लीलावती में 'वर्गमूल' - Revision history

Mani at 12:29, 30 August 2023

2023-08-30T12:29:41Z

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	~~== भूमिका ==~~
	यहां हम जानेंगे कि लीलावती में वर्णित, किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात किया जाता है।		यहां हम जानेंगे कि लीलावती में वर्णित, किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात किया जाता है।
	==श्लोक सं. 22 :==		==श्लोक सं. 22 :==

Sarika at 11:19, 9 August 2023

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	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	<references />		<references />
	[[Category:लीलावती में गणित]]		[[Category:लीलावती में गणित]][[Category:सामान्य श्रेणी]]

Sarika at 11:15, 9 August 2023

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	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	<references />		<references />
	[[Category:लीलावती में ~~गणित]][[Category:भारती कृष्ण तीर्थ द्वारा~~ गणित]]		[[Category:लीलावती में गणित]]

Sarika at 11:09, 9 August 2023

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	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	<references />		<references />
	[[Category:लीलावती में गणित]]		[[Category:लीलावती में गणित]][[Category:भारती कृष्ण तीर्थ द्वारा गणित]]

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2023-07-12T06:53:40Z

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← Older revision		Revision as of 12:23, 12 July 2023
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			== भूमिका ==
	यहां हम जानेंगे कि लीलावती में वर्णित, किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात किया जाता है।		यहां हम जानेंगे कि लीलावती में वर्णित, किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात किया जाता है।
	==श्लोक सं. 22 :==		==श्लोक सं. 22 :==

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2023-07-12T06:49:41Z

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	\|		\|
	\| rowspan="9" valign="top" \|'''प्रक्रिया:'''		\| rowspan="9" valign="top" \|'''प्रक्रिया:'''
	अंतिम समूह से, अर्थात-1, उच्चतम संभव वर्ग (1<sup>2</sup>) घटाने पर जो कि 1 है, हमें पहला शेषफल 0 = 1 - 1 ~~मिलता~~ है। अब 09 प्राप्त करने के लिए, शेषफल 0 के दाईं ओर 9 (दी गई संख्या से) लिखें। मूलम(रूट) स्तंभ में 1 लिखें . 1 x 2 = 2 पहली पंक्ति है। 9 को 2 से इस प्रकार विभाजित करें कि उच्चतम एक अंक का भागफल 9 से अधिक न हो। यहाँ, भागफल 4 है। इस 4 को मूलम(रूट) स्तंभ में 1 के नीचे लिखें। उसी क्षैतिज रेखा में 2 × 4 = 8 को 2 के नीचे 0 के साथ लिखें। दोनों को जोड़कर 28 प्राप्त करें जो कि दूसरी पंक्ति है। फिर 1 प्राप्त करने के लिए 9 से 8 = 2 × 4 घटाएं। इसके दाईं ओर अगला अंक 6 लिखें और हमें 16 प्राप्त होता है। शेष 0 प्राप्त करने के लिए इसमें से 4 का वर्ग घटाएं। आवश्यक वर्गमूल वह संख्या है जो मूलम(रूट) स्तंभ से अंकों को उसी क्रम में लिखकर प्राप्त की जाती है जिस क्रम में हमने उन्हें निकाला है। इसलिए यह 14 है। हम दूसरी पंक्ति के आधे के बराबर संख्या प्राप्त कर सकते हैं। (28 ÷ 2 = 14)		अंतिम समूह से, अर्थात-1, उच्चतम संभव वर्ग (1<sup>2</sup>) घटाने पर जो कि 1 है, हमें पहला शेषफल 0 = 1 - 1 प्राप्त होता है। अब 09 प्राप्त करने के लिए, शेषफल 0 के दाईं ओर 9 (दी गई संख्या से) लिखें। मूलम(रूट) स्तंभ में 1 लिखें . 1 x 2 = 2 पहली पंक्ति है। 9 को 2 से इस प्रकार विभाजित करें कि उच्चतम एक अंक का भागफल 9 से अधिक न हो। यहाँ, भागफल 4 है। इस 4 को मूलम(रूट) स्तंभ में 1 के नीचे लिखें। उसी क्षैतिज रेखा में 2 × 4 = 8 को 2 के नीचे 0 के साथ लिखें। दोनों को जोड़कर 28 प्राप्त करें जो कि दूसरी पंक्ति है। फिर 1 प्राप्त करने के लिए 9 से 8 = 2 × 4 घटाएं। इसके दाईं ओर अगला अंक 6 लिखें और हमें 16 प्राप्त होता है। शेष 0 प्राप्त करने के लिए इसमें से 4 का वर्ग घटाएं। आवश्यक वर्गमूल वह संख्या है जो मूलम(रूट) स्तंभ से अंकों को उसी क्रम में लिखकर प्राप्त की जाती है जिस क्रम में हमने उन्हें निकाला है। इसलिए यह 14 है। हम दूसरी पंक्ति के आधे के बराबर संख्या प्राप्त कर सकते हैं। (28 ÷ 2 = 14)
	\|-		\|-
	\|'''Divisor'''		\|'''Divisor'''

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2023-07-12T06:36:55Z

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	इस प्रकार प्राप्त शेषफल के दाईं ओर अगला अंक लिखें और उसमें से दूसरे भागफल a<sub>2</sub> के वर्ग का घटाव करें। अब इस प्रकार प्राप्त शेषफल के दाईं ओर, अगला अंक लिखें और इसे दूसरी पंक्ति से विभाजित कीजिए। इससे आवश्यक वर्गमूल का तीसरा अंक प्राप्त होगा। अब वर्गमूल के तीसरे अंक का दुगुना दूसरी पंक्ति (''पंक्ति'') में एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करके जोड़ें। परिणाम तीसरी पंक्ति (''पंक्ति'') होगा। फिर दी गई संख्या के अगले अंक को शेष के दाईं ओर लिखें और इससे आवश्यक वर्गमूल के तीसरे अंक का वर्ग का घटाव करें। इस प्रक्रिया को दोहराएँ। परिणाम आवश्यक वर्गमूल प्राप्त होगा।		इस प्रकार प्राप्त शेषफल के दाईं ओर अगला अंक लिखें और उसमें से दूसरे भागफल a<sub>2</sub> के वर्ग का घटाव करें। अब इस प्रकार प्राप्त शेषफल के दाईं ओर, अगला अंक लिखें और इसे दूसरी पंक्ति से विभाजित कीजिए। इससे आवश्यक वर्गमूल का तीसरा अंक प्राप्त होगा। अब वर्गमूल के तीसरे अंक का दुगुना दूसरी पंक्ति (''पंक्ति'') में एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करके जोड़ें। परिणाम तीसरी पंक्ति (''पंक्ति'') होगा। फिर दी गई संख्या के अगले अंक को शेष के दाईं ओर लिखें और इससे आवश्यक वर्गमूल के तीसरे अंक का वर्ग का घटाव करें। इस प्रक्रिया को दोहराएँ। परिणाम आवश्यक वर्गमूल प्राप्त होगा।
	==उदाहरण: 196 का वर्गमूल==		==उदाहरण: 196 का वर्गमूल==
	प्रक्रिया 1: दी गई संख्या को प्रतीक "\|" द्वारा विषम (''विषम'') के रूप में चिह्नित किया जाना है और प्रतीक "-" द्वारा सम (''सम'') के रूप में चिह्नित किया जाना ~~है।~~ यह अंकन इकाई के स्थान से ~~शुरू होना~~ चाहिए।		प्रक्रिया 1: दी गई संख्या को प्रतीक "\|" द्वारा विषम (''विषम'') के रूप में चिह्नित किया जाना है और प्रतीक "-" द्वारा सम (''सम'') के रूप में चिह्नित किया जाना चाहिए। यह अंकन/चिह्नित करने कि प्रक्रिया इकाई के स्थान से प्रारंभ होनी चाहिए।
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	!विषम (Odd)		!विषम (Odd)
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	\|}'''उत्तर: 196 का वर्गमूल = 14'''		\|}'''उत्तर: 196 का वर्गमूल = 14'''
	==उदाहरण: 88209 का वर्गमूल==		==उदाहरण: 88209 का वर्गमूल==
	प्रक्रिया 1: दी गई संख्या को प्रतीक "\|" द्वारा विषम (विषम) और प्रतीक "-" द्वारा सम (सम) के रूप में चिह्नित किया जाना ~~है।~~ यह अंकन इकाई के स्थान से ~~शुरू होना~~ चाहिए।		प्रक्रिया 1: दी गई संख्या को प्रतीक "\|" द्वारा विषम (''विषम'') के रूप में चिह्नित किया जाना है और प्रतीक "-" द्वारा सम (''सम'') के रूप में चिह्नित किया जाना चाहिए। यह अंकन/चिह्नित करने कि प्रक्रिया इकाई के स्थान से प्रारंभ होनी चाहिए।
	{\| class="wikitable"		{\| class="wikitable"
	!विषम (Odd)		!विषम (Odd)

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2023-07-12T06:30:19Z

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← Older revision		Revision as of 12:00, 12 July 2023
Line 1:		Line 1:
	यहां हम जानेंगे कि लीलावती में वर्णित किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ~~निकाला~~ जाता है		यहां हम जानेंगे कि लीलावती में वर्णित, किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात किया जाता है।
	==श्लोक सं. 22 :==		==श्लोक सं. 22 :==
	''त्यक्त्वान्त्याद् विषमात् कृतिं द्विगुणयेन्मूलं समे तद्धृते''		''त्यक्त्वान्त्याद् विषमात् कृतिं द्विगुणयेन्मूलं समे तद्धृते''
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	''पङ्क्त्यां तद् द्विगुणं न्यसेदिति मुहुः पङ्क्तेर्दलं स्यात् पदम् ॥'' २२ ॥		''पङ्क्त्यां तद् द्विगुणं न्यसेदिति मुहुः पङ्क्तेर्दलं स्यात् पदम् ॥'' २२ ॥
	==अनुवाद :==		==अनुवाद :==
	इकाई के स्थान से ~~शुरू~~ करते हुए, अंकों के ऊपर वैकल्पिक रूप से लंबवत और क्षैतिज रेखा चिह्नित करें, ताकि दी गई संख्या प्रत्येक दो अंकों के समूहों में विभाजित हो जाए। <ref>"भास्कराचार्य की लीलावती - वैदिक परंपरा के गणित का ग्रंथ। नई दिल्लीः मोतीलाल बनारसीदास पब्लिशर्स। 2001.पृष्ठ 23-25। [[ISBN (identifier)\|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7\|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]।"(Līlāvatī Of Bhāskarācārya - A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition. New Delhi: Motilal Banarsidass Publishers. 2001. pp. 23–25. [[ISBN (identifier)\|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7\|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]..)</ref>सबसे बाएं समूह में एक या दो अंक हो सकते हैं और ~~इसके~~ शीर्ष पर या दाएं अंक पर क्रमशः एक लंबवत रेखा ~~होगा।~~		इकाई के स्थान से प्रारंभ करते हुए, अंकों के ऊपर वैकल्पिक रूप से लंबवत और क्षैतिज रेखा/पट्टियों को चिह्नित करें, ताकि दी गई संख्या प्रत्येक दो-दो अंकों के समूहों में विभाजित हो जाए। <ref>"भास्कराचार्य की लीलावती - वैदिक परंपरा के गणित का ग्रंथ। नई दिल्लीः मोतीलाल बनारसीदास पब्लिशर्स। 2001.पृष्ठ 23-25। [[ISBN (identifier)\|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7\|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]।"(Līlāvatī Of Bhāskarācārya - A Treatise of Mathematics of Vedic Tradition. New Delhi: Motilal Banarsidass Publishers. 2001. pp. 23–25. [[ISBN (identifier)\|ISBN]] [[Special:BookSources/81-208-1420-7\|<bdi>81-208-1420-7</bdi>]]..)</ref>सबसे बाएं समूह में एक या दो अंक हो सकते हैं, और उसके शीर्ष पर या दाएं अंक पर क्रमशः एक लंबवत रेखा/पट्टी होगी।

	~~सबसे~~ बाईं ओर के समूह से उच्चतम संभव वर्ग (a<sub>1</sub>) ~~घटाएं~~ और ~~2a<sub>1</sub> को~~ पंक्ति (''पंक्ति'') ~~अर्थ पंक्ति~~ नामक स्तंभ में लिखें।		अत्यंत बाईं ओर के समूह से उच्चतम संभव वर्ग (a<sub>1</sub>) का घटाव करें और पंक्ति(''पंक्ति'') नामक स्तंभ में 2a<sub>1</sub> लिखें।

	उपरोक्त घटाव से प्राप्त संख्या के दाईं ओर क्षैतिज रेखा के साथ ~~अगले समूह से अंक~~ लिखें। इस संख्या को 2a<sub>1</sub> से विभाजित करें। भागफल a<sub>2</sub> , 9 से अधिक नहीं होना चाहिए। अब 2a<sub>2</sub> को 2a<sub>1</sub> के नीचे दाईं ओर ~~एक स्थान पर लाकर~~ लिखें और जोड़ें। यह दूसरी पंक्ति (''पंक्ति'') है।		उपरोक्त घटाव से प्राप्त संख्या के दाईं ओर, अगले समूह से अंक को एक क्षैतिज रेखा के साथ लिखें। इस संख्या को 2a<sub>1</sub> से विभाजित करें। भागफल a<sub>2</sub> , 9 से अधिक नहीं होना चाहिए। अब 2a<sub>2</sub> को 2a<sub>1</sub> के नीचे एक स्थान दाईं ओर स्थानांतरित करके लिखें और जोड़ें। यह दूसरी पंक्ति (''पंक्ति'') है।

	इस प्रकार प्राप्त शेषफल के ~~दायीं~~ ओर अगला अंक ~~लिखिए~~ और उसमें से दूसरे भागफल a<sub>2</sub> का ~~वर्ग घटाइए।~~ अब इस प्रकार प्राप्त शेषफल के ~~दायीं~~ ओर अगला अंक ~~लिखिए~~ और इसे दूसरी पंक्ति से विभाजित कीजिए। यह आवश्यक वर्गमूल का तीसरा अंक ~~देगा।~~ अब वर्गमूल के तीसरे अंक का दुगुना दूसरी पंक्ति (''पंक्ति'') में एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित ~~करने के बाद जोड़ा जाना चाहिए।~~ परिणाम तीसरी पंक्ति (''पंक्ति'') होगा। फिर दी गई संख्या के अगले अंक को शेष के दाईं ओर लिखें और ~~उसमें से~~ वर्गमूल के तीसरे अंक का वर्ग ~~घटाएं।~~ इस प्रक्रिया को ~~दोहराएं।~~ परिणाम आवश्यक वर्गमूल होगा।		इस प्रकार प्राप्त शेषफल के दाईं ओर अगला अंक लिखें और उसमें से दूसरे भागफल a<sub>2</sub> के वर्ग का घटाव करें। अब इस प्रकार प्राप्त शेषफल के दाईं ओर, अगला अंक लिखें और इसे दूसरी पंक्ति से विभाजित कीजिए। इससे आवश्यक वर्गमूल का तीसरा अंक प्राप्त होगा। अब वर्गमूल के तीसरे अंक का दुगुना दूसरी पंक्ति (''पंक्ति'') में एक स्थान से दाईं ओर स्थानांतरित करके जोड़ें। परिणाम तीसरी पंक्ति (''पंक्ति'') होगा। फिर दी गई संख्या के अगले अंक को शेष के दाईं ओर लिखें और इससे आवश्यक वर्गमूल के तीसरे अंक का वर्ग का घटाव करें। इस प्रक्रिया को दोहराएँ। परिणाम आवश्यक वर्गमूल प्राप्त होगा।
	==उदाहरण: 196 का वर्गमूल==		==उदाहरण: 196 का वर्गमूल==
	प्रक्रिया 1: दी गई संख्या को प्रतीक "\|" द्वारा विषम (''विषम'') के रूप में चिह्नित किया जाना है और प्रतीक "-" द्वारा सम (''सम'') के रूप में चिह्नित किया जाना है। यह अंकन इकाई के स्थान से शुरू होना चाहिए।		प्रक्रिया 1: दी गई संख्या को प्रतीक "\|" द्वारा विषम (''विषम'') के रूप में चिह्नित किया जाना है और प्रतीक "-" द्वारा सम (''सम'') के रूप में चिह्नित किया जाना है। यह अंकन इकाई के स्थान से शुरू होना चाहिए।

Ramamurthy: /* यह भी देखें */

2023-06-26T05:40:11Z

यह भी देखें

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Line 233:		Line 233:
	\|}'''उत्तर: 88209 का वर्गमूल = 297'''		\|}'''उत्तर: 88209 का वर्गमूल = 297'''
	==यह भी देखें==		==यह भी देखें==
	[[Square root - Līlāvatī]]		[[Square root in Līlāvatī]]
	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	<references />		<references />
	[[Category:लीलावती में गणित]]		[[Category:लीलावती में गणित]]

Mani: Updated Category "लीलावती में गणित"

2023-06-22T11:24:48Z

Updated Category "लीलावती में गणित"

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Line 236:		Line 236:
	==संदर्भ==		==संदर्भ==
	<references />		<references />
	[[Category:गणित]]		[[Category:लीलावती में गणित]]
	~~[[Category:सामान्य श्रेणी]]~~
	~~[[Category:लीलावती~~]]