बीजीय सर्वसमिकाएँ - Revision history

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2024-03-05T13:35:18Z

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← Older revision		Revision as of 19:05, 5 March 2024
Line 95:		Line 95:
	उदाहरण: <math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math> का गुणनखंडन		उदाहरण: <math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math> का गुणनखंडन
	<math>8x^3+y^3+27z^3-18xyz</math>		<math>8x^3+y^3+27z^3-18xyz</math>

			सर्वसमिका VIII का उपयोग करते हुए

	<math>(2x)^3+y^3+(3z)^3-3(2x)(y)(3z)</math>		<math>(2x)^3+y^3+(3z)^3-3(2x)(y)(3z)</math>

Mani at 13:34, 5 March 2024

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	उदाहरण: <math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math> का गुणनखंडन		उदाहरण: <math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math> का गुणनखंडन
			<math>8x^3+y^3+27z^3-18xyz</math>

			<math>(2x)^3+y^3+(3z)^3-3(2x)(y)(3z)</math>

			<math>(2x+y+3z)((2x)^2+y^2+(3z)^2-(2x)(y)-(y)(3z)-(3z)(2x))</math>

			<math>(2x+y+3z)(4x^2+y^2+9z^2-2xy-3yz-6zx)</math>

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2024-03-05T13:34:20Z

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← Older revision		Revision as of 19:04, 5 March 2024
Line 83:		Line 83:
	उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके <math>(99)^3</math> का मूल्यांकन करें		उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके <math>(99)^3</math> का मूल्यांकन करें

	सर्वसमिका VI का उपयोग करते हुए		सर्वसमिका VII का उपयोग करते हुए

	<math>(99)^3=(100-1)^3=(100)^3-(1)^3-3(100)(1)(100-1)		<math>(99)^3=(100-1)^3=(100)^3-(1)^3-3(100)(1)(100-1)

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Line 61:		Line 61:
	उदाहरण: <math>(3a+4b+5c)^2</math> का प्रसार		उदाहरण: <math>(3a+4b+5c)^2</math> का प्रसार

	सर्वसमिका IV का उपयोग करते हुए		सर्वसमिका V का उपयोग करते हुए

	<math>(3a+4b+5c)^2=(3a)^2+(4b)^2+(5c)^2+2(3a)(4b)+2(4b)(5c)+2(5c)(3a) </math>		<math>(3a+4b+5c)^2=(3a)^2+(4b)^2+(5c)^2+2(3a)(4b)+2(4b)(5c)+2(5c)(3a) </math>

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Line 5:		Line 5:
	== बीजीय सर्वसमिकाएँ ==		== बीजीय सर्वसमिकाएँ ==
	कुछ मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की सूची नीचे दी गई है:		कुछ मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की सूची नीचे दी गई है:
	=== ~~Identity~~ I ===		=== सर्वसमिका I ===
	<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>		<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>

	~~Example~~ 1: ~~Evaluate~~ <math>(x+3)(x+3)</math> ~~using the identities~~		उदाहरण 1: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके <math>(x+3)(x+3)</math> का मूल्यांकन करें

	<math>(x+3)(x+3)= x^2+2(x)(3)+3^2</math>		<math>(x+3)(x+3)= x^2+2(x)(3)+3^2</math>
Line 16:		Line 16:


	~~Example~~ 2: ~~Factorise~~ <math>49a^2+70ab+25b^2</math>		उदाहरण 2: <math>49a^2+70ab+25b^2</math> का गुणनखंडन

	<math>49a^2=(7a)^2</math> , <math>25b^2=(5b)^2</math> , <math>70ab=2(7)(5)ab</math>		<math>49a^2=(7a)^2</math> , <math>25b^2=(5b)^2</math> , <math>70ab=2(7)(5)ab</math>
Line 22:		Line 22:
	<math>(7a)^2+2(7)(5)ab+(5b)^2</math>		<math>(7a)^2+2(7)(5)ab+(5b)^2</math>

	~~using the identity~~ I <math>a=7a , b = 5b</math>		सर्वसमिका I का उपयोग करते हुए <math>a=7a , b = 5b</math>

	<math>49a^2+70ab+25b^2 = (7a+5b)^2 = (7a+5b)(7a+5b)</math>		<math>49a^2+70ab+25b^2 = (7a+5b)^2 = (7a+5b)(7a+5b)</math>

	=== ~~Identity~~ II ===		=== सर्वसमिका II ===
	<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>		<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

	~~Example~~ 1: ~~Evaluate~~ <math>(x-3)(x-3)</math> ~~using the identities~~		उदाहरण 1: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके <math>(x-3)(x-3)</math> का मूल्यांकन करें

	<math>(x-3)(x-3)= x^2-2(x)(3)+3^2</math>		<math>(x-3)(x-3)= x^2-2(x)(3)+3^2</math>

	<math>= x^2-6x+9</math>		<math>= x^2-6x+9</math>
	=== ~~Identity~~ III ===		=== सर्वसमिका III ===
	<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</math>		<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</math>

	~~Example~~: <math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}</math>		उदाहरण: <math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}</math>

	<math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}</math> = <math>\left [ \frac{7x}{2} \right ]^2 -\left [ \frac{y}{3} \right ]^2</math>		<math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}</math> = <math>\left [ \frac{7x}{2} \right ]^2 -\left [ \frac{y}{3} \right ]^2</math>

	~~Using the identity~~ III		सर्वसमिका III का उपयोग करते हुए

	<math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}= </math><math>\left [ \frac{7x}{2} + \frac{y}{3} \right ] \left [ \frac{7x}{2} -\frac{y}{3} \right ]</math>		<math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}= </math><math>\left [ \frac{7x}{2} + \frac{y}{3} \right ] \left [ \frac{7x}{2} -\frac{y}{3} \right ]</math>

	=== ~~Identity~~ IV ===		=== सर्वसमिका IV ===
	<math>(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab</math>		<math>(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab</math>

	~~Example~~: ~~Evaluate~~ <math>103 \times 105</math> ~~using the identities~~		उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके <math>103 \times 105</math> का मूल्यांकन करें

	~~Using the identity~~ IV		सर्वसमिका IV का उपयोग करते हुए

	<math>103 \times 105 = (100+3) (100+5)=(100)^2+(3+5)(100)+(3 \times 5)</math>		<math>103 \times 105 = (100+3) (100+5)=(100)^2+(3+5)(100)+(3 \times 5)</math>
Line 56:		Line 56:
	<math>=10000+800+15=10815</math>		<math>=10000+800+15=10815</math>

	=== ~~Identity~~ V ===		=== सर्वसमिका V ===
	<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca</math>		<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca</math>

	~~Example~~: ~~Expand~~ <math>(3a+4b+5c)^2</math>		उदाहरण: <math>(3a+4b+5c)^2</math> का प्रसार

	~~Using the identity~~ IV		सर्वसमिका IV का उपयोग करते हुए

	<math>(3a+4b+5c)^2=(3a)^2+(4b)^2+(5c)^2+2(3a)(4b)+2(4b)(5c)+2(5c)(3a) </math>		<math>(3a+4b+5c)^2=(3a)^2+(4b)^2+(5c)^2+2(3a)(4b)+2(4b)(5c)+2(5c)(3a) </math>
Line 67:		Line 67:
	<math>(3a+4b+5c)^2=9a^2+16b^2+25c^2+24ab+40bc+30ca </math>		<math>(3a+4b+5c)^2=9a^2+16b^2+25c^2+24ab+40bc+30ca </math>

	=== ~~Identity~~ VI ===		=== सर्वसमिका VI ===
	<math>(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)</math>		<math>(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)</math>

	~~Example~~: ~~Evaluate~~ <math>(104)^3</math> ~~using the identities~~		उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके <math>(104)^3</math> का मूल्यांकन करें

	~~Using the identity~~ VI		सर्वसमिका VI का उपयोग करते हुए

	<math>(104)^3=(100+4)^3=(100)^3+(4)^3+3(100)(4)(100+4)</math>		<math>(104)^3=(100+4)^3=(100)^3+(4)^3+3(100)(4)(100+4)</math>
Line 78:		Line 78:
	=<math>1000000+64+124800=1124864</math>		=<math>1000000+64+124800=1124864</math>

	=== ~~Identity~~ VII ===		=== सर्वसमिका VII ===
	<math>(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)</math>		<math>(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)</math>

	~~Example~~: ~~Evaluate~~ <math>(99)^3</math> ~~using the identities~~		उदाहरण: सर्वसमिकाओं का उपयोग करके <math>(99)^3</math> का मूल्यांकन करें

	~~Using the identity~~ VI		सर्वसमिका VI का उपयोग करते हुए

	<math>(99)^3=(100-1)^3=(100)^3-(1)^3-3(100)(1)(100-1)		<math>(99)^3=(100-1)^3=(100)^3-(1)^3-3(100)(1)(100-1)
Line 90:		Line 90:
	=<math>1000000-1-29700=970299</math>		=<math>1000000-1-29700=970299</math>

	=== ~~Identity~~ VIII ===		=== सर्वसमिका VIII ===
	<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math>		<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math>

	~~Example~~: ~~Factorise~~ <math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math>		उदाहरण: <math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math> का गुणनखंडन

Mani at 11:39, 5 March 2024

2024-03-05T11:39:15Z

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	== बीजीय सर्वसमिकाएँ ==		== बीजीय सर्वसमिकाएँ ==
	कुछ मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की सूची नीचे दी गई है:		कुछ मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की सूची नीचे दी गई है:
			=== Identity I ===
			<math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>

			Example 1: Evaluate <math>(x+3)(x+3)</math> using the identities

			<math>(x+3)(x+3)= x^2+2(x)(3)+3^2</math>

			<math>= x^2+6x+9</math>



			Example 2: Factorise <math>49a^2+70ab+25b^2</math>

			<math>49a^2=(7a)^2</math> , <math>25b^2=(5b)^2</math> , <math>70ab=2(7)(5)ab</math>

			<math>(7a)^2+2(7)(5)ab+(5b)^2</math>

			using the identity I <math>a=7a , b = 5b</math>

			<math>49a^2+70ab+25b^2 = (7a+5b)^2 = (7a+5b)(7a+5b)</math>

			=== Identity II ===
			<math>(a-b)^2=a^2-2ab+b^2</math>

			Example 1: Evaluate <math>(x-3)(x-3)</math> using the identities

			<math>(x-3)(x-3)= x^2-2(x)(3)+3^2</math>

			<math>= x^2-6x+9</math>
			=== Identity III ===
			<math>a^2-b^2=(a+b)(a-b)</math>

			Example: <math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}</math>

			<math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}</math> = <math>\left [ \frac{7x}{2} \right ]^2 -\left [ \frac{y}{3} \right ]^2</math>

			Using the identity III

			<math>\frac{49}{4}x^2 - \frac{y^2}{9}= </math><math>\left [ \frac{7x}{2} + \frac{y}{3} \right ] \left [ \frac{7x}{2} -\frac{y}{3} \right ]</math>

			=== Identity IV ===
			<math>(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab</math>

			Example: Evaluate <math>103 \times 105</math> using the identities

			Using the identity IV

			<math>103 \times 105 = (100+3) (100+5)=(100)^2+(3+5)(100)+(3 \times 5)</math>

			<math>=10000+800+15=10815</math>

			=== Identity V ===
			<math>(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca</math>

			Example: Expand <math>(3a+4b+5c)^2</math>

			Using the identity IV

			<math>(3a+4b+5c)^2=(3a)^2+(4b)^2+(5c)^2+2(3a)(4b)+2(4b)(5c)+2(5c)(3a) </math>

			<math>(3a+4b+5c)^2=9a^2+16b^2+25c^2+24ab+40bc+30ca </math>

			=== Identity VI ===
			<math>(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)</math>

			Example: Evaluate <math>(104)^3</math> using the identities

			Using the identity VI

			<math>(104)^3=(100+4)^3=(100)^3+(4)^3+3(100)(4)(100+4)</math>

			=<math>1000000+64+124800=1124864</math>

			=== Identity VII ===
			<math>(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)</math>

			Example: Evaluate <math>(99)^3</math> using the identities

			Using the identity VI

			<math>(99)^3=(100-1)^3=(100)^3-(1)^3-3(100)(1)(100-1)
			</math>

			=<math>1000000-1-29700=970299</math>

			=== Identity VIII ===
			<math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math>

			Example: Factorise <math>a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)</math>

Mani: New Mathematics Class 9 Hindi Page Created

2024-03-05T11:38:57Z

New Mathematics Class 9 Hindi Page Created

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Line 1:		Line 1:

	[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
	~~Algebraic Identities~~		बीजगणितीय समीकरण जो उनमें चर के सभी मानों के लिए मान्य होते हैं, बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ कहलाते हैं। इनका उपयोग बहुपदों के गुणनखंडन के लिए किया जाता है। बीजीय सर्वसमिकाओं का उपयोग बीजगणितीय व्यंजकों की गणना और विभिन्न बहुपदों को हल करने में किया जाता है।

			== बीजीय सर्वसमिकाएँ ==
			कुछ मानक बीजगणितीय सर्वसमिकाओं की सूची नीचे दी गई है:

Mani at 06:38, 16 August 2023

2023-08-16T06:38:29Z

← Older revision		Revision as of 12:08, 16 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
			Algebraic Identities

Ramamurthy: Category updated

2023-08-05T06:30:15Z

Category updated

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	~~[[Category:बीजगणित]]~~
	[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Sarika at 05:27, 4 August 2023

2023-08-04T05:27:38Z

← Older revision		Revision as of 10:57, 4 August 2023
Line 1:		Line 1:

	[[Category:बीजगणित]]		[[Category:बीजगणित]]
	[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]]		[[Category:बहुपद]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]