यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म - Revision history

Mani at 10:09, 25 September 2023

2023-09-25T10:09:31Z

Jaya agarwal: /* यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका */

2023-09-21T04:27:58Z

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

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	यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि ,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों <math>a</math> और <math>b</math> के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक <math>q</math> और <math>r</math> होते हैं, जिन्हें हम <math>a=b\times q+r</math> के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।		यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि ,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों <math>a</math> और <math>b</math> के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक <math>q</math> और <math>r</math> होते हैं, जिन्हें हम <math>a=b\times q+r</math> के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।

	इस विधि में, हम <math>q</math> को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math> <math> (0\leq r <b)</math> को भाग का शेषफल ~~है।~~		इस विधि में, हम <math>q</math> को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math> <math> (0\leq r <b)</math> को भाग का शेषफल है ।

	हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं; लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।		हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं; लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।

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2023-09-18T07:21:39Z

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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
			[[Category:Vidyalaya Completed]]
	यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम को समझने के लिए हमें यूक्रेन यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को जानना होगा, तो आइए पहले हम यूक्लिड प्रेमिका के बारे में जानते हैं ।यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है जिसे हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम कहते हैं , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिथ्म में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।		यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम को समझने के लिए हमें यूक्रेन यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को जानना होगा, तो आइए पहले हम यूक्लिड प्रेमिका के बारे में जानते हैं ।यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है जिसे हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम कहते हैं , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिथ्म में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।

Jaya agarwal at 04:05, 15 September 2023

2023-09-15T04:05:45Z

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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिथ्म में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म को समझने के लिए ; हमें सबसे पहले यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को समझना होगा। प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक ण या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।		यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम को समझने के लिए हमें यूक्रेन यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को जानना होगा, तो आइए पहले हम यूक्लिड प्रेमिका के बारे में जानते हैं ।यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है जिसे हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम कहते हैं , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिथ्म में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।

	== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==		== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==

Mani at 03:52, 15 September 2023

2023-09-15T03:52:42Z

Jaya agarwal at 12:56, 14 September 2023

2023-09-14T12:56:03Z

← Older revision		Revision as of 18:26, 14 September 2023
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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	~~[https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/~~ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका] प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम परिभाषित किया गया है , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिदम में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम को समझने के लिए ; हमें सबसे पहले यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को समझना होगा। प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिदम और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक ण या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।		यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम परिभाषित किया गया है , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिदम में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम को समझने के लिए ; हमें सबसे पहले यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को समझना होगा। प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिदम और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक ण या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।

	== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==		== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==
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	== यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथम क्या है? ==		== यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथम क्या है? ==
	यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग करके दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. खोजने की प्रक्रिया को "यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम" कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग क्रमिक रूप से अनेक बार किया जाता है।		यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/\|title=यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका}}</ref> का उपयोग करके दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. खोजने की प्रक्रिया को "यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम" कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग क्रमिक रूप से अनेक बार किया जाता है।

	यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिदम किसी भी संख्या को विभाजित करने के लिए ~~छात्रों को~~ सिखाया जाने वाला सबसे मुख्य विभाजन एल्गोरिदम में से एक है। एल्गोरिदम किसी विशिष्ट कार्य को करने के लिए दिए गए निर्देशों का एक समूह है, यह किसी कार्य को पूरा करने के लिए कुछ चरणों को दोहराता है।		यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिदम किसी भी संख्या को विभाजित करने के लिए सिखाया जाने वाला सबसे मुख्य विभाजन एल्गोरिदम में से एक है। एल्गोरिदम किसी विशिष्ट कार्य को करने के लिए दिए गए निर्देशों का एक समूह है, यह किसी कार्य को पूरा करने के लिए कुछ चरणों को दोहराता है।

	== यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के प्रयोग से महत्तम समापवर्तक म. स. ज्ञात करने की विधि ==		== यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के प्रयोग से महत्तम समापवर्तक म. स. ज्ञात करने की विधि ==
Line 37:		Line 37:

	=== चरण 2 ===		=== चरण 2 ===
	यूक्लिड विभाजन ~~प्रेमिका~~ के पुनः उपयोग पर,		यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका के पुनः उपयोग पर,

	<math>135 = 5\times27 + 0</math>		<math>135 = 5\times27 + 0</math>
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	== यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का सामान्यीकृत रूप ==		== यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का सामान्यीकृत रूप ==
	मान लें, कि हमें दो यादृच्छिक संख्याओं <math>a</math> और <math>b</math> का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करना है, तो उनका महत्तम समापवर्तक यूक्लिड विभाजन ~~प्रेमिका~~ का अनेक बार उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जब तक कि प्राप्त शेषफल शून्य (0) न हो जाए।		मान लें, कि हमें दो यादृच्छिक संख्याओं <math>a</math> और <math>b</math> का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करना है, तो उनका महत्तम समापवर्तक यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अनेक बार उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जब तक कि प्राप्त शेषफल शून्य (0) न हो जाए।

	=== सामान्यीकृत रूप- ===		=== सामान्यीकृत रूप- ===
	<math>a = b(q_1) + r_1</math> ( जहां <math>q_1,q_2,q_3, ..... q_n</math> और <math>r_1,r_2,r_3, ..... r_n</math> क्रमशः भागफल तथा शेषफल है। )		<math>a = b(q_1) + r_1</math> ( जहां <math>q_1,q_2,q_3, ..... q_n</math> और <math>r_1,r_2,r_3, ..... r_n</math> क्रमशः भागफल तथा शेषफल है। )

	<math>b= r_1(q_2) + r_2</math>		<math>b= r_1(q_2) + r_2</math>

	<math>r_1 = r_2(q_3) + r_3</math>		<math>r_1 = r_2(q_3) + r_3</math>
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	3. <math>867</math> और <math>255</math> का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम का उपयोग करें ।		3. <math>867</math> और <math>255</math> का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिदम का उपयोग करें ।

			== संदर्भ ==

Mani at 09:53, 14 September 2023

2023-09-14T09:53:57Z

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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	[https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका] प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड ~~डिवीजन~~ प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम परिभाषित किया गया है , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिदम में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम को समझने के लिए ; हमें सबसे पहले यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को समझना होगा। प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिदम और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।		[https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/ यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका] प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिदम परिभाषित किया गया है , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिदम में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिदम को समझने के लिए ; हमें सबसे पहले यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को समझना होगा। प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिदम और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक ण या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।

	== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==		== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==

Ramamurthy: /* सामान्यीकृत रूप- */

2023-09-14T09:09:45Z

सामान्यीकृत रूप-

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	== यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का सामान्यीकृत रूप ==		== यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म का सामान्यीकृत रूप ==
	मान लें, कि हमें दो यादृच्छिक संख्याओं a और b का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करना है, तो उनका महत्तम समापवर्तक यूक्लिड विभाजन प्रेमिका का अनेक बार उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जब तक कि प्राप्त शेषफल शून्य (0) न हो जाए।		मान लें, कि हमें दो यादृच्छिक संख्याओं <math>a</math> और <math>b</math> का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करना है, तो उनका महत्तम समापवर्तक यूक्लिड विभाजन प्रेमिका का अनेक बार उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है, जब तक कि प्राप्त शेषफल शून्य (0) न हो जाए।

	=== सामान्यीकृत रूप- ===		=== सामान्यीकृत रूप- ===

Ramamurthy: /* यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका */

2023-09-14T08:56:44Z

यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका

← Older revision		Revision as of 14:26, 14 September 2023
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	यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि ,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों <math>a</math> और <math>b</math> के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक <math>q</math> और <math>r</math> होते हैं, जिन्हें हम <math>a=b\times q+r</math> के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।		यूक्लिड का विभाजन प्रमेयिका विभाजन के विभिन्न घटकों के बीच संबंध बताता है। यह बताता है कि ,किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों <math>a</math> और <math>b</math> के लिए दो अद्वितीय पूर्णांक <math>q</math> और <math>r</math> होते हैं, जिन्हें हम <math>a=b\times q+r</math> के रूप में प्रदर्शित कर सकते हैं ।

	इस विधि में, हम q को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math> <math> (0\leq r <b)</math> को भाग का शेषफल है।		इस विधि में, हम <math>q</math> को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math> <math> (0\leq r <b)</math> को भाग का शेषफल है।

	हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं; लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।		हम विभाजन एल्गोरिथम को जानते हैं; लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।

Jaya agarwal at 06:45, 14 September 2023

2023-09-14T06:45:23Z

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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	[[Category:Vidyalaya Completed]]		[[Category:Vidyalaya Completed]]
	यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ को समझने के लिए हमें यूक्रेन यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को जानना होगा, तो आइए पहले हम यूक्लिड प्रेमिका के बारे में जानते हैं ।यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है जिसे हम यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ कहते हैं , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिथ्म में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।		यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म को समझने के लिए हमें यूक्रेन यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका को जानना होगा, तो आइए पहले हम यूक्लिड प्रेमिका के बारे में जानते हैं ।यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है जिसे हम यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म कहते हैं , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिथ्म में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।

	== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==		== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==
Line 11:		Line 11:
	इस विधि में, हम <math>q</math> को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math> <math> (0\leq r <b)</math> को भाग का शेषफल है ।		इस विधि में, हम <math>q</math> को भाग का भागफल कहते हैं, और <math>r</math> <math> (0\leq r <b)</math> को भाग का शेषफल है ।

	हम विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ को जानते हैं; लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।		हम विभाजन एल्गोरिथ्म को जानते हैं; लाभांश <math>=</math> भाजक <math>\times</math> भागफल <math>+</math> शेषफल । यह और कुछ नहीं वरन् यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का अन्य नाम है ।

	=== उदाहरण ===		=== उदाहरण ===
Line 20:		Line 20:
	<math>43 = 6\times7 + 1</math> जहां, भागफल <math>q=7</math> है और शेषफल <math>r=1</math> है ।		<math>43 = 6\times7 + 1</math> जहां, भागफल <math>q=7</math> है और शेषफल <math>r=1</math> है ।

	== यूक्लिड का विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ क्या है? ==		== यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म क्या है? ==
	यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/\|title=यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका}}</ref> का उपयोग करके दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. खोजने की प्रक्रिया को "यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म" कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग क्रमिक रूप से अनेक बार किया जाता है।		यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/\|title=यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका}}</ref> का उपयोग करके दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. खोजने की प्रक्रिया को "यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म" कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग क्रमिक रूप से अनेक बार किया जाता है।

	यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म किसी भी संख्या को विभाजित करने के लिए सिखाया जाने वाला सबसे मुख्य विभाजन एल्गोरिथ्म में से एक है। एल्गोरिथ्म किसी विशिष्ट कार्य को करने के लिए दिए गए निर्देशों का एक समूह है, यह किसी कार्य को पूरा करने के लिए कुछ चरणों को दोहराता है।		यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म किसी भी संख्या को विभाजित करने के लिए सिखाया जाने वाला सबसे मुख्य विभाजन एल्गोरिथ्म में से एक है। एल्गोरिथ्म किसी विशिष्ट कार्य को करने के लिए दिए गए निर्देशों का एक समूह है, यह किसी कार्य को पूरा करने के लिए कुछ चरणों को दोहराता है।

	== यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ के प्रयोग से महत्तम समापवर्तक म. स. ज्ञात करने की विधि ==		== यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म के प्रयोग से महत्तम समापवर्तक म. स. ज्ञात करने की विधि ==
	हम दो संख्याओं, <math>135</math> और <math>275</math> का महत्तम समापवर्तक म. स. यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ का उपयोग कर निकाल सकते हैं ।		हम दो संख्याओं, <math>135</math> और <math>275</math> का महत्तम समापवर्तक म. स. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग कर निकाल सकते हैं ।

	महत्तम समापवर्तक म. स. (HCF) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें		महत्तम समापवर्तक म. स. (HCF) ज्ञात करने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें

	=== चरण 1 ===		=== चरण 1 ===
	<math>135</math> और <math>275</math> पर यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ का उपयोग करे।		<math>135</math> और <math>275</math> पर यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करे।

	<math>275 = 135\times2 + 5</math> जहां, भागफल <math>q=135</math> है और शेषफल <math>r=5</math> है ।		<math>275 = 135\times2 + 5</math> जहां, भागफल <math>q=135</math> है और शेषफल <math>r=5</math> है ।

	जैसा कि हम जानते हैं कि महत्तम समापवर्तक <math>135</math> और <math>275</math> का उच्चतम गुणनखंड है ,और <math>275</math> और <math>135</math> का कोई भी गुणनखंड <math>5</math> का भी एक गुणनखंड है। इसलिए आगे हम <math>135</math> और <math>5</math> पर यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिथम~~ का उपयोग करेंगे। यह प्रक्रिया हम तब तक दोहराएंगे जब तक शेषफल शून्य<math>(0)</math> नहीं हो जाता है ।और अंतिम से दूसरे चरण में प्राप्त शेषफल ही हमारा महत्तम समापवर्तक है।		जैसा कि हम जानते हैं कि महत्तम समापवर्तक <math>135</math> और <math>275</math> का उच्चतम गुणनखंड है ,और <math>275</math> और <math>135</math> का कोई भी गुणनखंड <math>5</math> का भी एक गुणनखंड है। इसलिए आगे हम <math>135</math> और <math>5</math> पर यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करेंगे। यह प्रक्रिया हम तब तक दोहराएंगे जब तक शेषफल शून्य<math>(0)</math> नहीं हो जाता है ।और अंतिम से दूसरे चरण में प्राप्त शेषफल ही हमारा महत्तम समापवर्तक है।

	=== चरण 2 ===		=== चरण 2 ===

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	[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]		[[Category:वास्तविक संख्याएँ]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-10]]
	यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक ~~एल्गोरिदम~~ परिभाषित किया गया है , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस ~~एल्गोरिदम~~ में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । यूक्लिड के विभाजन ~~एल्गोरिदम~~ को समझने के लिए ; हमें सबसे पहले यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को समझना होगा। प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन ~~एल्गोरिदम~~ और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक ण या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।		यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रस्तावित मौलिक प्रमेयों में से एक है। यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका की मदद से एक एल्गोरिथ्म परिभाषित किया गया है , इसका उपयोग किन्हीं दो संख्याओं के महत्तम समापवर्तक या म. स. को खोजने के लिए किया जाता है। इस एल्गोरिथ्म में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. प्राप्त करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का बार-बार प्रयोग किया जाता है । यूक्लिड के विभाजन एल्गोरिथ्म को समझने के लिए ; हमें सबसे पहले यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका को समझना होगा। प्रमेयिका एक प्रमेय की तरह है और हम इस इकाई में यूक्लिड के विभाजन प्रमेयिका , यूक्लिड के डिवीजन एल्गोरिथ्म और उनके उपयोग से महत्तम समापवर्तक ण या म. स. को ज्ञात करना सीखेंगे ।

	== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==		== यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका ==
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	== यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथम क्या है? ==		== यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथम क्या है? ==
	यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/\|title=यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका}}</ref> का उपयोग करके दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. खोजने की प्रक्रिया को "यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिदम~~" कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग क्रमिक रूप से अनेक बार किया जाता है।		यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका<ref>{{Cite web\|url=https://www.geeksforgeeks.org/euclid-division-lemma/\|title=यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका}}</ref> का उपयोग करके दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. खोजने की प्रक्रिया को "यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म" कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, दो संख्याओं का महत्तम समापवर्तक या म. स. ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का उपयोग क्रमिक रूप से अनेक बार किया जाता है।

	यूक्लिड का विभाजन ~~एल्गोरिदम~~ किसी भी संख्या को विभाजित करने के लिए सिखाया जाने वाला सबसे मुख्य विभाजन ~~एल्गोरिदम~~ में से एक है। ~~एल्गोरिदम~~ किसी विशिष्ट कार्य को करने के लिए दिए गए निर्देशों का एक समूह है, यह किसी कार्य को पूरा करने के लिए कुछ चरणों को दोहराता है।		यूक्लिड का विभाजन एल्गोरिथ्म किसी भी संख्या को विभाजित करने के लिए सिखाया जाने वाला सबसे मुख्य विभाजन एल्गोरिथ्म में से एक है। एल्गोरिथ्म किसी विशिष्ट कार्य को करने के लिए दिए गए निर्देशों का एक समूह है, यह किसी कार्य को पूरा करने के लिए कुछ चरणों को दोहराता है।

	== यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के प्रयोग से महत्तम समापवर्तक म. स. ज्ञात करने की विधि ==		== यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम के प्रयोग से महत्तम समापवर्तक म. स. ज्ञात करने की विधि ==
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	== अभ्यास प्रश्न ==		== अभ्यास प्रश्न ==
	1. यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिदम~~ का उपयोग करके <math>73</math> को <math>9</math> से विभाजित किया जाता है , भागफल और शेषफल ज्ञात करें ।		1. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके <math>73</math> को <math>9</math> से विभाजित किया जाता है , भागफल और शेषफल ज्ञात करें ।

	2. यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिदम~~ का उपयोग करके <math>315</math> को <math>17</math> से विभाजित किया जाता है , भागफल और शेषफल ज्ञात करें ।		2. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करके <math>315</math> को <math>17</math> से विभाजित किया जाता है , भागफल और शेषफल ज्ञात करें ।

	3. <math>867</math> और <math>255</math> का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन ~~एल्गोरिदम~~ का उपयोग करें ।		3. <math>867</math> और <math>255</math> का महत्तम समापवर्तक ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का उपयोग करें ।

	== संदर्भ ==		== संदर्भ ==