}=\frac{4}{2}=2</math> ।

	यदि x बराबर f(t) है और y बराबर g(t) है और वे प्राचलt के दो अलग-अलग फ़ंक्शन हैं, तो y को x के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तब:

	=		'''प्रश्न 5)''' <math>x = sin^2t, y = cos^2t</math>

	, ~~given that~~		'''समाधान 5)''' <math>x_t' = (sin^2t)' = 2sint\cdot cos t = sin2t, y_t'= (cos^2t)' = 2cost \cdot (-sint) = -2sint cost = -sin2t</math>

	~~≠ 0~~		अतः,

			<math>{dy \over dx}= y_x'=\frac{y_t'}{x_t'}=\frac{-sin2t}{-sin2t}=-1</math> जहाँ , <math>t \neq \frac{\pi n}{2} , n \in Z</math> ।
	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani: added content

2024-12-02T06:34:24Z

added content

← Older revision		Revision as of 12:04, 2 December 2024
Line 1:		Line 1:
	~~किसी~~ फ़ंक्शन का ~~पैरामीट्रिक व्युत्पन्न।~~		कभी-कभी, दो चरों के बीच संबंध इतना जटिल हो जाता है कि हमें जटिलता को कम करने और इसे संभालना आसान बनाने के लिए एक तीसरा चर प्रस्तुत करना आवश्यक लगता है। इस तीसरे चर को गणित में प्राचल कहा जाता है और फ़ंक्शन को प्राचलिक रूप में कहा जाता है। इसलिए फ़ंक्शन y(x) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के बजाय, x और y दोनों को तीसरे चर के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह एक आश्रित चर का दूसरे आश्रित चर के संदर्भ में अवकलज है, और दोनों आश्रित चर एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। इसलिए, केवल एक समीकरण के बजाय दो समीकरण हैं। एक समीकरण x को प्राचलसे जोड़ता है और एक समीकरण y को प्राचल से जोड़ता है।

	कभी-कभी, दो चरों के बीच संबंध इतना जटिल हो जाता है कि हमें जटिलता को कम करने और इसे संभालना आसान बनाने के लिए एक तीसरा चर पेश करना आवश्यक लगता है। इस तीसरे चर को गणित में पैरामीटर कहा जाता है और फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक रूप में कहा जाता है। इसलिए फ़ंक्शन y(x) को स्पष्ट रूप ~~से परिभाषित करने के बजाय, x और y दोनों को तीसरे चर के संदर्भ~~ में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह एक आश्रित चर का दूसरे आश्रित चर के संदर्भ में व्युत्पन्न है, और दोनों आश्रित चर एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। इसलिए, केवल एक समीकरण के बजाय दो समीकरण हैं। एक समीकरण x को पैरामीटर से जोड़ता है और एक समीकरण y को पैरामीटर से जोड़ता है।		== फलन का प्राचलिक रूप में अवकलज ==
			किसी अन्य चर्चा में जाने से पहले प्राचलिक फ़ंक्शन के व्यवहार को समझना बेहद ज़रूरी है। तो चलिए एक उदाहरण से शुरू करते हैं:
	~~पैरामीट्रिक फॉर्म में व्युत्पन्न~~

	किसी अन्य चर्चा में जाने से पहले ~~पैरामीट्रिक~~ फ़ंक्शन के व्यवहार को समझना बेहद ज़रूरी है। तो चलिए एक उदाहरण से शुरू करते हैं:

	हम आमतौर पर त्वरण को इस तरह परिभाषित करते हैं:		हम आमतौर पर त्वरण को इस तरह परिभाषित करते हैं:
Line 19:		Line 16:


	फ़ंक्शन v और x यानी वेग और स्थिति क्रमशः समय के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो यहाँ ~~पैरामीटर है।~~ इसलिए हम कह सकते हैं कि वेग v(t) के बराबर है और स्थिति x(t) के बराबर है। तो हम ~~व्युत्पन्न~~ विधि का उपयोग करके ~~व्युत्पन्न~~ dvdx की गणना कैसे करेंगे? आइए पता लगाते हैं।		फ़ंक्शन v और x यानी वेग और स्थिति क्रमशः समय के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो यहाँ प्राचलहै। इसलिए हम कह सकते हैं कि वेग v(t) के बराबर है और स्थिति x(t) के बराबर है। तो हम अवकलज विधि का उपयोग करके अवकलज dvdx की गणना कैसे करेंगे? आइए पता लगाते हैं।

	यदि x बराबर f(t) है और y बराबर g(t) है और वे ~~पैरामीटर t~~ के दो अलग-अलग फ़ंक्शन हैं, तो y को x के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तब:		यदि x बराबर f(t) है और y बराबर g(t) है और वे प्राचलt के दो अलग-अलग फ़ंक्शन हैं, तो y को x के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तब:

	=		=

Mani: added content

2024-12-02T04:05:46Z

added content

← Older revision		Revision as of 09:35, 2 December 2024
Line 1:		Line 1:
	~~Derivatives of Functions in Parametric Forms~~		किसी फ़ंक्शन का पैरामीट्रिक व्युत्पन्न।

			कभी-कभी, दो चरों के बीच संबंध इतना जटिल हो जाता है कि हमें जटिलता को कम करने और इसे संभालना आसान बनाने के लिए एक तीसरा चर पेश करना आवश्यक लगता है। इस तीसरे चर को गणित में पैरामीटर कहा जाता है और फ़ंक्शन को पैरामीट्रिक रूप में कहा जाता है। इसलिए फ़ंक्शन y(x) को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के बजाय, x और y दोनों को तीसरे चर के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। मूल रूप से, यह एक आश्रित चर का दूसरे आश्रित चर के संदर्भ में व्युत्पन्न है, और दोनों आश्रित चर एक स्वतंत्र चर पर निर्भर करते हैं। इसलिए, केवल एक समीकरण के बजाय दो समीकरण हैं। एक समीकरण x को पैरामीटर से जोड़ता है और एक समीकरण y को पैरामीटर से जोड़ता है।

			पैरामीट्रिक फॉर्म में व्युत्पन्न

			किसी अन्य चर्चा में जाने से पहले पैरामीट्रिक फ़ंक्शन के व्यवहार को समझना बेहद ज़रूरी है। तो चलिए एक उदाहरण से शुरू करते हैं:

			हम आमतौर पर त्वरण को इस तरह परिभाषित करते हैं:

			a =



			लेकिन त्वरण की एक वैकल्पिक परिभाषा भी है जो हमें यह बताती है:

			a = v



			फ़ंक्शन v और x यानी वेग और स्थिति क्रमशः समय के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं जो यहाँ पैरामीटर है। इसलिए हम कह सकते हैं कि वेग v(t) के बराबर है और स्थिति x(t) के बराबर है। तो हम व्युत्पन्न विधि का उपयोग करके व्युत्पन्न dvdx की गणना कैसे करेंगे? आइए पता लगाते हैं।

			यदि x बराबर f(t) है और y बराबर g(t) है और वे पैरामीटर t के दो अलग-अलग फ़ंक्शन हैं, तो y को x के फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। तब:

			=

			, given that

			≠ 0

	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:24, 4 August 2023

2023-08-04T06:24:13Z

← Older revision		Revision as of 11:54, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Derivatives of Functions in Parametric Forms		Derivatives of Functions in Parametric Forms
	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Sarika at 06:20, 4 August 2023

2023-08-04T06:20:11Z

← Older revision		Revision as of 11:50, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:
	Derivatives of Functions in Parametric Forms		Derivatives of Functions in Parametric Forms
	[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]]		[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]][[Category:गणित]]

Mani: added category

2023-04-21T14:29:52Z

added category

← Older revision		Revision as of 19:59, 21 April 2023
Line 1:		Line 1:
	Derivatives of Functions in Parametric Forms		Derivatives of Functions in Parametric Forms
			[[Category:सांतत्य तथा अवकलनीयता]]

Sarika at 06:47, 19 April 2023

2023-04-19T06:47:40Z

← Older revision		Revision as of 12:17, 19 April 2023
Line 1:		Line 1:
	Derivatives of Functions in Parametric Forms		Derivatives of Functions in Parametric Forms
	~~[[Category:गणित]][[Category: कक्षा-12]]~~

Sarika at 07:06, 21 March 2023

2023-03-21T07:06:50Z

← Older revision		Revision as of 12:36, 21 March 2023
Line 1:		Line 1:
	Derivatives of Functions in Parametric Forms		Derivatives of Functions in Parametric Forms
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]][[Category: कक्षा-12]]

Mani at 06:39, 13 March 2023

2023-03-13T06:39:09Z

← Older revision		Revision as of 12:09, 13 March 2023
Line 1:		Line 1:
	Derivatives of Functions in Parametric Forms		Derivatives of Functions in Parametric Forms
	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	~~[[Category:रैखिक बीजगणित]]~~