मूलों की प्रकृति - Revision history

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2023-10-10T07:51:32Z

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			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।		ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।

Mani at 05:03, 6 October 2023

2023-10-06T05:03:54Z

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	ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।		ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं एवं <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।

	== द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति ==		== द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति ==
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	हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर <math>D=40</math> अर्थात <math>D>0</math> हैं ।		हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर <math>D=40</math> अर्थात <math>D>0</math> हैं ।

	अतः , उपर्युक्त द्विघात समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।		अतः, उपर्युक्त द्विघात समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।

	== उदाहरण 2 ==		== उदाहरण 2 ==

Jaya agarwal: /* द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति */

2023-09-29T06:33:38Z

द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति

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	== द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति ==		== द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति ==
	द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> के मूल निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;		द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> के मूल <ref>{{Cite book \|title=MATHEMATICS ( NCERT) \|edition=Revised \|pages=44-47}}</ref>निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;

	<math>x=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>		<math>x=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>
Line 67:		Line 67:
	अतः , <math>k</math> का मान <math> \pm 2\sqrt{6}		अतः , <math>k</math> का मान <math> \pm 2\sqrt{6}
	</math> होगा ।		</math> होगा ।

			== अभ्यास प्रश्न ==

			# द्विघात समीकरण <math>3x^2-4\sqrt{3}x+4=0</math> के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।
			# <math>k</math> का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण <math>kx(x-1)+5=0</math> के दो समान वास्तविक मूल हैं ।

			== संदर्भ ==

Jaya agarwal: /* उदाहरण 2 */

2023-09-29T06:29:29Z

उदाहरण 2

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	अतः , <math>k</math> का मान <math> \pm 2\sqrt{6}		अतः , <math>k</math> का मान <math> \pm 2\sqrt{6}
	</math>		</math> होगा ।

Jaya agarwal at 06:23, 29 September 2023

2023-09-29T06:23:14Z

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	[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~Nature of Roots~~		ऐसा समीकरण , जिन्हें हम <math>ax^2+bx+c=0</math> रूप में निरूपित कर सकते हैं , जहां <math>a,b,c</math> वास्तविक संख्याएं हैं और <math>a\neq0</math> , उन्हें हम द्विघात समीकरण कहते हैं । इस समीकरण में <math>x</math> का मान द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है । द्विघात समीकरण में केवल दो मूल होते हैं । इस इकाई में हम द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति के बारे में जानेंगे ।

			== द्विघात समीकरण के मूल एवं प्रकृति ==
			द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> के मूल निम्नलिखित सूत्र से दिए जाते हैं ;

			<math>x=\frac {-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math>

			यदि <math>{b^2-4ac}>0</math> , हमें दो भिन्न वास्तविक मूल <math>-\frac{b}{2a} + \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> और <math>-\frac{b}{2a} - \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> मिलते हैं ।

			यदि <math>{b^2-4ac}=0</math> , हमें दो समान वास्तविक मूल <math>-\frac{b}{2a} </math> और <math>-\frac{b}{2a} </math> मिलते हैं ।

			यदि <math>{b^2-4ac}<0</math> , हमें कोई वास्तविक मूल नहीं मिलते हैं ।

			अतः , हमें ज्ञात हुआ कि व्यंजक <math>{b^2-4ac}</math> द्विघात समीकरण <math>ax^2+bx+c=0</math> के मूलों की प्रकृति ज्ञात करता है तथा इसको हम विविक्तकर कहते हैं । इसको हम <math>D=b^2-4ac</math> से निरूपित करते हैं ।

			एक द्विघात समीकरण के मूलों की प्रकृति निम्नलिखित हैं ;

			# दो भिन्न वास्तविक मूल ; यदि <math>{b^2-4ac}>0</math>
			# दो समान वास्तविक मूल ; यदि <math>{b^2-4ac}=0</math>
			# कोई वास्तविक मूल नहीं ; यदि <math>{b^2-4ac}<0</math>

			== उदाहरण 1 ==
			द्विघात समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> के मूलों की प्रकृति ज्ञात कीजिए ।

			हल

			दिए गए समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> से करने पर , हमें <math>a=2 , b=-4, c=-3</math> प्राप्त होता है ।

			विविक्तकर <math>D=b^2-4ac</math> का मान ज्ञात करने पर,

			<math>D=(-4)^2-4\times 2 \times (-3)</math>

			<math>D=16-(-24)</math>

			<math>D=16+24</math>

			<math>D=40</math>

			हमें ज्ञात हुआ कि विविक्तकर <math>D=40</math> अर्थात <math>D>0</math> हैं ।

			अतः , उपर्युक्त द्विघात समीकरण <math>2x^2-4x-3=0</math> के दो भिन्न वास्तविक मूल होंगे ।

			== उदाहरण 2 ==
			<math>k</math> का वह मान ज्ञात कीजिए , जिसके लिए द्विघात समीकरण <math>2x^2+kx+3=0</math> के दो समान वास्तविक मूल हैं ।

			हल

			दिए गए समीकरण <math>2x^2+kx+3=0</math> की तुलना द्विघात समीकरण के मानक रूप <math>ax^2+bx+c=0</math> से करने पर , हमें <math>a=2 , b=k, c=3</math> प्राप्त होता है ।

			हम जानते हैं कि द्विघात समीकरण के दो समान वास्तविक मूल होते हैं , यदि <math>{b^2-4ac}=0</math> ; अर्थात <math>D=0</math>

			<math>{b^2-4ac}=0</math> मे रखने पर ,

			<math>(k)^2-4\times2\times3=0</math>

			<math>k^2-24=0</math>

			<math>k^2=24</math>

			<math>k=\pm\sqrt{24}</math>

			<math>k= \pm 2\sqrt{6}
			</math>

			अतः , <math>k</math> का मान <math> \pm 2\sqrt{6}
			</math>

Mani at 04:37, 20 August 2023

2023-08-20T04:37:54Z

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			Nature of Roots

Mani: Updated Category

2023-08-04T12:16:10Z

Updated Category

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	~~[[Category:बीजगणित]]~~
	~~[[Category:समीकरण]]~~
	[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:द्विघात समीकरण]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]

Sarika at 05:35, 4 August 2023

2023-08-04T05:35:08Z

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Sarika at 05:31, 4 August 2023

2023-08-04T05:31:22Z

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Sarika at 10:58, 18 April 2023

2023-04-18T10:58:05Z

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