रेखा का व्यापक समीकरण - Revision history

Mani: added internal links

2024-11-20T08:27:41Z

added internal links

← Older revision		Revision as of 13:57, 20 November 2024
Line 1:		Line 1:
	एक सरल रेखा का ~~सामान्य~~ समीकरण <math>y = mx + c</math> है, जहाँ <math>m</math> रेखा की ढाल है और <math>c,</math> <math>y </math>-अंत: खंड है। यह एक सरल रेखा के समीकरण का सबसे व्यापक रूप है जिसका उपयोग ज्यामिति में किया जाता है। एक सरल रेखा के समीकरण को विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है जैसे बिंदु-की ढाल रूप, ढाल-अंत: खंड रूप, अंत: खंड रूप, मानक रूप, आदि। एक सरल रेखा एक द्वि-आयामी ज्यामितीय इकाई है जो अनंत तक दोनों सिरों पर फैली हुई है।		एक [[सरल रेखा में गति\|सरल रेखा]] का व्यापक समीकरण <math>y = mx + c</math> है, जहाँ <math>m</math> रेखा की ढाल है और <math>c,</math> <math>y </math>-अंत: खंड है। यह एक सरल रेखा के समीकरण का सबसे व्यापक रूप है जिसका उपयोग ज्यामिति में किया जाता है। एक सरल [[रेखा]] के समीकरण को विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है जैसे बिंदु-की ढाल रूप, ढाल-अंत: खंड रूप, अंत: खंड रूप, मानक रूप, आदि। एक सरल रेखा एक द्वि-आयामी ज्यामितीय इकाई है जो अनंत तक दोनों सिरों पर फैली हुई है।

	इस लेख में, हम एक सरल रेखा के समीकरण की अवधारणा को विभिन्न रूपों में समझेंगे।		इस लेख में, हम एक सरल रेखा के समीकरण की अवधारणा को विभिन्न रूपों में समझेंगे।

	== परिभाषा ==		== परिभाषा ==
	एक सरल रेखा का समीकरण दो चर (साधारणतः <math>x</math> और <math>y</math>) में एक रैखिक समीकरण है और रेखा पर प्रत्येक बिंदु द्वारा संतुष्ट होता है। यानी यह एक गणितीय समीकरण है जो उस सरल रेखा पर स्थित निर्देशांक बिंदुओं के बीच संबंध देता है। इसे विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है और यह रेखा की ढाल, <math>x</math>-अंत: खंड और <math>y</math>-अंत: खंड को बताता है। इसका उपयोग रेखा पर बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है। अधिकतर, सरल रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान रूप, ढलान-अंत: खंड रूप, दो-बिंदु रूप, मानक रूप आदि का उपयोग करके पाया जाता है। आइए सरल रेखा के समीकरण के सूत्र के माध्यम से चलते हैं। सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए सबसे आम सूत्र नीचे दिए गए हैं।		एक सरल रेखा का समीकरण दो चर (साधारणतः <math>x</math> और <math>y</math>) में एक रैखिक समीकरण है और रेखा पर प्रत्येक बिंदु द्वारा संतुष्ट होता है। यानी यह एक गणितीय समीकरण है जो उस सरल रेखा पर स्थित निर्देशांक बिंदुओं के बीच संबंध देता है। इसे विभिन्न रूपों में लिखा जा सकता है और यह [[रेखा की ढाल]], <math>x</math>-अंत: खंड और <math>y</math>-अंत: खंड को बताता है। इसका उपयोग रेखा पर बिंदुओं को ज्ञात करने के लिए भी किया जा सकता है। अधिकतर, सरल रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान रूप, ढलान-अंत: खंड रूप, दो-बिंदु रूप, मानक रूप आदि का उपयोग करके पाया जाता है। आइए सरल रेखा के समीकरण के सूत्र के माध्यम से चलते हैं। सरल रेखा का समीकरण ज्ञात करने के लिए सबसे आम सूत्र नीचे दिए गए हैं।

	== सरल रेखा के समीकरण सूत्र ==		== सरल रेखा के समीकरण सूत्र ==

Mani at 08:24, 20 November 2024

2024-11-20T08:24:25Z

← Older revision		Revision as of 13:54, 20 November 2024
Line 11:		Line 11:
	== रेखा के समीकरण के रूप ==		== रेखा के समीकरण के रूप ==
	सरल रेखा के लिए ज्ञात मापदंडों के आधार पर, रेखा के समीकरण के 5 रूप हैं जिनका उपयोग रेखा के समीकरण को निर्धारित करने और उसका प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है:		सरल रेखा के लिए ज्ञात मापदंडों के आधार पर, रेखा के समीकरण के 5 रूप हैं जिनका उपयोग रेखा के समीकरण को निर्धारित करने और उसका प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है:
	[[File:बिंदु ढाल रूप.jpg\|thumb\|चित्र - बिंदु ढाल रूप]]		[[File:बिंदु ढाल रूप.jpg\|thumb\|चित्र - बिंदु ढाल रूप\|221x221px]]

	=== बिंदु ढाल रूप – ===		=== बिंदु ढाल रूप – ===
Line 19:		Line 19:

	<math>( y - y_1</math><math>_1) = m( x - x_1</math><math>_1)</math>		<math>( y - y_1</math><math>_1) = m( x - x_1</math><math>_1)</math>
	[[File:दो बिंदु.jpg\|thumb\|चित्र- दो बिंदु रूप]]		[[File:दो बिंदु.jpg\|thumb\|चित्र- दो बिंदु रूप\|217x217px]]


Line 25:		Line 25:


			== दो बिंदु रूप – ==


	=== दो बिंदु रूप – ===
	यह रूप दो बिंदुओं -<math>(x_1</math><math> _1, y_1</math><math>_1)</math>और <math>(x_2</math><math>_2, y_2</math><math>_2)</math>से होकर गुजरने वाली रेखा के बिंदु-ढलान का एक और स्पष्टीकरण है:		यह रूप दो बिंदुओं -<math>(x_1</math><math> _1, y_1</math><math>_1)</math>और <math>(x_2</math><math>_2, y_2</math><math>_2)</math>से होकर गुजरने वाली रेखा के बिंदु-ढलान का एक और स्पष्टीकरण है:

	<math>(y-y_1)=(y_2-y_1)(x_2-x_1)(x-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x_2-x_1)(x-x_1)</math>		<math>(y-y_1)=(y_2-y_1)(x_2-x_1)(x-x_1)(y-y_1)=(y_2-y_1)(x_2-x_1)(x-x_1)</math>
	[[File:ढाल अंत खंड.jpg\|thumb\|चित्र - ढाल अंत: खंड रूप ]]		[[File:ढाल अंत खंड.jpg\|thumb\|चित्र - ढाल अंत: खंड रूप \|215x215px]]

	=== ढाल अंत: खंड रूप – ===		=== ढाल अंत: खंड रूप – ===
Line 40:		Line 37:

	<math>y = mx + c</math>		<math>y = mx + c</math>
	[[File:अंत खंड.jpg\|thumb\|चित्र- अंत: खंड रूप ]]		[[File:अंत खंड.jpg\|thumb\|चित्र- अंत: खंड रूप \|212x212px]]

	=== अंत: खंड रूप – ===		=== अंत: खंड रूप – ===
	इस रूप में रेखा का समीकरण <math>x</math>-अंत: खंड <math>(a)</math> और <math>y</math>-अंत: खंड <math>(b)</math> से बनता है। रेखा <math>x</math>-अक्ष को एक बिंदु <math>(a, 0)</math> पर काटती है, और <math>y</math>-अक्ष को एक बिंदु<math>(0, b)</math> पर काटती है, और <math>a, b</math> मूल बिंदु से इन बिंदुओं की क्रमशः दूरी है। जबकि इन दो बिंदुओं को दो-बिंदु रूप में प्रतिस्थापित किया जा सकता है और रेखा के समीकरण के इस अंत: खंड रूप को प्राप्त करने के लिए सरलीकृत किया जा सकता है।		इस रूप में रेखा का समीकरण <math>x</math>-अंत: खंड <math>(a)</math> और <math>y</math>-अंत: खंड <math>(b)</math> से बनता है। रेखा <math>x</math>-अक्ष को एक बिंदु <math>(a, 0)</math> पर काटती है, और <math>y</math>-अक्ष को एक बिंदु<math>(0, b)</math> पर काटती है, और <math>a, b</math> मूल बिंदु से इन बिंदुओं की क्रमशः दूरी है। जबकि इन दो बिंदुओं को दो-बिंदु रूप में प्रतिस्थापित किया जा सकता है और रेखा के समीकरण के इस अंत: खंड रूप को प्राप्त करने के लिए सरलीकृत किया जा सकता है।

	रेखा के समीकरण का अंत: खंड रूप उस दूरी को स्पष्ट करता है जिस पर रेखा <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष को मूल बिंदु से काटती है।		रेखा के समीकरण का अंत: खंड रूप उस दूरी को स्पष्ट करता है जिस पर रेखा <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष को मूल बिंदु से काटती है।[[File:लंब रूप (i).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (i)\|210x210px]]





	[[File:लंब रूप (i).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (i)\|~~236x236px~~]]
	=== लंब रूप - ===		=== लंब रूप - ===
	लंब रूप दी गई रेखा के लंबवत रेखा पर आधारित होता है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है,		लंब रूप दी गई रेखा के लंबवत रेखा पर आधारित होता है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है,
Line 65:		Line 56:
	(ii) लंब एवं धन <math>x</math>-अक्ष के बीच का कोण।		(ii) लंब एवं धन <math>x</math>-अक्ष के बीच का कोण।

	[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)\|~~243x243px~~]]		[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)\|210x210px]]
	~~[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)\|216x216px\|left]]~~






			[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)\|197x197px]]

	~~[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)\|241x241px]]~~


Line 81:		Line 68:


			[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)\|205x205px]]


Line 91:		Line 79:


			[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|257x257px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण]]


Line 96:		Line 85:


	~~[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]~~

	== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==		== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==
Line 102:		Line 90:

	यदि एक सरल रेखा बाएं से दाएं बढ़ रही है, तो इसका ढलान धनात्मक है। यदि यह घट रही है, तो इसका ढलान ऋणात्मक है।		यदि एक सरल रेखा बाएं से दाएं बढ़ रही है, तो इसका ढलान धनात्मक है। यदि यह घट रही है, तो इसका ढलान ऋणात्मक है।







	== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==		== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==

	* एक सरल रेखा के समीकरण को दो चरों में रैखिक समीकरण भी कहा जाता है।		* एक सरल रेखा के समीकरण को दो चरों में रैखिक समीकरण भी कहा जाता है।
	* यदि दो सरल रेखाओं के ढलानों का गुणनफल <math>-1</math> है, तो रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।		* यदि दो सरल रेखाओं के ढलानों का गुणनफल <math>-1</math> है, तो रेखाएँ एक दूसरे के लंबवत हैं।

Mani at 08:19, 20 November 2024

2024-11-20T08:19:33Z

← Older revision		Revision as of 13:49, 20 November 2024
Line 66:		Line 66:

	[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)\|243x243px]]		[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)\|243x243px]]
	[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)\|216x216px]]		[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)\|216x216px\|left]]


Line 97:		Line 97:

	[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]		[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]




	== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==		== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==
Line 105:		Line 102:

	यदि एक सरल रेखा बाएं से दाएं बढ़ रही है, तो इसका ढलान धनात्मक है। यदि यह घट रही है, तो इसका ढलान ऋणात्मक है।		यदि एक सरल रेखा बाएं से दाएं बढ़ रही है, तो इसका ढलान धनात्मक है। यदि यह घट रही है, तो इसका ढलान ऋणात्मक है।

Mani at 08:18, 20 November 2024

2024-11-20T08:18:35Z

← Older revision		Revision as of 13:48, 20 November 2024
Line 97:		Line 97:

	[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]		[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]

Mani at 08:18, 20 November 2024

2024-11-20T08:18:12Z

← Older revision		Revision as of 13:48, 20 November 2024
Line 97:		Line 97:

	[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]		[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]


	== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==		== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==
	एक चर <math>x</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ <math>y</math>-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा बनाता है और एक चर <math>y</math> में सरल रेखा के समीकरण का ग्राफ <math>x</math>-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। दो चर <math>x</math> और <math>y</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ कुछ ढलान के साथ एक सरल रेखा बनाता है।		एक चर <math>x</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ <math>y</math>-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा बनाता है और एक चर <math>y</math> में सरल रेखा के समीकरण का ग्राफ <math>x</math>-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। दो चर <math>x</math> और <math>y</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ कुछ ढलान के साथ एक सरल रेखा बनाता है।

	यदि एक सरल रेखा बाएं से दाएं बढ़ रही है, तो इसका ढलान धनात्मक है। यदि यह घट रही है, तो इसका ढलान ऋणात्मक है।		यदि एक सरल रेखा बाएं से दाएं बढ़ रही है, तो इसका ढलान धनात्मक है। यदि यह घट रही है, तो इसका ढलान ऋणात्मक है।





	== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==		== महत्वपूर्ण टिप्पणियाँ ==

Mani at 08:17, 20 November 2024

2024-11-20T08:17:42Z

← Older revision		Revision as of 13:47, 20 November 2024
Line 85:		Line 85:


	~~[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण]]~~


Line 95:		Line 94:




			[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण\|left]]
	== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==		== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==
	एक चर <math>x</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ <math>y</math>-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा बनाता है और एक चर <math>y</math> में सरल रेखा के समीकरण का ग्राफ <math>x</math>-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। दो चर <math>x</math> और <math>y</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ कुछ ढलान के साथ एक सरल रेखा बनाता है।		एक चर <math>x</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ <math>y</math>-अक्ष के समानांतर एक ऊर्ध्वाधर रेखा बनाता है और एक चर <math>y</math> में सरल रेखा के समीकरण का ग्राफ <math>x</math>-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज रेखा है। दो चर <math>x</math> और <math>y</math> में रैखिक समीकरण का ग्राफ कुछ ढलान के साथ एक सरल रेखा बनाता है।

Mani at 08:16, 20 November 2024

2024-11-20T08:16:44Z

← Older revision		Revision as of 13:46, 20 November 2024
Line 65:		Line 65:
	(ii) लंब एवं धन <math>x</math>-अक्ष के बीच का कोण।		(ii) लंब एवं धन <math>x</math>-अक्ष के बीच का कोण।

	[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)~~\|left~~\|243x243px]]		[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)\|243x243px]]
	[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)\|216x216px]]		[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)\|216x216px]]

Line 74:		Line 74:


	[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)~~\|left~~\|241x241px]]		[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)\|241x241px]]


Line 82:		Line 82:





			[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण]]


Line 90:		Line 94:


	~~[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण]]~~

	== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==		== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==

Mani at 08:15, 20 November 2024

2024-11-20T08:15:28Z

← Older revision		Revision as of 13:45, 20 November 2024
Line 75:		Line 75:

	[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)\|left\|241x241px]]		[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)\|left\|241x241px]]

Mani at 08:14, 20 November 2024

2024-11-20T08:14:42Z

← Older revision		Revision as of 13:44, 20 November 2024
Line 51:		Line 51:


			[[File:लंब रूप (i).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (i)\|236x236px]]

	=== लंब रूप - ===		=== लंब रूप - ===
	लंब रूप दी गई रेखा के लंबवत रेखा पर आधारित होता है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है,		लंब रूप दी गई रेखा के लंबवत रेखा पर आधारित होता है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है,

	और इसे लंब के रूप में जाना जाता है।		और इसे लंब के रूप में जाना जाता है।
	~~[[File:लंब रूप (i).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (i)]]~~
	~~[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)]]~~

			यहाँ, लंब की लंबाई के पैरामीटर '<math>p</math>' हैं और इस लंब द्वारा धनात्मक <math>x</math>-अक्ष के साथ बनाया गया कोण '<math>\theta</math>' है जो एक रेखा के समीकरण को बनाने के लिए उपयोगी है। रेखा के समीकरण का लंब रूप इस प्रकार है:

			<math>xcos\theta + ysin\theta = P</math>

			(i) मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई।

			(ii) लंब एवं धन <math>x</math>-अक्ष के बीच का कोण।

			[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)\|left\|243x243px]]
			[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)\|216x216px]]



	~~[[File:लंब रूप (iii).jpg\|thumb\|चित्र-लंब रूप (iii)]]~~
	~~[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)]]~~

	यहाँ, लंब की लंबाई के पैरामीटर '<math>p</math>' हैं और इस लंब द्वारा धनात्मक <math>x</math>-अक्ष के साथ बनाया गया कोण '<math>\theta</math>' है जो एक रेखा के समीकरण को बनाने के लिए उपयोगी है। रेखा के समीकरण का लंब रूप इस प्रकार है:

	~~<math>xcos\theta + ysin\theta = P</math>~~

	~~(i) मूल बिंदु से रेखा पर लंब की लंबाई।~~

	(ii) लंब ~~एवं धन <math>x</math>-अक्ष के बीच का कोण।~~		[[File:लंब रूप (iv).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (iv)\|left\|241x241px]]








			[[File:आलेख पर सरल रेखा का समीकरण.jpg\|thumb\|300x300px\|चित्र- आलेख पर सरल रेखा का समीकरण]]

	== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==		== आलेख पर सरल रेखा का समीकरण ==

Mani at 08:02, 20 November 2024

2024-11-20T08:02:44Z

← Older revision		Revision as of 13:32, 20 November 2024
Line 46:		Line 46:

	रेखा के समीकरण का अंत: खंड रूप उस दूरी को स्पष्ट करता है जिस पर रेखा <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष को मूल बिंदु से काटती है।		रेखा के समीकरण का अंत: खंड रूप उस दूरी को स्पष्ट करता है जिस पर रेखा <math>x</math>-अक्ष और <math>y</math>-अक्ष को मूल बिंदु से काटती है।



Line 53:		Line 54:

	=== लंब रूप - ===		=== लंब रूप - ===
	लंब रूप दी गई रेखा के लंबवत रेखा पर आधारित होता है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है, और इसे लंब के रूप में जाना जाता है।		लंब रूप दी गई रेखा के लंबवत रेखा पर आधारित होता है, जो मूल बिंदु से होकर गुजरती है,

			और इसे लंब के रूप में जाना जाता है।
	[[File:लंब रूप (i).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (i)]]		[[File:लंब रूप (i).jpg\|thumb\|चित्र- लंब रूप (i)]]
	[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)]]		[[File:लंब रूप (ii).jpg\|thumb\|लंब रूप (ii)]]