रेखा के दिक्-कोज्या व दिक्- अनुपात - Revision history

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	== दिक्- कोज्या परिभाषा ==		== दिक्- कोज्या परिभाषा ==
	दिक्- कोज्या, त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन\|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोज्या क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।		[[दिक्-कोसाइन\|दिक्- कोज्या]], त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन\|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोज्या इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोज्या है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोज्या क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।

	एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math> के लिए दिक्- कोज्या <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>		एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math> के लिए दिक्- कोज्या <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
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	'''उदाहरण 2:''' किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिक्- अनुपात ज्ञात करें ~~→OA~~=4~~^i−3^~~j+2^k.		'''उदाहरण 2:''' किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिक्- अनुपात ज्ञात करें <math>\overrightarrow{OA}=4\overset{\frown}{i}-3\overset{\frown}{j}+2\overset{\frown}{k}</math>

	'''समाधान''':		'''समाधान''':

	दिया गया सदिश है		दिया गया सदिश <math>\overrightarrow{OA}=4\overset{\frown}{i}-3\overset{\frown}{j}+2\overset{\frown}{k}</math> है ।

	~~→OA=4^i−3^j+2^k.~~		दिक्- अनुपात<math>= (4, -3, 2)</math>

	दिक्- अनुपात = (4, -3, 2)
	[[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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 यहाँ हम l = Cosα, m = Cosβ, n = Cosγ मानते हैं। इसलिए हमारे पास दिशा कोसाइन के बीच संबंध l2 + m2 + n2 = 1 है।
-उदाहरण 1: किसी बिंदु के स्थिति सदिश का दिशा अनुपात ज्ञात करें →OA=4^i−3^j+2^k.
+== उदाहरण ==
 समाधान:

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-दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।
+दिक्- कोज्या  ,त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोज्या है। दिक्- कोज्या   की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोज्या   है।
-आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
+दिक्- अनुपात तीन अक्षों, x-अक्ष, y-अक्ष और z-अक्ष के संदर्भ में एक रेखा या सदिश के घटकों को जानने में मदद करता है। एक सदिश →A=a^i+b^j+c^k के लिए दिक्- अनुपात क्रमशः a, b और c हैं। दिक्- अनुपात दिक्- कोसाइन, दो रेखाओं के बीच का कोण या दो सदिशों का डॉट उत्पाद खोजने में मदद करते हैं।
-== परिभाषा ==
+आइए दिक्- कोज्या  , दिक्- कोज्या   के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोज्या   के बारे में अधिक जानें।
-एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math>  के लिए दिक्- कोसाइन <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+आइए उदाहरणों और FAQs की सहायता से दिशा अनुपातों, दिशा कोसाइन के साथ उनके संबंध और दिशा अनुपातों के उपयोगों के बारे में अधिक जानें।
 हैं।
-दिक्- कोसाइन को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोसाइन है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
+दिक्- कोज्या   को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोज्या   को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l  त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोज्या   इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोज्या   है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोज्या   है  l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>
 [[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

Mani at 05:12, 16 December 2024

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	~~Direction Cosines and Direction Ratios of~~ a ~~Line~~		दिक्- कोसाइन, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष, <math>z</math>-अक्ष के साथ बनाए गए कोण का कोसाइन है। दिक्- कोसाइन की गणना त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक सदिश या एक सरल [[रेखा]] के लिए की जा सकती है। यह त्रि- अक्षों के साथ रेखा द्वारा बनाए गए कोण का कोसाइन है।

			आइए दिक्- कोसाइन, दिक्- कोसाइन के बीच संबंध और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के दिक्- कोसाइन के बारे में अधिक जानें।
			[[File:दिक्-कोसाइन.jpg\|thumb\|दिक्-कोसाइन\|251x251px]]

			== परिभाषा ==
			दिक्- कोसाइन त्रि- आयामी अंतरिक्ष में एक [[सदिश गुणन\|सदिश]] या रेखा का संबंध त्रि- अक्षों में से प्रत्येक के साथ देता है। दिक्- कोसाइन इस रेखा द्वारा क्रमशः <math>x</math>-अक्ष, <math>y</math>-अक्ष और <math>z</math>-अक्ष के साथ अंतरित कोण का कोसाइन है। यदि रेखा द्वारा तीनों अक्षों के साथ अंतरित कोण <math>\alpha</math>, <math>\beta</math>और <math>\gamma</math> हैं, तो दिक्- कोसाइन क्रमशः <math>Cos\alpha, Cos\beta, Cos\gamma</math> हैं।

			एक सदिश <math>\overrightarrow{A}=a\overset{\frown}{i}+b\overset{\frown}{j}+c \overset{\frown}{k} </math> के लिए दिक्- कोसाइन <math> Cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\beta = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, \ Cos\gamma = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>

			हैं।


			दिक्- कोसाइन को <math>l, m, n</math> द्वारा भी दर्शाया जाता है और हम प्रायः दिक्- कोसाइन को इस प्रकार दर्शाते हैं <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math> l त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु <math>A (a, b, c)</math>के लिए दिक्- कोसाइन इस बिंदु को मूल <math>O</math> से जोड़ने वाली रेखा की दिक्- कोसाइन है। रेखा <math>OA</math> की दिक्- कोसाइन है l <math>l= \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, m = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}, n = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}</math>

	[[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]		[[Category:त्रि-विमीय ज्यामिति]][[Category:गणित]][[Category:कक्षा-12]]

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	Direction Cosines and Direction Ratios of a Line		Direction Cosines and Direction Ratios of a Line

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Sarika at 06:24, 4 August 2023

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Sarika at 06:20, 4 August 2023

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Sarika at 06:48, 19 April 2023

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	Direction Cosines and Direction Ratios of a Line		Direction Cosines and Direction Ratios of a Line
	~~[[Category:गणित]]~~
	[[Category:ज्यामिति~~]][[Category: कक्षा-12~~]]		[[Category:ज्यामिति]]