लीलावती में 'गुणोत्तर श्रेढ़ी' - Revision history

Mani at 12:33, 30 August 2023

2023-08-30T12:33:24Z

← Older revision		Revision as of 18:03, 30 August 2023
Line 1:		Line 1:

	~~==भूमिका==~~
	गणित में, एक '''गुणोत्तर श्रेढ़ी''', जिसे एक '''गुणोत्तर अनुक्रम''' के रूप में भी जाना जाता है, गैर-शून्य संख्याओं का एक अनुक्रम होता है, जहां पहले के बाद प्रत्येक पद पिछले एक को एक निश्चित, गैर-शून्य संख्या से गुणा करके पाया जाता है जिसे ''सार्व अनुपात'' कहा जाता है।<ref>(गुणोत्तर श्रेढ़ी)[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression "Geometric Progression"]</ref> उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 6, 18, 54, ... 3 के सामान्य अनुपात के साथ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। इसी प्रकार 10, 5, 2.5, 1.25, ... एक गुणोत्तर अनुक्रम है जिसका सामान्य अनुपात 1/ 2.		गणित में, एक '''गुणोत्तर श्रेढ़ी''', जिसे एक '''गुणोत्तर अनुक्रम''' के रूप में भी जाना जाता है, गैर-शून्य संख्याओं का एक अनुक्रम होता है, जहां पहले के बाद प्रत्येक पद पिछले एक को एक निश्चित, गैर-शून्य संख्या से गुणा करके पाया जाता है जिसे ''सार्व अनुपात'' कहा जाता है।<ref>(गुणोत्तर श्रेढ़ी)[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression "Geometric Progression"]</ref> उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 6, 18, 54, ... 3 के सामान्य अनुपात के साथ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। इसी प्रकार 10, 5, 2.5, 1.25, ... एक गुणोत्तर अनुक्रम है जिसका सामान्य अनुपात 1/ 2.
	==श्लोक सं॰ 136==		==श्लोक सं॰ 136==

Sarika at 11:19, 9 August 2023

2023-08-09T11:19:48Z

← Older revision		Revision as of 16:49, 9 August 2023
Line 118:		Line 118:
	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	<references />		<references />
	[[Category:लीलावती में गणित]]		[[Category:लीलावती में गणित]][[Category:सामान्य श्रेणी]]

Mani: Updated Category "लीलावती में गणित"

2023-06-22T11:32:37Z

Updated Category "लीलावती में गणित"

← Older revision		Revision as of 17:02, 22 June 2023
Line 118:		Line 118:
	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	<references />		<references />
	[[Category:गणित]]		[[Category:लीलावती में गणित]]
	~~[[Category:लीलावती~~]]

Mani at 05:48, 6 June 2023

2023-06-06T05:48:33Z

← Older revision		Revision as of 11:18, 6 June 2023
Line 42:		Line 42:
	\|		\|
	\|		\|
	\|~~Index~~		\|सूचिपृष्ठ
	\|-		\|-
	\|30		\|30

Mani: New Mathematics Organic Hindi Translated Page Created

2023-06-06T05:45:34Z

New Mathematics Organic Hindi Translated Page Created

New page

==भूमिका==
गणित में, एक '''गुणोत्तर श्रेढ़ी''', जिसे एक '''गुणोत्तर अनुक्रम''' के रूप में भी जाना जाता है, गैर-शून्य संख्याओं का एक अनुक्रम होता है, जहां पहले के बाद प्रत्येक पद पिछले एक को एक निश्चित, गैर-शून्य संख्या से गुणा करके पाया जाता है जिसे ''सार्व अनुपात'' कहा जाता है।<ref>(गुणोत्तर श्रेढ़ी)[https://en.m.wikipedia.org/wiki/Geometric_progression "Geometric Progression"]</ref> उदाहरण के लिए, अनुक्रम 2, 6, 18, 54, ... 3 के सामान्य अनुपात के साथ एक गुणोत्तर श्रेढ़ी है। इसी प्रकार 10, 5, 2.5, 1.25, ... एक गुणोत्तर अनुक्रम है जिसका सामान्य अनुपात 1/ 2.
==श्लोक सं॰ 136==
''विषमे गच्छे व्येके गुणकः स्थाप्यः समेऽर्धिते वर्गः'' ।

''गच्छक्षयान्तमन्त्याद् व्यस्तं गुणवर्गजं फलं यत्तत्'' ।

''व्येकं व्येकगुणोद्धृतमादिगुणं स्यात् गुणोत्तरे गणितम्'' ॥

यदि n, एक गुणोत्तर श्रेढ़ी (G.P) में पदों की संख्या विषम है, तो (n-1) को 'गुणक' (M) कहा जाता है, और यदि यह सम है, तो <math>\frac{n}{2}</math> को 'वर्ग' (S) कहा जाता है [ भास्कराचार्य की शब्दावली ] अब n से शुरू करते हुए, इस प्रक्रिया को (n-1) विषम के लिए और <math>\frac{n}{2}</math> के लिए तब तक जारी रखें जब तक कि 0 न हो जाए। फिर सार्व अनुपात (C.R) r को 0 के सम्मुख रखते हुए M या S को विपरीत दिशा में लिखना शुरू करें। संचालन करें और फिर अंतिम परिणाम से 1 घटाएं और इसे (r-1) से विभाजित करें। परिणाम आवश्यक योग है।<ref>"भास्कराचार्य की लीलावती - वैदिक परंपरा के गणित का ग्रंथ। नई दिल्लीः मोतीलाल बनारसीदास पब्लिशर्स। 2001.पृष्ठ 110-111। [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]।"(Līlāvatī Of Bhāskarācārya - A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition. New Delhi: Motilal Banarsidass Publishers. 2001. pp. 110-111. [[ISBN (identifier)|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]..)</ref>

'''टिप्पणी:''' मान लीजिए a = 1, n = 31, r = 2। उपरोक्त विधि का उपयोग करके हम तालिका प्राप्त करते हैं:
{| class="wikitable"
|31
|30
|15
|14
|7
|6
|3
|2
|1
|0
|-
|
|M
|S
|M
|S
|M
|S
|M
|S
|M
|}31 से शुरू करते हुए हम लिखते हैं 31-1 = 30, <math>\frac{30}{2}</math> = 15 , 15-1 = 14 , <math>\frac{14}{2}</math> = 7 …. जब तक हम 0 पर नहीं पहुँच जाते। फिर दूसरी पंक्ति में, हम M से शुरू करते हैं और बारी-बारी से M और S लिखते हैं।

अब हम संकेतित संचालन करते हैं। . M = गुणक, S = वर्ग जैसा कि नीचे दिखाया गया है।
{| class="wikitable"
|
|
|
|
|Index
|-
|30
|M
|2147483648
|
|31
|-
|15
|S
|1073741824
|
|30
|-
|14
|M
|32768
|
|15
|-
|7
|S
|16384
|
|14
|-
|6
|M
|128
|
|7
|-
|3
|S
|64
|
|6
|-
|2
|M
|8
|
|3
|-
|1
|S
|4
|
|2
|-
|0
|M
|2
|
|1
|}<math>S = a+ar+ar^2+.. +ar^{n-1}</math>

<math>rS = ar+ar^2+..+ar^{n-1}+ar^n</math>

<math>S(r-1)=ar^n-a</math>

<math>S=\frac{a(r^n -1)}{r-1}</math>
==उदाहरण==
''आदिर्द्वयं सखे वृद्धिः प्रत्यहं त्रिगुणोत्तरा'' ।

''गच्छ सप्तदिनं यत्र गणितं तत्र किं वद'' ॥

यदि a = 2, r = 3, n = 7, हे मित्र, योग क्या है?

'''टिप्पणी:'''

<math>S=\frac{a(r^n -1)}{r-1} = \frac{2(3^7 - 1)}{3-1}= \frac{2(2187-1)}{3-1} = 2186</math>
==यह भी देखें==
[[Geometric Progression in Līlāvatī]]
==संदर्भ==
<references />
[[Category:गणित]]
[[Category:लीलावती]]