मध्य-बिंदु प्रमेय - Revision history

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2024-11-02T02:03:07Z

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← Older revision		Revision as of 07:33, 2 November 2024
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	== मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==		== मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==
	'''कथन:''' ~~The converse of midpoint theorem states that~~ "~~the line drawn through the midpoint of one side of a triangle that is parallel to another side will bisect the third side~~"~~. We prove the converse of mid point theorem by contradiction.~~		'''कथन:''' मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम में कहा गया है कि "किसी त्रिभुज की एक भुजा के मध्यबिंदु से होकर दूसरी भुजा के समानांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करेगी"। हम मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम को विरोधाभास द्वारा सिद्ध करते हैं।

	=== मध्य बिंदु प्रमेय का प्रमाण व्युत्क्रम ===		=== मध्य बिंदु प्रमेय का प्रमाण व्युत्क्रम ===
Line 61:		Line 61:
	\|}		\|}
	इससे व्युत्क्रम मध्यबिंदु प्रमेय का प्रमाण पूरा हो जाता है।		इससे व्युत्क्रम मध्यबिंदु प्रमेय का प्रमाण पूरा हो जाता है।
	== ~~Application of Midpoint Theorem~~ ==		== मध्यबिंदु प्रमेय का आवेदन ==
	~~An interesting consequence of the midpoint theorem is that if we join the midpoints of the three sides of any triangle~~, ~~we will get four~~ (~~smaller~~) ~~congruent triangles~~, ~~as shown in the Fig.~~ 3 ~~below~~:		मध्यबिंदु प्रमेय का एक दिलचस्प परिणाम यह है कि यदि हम किसी भी त्रिभुज के तीन पक्षों के मध्य बिंदुओं में उपस्थित होते हैं, तो हमें चार (छोटे) बधाई वाले त्रिकोण मिलेंगे, जैसा कि नीचे चित्र 3 में दिखाया गया है:
	[[File:Application of Midpoint Theorem.jpg\|alt=Fig. 3\|thumb\|~~Fig~~. 3\|none]]		[[File:Application of Midpoint Theorem.jpg\|alt=Fig. 3\|thumb\|चित्र. 3\|none]]

	~~We have~~: <math>\triangle ADE \cong \triangle FED\cong \triangle BDF\cong \triangle EFC</math>		हमारे पास है: <math>\triangle ADE \cong \triangle FED\cong \triangle BDF\cong \triangle EFC</math>

	'''~~Proof~~:''' ~~Consider the quadrilateral~~ <math>DEFB</math>~~. By the midpoint theorem~~, ~~we have~~:		'''प्रमाण:''' चतुर्भुज <math>DEFB</math> पर विचार करें। मध्यबिंदु प्रमेय द्वारा, हमारे पास है:

	* <math>DE=\frac{1}{2}BC=BF</math>		* <math>DE=\frac{1}{2}BC=BF</math>
	* <math>DE \parallel BF</math>		* <math>DE \parallel BF</math>

	~~Thus~~,<math>DEFB</math> ~~is a parallelogram~~, ~~which means that~~<math> \triangle FED\cong \triangle BDF</math>~~. Similarly~~, ~~we can show that~~ <math>AEFD</math> ~~and <math>DECF</math> are parallelograms, and hence all four triangles so formed are congruent to each other.~~		इस प्रकार, <math>DEFB</math> एक समानांतर चतुर्भुज है, जिसका अर्थ है कि <math> \triangle FED\cong \triangle BDF</math>। इसी तरह, हम दिखा सकते हैं कि <math>AEFD</math> और

			<math>DECF</math> समांतर चतुर्भुज हैं, और इसलिए सभी चार त्रिभुज सर्वांगसम एक दूसरे के अनुरूप हैं।
	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

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2024-11-02T01:34:18Z

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	=== मध्य बिंदु प्रमेय का प्रमाण व्युत्क्रम ===		=== मध्य बिंदु प्रमेय का प्रमाण व्युत्क्रम ===
	~~Consider a triangle~~ <math>ABC</math>, ~~and let~~ <math>D</math> ~~be the midpoint of~~ <math>AB</math>~~. A line through~~ <math>D</math> ~~parallel to~~ <math>BC</math> ~~meets~~ <math>BC</math> at <math>E</math>, ~~as shown in the~~ Fig. 2 below:.		एक त्रिभुज <math>ABC</math> पर विचार करें, और <math>D</math> को <math>AB</math> का मध्यबिंदु मान लें। <math>D</math> से होकर <math>BC</math> के समांतर एक रेखा <math>BC</math> को <math>E</math> पर मिलती है, जैसा कि नीचे चित्र 2 में दिखाया गया है:।
	[[File:Midpoint theorem - converse.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|~~Fig~~. 2\|none]]
			Fig. 2 below:.
			[[File:Midpoint theorem - converse.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|चित्र. 2\|none]]

	'''दिया गया है:''' <math>\triangle ABC</math> में, <math>D</math>, <math>AB</math> का मध्यबिंदु है और <math>DE \parallel BC</math>।		'''दिया गया है:''' <math>\triangle ABC</math> में, <math>D</math>, <math>AB</math> का मध्यबिंदु है और <math>DE \parallel BC</math>।

Mani at 08:53, 1 November 2024

2024-11-01T08:53:52Z

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 |}
 इससे व्युत्क्रम मध्यबिंदु प्रमेय का प्रमाण पूरा हो जाता है।
 [[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

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2024-11-01T08:52:05Z

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← Older revision		Revision as of 14:22, 1 November 2024
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	== मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==		== मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==
	~~== Converse of Midpoint Theorem ==~~		'''कथन:''' The converse of midpoint theorem states that "the line drawn through the midpoint of one side of a triangle that is parallel to another side will bisect the third side". We prove the converse of mid point theorem by contradiction.
	'''~~Statement~~:''' The converse of midpoint theorem states that "the line drawn through the midpoint of one side of a triangle that is parallel to another side will bisect the third side". We prove the converse of mid point theorem by contradiction.

	=== ~~Proof of Mid Point Theorem Converse~~ ===		=== मध्य बिंदु प्रमेय का प्रमाण व्युत्क्रम ===
	Consider a triangle <math>ABC</math>, and let <math>D</math> be the midpoint of <math>AB</math>. A line through <math>D</math> parallel to <math>BC</math> meets <math>BC</math> at <math>E</math>, as shown in the Fig. 2 below:.		Consider a triangle <math>ABC</math>, and let <math>D</math> be the midpoint of <math>AB</math>. A line through <math>D</math> parallel to <math>BC</math> meets <math>BC</math> at <math>E</math>, as shown in the Fig. 2 below:.
	[[File:Midpoint theorem - converse.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|Fig. 2\|none]]		[[File:Midpoint theorem - converse.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|Fig. 2\|none]]

	'''~~Given~~:''' In <math>\triangle ABC</math>, <math>D</math> ~~is the midpoint of~~ <math>AB</math> ~~and~~ <math>DE \parallel BC</math>.		'''दिया गया है:''' <math>\triangle ABC</math> में, <math>D</math>, <math>AB</math> का मध्यबिंदु है और <math>DE \parallel BC</math>।

	'''~~To Prove~~:''' <math>E</math> ~~is the midpoint of~~ <math>AC</math> (~~i.e.~~,<math>AE=CE</math>)		'''सिद्ध करना:''' <math>E</math>, <math>AC</math> का मध्यबिंदु है (अर्थात,<math>AE=CE</math>)

	'''~~Construction~~:''' ~~Through~~ <math>C</math>~~, draw a line parallel to~~ <math>AB</math> ~~that meets the extended~~ <math>DE</math> at <math>F</math>		'''संरचना :''' <math>C</math> से होकर <math>AB</math> के समांतर एक रेखा खींचें जो विस्तारित <math>DE</math> से <math>F</math> पर मिलती है
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	! colspan="2" \|~~Proof of Converse of Midpoint Theorem~~		! colspan="2" \|मध्यबिंदु प्रमेय के व्युत्क्रम का प्रमाण
	\|-		\|-
	\|1. <math>BCFD</math> ~~is a parallelogram~~		\|1. <math>BCFD</math> एक समांतर चतुर्भुज है
	\|<math>DE \parallel BC</math> (~~given~~) ~~and~~ <math>BD \parallel CF</math> (~~by construction~~)		\|<math>DE \parallel BC</math> (दिया गया है) और <math>BD \parallel CF</math> (संरचना द्वारा)
	\|-		\|-
	\|2. <math>BD =CF</math>		\|2. <math>BD =CF</math>
	\|~~Opposite sides of a parallelogram are equal~~		\|समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं
	\|-		\|-
	\|3.<math>AD=BD</math>		\|3.<math>AD=BD</math>
	\|D ~~is the midpoint of~~ AB (~~given~~)		\|D, AB का मध्यबिंदु है (दिया गया है)
	\|-		\|-
	\|4. <math>AD=CF</math>		\|4. <math>AD=CF</math>
	\|~~from~~ 2 ~~and~~ 3		\|2 और 3 से
	\|-		\|-
	\|~~Compare~~ <math>\triangle AED</math> ~~with~~ <math>\triangle CEF</math>:		\|तुलना करें <math>\triangle AED</math> के साथ <math>\triangle CEF</math>:
	\|		\|
	\|-		\|-
	\|5. <math>\angle DAE=\angle ECF</math>		\|5. <math>\angle DAE=\angle ECF</math>
	\|~~Alternative angles~~		\|वैकल्पिक कोण
	\|-		\|-
	\|6. <math>\angle DEA=\angle FEC</math>		\|6. <math>\angle DEA=\angle FEC</math>
	\|~~Vertically opposite angles~~		\|शीर्षाभिमुख कोण
	\|-		\|-
	\|7.<math>\triangle AED \cong \triangle CEF</math>		\|7.<math>\triangle AED \cong \triangle CEF</math>
	\|By AAS ~~criterion~~ (~~using~~ 4, 5, ~~and~~ 6)		\|AAS मानदंड के अनुसार (4, 5, और 6 का उपयोग करके)
	\|-		\|-
	\|8. <math>AE=CE</math>		\|8. <math>AE=CE</math>
	\|By CPCTC		\|CPCTC द्वारा
	\|}		\|}
	~~This completes the proof of the converse midpoint theorem.~~		इससे व्युत्क्रम मध्यबिंदु प्रमेय का प्रमाण पूरा हो जाता है।

	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani: /* मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम */

2024-11-01T07:56:16Z

मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम

← Older revision		Revision as of 13:26, 1 November 2024
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	== मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==		== मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==
			== Converse of Midpoint Theorem ==
			'''Statement:''' The converse of midpoint theorem states that "the line drawn through the midpoint of one side of a triangle that is parallel to another side will bisect the third side". We prove the converse of mid point theorem by contradiction.

			=== Proof of Mid Point Theorem Converse ===
			Consider a triangle <math>ABC</math>, and let <math>D</math> be the midpoint of <math>AB</math>. A line through <math>D</math> parallel to <math>BC</math> meets <math>BC</math> at <math>E</math>, as shown in the Fig. 2 below:.
			[[File:Midpoint theorem - converse.jpg\|alt=Fig. 2\|thumb\|Fig. 2\|none]]

			'''Given:''' In <math>\triangle ABC</math>, <math>D</math> is the midpoint of <math>AB</math> and <math>DE \parallel BC</math>.

			'''To Prove:''' <math>E</math> is the midpoint of <math>AC</math> (i.e.,<math>AE=CE</math>)

			'''Construction:''' Through <math>C</math>, draw a line parallel to <math>AB</math> that meets the extended <math>DE</math> at <math>F</math>
			{\| class="wikitable"
			! colspan="2" \|Proof of Converse of Midpoint Theorem
			\|-
			\|1. <math>BCFD</math> is a parallelogram
			\|<math>DE \parallel BC</math> (given) and <math>BD \parallel CF</math> (by construction)
			\|-
			\|2. <math>BD =CF</math>
			\|Opposite sides of a parallelogram are equal
			\|-
			\|3.<math>AD=BD</math>
			\|D is the midpoint of AB (given)
			\|-
			\|4. <math>AD=CF</math>
			\|from 2 and 3
			\|-
			\|Compare <math>\triangle AED</math> with <math>\triangle CEF</math>:
			\|
			\|-
			\|5. <math>\angle DAE=\angle ECF</math>
			\|Alternative angles
			\|-
			\|6. <math>\angle DEA=\angle FEC</math>
			\|Vertically opposite angles
			\|-
			\|7.<math>\triangle AED \cong \triangle CEF</math>
			\|By AAS criterion (using 4, 5, and 6)
			\|-
			\|8. <math>AE=CE</math>
			\|By CPCTC
			\|}
			This completes the proof of the converse midpoint theorem.

	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

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2024-11-01T07:55:47Z

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← Older revision		Revision as of 13:25, 1 November 2024
Line 16:		Line 16:
	'''प्रमेय 2''': त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।		'''प्रमेय 2''': त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

			== मध्यबिंदु प्रमेय का व्युत्क्रम ==
	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

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2024-09-09T05:42:53Z

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← Older revision		Revision as of 11:12, 9 September 2024
Line 1:		Line 1:
	~~One of the important theorems in the field of geometry that deals with the properties of triangles are called the '''Mid~~-~~Point Theorem.'''~~		ज्यामिति के क्षेत्र में त्रिभुजों के गुणों से संबंधित महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक को मध्य-बिंदु प्रमेय कहा जाता है।

	~~The theory of midpoint theorem is used in coordinate geometry~~, ~~stating that the midpoint of the line segment is an average of the endpoints. The ‘x’ and the ‘y’ coordinates must be known for solving an equation using this theorem. The Mid~~-~~Point Theorem is also useful in the fields of calculus and algebra.~~		मध्य-बिंदु प्रमेय के सिद्धांत का उपयोग निर्देशांक ज्यामिति में किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि रेखाखंड का मध्यबिंदु अंत बिंदुओं का औसत होता है। इस प्रमेय का उपयोग करके समीकरण को हल करने के लिए 'x' और 'y' निर्देशांक ज्ञात होना चाहिए। मध्य-बिंदु प्रमेय कलन और बीजगणित के क्षेत्र में भी उपयोगी है।

	== ~~Mid~~-~~Point Theorem Statement~~ ==		== मध्य-बिंदु प्रमेय कथन ==
	The midpoint theorem states that “The line segment in a triangle joining the midpoint of any two sides of the triangle is said to be parallel to its third side and is also half of the length of the third side.”		मध्यबिंदु प्रमेय कहता है कि "किसी त्रिभुज में उसकी किन्हीं दो भुजाओं के मध्यबिंदु को मिलाने वाला रेखाखंड उसकी तीसरी भुजा के समांतर कहलाता है और तीसरी भुजा की लंबाई का आधा भी होता है।"
	[[File:Midpoint theorem.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|~~Fig.~~ 1]]		[[File:Midpoint theorem.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|चित्र-1]]
	~~In the triangle shown in Fig.~~ 1 <math>E</math> ~~and~~ <math>F</math> ~~are midpoint of two sides of the triangle~~		चित्र-1 में दर्शाए गए त्रिभुज में <math>E</math> और <math>F</math> त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्यबिंदु हैं

	<math>EF \parallel BC</math> ,<math>EF=\frac{1}{2}BC</math> and <math>\angle AEF=\angle ABC</math>		<math>EF \parallel BC</math> ,<math>EF=\frac{1}{2}BC</math> and <math>\angle AEF=\angle ABC</math>

	~~with this we arrive at the following theorems~~		इसके साथ, हम निम्नलिखित प्रमेयों पर पहुँचते हैं

	'''~~Theorem~~ 1:'''~~The line segment joining the mid~~-~~points of two sides of a triangle~~		'''प्रमेय 1''': त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है।

	~~is parallel to the third side.~~		'''प्रमेय 2''': त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिंदु से होकर दूसरी भुजा के समांतर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

	'''~~Theorem~~ 2:'''~~The line drawn through the mid~~-~~point of one side of a triangle,~~

	~~parallel to another side bisects the third side.~~

	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]

Mani at 04:50, 9 September 2024

2024-09-09T04:50:51Z

← Older revision		Revision as of 10:20, 9 September 2024
Line 1:		Line 1:
			One of the important theorems in the field of geometry that deals with the properties of triangles are called the '''Mid-Point Theorem.'''

			The theory of midpoint theorem is used in coordinate geometry, stating that the midpoint of the line segment is an average of the endpoints. The ‘x’ and the ‘y’ coordinates must be known for solving an equation using this theorem. The Mid-Point Theorem is also useful in the fields of calculus and algebra.

			== Mid-Point Theorem Statement ==
			The midpoint theorem states that “The line segment in a triangle joining the midpoint of any two sides of the triangle is said to be parallel to its third side and is also half of the length of the third side.”
			[[File:Midpoint theorem.jpg\|alt=Fig. 1\|thumb\|Fig. 1]]
			In the triangle shown in Fig. 1 <math>E</math> and <math>F</math> are midpoint of two sides of the triangle

			<math>EF \parallel BC</math> ,<math>EF=\frac{1}{2}BC</math> and <math>\angle AEF=\angle ABC</math>

			with this we arrive at the following theorems

			'''Theorem 1:'''The line segment joining the mid-points of two sides of a triangle

			is parallel to the third side.

			'''Theorem 2:'''The line drawn through the mid-point of one side of a triangle,

			parallel to another side bisects the third side.

	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
	~~The Mid-point theorem~~

Mani at 08:44, 16 August 2023

2023-08-16T08:44:50Z

← Older revision		Revision as of 14:14, 16 August 2023
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	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]
			The Mid-point theorem

Ramamurthy: Category updated

2023-08-05T14:01:35Z

Category updated

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	~~[[Category:ज्यामिति]]~~
	[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]		[[Category:चतुर्भुज]][[Category:कक्षा-9]][[Category:गणित]]