बहुभुज - Revision history

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2024-11-05T02:18:54Z

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	बहुभुज एक द्वि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जिसमें पक्षों की एक सीमित संख्या होती है। बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं। इस प्रकार, बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ या किनारे कहा जाता है। वह बिंदु जहाँ दो रेखाखंड मिलते हैं उसे शीर्ष या कोने कहा जाता है, इसलिए एक कोण बनता है। बहुभुज का एक उदाहरण तीन भुजाओं वाला त्रिभुज है। वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है, क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें भुजाएँ या कोण नहीं होते हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि सभी बहुभुज 2d आकार हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं।		बहुभुज एक द्वि-आयामी ज्यामितीय आकृति है जिसमें पक्षों की एक सीमित संख्या होती है। बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं। इस प्रकार, बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ या किनारे कहा जाता है। वह बिंदु जहाँ दो रेखाखंड मिलते हैं उसे शीर्ष या कोने कहा जाता है, इसलिए एक कोण बनता है। बहुभुज का एक उदाहरण तीन भुजाओं वाला त्रिभुज है। वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है, क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें भुजाएँ या कोण नहीं होते हैं। इसलिए, हम कह सकते हैं कि सभी बहुभुज <math>2D</math> आकार हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं।

	== बहुभुज क्या होते हैं? ==		== बहुभुज क्या होते हैं? ==
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	\|+		\|+
	\|[[File:Triangolo-Scaleno.svg\|alt=Triangle\|none\|thumb\|100x100px\|त्रिभुज]]		\|[[File:Triangolo-Scaleno.svg\|alt=Triangle\|none\|thumb\|100x100px\|त्रिभुज]]
	\|[[File:Parallelogram1.svg\|alt=Parallelogram\|none\|thumb\|100x100px\|चतुर्भुज]]		\|[[File:Parallelogram1.svg\|alt=Parallelogram\|none\|thumb\|100x100px\|[[चतुर्भुज]]]]
	\|[[File:Pentagon.svg\|alt=Pentagon\|none\|thumb\|100x100px\|पंचकोण]]		\|[[File:Pentagon.svg\|alt=Pentagon\|none\|thumb\|100x100px\|पंचकोण]]
	\|-		\|-
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	बहुभुजों के गुण उनकी भुजाओं और कोणों पर आधारित होते हैं।		बहुभुजों के गुण उनकी भुजाओं और कोणों पर आधारित होते हैं।

	• एक <math>n-</math>भुजा वाले बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग होता है <math>(n-2) \times 180 ^\circ</math>.		• एक <math>n-</math>भुजा वाले बहुभुज के सभी आंतरिक [[कोण\|कोणों]] का योग होता है <math>(n-2) \times 180 ^\circ</math>.

	• <math>n-</math>भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या = <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>		• <math>n-</math>भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या = <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>

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2024-11-04T06:30:25Z

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← Older revision		Revision as of 12:00, 4 November 2024
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	== बहुभुज के गुणधर्म ==		== बहुभुज के गुणधर्म ==
	~~The properties of polygons are based on their sides and angles.~~		बहुभुजों के गुण उनकी भुजाओं और कोणों पर आधारित होते हैं।

	• ~~The sum of all the interior angles of an~~ <math>n-</math>~~sided polygon is~~ <math>(n-2) \times 180 ^\circ</math>.		• एक <math>n-</math>भुजा वाले बहुभुज के सभी आंतरिक कोणों का योग होता है <math>(n-2) \times 180 ^\circ</math>.

	• ~~The number of diagonals in a polygon with~~ <math>n-</math>~~sides~~ = <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>		• <math>n-</math>भुजाओं वाले बहुभुज में विकर्णों की संख्या = <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>

	• ~~The number of triangles formed by joining the diagonals from one corner of a polygon~~ = <math>n-2</math>		• किसी बहुभुज के एक कोने से विकर्णों को मिलाने पर बनने वाले त्रिभुजों की संख्या = <math>n-2</math>

	• ~~The measure of each interior angle of~~ <math>n-</math>~~sided regular polygon~~ = <math>\frac{(n-2) \times 180 ^\circ}{n}</math>		• <math>n-</math>भुजा वाले नियमित बहुभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण का माप = <math>\frac{(n-2) \times 180 ^\circ}{n}</math>

	• ~~The measure of each exterior angle of an~~ <math>n-</math>~~sided regular polygon~~ = <math>\frac{360 ^\circ}{n}</math>		• एक <math>n-</math>भुजा वाले नियमित बहुभुज के प्रत्येक बाह्य कोण का माप= <math>\frac{360 ^\circ}{n}</math>

	== बहुभुज के प्रकार ==		== बहुभुज के प्रकार ==
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	[[Category:गणित]]		[[Category:गणित]]
	[[Category:कक्षा-10]]		[[Category:कक्षा-10]]





	~~=== उत्तल बहुभुज ===~~
	यदि किसी बहुभुज के सभी आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से बिल्कुल कम हैं , तो इसे उत्तल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

	~~=== अवतल बहुभुज ===~~
	यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

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2024-11-04T06:21:38Z

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Mani at 03:11, 4 November 2024

2024-11-04T03:11:12Z

← Older revision		Revision as of 08:41, 4 November 2024
Line 1:		Line 1:
			A polygon is a two-dimensional geometric figure that has a finite number of sides. The sides of a polygon are made of straight line segments connected to each other end to end. Thus, the line segments of a polygon are called sides or edges. The point where two line segments meet is called vertex or corners, henceforth an angle is formed. An example of a polygon is a triangle with three sides. A circle is also a plane figure but it is not considered a polygon, because it is a curved shape and does not have sides or angles. Therefore, we can say, all the polygons are 2d shapes but not all the two-dimensional figures are polygons.

			== What are Polygons? ==
			A Polygon is a closed figure made up of line segments (not curves) in a two-dimensional plane. Polygon is the combination of two words, i.e. poly (means many) and gon (means sides).

			A minimum of three line segments is required to connect end to end, to make a closed figure. Thus a polygon with a minimum of three sides is known as Triangle and it is also called 3-gon. An <math>n-</math>sided polygon is called <math>n-</math>gon.

			'''Polygon shape'''

			By definition, we know that the polygon is made up of line segments. Below are the shapes of some polygons that are enclosed by the different number of line segments.
			{\| class="wikitable"
			\|+
			\|[[File:Triangolo-Scaleno.svg\|alt=Triangle\|none\|thumb\|100x100px\|Triangle]]
			\|[[File:Parallelogram1.svg\|alt=Parallelogram\|none\|thumb\|100x100px\|Parallelogram]]
			\|[[File:Pentagon.svg\|alt=Pentagon\|none\|thumb\|100x100px\|Pentagon]]
			\|-
			\|[[File:HexagonWhiteBorder.jpg\|alt=Hexagon\|none\|thumb\|100x100px\|Hexagon]]
			\|[[File:Regular octagon.svg\|none\|thumb\|100x100px\|Octagon\|alt=Octagon]]
			\|
			\|}

			== Properties of a Polygon ==
			The properties of polygons are based on their sides and angles.

			• The sum of all the interior angles of an <math>n-</math>sided polygon is <math>(n-2) \times 180 ^\circ</math>.

			• The number of diagonals in a polygon with <math>n-</math>sides = <math>\frac{n(n-3)}{2}</math>

			• The number of triangles formed by joining the diagonals from one corner of a polygon = <math>n-2</math>

			• The measure of each interior angle of <math>n-</math>sided regular polygon = <math>\frac{(n-2) \times 180 ^\circ}{n}</math>

			• The measure of each exterior angle of an <math>n-</math>sided regular polygon = <math>\frac{360 ^\circ}{n}</math>

			== Types of Polygon ==
			Depending on the sides and angles, the polygons are classified into different types, namely:

			# Regular Polygon
			# Irregular Polygon
			# Convex Polygon
			# Concave polygon

			=== Regular Polygon ===
			If all the sides and interior angles of the polygon are equal, then it is known as a regular polygon. Examples are square, equilateral triangle etc.
			[[File:Square 1.svg\|alt=Square\|none\|thumb\|100x100px\|Square]]

			=== Irregular Polygon ===
			If all the sides and the interior angles of the polygon are of different measure, then it is known as an irregular polygon. This means that either the sides are of different lengths or the angles are different, which is sufficient for a polygon to be said to be irregular. For example, a scalene triangle, a rectangle, a kite, etc.
			[[File:Long Rectangle (plain).png\|alt=Rectangle\|none\|thumb\|100x100px\|Rectangle]]

			=== Convex Polygon ===
			If all the interior angles of a polygon are strictly less than <math>180 ^\circ</math>, then it is known as a convex polygon. The vertex will point outwards from the centre of the shape.
			[[File:Pentagon.svg\|alt=Pentagon\|none\|thumb\|100x100px\|Pentagon]]

			=== Concave Polygon ===
			If one or more interior angles of a polygon are more than <math>180 ^\circ</math>, then it is known as a concave polygon. A concave polygon can have at least four sides. The vertex points towards the inside of the polygon.
			[[File:Concave polygon.jpg\|alt=Concave Polygon\|none\|thumb\|300x300px\|Concave Polygon]]

	[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Jaya agarwal: /* अनियमित बहुभुज */

2023-10-21T03:58:04Z

अनियमित बहुभुज

← Older revision		Revision as of 09:28, 21 October 2023
Line 29:		Line 29:
	यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।		यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

	== बहुभुज के ~~गुड~~ ==		== बहुभुज के गुण ==
	बहुभुज के ~~गुड~~		बहुभुज के गुण निम्नलिखित है :

Jaya agarwal: /* बहुभुज का वर्गीकरण */

2023-10-21T03:01:42Z

बहुभुज का वर्गीकरण

← Older revision		Revision as of 08:31, 21 October 2023
Line 28:		Line 28:
	=== अवतल बहुभुज ===		=== अवतल बहुभुज ===
	यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।		यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

			== बहुभुज के गुड ==
			बहुभुज के गुड

Jaya agarwal: /* नियमित बहुभुज */

2023-10-12T06:53:13Z

नियमित बहुभुज

← Older revision		Revision as of 12:23, 12 October 2023
Line 14:		Line 14:

	=== नियमित बहुभुज ===		=== नियमित बहुभुज ===
	यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण बराबर हों , तो इसे नियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।		यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण बराबर हों , तो इसे नियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

	उदाहरण : वर्ग, समबाहु त्रिभुज आदि ।		उदाहरण : वर्ग, समबाहु त्रिभुज आदि ।

	=== अनियमित बहुभुज ===		=== अनियमित बहुभुज ===

Jaya agarwal at 12:21, 11 October 2023

2023-10-11T12:21:07Z

← Older revision		Revision as of 17:51, 11 October 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~Similar Figures~~		बहुभुज दो शब्दों से मिलकर बना है, अर्थात पॉली (जिसका अर्थ है अनेक) और गॉन (जिसका अर्थ है भुजाएँ)। बहुभुज द्वि-आयामी तल में रेखाखंडों (वक्र नहीं) से बनी एक बंद आकृति है । बहुभुज एक आकृति है जिसकी भुजाओं की संख्या सीमित होती है '''।''' बहुभुज की भुजाएँ एक दूसरे से सिरे से सिरे तक जुड़े हुए सीधी रेखा खंडों से बनी होती हैं । इस प्रकार , बहुभुज के रेखाखंडों को भुजाएँ कहा जाता है। वह बिंदु जहां दो रेखाखंड मिलते हैं , शीर्ष कहलाता है । वृत्त भी एक समतल आकृति है लेकिन इसे बहुभुज नहीं माना जाता है , क्योंकि यह एक घुमावदार आकृति है और इसमें कोई भुजा या कोण नहीं है । इसलिए , हम कह सकते हैं , सभी बहुभुज द्वि-आयामी होते हैं लेकिन सभी द्वि-आयामी आकृतियाँ बहुभुज नहीं हैं । एक बंद आकृति बनाने के लिए , सिरे से सिरे तक जुड़ने के लिए कम से कम तीन रेखा खंडों की आवश्यकता होती है। इस प्रकार न्यूनतम तीन भुजाओं वाला बहुभुज त्रिभुज कहलाता है ।

			उदाहरण : त्रिभुज , आयत , पतंग , वर्ग आदि ।

			== बहुभुज का वर्गीकरण ==
			भुजाओं और कोणों के आधार पर , बहुभुजों को निम्नलिखित प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है :

			# नियमित बहुभुज
			# अनियमित बहुभुज
			# उत्तल बहुभुज
			# अवतल बहुभुज

			=== नियमित बहुभुज ===
			यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण बराबर हों , तो इसे नियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

			उदाहरण : वर्ग, समबाहु त्रिभुज आदि ।

			=== अनियमित बहुभुज ===
			यदि बहुभुज की सभी भुजाएँ और आंतरिक कोण अलग-अलग माप के हों , तो इसे अनियमित बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

			उदाहरण :विषमबाहु त्रिभुज , आयत , पतंग , आदि ।

			=== उत्तल बहुभुज ===
			यदि किसी बहुभुज के सभी आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से बिल्कुल कम हैं , तो इसे उत्तल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

			=== अवतल बहुभुज ===
			यदि किसी बहुभुज का एक या अधिक आंतरिक कोण <math>180^\circ</math> से अधिक हो , तो इसे अवतल बहुभुज के रूप में जाना जाता है ।

Mani at 08:16, 23 August 2023

2023-08-23T08:16:51Z

← Older revision		Revision as of 13:46, 23 August 2023
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	[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			Similar Figures

Mani: Updated Category

2023-08-04T12:42:43Z

Updated Category

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	~~[[Category:ज्यामिति]]~~
	[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:त्रिभुज]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]