बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ - Revision history

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2024-09-08T03:10:08Z

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	चूँकि द्विघात समीकरण में अधिकतम दो शून्य होते हैं, इसलिए तीन अलग-अलग स्थितियाँ उपस्थित होती हैं। वे:		चूँकि द्विघात समीकरण में अधिकतम दो शून्य होते हैं, इसलिए तीन अलग-अलग स्थितियाँ उपस्थित होती हैं। वे:

	'''~~केस~~ 1''': आलेख x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं, मान लीजिए <math>A</math> और <math>A^'</math> पर प्रतिच्छेद करता है।		'''स्थिति 1''': आलेख x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं, मान लीजिए <math>A</math> और <math>A^'</math> पर प्रतिच्छेद करता है।

	इस स्थिति में, द्विघात बहुपद में '''दो शून्य''' होते हैं।		इस स्थिति में, द्विघात बहुपद में '''दो शून्य''' होते हैं।

	उदाहरण:[[File:Quadratic Polynomial with 2 zeroes.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]		उदाहरण:[[File:Quadratic Polynomial with 2 zeroes.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]
	'''~~केस~~ 2''': मान लीजिए <math>A</math>, आलेख x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।		'''स्थिति 2''': मान लीजिए <math>A</math>, आलेख x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।

	इस स्थिति में, केवल '''एक शून्य''' उपस्थित है।		इस स्थिति में, केवल '''एक शून्य''' उपस्थित है।

	उदाहरण :[[File:Quadratic Polynomial with 1 zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]		उदाहरण :[[File:Quadratic Polynomial with 1 zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]
	'''~~केस~~ 3''': आलेख किसी भी बिंदु पर x-अक्ष को नहीं प्रतिच्छेद करता है।		'''स्थिति 3''': आलेख किसी भी बिंदु पर x-अक्ष को नहीं प्रतिच्छेद करता है।

	इस स्थिति में, दिए गए द्विघात बहुपद का वक्र पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर या नीचे है। तो, इस स्थिति में द्विघात बहुपद का कोई '''शून्य नहीं''' है।		इस स्थिति में, दिए गए द्विघात बहुपद का वक्र पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर या नीचे है। तो, इस स्थिति में द्विघात बहुपद का कोई '''शून्य नहीं''' है।

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2024-09-08T03:02:02Z

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	[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]		[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]

	~~Generally~~, ~~the graph of the quadratic equation~~, <math>y=ax^2+bx+c</math>, ~~where~~ <math>a \ne 0</math> .~~has two types of curves such as the parabolic curve open upwards or parabolic curve open downwards~~, ~~depending on whether~~<math>a>0</math> or <math>a<0</math>		साधारणतः, द्विघात समीकरण का आलेख , <math>y=ax^2+bx+c</math>, जहाँ <math>a \ne 0</math> .इसमें दो प्रकार के वक्र होते हैं जैसे परवलयिक वक्र ऊपर की ओर खुलता है या परवलयिक वक्र नीचे की ओर खुलता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि <math>a>0</math> या <math>a<0</math>

	~~From the graph~~, ~~we can observe that the two zeroes of the polynomial~~ <math>y=x^2-3x-4</math> ~~are~~ <math>-1</math> ~~and~~ <math>4</math>.		आलेख से, हम देख सकते हैं कि बहुपद के दो शून्यक <math>y=x^2-3x-4</math>, <math>-1</math> और <math>4</math> हैं।

	~~The zeroes~~ <math>-1</math> ~~and~~ <math>4</math> ~~are the~~ x-~~coordinates of the point in which the graph~~, <math>y=x^2-3x-4</math> ~~intersects at the~~ x-~~axis.~~		शून्य <math>-1</math> और <math>4</math> उस बिंदु के x-निर्देशांक हैं जहां आलेख , <math>y=x^2-3x-4</math>, x-अक्ष पर प्रतिच्छेद करता है।

	~~Since the quadratic equation has at most two zeroes~~, ~~there exist three different cases. They are~~:		चूँकि द्विघात समीकरण में अधिकतम दो शून्य होते हैं, इसलिए तीन अलग-अलग स्थितियाँ उपस्थित होती हैं। वे:

	'''~~Case~~ 1:''' ~~The graph cuts the~~ x-~~axis at two distinct points~~, ~~say~~ <math>A</math> ~~and~~ <math>A^'</math>.		'''केस 1''': आलेख x-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं, मान लीजिए <math>A</math> और <math>A^'</math> पर प्रतिच्छेद करता है।

	~~In this case~~, ~~the quadratic polynomial has~~ '''~~two zeroes.~~'''		इस स्थिति में, द्विघात बहुपद में '''दो शून्य''' होते हैं।

	~~Example~~:		उदाहरण:[[File:Quadratic Polynomial with 2 zeroes.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]
	[[File:Quadratic Polynomial with 2 zeroes.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]		'''केस 2''': मान लीजिए <math>A</math>, आलेख x-अक्ष को ठीक एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है।
	'''~~Case~~ 2:''' ~~The graph cuts the X-axis at exactly one point, say~~ <math>A</math>.

	~~In this case~~, ~~there exists~~ '''~~only one zero~~'''.		इस स्थिति में, केवल '''एक शून्य''' उपस्थित है।

	~~Example~~ :		उदाहरण :[[File:Quadratic Polynomial with 1 zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]
	[[File:Quadratic Polynomial with 1 zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]		'''केस 3''': आलेख किसी भी बिंदु पर x-अक्ष को नहीं प्रतिच्छेद करता है।
	'''~~Case~~ 3''': ~~The graph does not cut X~~-~~axis at any point.~~

	~~In this case~~, ~~the curve for the given quadratic polynomial is completely above or below the~~ x-~~axis. So~~, ~~the quadratic polynomial has~~ '''~~no zero~~''' ~~in this case.~~		इस स्थिति में, दिए गए द्विघात बहुपद का वक्र पूरी तरह से x-अक्ष के ऊपर या नीचे है। तो, इस स्थिति में द्विघात बहुपद का कोई '''शून्य नहीं''' है।

	~~Example~~:		उदाहरण:[[File:Quadratic Polynomial with no zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]
	[[File:Quadratic Polynomial with no zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]


	[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Mani at 12:04, 7 September 2024

2024-09-07T12:04:54Z

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	[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]		[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]

	Generally, the graph of the quadratic equation, <math>y=ax^2+bx+c</math>, where <math>a \ne 0</math> .has two types of curves such as the parabolic curve open upwards or parabolic curve open downwards, depending on whether<math>a>0</math> or <math>a<0</math>		Generally, the graph of the quadratic equation, <math>y=ax^2+bx+c</math>, where <math>a \ne 0</math> .has two types of curves such as the parabolic curve open upwards or parabolic curve open downwards, depending on whether<math>a>0</math> or <math>a<0</math>

Mani at 12:03, 7 September 2024

2024-09-07T12:03:53Z

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	[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]		[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]
			Generally, the graph of the quadratic equation, <math>y=ax^2+bx+c</math>, where <math>a \ne 0</math> .has two types of curves such as the parabolic curve open upwards or parabolic curve open downwards, depending on whether<math>a>0</math> or <math>a<0</math>

			From the graph, we can observe that the two zeroes of the polynomial <math>y=x^2-3x-4</math> are <math>-1</math> and <math>4</math>.

			The zeroes <math>-1</math> and <math>4</math> are the x-coordinates of the point in which the graph, <math>y=x^2-3x-4</math> intersects at the x-axis.

			Since the quadratic equation has at most two zeroes, there exist three different cases. They are:

			'''Case 1:''' The graph cuts the x-axis at two distinct points, say <math>A</math> and <math>A^'</math>.

			In this case, the quadratic polynomial has '''two zeroes.'''

			Example:
			[[File:Quadratic Polynomial with 2 zeroes.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]
			'''Case 2:''' The graph cuts the X-axis at exactly one point, say <math>A</math>.

			In this case, there exists '''only one zero'''.

			Example :
			[[File:Quadratic Polynomial with 1 zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]
			'''Case 3''': The graph does not cut X-axis at any point.

			In this case, the curve for the given quadratic polynomial is completely above or below the x-axis. So, the quadratic polynomial has '''no zero''' in this case.

			Example:
			[[File:Quadratic Polynomial with no zero.jpg\|none\|thumb\|400x400px]]


	[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

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2024-09-05T05:09:24Z

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← Older revision		Revision as of 10:39, 5 September 2024
Line 36:		Line 36:

	द्विघात समीकरण <math>y=x^2-3x-4</math> पर विचार कीजिए		द्विघात समीकरण <math>y=x^2-3x-4</math> पर विचार कीजिए

	~~For the given quadratic equation, here are the the coordinates<math>(x,y)</math> by taking a few values of <math>x</math>.~~

	दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, यहाँ <math>x</math> के कुछ मान लेकर निर्देशांक <math>(x,y)</math> दिए गए हैं।		दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, यहाँ <math>x</math> के कुछ मान लेकर निर्देशांक <math>(x,y)</math> दिए गए हैं।
Line 62:		Line 60:
	\|}		\|}

	~~Hence~~, ~~the coordinates formed are~~ <math>(-2,6),(-1,0),(0,-4),(1,-6),(2,-6),(3,-4),(4,0)(5,6)</math>		अत:, <math>(-2,6),(-1,0),(0,-4),(1,-6),(2,-6),(3,-4),(4,0)(5,6)</math> बनने वाले निर्देशांक हैं

	~~Now~~, ~~graph the points as shown below~~:		अब, नीचे दिखाए गए अनुसार बिंदुओं का आलेख बनाएं:

	[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]		[[File:Graph y=x2-3x-4.jpg\|frameless]]

	[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:बहुपद]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

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2024-09-05T05:06:43Z

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← Older revision		Revision as of 10:36, 5 September 2024
Line 33:		Line 33:

	== द्विघात बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ: ==		== द्विघात बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ: ==
	~~We know that the standard form of a quadratic polynomial is~~ ax<sup>2</sup>+bx+c, ~~where a≠0. Now, let us understand the geometrical meaning of zeroes of quadratic polynomials with the help of an example.~~		हम जानते हैं कि द्विघात बहुपद का मानक रूप ax<sup>2</sup>+bx+c है, जहां a≠0। आइए अब हम एक उदाहरण की सहायता से द्विघात बहुपदों के शून्यकों के ज्यामितीय अर्थ को समझते हैं।

	~~Consider the quadratic equation~~ <math>y=x^2-3x-4</math>		द्विघात समीकरण <math>y=x^2-3x-4</math> पर विचार कीजिए

	For the given quadratic equation, here are the the coordinates<math>(x,y)</math> by taking a few values of <math>x</math>.		For the given quadratic equation, here are the the coordinates<math>(x,y)</math> by taking a few values of <math>x</math>.

			दिए गए द्विघात समीकरण के लिए, यहाँ <math>x</math> के कुछ मान लेकर निर्देशांक <math>(x,y)</math> दिए गए हैं।
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|<math>x</math>		\|<math>x</math>

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2024-09-05T05:00:26Z

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← Older revision		Revision as of 10:30, 5 September 2024
Line 4:		Line 4:

	== रैखिक बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ ==		== रैखिक बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ ==
	~~A linear polynomial is in the form~~ <math>ax+b</math>, ~~where~~ <math>a \ne 0</math>~~. The graph of the linear equation~~, ~~say~~ <math>y=ax+b</math> ~~is a straight line. Assume that the graph~~ <math>y=2x+3</math> ~~is a polynomial. It means that~~ <math>y=2x+3</math> ~~is a straight line that passes through the points~~ <math>(-2,-1)</math> ~~and~~ <math>(2,7)</math>~~. Here are the the coordinates~~<math>(x~~,y)~~</math> ~~by taking a few values of~~ <math>x</math>.		रैखिक बहुपद <math>ax+b</math> के रूप में होता है, जहाँ <math>a \ne 0</math> होता है। रैखिक समीकरण का आलेख(ग्राफ), मान लीजिए <math>y=ax+b</math> एक सीधी रेखा है। मान लीजिए कि आलेख <math>y=2x+3</math> एक बहुपद है। इसका मतलब है कि <math>y=2x+3</math> एक सीधी रेखा है जो बिंदुओं <math>(-2,-1)</math> और <math>(2,7)</math> से होकर गुजरती है। यहाँ <math>x</math> के कुछ मान लेकर, निर्देशांक हैं <math>(x,y)</math>।
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	\|+		\|+
Line 22:		Line 22:
	\|}		\|}

	~~The graph of the linear equation~~ <math>y=2x+3</math> ~~is given below~~:		रैखिक समीकरण <math>y=2x+3</math> का आलेख नीचे दिया गया है:

	[[File:Graph y=2x+3.jpg\|frameless]]		[[File:Graph y=2x+3.jpg\|frameless]]

			आलेख से, हम देख सकते हैं कि आलेख <math>y=2x+3</math>, x-अक्ष को <math>x=-1</math> और <math>x=-2</math> के बीच प्रतिच्छेद करता है। इसका अर्थ है कि सीधी रेखा x-अक्ष को बिंदु <math>(-\frac{3}{2},0)</math> पर प्रतिच्छेद करती है।

			अत: <math>-\frac{3}{2}</math> बहुपद <math>y=2x+3</math> का शून्यक है

			साधरणतः, हम कह सकते हैं कि एक रैखिक बहुपद <math>y=ax+b</math>, जहां <math>a \ne 0</math>, में बिल्कुल एक शून्य होता है। रैखिक बहुपद का शून्य उस बिंदु का x-निर्देशांक है जहां <math>y=ax+b</math> का आलेख x-अक्ष पर प्रतिच्छेद करता है।
	~~From the graph~~, we can observe that graph <math>y=2x+3</math> intersects the x-axis between <math>x=-1</math> and <math>x=-2</math>. It means the straight line intersects the x-axis at the point <math>(-\frac{3}{2},0)</math>.

	~~Hence <math>-\frac{3}{2}</math> is the zero of the polynomial <math>y=2x+3</math>~~

	~~In general, we can say that a linear polynomial~~ <math>y=ax+b</math>, ~~where~~ <math>a \ne 0</math>, ~~has exactly one zero. The zero of the linear polynomial is the~~ x-~~coordinate of the point where the graph of~~ <math>y=ax+b</math> ~~intersects at the~~ x-~~axis.~~

	== द्विघात बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ: ==		== द्विघात बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ: ==

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2024-09-05T04:35:16Z

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← Older revision		Revision as of 10:05, 5 September 2024
Line 3:		Line 3:
	जहाँ <math>a_n,a_{n-1},a_1,a_0</math> वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ <math>a_n\ne0</math>। साथ ही, हमने बहुपद से संबंधित पदों के बारे में भी सीखा है, जैसे [[बहुपद के पद\|गुणांक]], पद, [[बहुपद की घात]], [[बहुपद के शून्यक]] इत्यादि।		जहाँ <math>a_n,a_{n-1},a_1,a_0</math> वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ <math>a_n\ne0</math>। साथ ही, हमने बहुपद से संबंधित पदों के बारे में भी सीखा है, जैसे [[बहुपद के पद\|गुणांक]], पद, [[बहुपद की घात]], [[बहुपद के शून्यक]] इत्यादि।

	== ~~Geometrical Meaning of Zeroes of a Linear Polynomial~~ ==		== रैखिक बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ ==
	A linear polynomial is in the form <math>ax+b</math>, where <math>a \ne 0</math>. The graph of the linear equation, say <math>y=ax+b</math> is a straight line. Assume that the graph <math>y=2x+3</math> is a polynomial. It means that <math>y=2x+3</math> is a straight line that passes through the points <math>(-2,-1)</math> and <math>(2,7)</math>. Here are the the coordinates<math>(x,y)</math> by taking a few values of <math>x</math>.		A linear polynomial is in the form <math>ax+b</math>, where <math>a \ne 0</math>. The graph of the linear equation, say <math>y=ax+b</math> is a straight line. Assume that the graph <math>y=2x+3</math> is a polynomial. It means that <math>y=2x+3</math> is a straight line that passes through the points <math>(-2,-1)</math> and <math>(2,7)</math>. Here are the the coordinates<math>(x,y)</math> by taking a few values of <math>x</math>.
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
Line 35:		Line 35:
	In general, we can say that a linear polynomial <math>y=ax+b</math>, where <math>a \ne 0</math>, has exactly one zero. The zero of the linear polynomial is the x-coordinate of the point where the graph of <math>y=ax+b</math> intersects at the x-axis.		In general, we can say that a linear polynomial <math>y=ax+b</math>, where <math>a \ne 0</math>, has exactly one zero. The zero of the linear polynomial is the x-coordinate of the point where the graph of <math>y=ax+b</math> intersects at the x-axis.

	== ~~Geometrical Meaning of Zeroes of Quadratic Polynomial~~: ==		== द्विघात बहुपद के शून्यकों का ज्यामितीय अर्थ: ==
	We know that the standard form of a quadratic polynomial is ax<sup>2</sup>+bx+c, where a≠0. Now, let us understand the geometrical meaning of zeroes of quadratic polynomials with the help of an example.		We know that the standard form of a quadratic polynomial is ax<sup>2</sup>+bx+c, where a≠0. Now, let us understand the geometrical meaning of zeroes of quadratic polynomials with the help of an example.

Mani: added content

2024-09-05T04:30:32Z

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← Older revision		Revision as of 10:00, 5 September 2024
Line 1:		Line 1:
	बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जो <math>P(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +......+a_1x^1+a_0</math> के रूप में होता है		बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जो <math>P(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +......+a_1x^1+a_0</math> के रूप में होता है।

	~~where~~ <math>a_n,a_{n-1},a_1,a_0</math> ~~are the real numbers~~, ~~where~~ <math>a_n\ne0</math>~~. Also~~, ~~we have learned the terms related to the polynomials~~, ~~such as~~ [[~~Terms of Polynomial~~\|~~coefficients~~]], ~~terms~~, [[~~Degree of the polynomial\|degree of a polynomial~~]], [[~~Zeroes of a Polynomial\|zeroes of a polynomial~~]] ~~and so on.~~		जहाँ <math>a_n,a_{n-1},a_1,a_0</math> वास्तविक संख्याएँ हैं, जहाँ <math>a_n\ne0</math>। साथ ही, हमने बहुपद से संबंधित पदों के बारे में भी सीखा है, जैसे [[बहुपद के पद\|गुणांक]], पद, [[बहुपद की घात]], [[बहुपद के शून्यक]] इत्यादि।

	== Geometrical Meaning of Zeroes of a Linear Polynomial ==		== Geometrical Meaning of Zeroes of a Linear Polynomial ==

Mani: added content

2024-09-05T04:17:31Z

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← Older revision		Revision as of 09:47, 5 September 2024
Line 1:		Line 1:
	~~A polynomial is an algebraic expression which is in the form of~~ <math>P(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +......+a_1x^1+a_0</math>		बहुपद एक बीजीय व्यंजक है जो <math>P(x)=a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1} +......+a_1x^1+a_0</math> के रूप में होता है

	where <math>a_n,a_{n-1},a_1,a_0</math> are the real numbers, where <math>a_n\ne0</math>. Also, we have learned the terms related to the polynomials, such as [[Terms of Polynomial\|coefficients]], terms, [[Degree of the polynomial\|degree of a polynomial]], [[Zeroes of a Polynomial\|zeroes of a polynomial]] and so on.		where <math>a_n,a_{n-1},a_1,a_0</math> are the real numbers, where <math>a_n\ne0</math>. Also, we have learned the terms related to the polynomials, such as [[Terms of Polynomial\|coefficients]], terms, [[Degree of the polynomial\|degree of a polynomial]], [[Zeroes of a Polynomial\|zeroes of a polynomial]] and so on.